2.1.1 两条直线的位置关系
一、选择题
1．若两个角互补，则（ ）
A．这两个角都是锐角 B．这两个角都是钝角
C．这两个角一个是锐角，一个是钝角 D．以上答案都不对
2．一个锐角的余角（ ）
A．一定是钝角 B．一定是锐角
C．可能是锐角，也可能是钝角 D．以上答案都不对
3．下列说法正确的是（ ）
A．有公共顶点的两个角是对顶角
B．有公共定点且有一条边在同一直线上的两个角是对顶角
C．两边互为反向延长线的两个角是对顶角
D．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
4．如图直线AB和CD相交于O，，∴，其推理依据是（ ）
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
5．互为补角的两个角的度数之比为3：2，则这两个角分别是（ ）
A．108°和72° B．95°和85° C．100°和80° D．110°和70°
二、判断题
6.一个锐角的补角，总是大于这个角的余角；（ ）
7.一个角的补角，总是大于这个角；（ ）
8.相等的角，一定是对顶角；（ ）
9.一个锐角的余角，总是锐角；（ ）
10.一个角的补角，总是钝角；（ ）
11.锐角一定小于余角．（ ）
三、填空题
12．如果两个角的和是_________，称这两个角互余；
13．如果两个角的和是平角，称这两个角______；
14．同角的余角______，同角的补角______，对顶角______；
15．两条直线相交所构成的角中，如果有一个角是直角，那么其余的3个角________
16．如图，直线相交于一点O，对顶角一共有__________对；
四、解答题
17．如图，直线AB、CD相交于O，，求的度数．
18．如图所示，直线相交于点O，若已知，你能求出的度数吗？
19．如图，三条直线相交于一点O，求的值．
参考答案
一、选择题
1．D
2．B
3．C
4．D
5．A
二、判断题
6.√
7.×
8.×
9.√
10.×
11.×
三、填空题
12．直角
13．互为补角
14．相等、相等、相等
15．都是直角
16．6
四、解答题
17．75°
18．．
19．180°（提示：和是对顶角，所以，且，故
2.1.1两条直线的位置关系
一、夯实基础
1.下列说法错误的是（ ）
A. 两个互余的角相加等于90° B. 钝角的平分线把钝角分为两个锐角
C. 互为补角的两个角不可能都是钝角 D. 两个锐角的和必定是直角或钝角
2.如果∠α+∠β=90°，而∠β与∠γ互余，那么∠α与∠γ的关系为（ ）
A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 不能确定
3.一个角的余角是它的补角的，则这个角为（ ）
A. 60° B. 45° C. 30° D. 90°
4.下列说法正确的是（ ）
A. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B.有公共顶点并且相等的两个角是对顶角
C. 如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
D. 以上说法都不对
5. 已知∠1=43°27′，则∠1的余角是_________，补角是_________．
二、能力提升
6.如图，已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°，则图中与∠BOC相等的角为_________，与∠BOC互补的角为_________，与∠BOC互余的角为_________．21教育网
7. 如图，点A，B，C在一条直线上，已知∠1=53°，∠2=37°，则CD与CE的位置关系是________．
三、课外拓展
8.（杭州）如图所示立方体中，过棱BB1和平面CD1垂直的平面有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
四、中考链接
9.（济南）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）21世纪教育网版权所有
A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 互为对顶角
10.（哈尔滨）过一个钝角的顶点作这个角两边的垂线，若这两条垂线的夹角为40°，则此钝角为（ ）21cnjy.com
A. 140° B. 160° C. 120° D. 110°
参考答案
一、夯实基础
1.D
2.C
3.B
4.C
5. 46°33′，136°33′．
二、能力提升
6.与∠B0C相等的角为∠DOE，与∠BOC互补的角为∠AOD，与∠BOC互余的角为∠COD，∠AOB．
7.垂直.
三、课外拓展
8.A.解析：过棱BB1和平面CD1垂直的平面有CBB1C1，所以只有1个．
四、中考链接
9.B
10.A
2.1.1两条直线的位置关系
一、选择题
1．图中是对顶角的是( )．
2．如图，∠1的邻补角是( )．
(A)∠BOC (B)∠BOC和∠AOF
(C)∠AOF (D)∠BOE和∠AOF
3．如图，直线AB与CD相交于点O，若，则∠BOD的度数为( )．
(A)30° (B)45°
(C)60° (D)135°
4．如图所示，直线l1，l2，l3相交于一点，则下列答案中，全对的一组是( )．
(A)∠1＝90°，∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°
(B)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝30°
(C)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝60°
(D)∠1＝∠3＝90°，∠2＝60°，∠4＝30°
二、填空题
5.如图所示，直线AB与CD相交于点O，∠AOD+∠BOC=100°，则∠AOC=____.
6.如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，若∠1=20°，∠2=40°，则∠3=____，∠4=____，∠5=____，∠6=____．21教育网
7.在日常生活中，我们经常会用到剪刀，如图所示，当剪刀口∠AOB增大15°时，∠COD增大____，其根据是____．21·cn·jy·com
三、解答题
8.如图所示，直线AB与CD相交于点O，∠AOC：∠AOD=2：3，求∠BOD的度数．
9.如图所示，AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=120°，求∠BOD、∠AOE的度数．
10.如图所示，三条直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOF =75°，∠BOD=68°，求∠COE的度数.
11.如图5.1.1-9所示，AB、CD相交于点F，FA是∠CFE的平分线，若∠1=60°，求∠2、∠EFB的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
12.如图所示，AD、BC相交于点O，且∠A=∠AOB，∠COD=∠C.
试说明：∠A=∠C.
13.如图所示，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠COB：∠DOF=3：1，∠BOF= 20°，球∠DOE的度数．www.21-cn-jy.com
14.如图所示，已知直线AB与直线EF交于点O，且∠AOE= 90°，∠2=∠3，∠1=56°，求∠AOC、∠EOC、∠COP的度数．21·世纪*教育网
15.如图5.1. 1-14所示，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，你能求出∠AOC的度数吗？www-2-1-cnjy-com
参考答案
一、选择题
1．A． 2．D． 3．B． 4．D．
二、填空题
5.130° 解析：∵∠BOC=∠AOD,∠AOD+∠BOC=100°，∴∠BOC=∠AOD=50°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=130°．
6.20°，40°，120°，120° 解析：∠3=∠1=20°，∠4=∠2=40°
（对顶角相等），∠5=180°-∠3-∠4=120°（平角的定义），∠6=∠5 =120°（对顶角相等）．
7.15°，对顶角相等 解析因为∠AOB与∠COD是对顶角，两角始终相等，所以随着∠AOB变化，∠COD也发生同样的变化，故∠AOB增大15°，∠COD也增大15°.21世纪教育网版权所有
三、解答题
8.解：设∠AOC=2x°，则∠AOD= 3x°，因为∠AOC+∠AOD=180°（邻补角互补），所以2x°+3x°=180°，所以x=36.21cnjy.com
所以∠AOD=108°，所以∠BOD=180°-∠AOD= 72°．
9.解：因为∠AOC=120°，所以∠AOD=180°-∠AOC= 60°．
所以∠BOD =180° -∠AOD=120°, ．
10 解：∵∠AOF= 75°，∠BOD=68°，
∴∠DOF =180°-∠AOF-∠BOD=180°-75°-68°=37°，
∴∠COE=∠DOF=37°．
11.解：因为FA是∠CFE的平分线，
所以．
所以∠BFD=∠AFC= 60°，所以∠EFB=∠BFD+∠1=120°．
12 解：因为AD、BC相交于点O（已知），所以∠AOB与∠COD是对顶角（对顶角的定义），所以∠AOB=∠COD（对顶角相等）．2·1·c·n·j·y
因为∠AOB=∠A（已知），∠COD=∠C(已知)，
所以∠A=∠C（等量代换）．
13 解：∵∠BOF=20°，
∴∠COB+∠DOF=180°- 20°=160°，
∵∠COB：∠DOF=3：1，
∴可设∠COB=3x°，∠DOF=x°，
∴3x+x=160,4x =160,x=40.
