2017-2018学年高一数学苏教版必修4学业分层测评：1.3.1　三角函数的周期性

学业分层测评(七)　三角函数的周期性
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.下列函数中，周期为的是________．(填序号)
①y＝sin；②y＝sin 2x；
③y＝cos ；
④y＝cos(－4x)．
【解析】　①T＝＝4π；
②T＝＝π；
③T＝＝8π；
④T＝＝.
【答案】　④
2．下列各图形是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的是________．(填序号)
图1-3-1
【解析】　根据周期函数图象特征可知①②③都是周期函数；④不是周期函数．
【答案】　①②③
3．函数y＝2cos(ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________.
【解析】　由周期公式可知4π＝?|ω|＝，由ω＜0，可知ω＝－.
【答案】　－
4．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.21教育网
【解析】　∵f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，
∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(3)－f(4)＝－2＋1＝－1.
【答案】　－1
5．函数y＝sin的周期不大于4，则正整数k的最小值为________．
【解析】　由T＝得T＝＝.
∵T≤4，∴≤4，∴k≥π，
∴正整数k的最小值为4.
【答案】　4
6．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sin x；当x∈时，f(x)＝cos x，则f＝________.
【解析】　∵T＝π，x∈时，f(x)＝cos x，
∴f＝f＝f＝cos
＝cos＝－cos ＝－.
【答案】　－
7．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．21cnjy.com
【解析】　T＝，又T∈(1,3)，∴1<<3，若ω∈N*，则ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为6.21·cn·jy·com
【答案】　6
8.已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 014)＝________.www.21-cn-jy.com
【解析】　∵f(x＋3)＝，
∴f(x＋6)＝＝f(x)，∴f(x)的周期T＝6，
∴f(2 014)＝f(335×6＋4)＝f(4)．
又f(4)＝f(1＋3)＝＝2，
∴f(2 014)＝2.
【答案】　2
二、解答题
9．已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数．
(1)求f(4)的值；
(2)若－2≤x≤－1时，f(x)＝sin＋1，求2≤x≤3时，f(x)的解析式．
【解】　(1)∵函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0.(2)设2≤x≤3，则－2≤－4＋x≤－1，【来源：21·世纪·教育·网】
∴f(－4＋x)＝sin＋1＝sinx＋1，
∴f(x)＝f(－4＋x)＝sinx＋1.
10.若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如图1-3-2所示，请回答下列问题：21世纪教育网版权所有
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
图1-3-2
【解】　(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.
(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．2·1·c·n·j·y
(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.
[能力提升]
1．已知函数f(x)＝sin ，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝________.
【解析】　f(x)的周期T＝＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin ＋sin ＋sin π＋sin ＋sin ＋sin 2π＝0.21·世纪*教育网
原式＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＝0.
【答案】　0
2．设f(x)是定义在R上且最小正周期为π的函数，在某一周期上f(x)＝求
f－的值.
【解】　∵f(x)的周期为，
∴f＝f＝f.
∵0＜＜π，
∴f＝sin
＝sin＝，
即f＝.