2017-2018学年高一数学苏教版必修4学业分层测评：1.2.2　同角三角函数关系

学业分层测评(四)　同角三角函数关系
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.若sin θ＝－，tan θ＜0，则cos θ＝________.
【解析】　∵sin θ＝－＜0，tan θ＜0，∴θ为第四象限角，∴cos θ＝ ＝.
【答案】　
2.化简：(1＋tan2α)·cos2α＝________.
【解析】　原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
【答案】　1
3.已知sin α＝，则sin4α－cos4α＝________.
【解析】　∵sin α＝，
∴sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)
＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1
＝2×－1
＝－.
【答案】　－
4.已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝________.
【解析】　∵tan α＝＝－，∴cos α＝－2sin α.
又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1，
又α为第二象限角，∴cos α＜0，
∴cos α＝－.
【答案】　－
5.化简：＝________.
【解析】　＝＝|sin 4|，
∵π<4<，∴sin 4<0，∴|sin 4|＝－sin 4.
【答案】　－sin 4
6.已知＝，则等于________．
【解析】　由1－sin2x＝cos2x，
可得＝－＝－.
【答案】　－
7.若sin α＋cos α＝，则tan α＋的值为________．
【解析】　tan α＋＝＋＝.
又sin α＋cos α＝，
∴sin αcos α＝，
∴tan α＋＝2.
【答案】　2
8.已知0<α<π，sin α·cos α＝－，则sin α－cos α的值等于________．
【解析】　∵sin α·cos α<0,0<α<π，
∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，
∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
∴sin α－cos α＝.
【答案】　
二、解答题
9.已知tan x＝2，求：
(1)的值；
(2)sin2x＋cos2x的值．
【解】　(1)＝＝＝－3.
(2)sin2x＋cos2x＝
＝＝＝.
10.已知tan2 α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
【证明】　因为tan2α＝2tan2β＋1，
所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，
所以＋1＝2，
所以＝，
所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1.
[能力提升]
1．若角α的终边在直线x＋y＝0上，则＋＝________.
【解析】　∵＋＝＋.
又角α的终边落在x＋y＝0上，故角α的终边在第二、四象限．
当α在第二象限时，
原式＝＋＝0，
当α在第四象限时，原式＝＋＝0.
【答案】　0
2.化简：＝________.
【解析】　原式＝
＝
＝＝－1.
【答案】　－1
3.若A∈(0，π)，且sin A＋cos A＝，则＝________.
【解析】　(sin A＋cos A)2＝，∴1＋2sin Acos A＝，∴2sin Acos A＝－<0，21世纪教育网版权所有
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，cos A<0，∴(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝，∴sin A－cos A＝，21教育网
∴sin A＝，cos A＝－，故＝.
【答案】　
4.已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：21cnjy.com
(1)m的值．(2)＋的值.
(3)方程的两根及此时θ的值．

【解】　(1)由根与系数的关系可知，
sin θ＋cos θ＝，①
sin θ·cos θ＝m.②
将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝，
所以sin θ·cos θ＝，代入②得m＝.
(2)＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(3)因为已求得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x＝，x＝.
所以或
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝或.