∴∠COB=120°，∠DOF= 40°，
∴∠DOE=180°-40°=140°，
14.解：∠AOC=∠2=90°-∠1=34°．
∠EOC=180°-∠1=124°．
∠CDP=180°- 2∠2 =180°- 2∠AOC=112°，
15.解：∵AB是直线（已知），
∴∠AOE与∠BOE是邻补角（邻补角的定义）．
∴∠AOE+∠BOE=180°（补角的定义）．
又∠AOE=150°（已知），
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°- 150°=30°，
∵OE平分∠BOD(已知)，
∴∠BOD= 2∠BOE(角平分线的定义)，
即∠BOD=2×30°=60°．
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD(对顶角相等)．
∴∠AOC= 60°．
2.1.1两条直线的位置关系
一、选择题
1.如图所示，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是 ( )
2．下列语句错误的有 ( )
①两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角；
②有公共顶点并且相等的两个角是对顶角；
③如果两个角相等，那么这两个角互补；
④如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3.如图所示所示，∠1的邻补角是( )
A．∠BOC
B．∠BOE和∠AOF
C．∠AOF
D．∠BOC和∠AOF
二、填空题
4．如果两个角有一条______边，并且它们的另一边互为____________，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．21世纪教育网版权所有
5．如果两个角有______顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的___________，那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．21教育网
6．对顶角的重要性质是_________________．
7．如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°．
∠1和∠2叫做______角；∠1和∠4互为______角；
∠2和∠3互为_______角；∠1和∠3互为______角；
∠2和∠4互为______角．
三、解答题
8．如图所示，AB，CD，EF交于点O，∠1＝20°，∠BOC＝80°，求∠2的度数．
9．已知：如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝2∠3，∠2＝86°．求∠4的度数．
10．(易错题)如图所示，直线AB，CD相交于点∥b，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF的度数.www.21-cn-jy.com
11．如图所示，直线a，b，c两两相交，∠1= 2∠3，∠2=80°，求∠4的度数．
12．已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠DOE＝4∶1．求∠AOF的度数．21cnjy.com
13．回答下列问题：
(1)三条直线AB，CD，EF两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?
(2)四条直线AB，CD，EF，GH两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?
(3)m条直线a1，a2，a3，…，am－1，am相交于点O，则图中一共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?21·cn·jy·com
参考答案
一、选择题
1.C解析：因为∠1+∠2 =180°，所以∠2=140°，故选C．
2.C解析：①两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角有可能是邻补角，所以错误．
②一个角的平分线平分这个角，得到的两个角为有公共顶点并且相等的两个角，而这两个角不是对顶角，所以错误．【来源：21·世纪·教育·网】
③一个角（非平角）的平分线平分这个角，得到的两个角为相等的两个角，但不互补，所以错误.
④因为对顶角相等，所以不相等的角不是对顶角．所以正确，故选C．
3.B 解析由题图可知，与∠1有一条公共边，且另一条边与∠1的另一条边互为反向延长线的角有∠BOE和∠AOF，故选B．72°，则∠AOD=4x°.21·世纪*教育网
二、填空题
4．公共，反向延长线．
5．公共，反向延长线．
6．对顶角相等．
7．略．
三、解答题
8．∠2＝60°．
9．∠4＝43°．
10.解：设∠BOE=x°，则∠AOD=4x°.
因为OE平分∠BOD，所以∠BOD=2∠BOE=2x°.
因为∠AOD+∠BOD=180°，所以6x=180，解得x=30，
所以∠AOD=120°，∠BOD=60°，∠BOE= 30°，∠COE= 150°，
因为OF平分∠COE，所以么，
所以∠BOF =∠EOF-∠BOE= 45°，
所以∠AOF=180°-∠BOF =135°．
点拨：求一个角的度数，可将这个角转化为其他几个角的和或差，然后分别求这几个角的度数．有些求角度的问题运用方程思想求解，更加简单明了，2·1·c·n·j·y
11.解：由对顶角相等可得∠1=∠2=80°，因为∠1=2∠3，所以∠3=40°，所以∠4=∠3=40°（对顶角相等）．www-2-1-cnjy-com
12．120°．提示：设∠DOE＝x°，由∠AOB＝∠AOD＋∠DOB＝6x＝180°，可得x＝30°，∠AOF＝4x＝120°．2-1-c-n-j-y
13．(1)有6对对顶角，12对邻补角．
(2)有12对对顶角，24对邻补角．
(3)有m(m－1)对对顶角，2m(m－1)对邻补角．
2.1.1两条直线的位置关系
一、选择、填空题
1.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE=90°，OF平分∠AOE，∠BOD=15°30′，则下列结论中不正确的是( )21世纪教育网版权所有
A．∠AOF=45°
B．∠BOD=∠AOC
C．∠BOD的余角等于75°30′
D.∠AOD与∠BOD互为补角
2．如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°．
若∠1＝20°，那么∠2＝______；
∠3＝∠BOE－∠______＝______°－______°＝______°；
∠4＝∠______－∠1＝______°－______°＝______°．
3．如图，直线AB与CD相交于O点，且∠COE＝90°，则
(1)与∠BOD互补的角有________________________；
(2)与∠BOD互余的角有________________________；
(3)与∠EOA互余的角有________________________；
(4)若∠BOD＝42°17′，则∠AOD＝__________；∠EOD＝______；∠AOE＝______．
4.如图所示，点O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，若∠COE= 64°，则∠AOD=____°．21·世纪*教育网
二、判断正误
5．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． ( )
6．如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角． ( )
7．有一条公共边的两个角是邻补角． ( )
8．如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角． ( )
9．对顶角的角平分线在同一直线上． ( )
10．有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角． ( )
三、解答题
11．如图，直线AB，CD相交于点O，∠EOB=90°，OC平分∠AOF，∠AOF=40°，求∠EOD的度数.www-2-1-cnjy-com
12.如图所示，已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，OD平分∠AOB，OE在∠BOC的内部， ,∠COE,∠DOE=72°，求∠COE的度数．2-1-c-n-j-y
13.古城黄冈旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋荫“便是其八景之一，为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角(如图中∠ABC)的大小，小明同学设计的两种测量方案：
方案1，作AB的延长线，量出∠CBD的度数，便知∠ABC的度数；
方案2，作AB的延长线及CB的延长线，量出∠DBE的度数，便知∠ABC的度数．
聪明的同学，你能解释他这样做的道理吗？
14．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上两堵围墙内所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量?21cnjy.com
15．如图，O是直线CD上一点，射线OA，OB在直线CD的两侧，且使∠AOC＝∠BOD，试确定∠AOC与∠BOD是否为对顶角，并说明你的理由．21·cn·jy·com
参考答案
一、选择、填空题
1.C解析∵OE⊥AB,∴∠AOE=90°，
∵OF平分∠AOE,
∴，
∴A项不符合题意；
又∠BOD和∠AOC是对顶角，∴∠BOD=∠AOC，
∴B项不符合题意；
∵∠BOD的余角=90°-15°30′= 74°30′，∴C项符合题意；
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOD和∠BOD互为补角，∴D项不符合题意．
2.略
3．(1)∠BOC，∠AOD；
(2)∠AOE；
(3)∠AOC，∠BOD；
(4)137°43′，90°，47°43′．
4.26解析：∵OE平分∠BOC,∠COE=64°,
∴∠BOC=2∠COE=128°,
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-128°= 52°.
∵OD平分∠AOC,
∴.
二、判断正误
5．×
6．×
7．×
8．√
9．√
10．×
三、解答题
11.解：因为OC平分∠AOF,∠AOF=40°，
所以∠，
所以∠BOD=20°， （3分）
因为/EOB= 90°， （1分）
所以∠EOD=∠EOB-∠BOD= 70°．
12.思路建立 本题要求∠COE的度数，根据题中角之间的关系，挖掘题中隐含的条件，例如∠AOC=180°，再根据角之间的关系设∠BOE=x°，由∠AOD+∠DOE+∠COE=180°，列方程求解即可．
解：设∠BOE=x°，
则∠COE=2x°，∠AOD=∠BOD=(72-x)°，
由∠AOD+∠DOE+∠COE=180°，得72-x+72+2x=180,
解得x=36，所以2x=72．
所以∠COE的度数为72°．
13.解：方案1利用了邻补角的性质，因为∠CBD+∠ABC=180°，即∠ABC=180°-∠CBD，所以只要量出∠CBD的度数便可求出∠ABC的度数；21教育网
方案2利用对顶角的性质，因为∠DBE=∠ABC，所以只要量出∠DBE的度数便可以知道∠ABC的度数.www.21-cn-jy.com
方法：对于实际问题中我们无法直接进行测量的角，往往采用转化思想，把实际问题转化为关于对顶角、邻补角的问题后求解其度数．2·1·c·n·j·y
14．只要延长BO(或AO)至C，测出∠AOB的邻补角∠AOC(或∠BOC)的大小后，就可知道∠AOB的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
15．∠AOC与∠BOD是对顶角，说理提示：只要说明A，O，B三点共线．
证明：∵射线OA的端点在直线CD上，
∴∠AOC与∠AOD互为邻补角，即∠AOC＋∠AOD＝180°，
又∵∠BOD＝∠AOC，从而∠BOD＋∠AOD＝180°，
∴∠AOB是平角，从而A，O，B三点共线．∴∠AOC与∠BOD是对顶角．
2.1.1 两条直线的位置关系
一、预习与质疑（课前学习区）
（一）预习内容：P38-P39
（二）预习时间：10分钟
（三）预习目标：
1．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题；
2．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．
（四）学习建议：
1．教学重点：
2．教学难点：
（五）预习检测：
观察下面几幅生活中的图片：
1.在同一平面内，两条直线的位置关系有 和 两种
2.在同一平面内，不相交的两条直线叫做__________.
3.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为 .
活动一：教材精读
（1）如果将剪刀的图简单的表示为图2-1，那么∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？能试着说明,你的理由吗？21世纪教育网版权所有
解: ，即 ，
，等式两边同时都减去_________， ,,得： 。
归纳：在图2-1中，直线AB与CD相交于点O，的有一个公共点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫 。21教育网
对顶角有如下性质：
对顶角
（2）在图2-1中，有什么数量关系？
解：由可知
总结： 如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角.
类似的，如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角.
注意：互余和互补是指两个角的数量关系，与它们的位置无关。
（六）生成问题：通过预习和做检测题你还有哪些疑惑请写在下面。
二、落实与整合（课中学习区）
活动二：合作探究
如图2-2,打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹的红球会直接入袋，此时
将图2-2抽象成成图2-3，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=，∠1=∠2。在图2-3中：
（1）：哪些角互为补角？哪些角互为余角？
（2）：∠3与∠4有什么关系？为什么？
（3）：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？ 你还能得到哪些结论？
解：（1）互为补角的如
（2）相等，
，
(3)
,
且
结论归纳：同角或等角的 相等，同角或等角的 相等。
三、检测与反馈（课堂完成）
1.判断下列说法是否正确
（1）300 ，700 与800 的和为平角，所以这三个角互余。（ ）
（2）一个角的余角必为锐角。 （ ）
（3）一个角的补角必为钝角。 （ ）
（4）900 的角为余角。 （ ）
两角是否互补既与其大小有关又与其位置有关（ ）
总结提示：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置关系无关。
2.下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由。
3. 如图，∠AOC+∠DOE+∠BOF= .
4. 的余角等于32°，则的补角等于 .
四、课后互助区
1.学案整理：整理“课中学习去”后，交给学习小组内的同学互检。
2.构建知识网络
互帮互助：
“我”认真阅读了你的学案，“我”有如下建议：________________________
“我”的签名：_____________
2.1.1两条直线的位置关系
预习案
一、预习目标及范围
能判断两条直线的位置关系；
知道对顶角相等；
会求一个角的余角和补角；
知道余角和补角的性质；
预习课本第38和39页.
二、预习要点
1.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为 .
2.在同一平面内，不相交的两条直线叫做 .
3.同一平面内的两条直线的位置关系有 和 两种.
4.两个角的两边互为 ，则这两个角叫做 .
5.对顶角 .
6.如果两个角的和是 .那么称这两个角互为余角.
7.如果两个角的和是 .那么称这两个角互为补角.
8.同角或等角的余角 ；同角或等角的补角 .
三、预习检测
1.已知∠1+∠2=90°，∠3+∠4=180°，下列说法正确的是（ ）
A. ∠1是余角 B. ∠3是补角 C. ∠1是∠2的余角 D. ∠3和∠4都是补角
2.如果线段AB与线段CD没有交点，则（ ）
A.线段AB与线段CD一定平行
B. 线段AB与线段CD一定不平行
C. 线段AB与线段CD可能平行
D. 以上说法都不正确
探究案
一、合作探究（9分钟），要求各小组组长组织成员进行合作探究、讨论。
探究（一）：摆一摆，说一说
请同学们每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？
探究（二）：指一指，想一想：出示立方体框架图1，请学生指一指：
1.（1）指出立方体框架中哪些棱是平行的？
（2）指出立方体框架中哪些棱是相交的？
（3）指出立方体框架中哪些棱既不平行也不相交呢？为什么？
探究（三）： 画一画，议一议：学生在练习本上画直线AB、CD相交于点O,如图：
小组讨论：
2.（1）∠AOC与∠BOD位置有什么关系？大小有什么关系？
（2）∠AOD与∠BOC位置有什么关系？大小有什么关系？
计算：（1）44°+ 46°= ； （2）30°20′34″+ 59°39′26″= ；
（3）10°+ 25°+ 55°= ； （4）96°+ 84°= ；
（5）58°45′+ 121°15′= ； （6）50°+ 75°+ 55°= 。
总结它们的特点.感受互为余角、补角的概念.
3.如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？你能用一句话概括这一规律吗？21世纪教育网版权所有
4.如图，如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，∠1＝∠3，那么∠2与∠4有什么关系？为什么？
二、小组展示（7分钟）
每小组口头或利用投影仪展示, 一个小组展示时，其他组要积极思考，勇于挑错，谁挑出错误或提出有价值的疑问，给谁的小组加分（或奖星）21教育网
交流内容
展示小组（随机）
点评小组（随机）
____________
第______组
第______组
____________
第______组
第______组
三、归纳总结
1.同一平面内两条直线的位置关系：平行、相交。
2.概念：（1）对顶角；（2）余角；（3）补角.
3.性质：（1）对顶角性质；（2）余角性质；（3）补角性质。
四、随堂检测
1.若∠α=32°，它的余角= ，它的补角= ，它的补角比它的余角大______.
2.如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数.
参考答案
预习检测
1、C
2、C
随堂检测
1、58°, 148°, 90°.
2、C
3、解设这个角为x,根据题意，列方程得（180-x）=4(90-x)
解得x=60.
2.1.1 两条直线的位置关系
教学目标
1．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题；
2．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．
教学重、难点
重点：理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．
难点：理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．
导学方法
启发式教学、小组合作学习
导学步骤
导学行为（师生活动）
设计意图
回顾旧知，引出新课
如图，若把剪刀看成是两条相交的直线构成的，那么形成的角中小于平角的角有几个，你能发现它们之间的联系吗？
从学生已有的知识入手，引入课题
新知探索
例题
精讲
合作探究
探究点一：对顶角及其性质
【类型一】 对顶角的概念
下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
解析：选项A中的两个角的顶点没有公共；选项B、D中的两个角的两边没有在互为反向延长线的两条直线上，只有选项C中的两个角符合对顶角的定义．故选C.
方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
【类型二】 直接运用对顶角的性质求角度
如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．
解析：结合图形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数，根据“对顶角相等”可得∠2的度数．
解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，所以∠2＝70°(等量代换)．
方法总结：两条相交直线构成对顶角，这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论．在图形中正确找到对顶角，利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系，然后结合已知条件进行转化．
探究点二：补角和余角
【类型一】 利用补角和余角计算求值
已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．
解析：根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2的值．
解：∵∠A与∠B互余，∴∠A＋∠B＝90°.又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，∴设∠B＝x，∴∠A＝3∠B＋30°＝3x＋30°，∴3x＋30°＋x＝90°，解得x＝15°，故∠B的度数为15°.
方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程来解决．
【类型二】 补角、余角和角平分线的综合计算
如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．
解析：根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180°.根据角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90°.根据角平分线的性质，可得∠BOM＝∠AOB.根据解方程，可得∠AOB的度数．根据角的和差，可得答案．
解：∵∠AOB与∠COM互补，∴∠AOB＋∠COM＝180°，即∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°.∵∠COB＝90°，∴∠AOB＋∠BOM＝90°.∵OM是∠AOB的平分线，∴∠BOM＝∠AOB，即∠AOB＋∠AOB＝90°，解得∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.∵ON平分∠AOC得∠AON＝∠AOC＝×150°＝75°.由角的和差，∴∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°.
方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．
【类型三】 补角和余角的性质
如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
(1)如图①，若CE是∠ACD的角平分线，那么CD是∠ECB的角平分线吗？并简述理由；
(2)如图②，若∠ECD＝α，CD在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等？并简述理由；
(3)在(2)的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？并简述理由．
解析：(1)首先根据直角三角板的特点得到∠ACD＝90°，∠ECB＝90°.再根据角平分线的定义计算出∠ECD和∠DCB的度数即可；(2)∠ACE与∠DCB相等，根据“等角的余角相等”即可得到答案；(3)根据角的和差关系进行等量代换即可．
解：(1)CD是∠ECB的角平分线．理由如下：∵∠ACD＝90°，CE是∠ACD的角平分线，∴∠ECD＝45°.∵∠ECB＝90°，∴∠DCB＝90°－45°＝45°，∴∠ECD＝∠DCB，∴CD是∠ECB的角平分线；
(2)∠ACE＝∠DCB.理由如下：∵∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，∠ECD＝α，∴∠ACE＝90°－α，∠DCB＝90°－α，∴∠ACE＝∠DCB；
(3)∠ECD＋∠ACB＝180°.理由如下：∠ECD＋∠ACB＝∠ECD＋∠ACE＋∠ECB＝∠ACD＋∠ECB＝90°＋90°＝180°.
方法总结：此题主要查考了角的计算，关键是根据图形分清角之间的和差关系．
引出研究本节课要学习知识的必要性，清楚新知识的引出是由于实际生活的需要
学生积极参与学习活动，为学生动脑思考提供机会，发挥学生的想象力和创造性
体现教师的主导作用
学以致用，
举一反三
教师给出准确概念，同时给学生消化、吸收时间，当堂掌握
例2由学生口答，教师板书，
课堂检测
1.已知∠ =35°19′，则∠α的余角等于（ ）
A.144°41′ B．144°81′C．54°41′ D．54°81′
2.如果∠α、∠β互余，∠β+∠γ=90°，∠α与∠γ的关系是（ ）
A.互余 B．互补 C.相等 D．无法确定
3.如图，∠COD＝28°，若∠AOB与∠COD互余，则∠AOB＝_____；若B、O、C在同一条直线上，则∠BOD＝______.
4.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=80°，∠BOE=30°.求∠DOE的度数.
检验学生学习效果，学生独立完成相应的练习，教师批阅部分学生，让优秀生帮助批阅并为学困生讲解.
总结提升
总结本节课的主要内容：
1．对顶角相等；
2．同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．
板书设计
2.1.1两条直线的位置关系
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
（二）探索新知 例1、例2
（四）课堂练习 练习设计
本课作业
教材P39随堂练习
本课教育评注（实际教学效果及改进设想）
2.1.1两直线的位置关系
一、教学目标
1.在具体的情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念；
2.探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质；
3.学生学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想.
二、课时安排
1课时
三、教学重点
余角、补角、对顶角的性质及其应用.
四、教学难点
通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质.
五、教学过程
（一）导入新课
教师用PPT展示双杠、铁轨、黑板、螺旋桨等生活中的图片，让学生感受观察生活中的两条直线之间的不同的位置关系.21cnjy.com
（二）讲授新课
1.摆一摆，说一说
请同学们每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？
学生代表展示位置关系，师生归纳总结，教师板书：①平行、②相交、③重合.并给出相交线和平行线的定义.
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
教师指出：凡未作特别说明，我们只研究不重合的情形，则去掉重合这种情况。（板书：去掉③重合）并总结“同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种。”21·cn·jy·com
2.指一指，想一想
出示立方体框架图1，请学生指一指：
（1）指出立方体框架中哪些棱是平行的？
（2）指出立方体框架中哪些棱是相交的？
（3）指出立方体框架中哪些棱既不平行也不相交呢？为什么？
想一想：理解平行线时，必须注意什么？
教师指导学生平行线的三层意思：a.“在同一平面”是前提条件；b.“不相交”是指两条直线没有交点；c.平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段,有时我们也说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行.21教育网
（三）重难点精讲
3.画一画，议一议
学生在练习本上画直线AB、CD相交于点O,如图：
小组讨论：
（1）∠AOC与∠BOD位置有什么关系？大小有什么关系？
（2）∠AOD与∠BOC位置有什么关系？大小有什么关系？
教师板书，给出对顶角定义:两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角。
学生分别度量所成的四个角的大小，动手操作，自己得出结论，教师板书对顶角的性质： 对顶角相等。
4.算一算，记一记
计算：（1）44°+ 46°= ； （2）30°20′34″+ 59°39′26″= ；
（3）10°+ 25°+ 55°= ； （4）96°+ 84°= ；
（5）58°45′+ 121°15′= ； （6）50°+ 75°+ 55°= 。
学生计算并回答,总结它们的特点.教师给出互为余角、补角的概念.
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。
下面我来研究一下余角和补角的性质：
如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？你能用一句话概括这一规律吗？21世纪教育网版权所有
如图，如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，∠1＝∠3，那么∠2与∠4有什么关系？为什么？
学生分组进行讨论，交流并让代表发言.师生共同归纳：
同角或等角的余角相等。
同角或等角的补角相等。
（四）归纳小结
1.同一平面内两条直线的位置关系：平行、相交。
2.概念：（1）对顶角；（2）余角；（3）补角.
3.性质：（1）对顶角性质；（2）余角性质；（3）补角性质。
（五）随堂检测
1.若∠α=32°，它的余角= ，它的补角= ，它的补角比它的余角大______.
2.如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数.
六、板书设计
2.1.1两条直线的位置关系
平行定义 对顶角相等.
相交定义 同角或等角的余角相等
对顶角定义 同角或等角的补角相等
余角定义
补角定义
七、作业布置
1.家庭作业：完成本节课的同步练习；
2.预习作业：完成导学案《2.1.2》预习案
八、教学反思
课件18张PPT。七年级下册2.1.1 两条直线的位置关系北京立交桥 你能在身边再找出一些相交线的实例吗?公共点叫做两直线的交点记作:直线AB、CD相交于点O。O问题1:如果将剪刀的构造抽象成一个几何图形，会是怎样的图形昵？有什么特点?问题2:用这把剪刀，紧握剪刀的把手去剪，就能剪开纸片。在用剪刀去剪纸片的过程中,什么发生了改变?O问题3: 两条相交直线形成的小于平角的角有几个?1342问题4:把四个角两两组合,按照两个角位置关系你能给它分分类吗?O1342∠1和∠3∠2和∠4第一种:第二种:∠1和∠2 ∠1和∠4 ∠2和∠3 ∠3和∠4 顶点相同.角的两边互为反向延长线.互为对顶角有一条公共边另一边互为反向延长线互为邻补角1.画一画ABDCO1234你会画对顶角吗？邻补角呢？AOBCD12.辩一辩21212)((())1下列各图中∠1、∠2是邻补角吗？21212)((()（下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？194BACDEF2356781011123.找一找如图所示，三条直线AB、CD、EF两两相交，你能说出图中所有的对顶角吗？问题5:用这把剪刀，紧握剪子
的把手去剪，就能剪开纸片，
在用剪刀去剪纸片的过程中,
剪刀的张角发生了改变,而在
改变中什么又是没有变的?O24∠2=∠4?1342直线AB、CD相交于点O, ∠2、∠4
互为对顶角，请说出∠2=∠4的理由.同理可得：∠1=∠3 对顶角相等. 对顶角的性质:邻补角有什么性质呢？ 两个邻补角互补ab）（1342）（1 .如图,直线a、b相交，∠1=40°,求 ∠2、∠3、∠ 4的度数。变式1：把∠1＝40°变为∠1＝50°变式2：把∠1＝40°变为∠2是∠1的2倍变式3：把∠1=40°变为？2、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=80°，∠1=30°，
求∠2的度数.变式1：若OE为∠BOD的角平分线，求∠2的度数.变式2：若OE为∠BOD的角平分线，OF为∠AOD的角平分线， 求∠EOF的度数?任取一对邻补角的的角平分线，角平分线所夹的角的度数为多少？3.想一想：图中这种测量工具，可以量出图中零件上AB、CD这两条轮廓线的延长线所成的角，你能说出其中的道理吗？ABCDDC4、要测量两堵墙所成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？谈谈你的收获吧知识两直线的位置关系相交过程与方法方程思想平行（后面会学到）对顶角邻补角观察思考探究转化思想(数量关系)(位置关系)相等互补数学思想
音乐抒发情怀，绘画陶冶情操，诗歌动人心弦，哲学充满智慧，科学改变生活……
但数学能给予以上的一切。再见！课件19张PPT。七年级下册2.1.1两条直线的位置关系情境导入观察下面图片中直线的位置关系本节目标预习反馈1.已知∠1+∠2=90°，∠3+∠4=180°，下列说法正确的是（ ）
∠1是余角 B. ∠3是补角
C. ∠1是∠2的余角 D. ∠3和∠4都是补角
C预习反馈2.如果线段AB与线段CD没有交点，则（ ）
A.线段AB与线段CD一定平行
B. 线段AB与线段CD一定不平行
C. 线段AB与线段CD可能平行
D. 以上说法都不正确
C课堂探究请同学们每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？摆一摆，说一说课堂探究若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。课堂探究（1）指出立方体框架中哪些棱是平行的？
（2）指出立方体框架中哪些棱是相交的？
（3）指出立方体框架中哪些棱既不平行也不相交呢？指一指，想一想课堂探究在练习本上画直线AB、CD相交于点O,
（1）∠AOC与∠BOD位置有什么关系？大小有什么关系？
（2）∠AOD与∠BOC位置有什么关系？大小有什么关系？画一画，议一议课堂探究两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角。你能说一说对顶角的性质吗？算一算，记一记（1）44°+ 46°= ； （2）30°20′34″+ 59°39′26″= ；
（3）10°+ 25°+ 55°= ； （4）96°+ 84°= ；
（5）58°45′+ 121°15′= ； （6）50°+ 75°+ 55°= 。典例精析算一算，记一记如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。典例精析小 组 讨 论如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？你能用一句话概括这一规律吗？典例精析小 组 讨 论如图，如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，∠1＝∠3，那么∠2与∠4有什么关系？为什么？ 典例精析典例精析同角或等角的余角相等。同角或等角的补角相等。随堂检测1.若∠α=32°，它的余角= ，它的补角= ，它的补角比它的余角大______.2. 如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ）58°148°90°C3.已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数.随堂检测解：设这个角为x,根据题意，列方程得
（180-x）=4(90-x)
解得x=60.本课小结对顶角的性质对顶角相等.余角和补角的性质同角或等角的余角相等；
同角或等角的补角相等.两条直线的位置关系作业布置家庭作业完成本节的同步练习预习作业预习《2.1.2两条直线的位置关系》导学案中的“预习案”2.1.2 两条直线的位置关系
一、填空题：
1、在一个平面内过直线上一点A画的平行线，能画出 条；过直线上一点A画的垂线，能画出 条.21世纪教育网版权所有
2、如果两条直线相交成 ，那么两条直线互相垂直.
3、如图，找出其中互相垂直的线段.
4、如图，通过画图并量得点A到直线的距离等于 厘米.（精确到0.1厘米）
二、判断题：
5、在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（ ）
6、过直线上一点不存在直线与已知直线垂直.（ ）
7、过直线外一点A作的垂线，垂线的长度叫做点A到直线的距离.（ ）
8、一条线段有无数条垂线.（ ）
9、如图，线段AB与线段CD不可能互相垂直，因为它们不可能相交.（ ）
10、互相垂直的两条直线形成的四个角都等于90o.（ ）
三、作图解答题：
11、在下列各图中，用三角板分别过点C画线段AB的垂线.
（1） （2） （3） （4）
12、按照题目的要求，分别画出图形，并回答有关问题.
画长3cm的线段AB，取AB的中点O，过O作线段AB的垂线，在上任取一点P，连接PA，PB，量一量线段PA，PB的长度，你发现什么结论？21教育网
13画一个∠ABC，作出∠ABC的角平分线BD，在BD上任取一点P（除B点外），过P分别作PM⊥BA，PN⊥BC，垂足分别是M，N，量一量线段PM，PN的长度，你发现什么结论？21cnjy.com
14、如图，在方格纸上，过点A作直线的垂线，多点B作直线m的垂线.
15、分别过点P作线段MN的垂线.
16、按题目要求画图，并回答相关问题.
画两条直线m，n，使m∥n，在直线m上任取两点A，B，分别过A，B作直线n的垂线，垂足分别为C，D，量一量线段AC，BD的长，你发现了什么结论？21·cn·jy·com
17如图，点P是∠AOB内一点，过点P作PM⊥OA，垂足为M，作PN⊥OB，垂足为N，量一量∠MPN和∠O，你发现了什么结论？www.21-cn-jy.com
18、如图，在方格纸上，分别过A画AD的垂线、过B画EF的垂线、过C画GF的垂线.
参考答案
1、0 1
2、直角（填90o也对）
3、OA⊥OD，OB⊥OC，OC⊥OE，
4、略
5、√
6、×
7、×
8、√
9、×
10、√
11、略
12、图略 PA=PB
13图略 PM=PN
14、略
15、略
16、图略 AC=BD
17、图略 ∠MPN+∠Ｏ＝180o
18、略
2.1.2两条直线的位置关系
一、夯实基础
1.已知线段AB=10cm，点A、B到直线l的距离分别为6cm，4cm．符合条件的直线l有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.（2006?宁波）如图，直线a⊥b，∠1=50°，则∠2=_________度．
3.如图，OD⊥BC，垂足为D，BD=6cm，OD=8cm，OB=10cm，那么点B到OD的距离是________，点O到BC的距离是________.O、B两点之间的距离是________.21世纪教育网版权所有
4.如图，O为直线AB上一点，∠BOC=3∠AOC，OC平分∠AOD.则∠AOC=_________，OD与AB的位置关系是_________.21教育网
5.条直线互相垂直时，所得的四个角中有_________个直角.
二、能力提升
6.如图，直线AB，CD相交于点O，∠EOC=60°，OA平分∠EOC，那么∠BOD的度数是________．
7.将一张长方形的白纸，按如图所示的折叠，使D到D′，E到E′处，并且BD′与BE′在同一条直线上，那么AB与BC的位置关系是_________.21cnjy.com
三、课外拓展
8.我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直段最短”.在此基础上，人们定义了点到点的距离、点到直线的距离，类似地，若点P是O外一点，则点P与O的距离应定义为( )21·cn·jy·com
A.线段PO的长度 B.线段PA的长度 C.线段PB的长度 D.线段PC的长度
四、中考链接
9.①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；②两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这条直线互相垂直；③两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条直线垂直；④两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线垂直.其中说法正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个www.21-cn-jy.com
10. (四川)如图5-26所示，AB、CD相交于点O，OE⊥AB，那么下列结论错误的是( )
A.∠AOC与∠COE互为余角 B.∠BOD与∠COE互为余角
C.∠COE与∠BOE互为补角 D.∠AOC与∠BOD是对顶角
参考答案
一、夯实基础
1.A
2.40°
3.6cm,8cm,10cm.
4.45°,垂直.
5.4．
二、能力提升
6.30°.
7.垂直.
三、课外拓展
8.A.
四、中考链接
9.D
10.C
2.1.2两条直线的位置关系
一、选择题
1.下列说法中，正确的是 ( )
A.两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直
B.两条直线相交成四个角，如果有两组角相等，那么这两条直线垂直
C.两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线垂直
D．两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线垂直
2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是 ( )21世纪教育网版权所有
A.∠2=45°
B.∠1=∠3
C．∠AOD与∠1互为补角
D．∠1的余角等于75°30′
3．如图，BC⊥AC，CD⊥AB，AB＝m，CD＝n，则AC的长的取值范围是( )．
A.AC＜m B.AC＞n
C.n≤AC≤m D.n＜AC＜m
4．如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于点E，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )．21教育网
A.3条 B.4条
C.7条 D.8条
二、判断下列语句是否正确
5．连接直线l外一点到直线l上各点的线段中，垂线段最短． ( )
6．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． ( )
7．两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直．( )
8．一条直线的垂线只能画一条． ( )
三、解答题
9.如图所示，过P点分别作出线段AB、CD的垂线．
10.如图所示，直线AB、CD、EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE=70°，求∠DOG的度数．21·cn·jy·com
11.如图所示，已知AO⊥BO，OD平分∠AOC，∠BOC=3∠AOD，求∠DOC的度数．
12.如图所示，AO⊥BO，DO⊥EO，点C、O、E在一条直线上，∠BOC= 25°，求∠AOD的度数.
13．已知：如图，三条直线AB，CD，EF相交于O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．求∠DOG．21cnjy.com
14．从点O引出四条射线OA，OB，OC，OD，且AO⊥BO，CO⊥DO，试探索∠AOC与∠BOD的数量关系．www.21-cn-jy.com
参考答案
一、选择题
1.C解析：A项可以指对顶角相等；B项可以指两组对顶角相等；
D项可以指邻补角互补．
2.D 解析：因为OE⊥AB，所以∠AOE= 90°．
因为OF平分∠AOE，
所以，所以A正确．
因为∠1与∠3是对顶角，所以∠1=∠3，所以B正确．
因为点A、O、B在同一直线上，所以∠AOD与∠1互为补角，所以C正确.
因为∠1=15°30′，所以∠1的余角=90°-15°30′=74°30′，所以D不正确．
3．D．
4．D．
二、判断下列语句是否正确
5．√，
6．×，
7．√，
8．×.
三、解答题
9.解：如图所示．
10.解：∵∠AOE= 70°，
∴∠BOF=∠AOE= 70°．
∵OG平分∠BOF，
∴，
∵CD⊥EF，
∴∠DOF=90°，
∴∠BOD= 90°-∠BOF= 90°- 70°=20°，
∴∠DOG=∠BOD+∠BOG=20°+35°=55°．
11.解：设∠DOC=x°，因为∠BOC=3∠AOD．所以3x+x+x+90= 360，所以x=54.即∠DOC=54°，
12.解：∠AOE= 90°-∠BOC=90°-25°=65°．
∠AOD=∠DOE+∠AOE=90°+65°=155°．
13．55°．
14．相等或互补．
2.1.2两条直线的位置关系
一、选择题
1.如图所示，AO⊥BC，OM⊥ON，则图中互余的角有 ( )
A.3对 B.4对 C.5对 D．6对
2.点到直线的距离是指 ( )
A. 直线外一点与这条直线上任意一点的距离’
B．直线外一点到这条直线的垂线的长度
C．直线外一点到这条直线的垂线段
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度
3．如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，且∠BOC＝，则∠AOD等于( )．
A.180°－2? B.180°－?
C. D.2－90°
二、判断下列语句是否正确
4．点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离．( )
5．在三角形ABC中，若∠B＝90°，则AC＞AB． ( )
6．若两条直线相交所构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直． ( )
7．平面内，过线段AB外一点有且只有一条直线与AB垂直． ( )
三、解答题
8.噪音对环境的影响与距离有关，与噪音来源距离越近噪音越大．如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由点A向点B行驶，M是位于公路AB一侧的某所学校．通过画图完成下列问题，并说明理由．21世纪教育网版权所有
(1)汽车行驶到什么位置时，学校M受噪音影响最严重？
(2)在什么范围内，学校M受噪音影响越来越大？在什么范围内，学校M受噪音影响越来越小？
9.如图所示，村庄A要从河流l引水入庄，需修筑一水渠，请你画出修筑水渠的最短路线．
10.如图所示，O为直线AB上一点，∠BOC=3∠AOC，OC平分∠AOD.
(1)求∠AOC的度数；
(2)推测OD与AB的位置关系，并说明理由.
11.如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OB平分∠DOF，若∠EOC=110°，求∠BOF、∠COF的度数.www.21-cn-jy.com
12．已知点M，试在平面内作出四条直线l1，l2，l3，l4，使它们分别到点M的距离是1.5cm．
13．一个锐角与一个钝角互为邻角，过顶点作公共边的垂线，若此垂线与锐角的另一边构成直角，与钝角的另一边构成直角，则此锐角与钝角的和等于直角的多少倍?
参考答案
一、选择题
1.B 解析：∵AO⊥BC，OM⊥ON，
∴∠BOA=∠AOC=∠MON=90°．
∴图中互余的角有∠BOM与∠MOA，∠MOA与∠AON，∠AON与∠NOC，∠BOM与∠NOC，共4对．
2.D 解析：注意数学语言叙述的规范性与严密性.
3．B．
二、判断下列语句是否正确
4．√，
5．√，
6．√，
7．√，
三、解答题
8.解：(1)如图，根据“垂线段最短”，过点M作线段AB的垂线，垂足为P，所以汽车行驶到P点时，学校M受噪音影响最严重21教育网
(2)由(1)可知，
汽车行驶在AP段时，学校M受噪音影响越来越大；汽车行驶在PB段时，学校M受噪音影响越来越小．
9.解：如图所示，过点A作AE⊥l于点E，根据垂线段最短，可知AE就是村庄A修筑水渠的路线．
10.解:(1)因为∠BOC= 3∠AOC，∠BOC+∠AOC=180°，所以∠BOC=135°，∠AOC= 45°．
(2)推测：OD⊥AB.理由：因为OC平分∠AOD，所以∠DOC=∠AOC=45°，所以∠AOD= 90°，所以OD⊥AB．21cnjy.com
11.解:∠AOC=∠EOC-∠EOA=110°-90°=20°．
所以∠BOF=∠BOD=∠AOC=20°，
所以∠COF=180°-∠AOC-∠BOF=180°-20°-20°=140°，
12．以点M为圆心，以R＝1.5cm长为半径画圆M，在圆M上任取四点A，B，C，D，依次连接AM，BM，CM，DM，再分别过A，B，C，D点作半径AM，BM，CM，DM的垂线l1，l2，l3，l4，则这四条直线为所求．21·cn·jy·com
13．提示：如图，
∴是倍．
2.1.2两条直线的位置关系
一、填空题
1.如图所示，直线AB与直线CD的位置关系是____，记作____，此时，∠AOD=∠____=∠____=∠____=90°．2-1-c-n-j-y
2.如图所示，OA⊥OB，OC⊥OD，O是垂足，∠BOC=55°，那么∠AOD=____.
3．如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠BOE=____°，∠AOG=____°【来源：21·世纪·教育·网】
二、作图题
4．如图，过A点作CD⊥MN，过A点作PQ⊥EF于B．
图a 图b 图c
5．如图，过A点作BC边所在直线的垂线EF，垂足是D，并量出A点到BC边的距离．
图a 图b 图c
6．如图，已知∠AOB及点P，分别画出点P到射线OA、OB的垂线段PM及PN．
图a 图b 图c
7．如图，小明从A村到B村去取鱼虫，将鱼虫放到河里，请作出小明经过的最短路线．
三、解答题
8.如图所示，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，小明、小颖、小涵三人各抒己见，你认为谁的说法正确？请说明理由．21教育网
小明说：“BD，DC，AD的长度分别表示点D到AC、点D到AB的距离、点A到BC的距离．”
小颖说：“DA，DE，DF分别表示点A到BC、点D到AC、点D到AB的距离，”
小涵说：“DA，DE，DF的长度分别表示点A到BC、点D到AC、点D到AB的距离.”
9.如图所示，MN⊥b，ME⊥a，且MN=4 cm，ME=6 cm，则点M到直线b的距离是多少？
10.如图所示，AOB是一条直线，∠AOD：∠DOB=7：3，OD平分∠COB.
(1)求∠AOC的度数．
(2)AB与OC垂直吗？为什么？
11.如图所示，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄，设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最近，请你在AB上分别画出P、Q两点的位置.21世纪教育网版权所有
12．已知：OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3．求∠BOC的度数．
13．已知平面内有一条直线m及直线外三点A，B，C，分别过这三个点作直线m的垂线，想一想有几个不同的垂足?画图说明．21·世纪*教育网
参考答案
一、填空题
1. 垂直 AB⊥CD DOB BOC COA
解析：如果两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，当两条直线互相垂直时，所组成的四个角的数相等，且均为90°.www-2-1-cnjy-com
2.125°解析：因为OA⊥OB，所以∠AOC=90°-∠BOC=90°-55°=35°，因为OC⊥OD，所以∠COD=90°，所以∠AOD=∠AOC+∠COD=35°+ 90°=125°．21*cnjy*com
3.62 59 解析：∠COE=∠DOF= 28°(对顶角相等)，因为AB⊥CD，所以∠COB=90°（垂直的定义），所以∠BOE= 90°-∠COE=90°- 28°= 62°，∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+28°=118°．因为OG平分∠AOE，所以．【来源：21cnj*y.co*m】
二、作图题
4～7．略．
三、解答题
8.解：线段BD，DC的长度是点D分别到点B，C的距离，是两点间的距离，AD的长才是点A到BC的距离，因此小明的说法错误；21·cn·jy·com
DA，DE，DF指的是垂线段，是几何图形，而不是距离，因此小颖的说法错误；
根据点到直线的距离的概念知，小涵的说法正确.
9.解：由题图可知，MN⊥b，所以点M到直线b的距离是线段MN的长.因为MN=4 cm，所以点M到直线b的距离是4 cm.21cnjy.com
10.解：(1)因为∠AOD：∠DOB=7：3，∠AOD+∠DOB=180°，
所以∠AOD=126°，∠BOD=54°，
所以∠AOC=180°- 2∠BOD= 72°．
(2)因为∠AOC= 72°≠90°，所以AB与OC不垂直．
11.解：如图所示，过点M作MP⊥AB于点P，过点N作NQ⊥AB于点Q.
根据垂线段最短，可知P、Q两点就是离村庄最近的位置．
12．30°或150°．
13．如图所示，不同的垂足为三个或两个或一个．这是因为：
(1)当A，B，C三点中任何两点的连线都不与直线m垂直时，则分别过A，B，C三点作直线m的垂线时，有三个不同的垂足．www.21-cn-jy.com
(2)当A，B，C三点中有且只有两点的连线与直线m垂直时，则分别过A，B，C三点作直线m的垂线时，有两个不同的垂足．2·1·c·n·j·y
(3)当A，B，C三点共线，且该线与直线m垂直时，则只有一个垂足．
2.1.2两条直线的位置关系
一、选择题
1．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有( )21世纪教育网版权所有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下面的结论中，正确的有 ( )
①AB与AC互相垂直；
②AD与AC互相垂直；
③点C到AB的垂线段是线段AC；
④点A到BC的距离是线段AB；
⑤线段AB的长度是点B到AC的距离．
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.下列说法正确的有 ( )
①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
③在同一平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；
④在同—平面内，有且只有—条直线垂直于已知直线．
A.1个 B．2个
C．3个 D．4个
4.点P为直线m外一点°点A，B，C为直线m上三点，PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P到直线m的距离为 ( )21cnjy.com
A.4 cm B.2cm
C.小于2 cm D．不大于2 cm
5.如图所示，直线AB经过点O，若OC⊥OD，则图中∠1与∠2的关系是 ( )
A．互为对顶角 B.互为余角
C.互为补角 D．互为邻补角
6．如图，点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A、B、C的距离分别为PA＝4cm，PB＝6cm，PC＝3cm，则点P到直线m的距离为( )．21·cn·jy·com
A.3cm B.小于3cm
C.不大于3cm D.以上结论都不对
7．若直线a与直线b相交于点A，则直线b上到直线a距离等于2cm的点的个数是( )．
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题
8．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线______，其中一条直线叫做另一条直线的______线，它们的交点叫做______．www.21-cn-jy.com
9．垂线的性质
性质1：平面内，过一点____________与已知直线垂直．
性质2：连接直线外一点与直线上各点的_________中，_________最短．
10．直线外一点到这条直线的__________________叫做点到直线的距离．
11．如图，直线AB，CD互相垂直，记作______；直线AB，CD互相垂直，垂足为O点，记作____________；线段PO的长度是点_________到直线_________的距离；点M到直线AB的距离是_______________．2·1·c·n·j·y
三、解答题
12.为了解决位于一条河流AB两侧C，D两个村的农田灌溉问题，现有两种铺设管道的方案（如图所示）：
方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；
方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？
13.如图所示，已知线段AB，过线段AB的两个端点的直线相交于点C，你能过C点作线段AB的垂线吗？
14.如图所示，直线AB、CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，∠DOF=32°，你能求出∠AOE的度数吗？【来源：21·世纪·教育·网】
参考答案
一、选择题
1.D 解析到l1距离为2的直线有2条，到l2距离为1的直线有2条，这4条直线有4个交点，这4个交点就是“距离坐标”是(2，1)的点.21·世纪*教育网
2.B解析：①③⑤正确．AB与Ac互相垂直；AD与AC不垂直；点C到AB的垂线段是线段AC；点A到BC的距离是线段AD的长；线段AB的长度是点B到AC的距离．www-2-1-cnjy-com
3.B解析：垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①②正确，③错误．在同一平面内，一条直线的垂线有无数条，故④错误，故选B．
4.D解析：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长度，因为在PA、PB、PC三条线段中，PC最短，所以根据垂线段最短，可知到直线m的距离不大于2 cm.故选D．2-1-c-n-j-y
5．B解析：∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∴∠1+∠2 =180°-∠COD=180°- 90°=90°，
∴∠1与∠2互为余角故选B．
6．B
7．C．
二、填空题
8．互相垂直，垂，垂足．
9．有且只有一条直线，所有线段，垂线段．
10．垂线段的长度．
11．AB⊥CD；AB⊥CD，垂足是O(或简写成AB⊥CD于O)；P；CD；线段MO的长度．
三、解答题
12.解：按方案一铺设管道更省材料，理由如下：因为CE⊥AB，DF⊥AB，而CD不垂直于AB．根据“垂线段最短”可知CE13．解：能，过C点作CP⊥AB，交线段AB的延长线于点P，则直线CP即为所求作的垂线，图略．
14.解：因为直线AB、CD互相垂直（已知），
所以∠BOD= 90°（垂直的定义）．
所以∠BOF+∠DOF =90°．
因为∠DOF=32°（已知），
所以∠BOF= 90°-∠DOF= 58°．
因为直线AB与直线EF交于点O（已知），
所以∠AOE=∠BOF（对顶角相等）．
所以∠AOE=58°．
2.1.2 两条直线的位置关系
一、预习与质疑（课前学习区）
（一）预习内容：P41-P42
（二）预习时间：10分钟
（三）预习目标：
1．理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离；
2．能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题．
（四）学习建议：
1．教学重点：能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题．
2．教学难点：能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题．
（五）预习检测：
1.观察下列图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？
__________________________________________________________________
______________________________________________________________________
2. 垂直的概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是______，那么称这两条直线互相______，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做________。21教育网
3.垂直的表示：
如图2-4，如果用AB，CD表示两条互相垂直的直线，可以记作______；如图2-5如果用AB，CD表示两条互相垂直的直线，可以记作______，其中点O是垂足.21cnjy.com
活动一：教材精读
如图2-6，点A在直线上，过点A画直线的垂线，你能画出多少条？如果点A在直线外呢？
如图2-7，点P是直线外一点，PO⊥，O是垂足，A，B，C在直线上，比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？21·cn·jy·com
解：（1）无论点A在直线上，还是直线外，过点A均只能画 条的垂线。
（2） 最短
归纳总结：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
②直线外一点与直线上各个点连接的所有 中， 最短
（3）如图2-8，过点A做的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫做点A到直线的____________。
（六）生成问题：通过预习和做检测题你还有哪些疑惑请写在下面。
二、落实与整合（课中学习区）
活动二：合作探究
（1）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？说说你的画法和理由
（2）你能借助三角尺，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！
（4）如图，如何测量跳远成绩？
三、检测与反馈（课堂完成）
1．下列说法中，正确的个数有（ ）
①有且只有一条直线与已知直线垂直②两条直线相交，一定垂直③若两条直线相交所形成的四个角相等，则这两条直线垂直A、1个 B、2个 C、3个 D、0个21世纪教育网版权所有
2．到直线l的距离等于5cm的点有 （ ）
A、2个 B、1个 C、无数个 D、无法确定
3．如图，AD⊥BD,BC⊥CD AB=m，BC=n，则BD的取值范围是 （ ）
A、BD>m B、BD四、课后互助区
1.学案整理：整理“课中学习去”后，交给学习小组内的同学互检。
2.构建知识网络
互帮互助：
“我”认真阅读了你的学案，“我”有如下建议：____________________
“我”的签名： ____________
2.1.2两条直线的位置关系
预习案
一、预习目标及范围
能判断两条直线是否垂直；
会求点到直线的距离；
会用“垂线段最短”解决实际问题；
预习课本第41和42页.
二、预习要点
1.两条直线相交成四个角，如果有一个角是 ，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 。它们的交点叫做 。通常用“ ”表示两直线垂直.
2.点A和直线m的位置关系有两种： 和 .
3. 平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直.
4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短.
三、预习检测
1.（大连）如图，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ．则∠SQT等于（ ）
A. 42° B. 64° C. 48° D. 24°21世纪教育网版权所有
2.如图，计划把池中的水引到C处，可过点C作CD⊥AB于D，然后沿CD开渠，可
使所开的渠道最短.这种设计的依据是________.
探究案
一、合作探究（9分钟），要求各小组组长组织成员进行合作探究、讨论。
探究：动手画一画1：
工具1：你能借助三角尺或者量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
工具2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
说出你的画法和理由.
工具3：你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！请说明理由。
动手画一画2：
1.请画出直线m和点A,你有几种画法？
2.过点A画直线m的垂线，你能画出多少条？
动手画一画3：
请画出直线l外一点P,做PO⊥l,O是垂足，在直线上取点A,B,C,比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？21cnjy.com
动手画一画四4：
如图：一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两所学校。
问题1：汽车行驶时，会对公路两旁的学校造成一定的噪音影响。当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大？在图中标出来。21·cn·jy·com
问题2：当汽车由A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大？越来越小？
问题3：在哪一段对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大？( 用文字表达)
二、小组展示（7分钟）
每小组口头或利用投影仪展示, 一个小组展示时，其他组要积极思考，勇于挑错，谁挑出错误或提出有价值的疑问，给谁的小组加分（或奖星）www.21-cn-jy.com
交流内容
展示小组（随机）
点评小组（随机）
____________
第______组
第______组
____________
第______组
第______组
三、归纳总结
学习本部分的内容要求掌握以下知识：
1.垂线的定义
2.点到线的距离
3.垂线段的性质
四、随堂检测
1.如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下面结论中正确的有（ ）个.
①点B到AC的垂线段是线段AB；②线段AC是点C到AB的垂线段；
③线段AD是点A到BC的垂线段；④线段BD是点B到AD的垂线段.
A、1个；B、2个；C、3个；D、4个。
2. 点O在直线AB上，OC平分∠BOD，OE平分∠AOD，则OE和OC有何位置关系？请简述你的理由.21教育网
参考答案
预习检测
1、A
2、A
随堂检测
1、C
2、OE和OC垂直.
2.1.2 两条直线的位置关系
教学目标
1．理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离；
2．能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题．
教学重、难点
重点：能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题．
难点：能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题．
导学方法
启发式教学、小组合作学习
导学步骤
导学行为（师生活动）
设计意图
回顾旧知，引出新课
如图是教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？这样的两条边所在的直线有什么位置关系？
从学生已有的知识入手，引入课题
新知探索
例题
精讲
探究点一：垂 线
【类型一】 运用垂线的概念求角度
如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
解析：要求∠AOM的度数，可先求它的余角∠COM.由已知∠EON＝20°，结合∠BOE＝∠NOE，即可求得∠BON.再根据“对顶角相等”即可求得∠COM的度数；要求∠NOC的度数，根据邻补角的定义即可．
解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°，∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
方法总结：(1)由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中，每一个角都等于90°；(2)在相交线中求角度，一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识．
【类型二】 运用垂线的概念判定两直线垂直
如图所示，已知OA⊥OC于点O，∠AOB＝∠COD.试判断OB和OD的位置关系，并说明理由．
解析：由于OA⊥OC，根据垂直的定义，可知∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.又∠AOB＝∠COD，则∠COD＋∠BOC＝90°，即∠BOD＝90°.再根据垂直的定义，得出OB⊥OD.
解：OB⊥OD.理由如下：因为OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.因为∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90°，所以∠BOD＝90°，所以OB⊥OD.
方法总结：由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直．判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°.
探究点二：垂线的性质(垂线段最短)
如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．
解析：连接AB，过点B作BC⊥MN即可．
解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短．
方法总结：与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”．
探究点三：点到直线的距离
如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5.
(1)试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；
(2)点C到直线AB的距离是多少？
解析：(1)点A到直线BC的距离就是线段AC的长；点B到直线AC的距离就是线段BC的长；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.点C到直线AB的距离就是线段CD的长，可利用面积求得．
解：(1)点A到直线BC的距离是3；点B到直线AC的距离是4；
(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，所以5CD＝3×4，所以CD＝.所以点C到直线AB的距离为.
方法总结：点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线，垂线段的长度才是这一点到直线的距离．
引出研究本节课要学习知识的必要性，清楚新知识的引出是由于实际生活的需要
学生积极参与学习活动，为学生动脑思考提供机会，发挥学生的想象力和创造性
体现教师的主导作用
学以致用，
举一反三
教师给出准确概念，同时给学生消化、吸收时间，当堂掌握
例2由学生口答，教师板书，
课堂检测
1.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC的动点，则AP的长不可能是【 】
A.2.2 B.3 C.4 D.5
2．过一条线段外一点作这条线段的垂线，那么垂足的位置( )
A．在线段上 B．在线段的某端点处
C．在线段的延长线上 D．以上都有可能
3．在平面内，由于OA⊥MN，OB⊥MN，故OA、OB在同一条直线上，理由__________________.
4.如图，张老汉准备把河水引到水池A中,他先画AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB挖渠，则能使所挖的渠道最短，他这样设计的依据是 .
检验学生学习效果，学生独立完成相应的练习，教师批阅部分学生，让优秀生帮助批阅并为学困生讲解.
总结提升
总结本节课的主要内容：
1．垂线的概念：
两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2．垂线的作法
3．垂线的性质：
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
板书设计
2.1.2 两条直线的位置关系
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
（二）探索新知 例1、例2
（四）课堂练习 练习设计
本课作业
教材P43随堂练习1、2
本课教育评注（实际教学效果及改进设想）
2.1.2两直线的位置关系
一、教学目标
1.会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线；
2.过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用；
3.初步尝试进行简单的推理.
二、课时安排
1课时
三、教学重点
垂线的定义
四、教学难点
对垂线段的性质的理解
五、教学过程
（一）导入新课
观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？
（二）讲授新课
第一环节 走进生活，引入垂直
从上图中抽象出垂直的概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。通常用“⊥”表示两直线垂直.21cnjy.com
第二环节 动手实践，探究新知
动手画一画1：
工具1：你能借助三角尺或者量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
工具2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
说出你的画法和理由.
工具3：你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！请说明理由。
让学生尝试多种方法画垂线.
动手画一画2：
1.请画出直线m和点A,你有几种画法？
2.过点A画直线m的垂线，你能画出多少条？
师生共同归纳：
1.点A和直线m的位置关系有两种：点A可能在直线m上，也可能在直线m外.
2.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
动手画一画3：
请画出直线l外一点P,做PO⊥l,O是垂足，在直线上取点A,B,C,比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？21·cn·jy·com
师生共同归纳：
1.线段PO的长度叫做点P到直线l的距离.
2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
（三）重难点精讲
动手画一画四4：
如图：一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两所学校。
问题1：汽车行驶时，会对公路两旁的学校造成一定的噪音影响。当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大？在图中标出来。21世纪教育网版权所有
问题2：当汽车由A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大？越来越小？
问题3：在哪一段对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大？(用文字表达)
（四）归纳小结
1.垂线的定义
2.点到线的距离
3.垂线段的性质
（五）随堂检测
1.如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下面结论中正确的有（ ）个.
①点B到AC的垂线段是线段AB；②线段AC是点C到AB的垂线段；
③线段AD是点A到BC的垂线段；④线段BD是点B到AD的垂线段.
A、1个；B、2个；C、3个；D、4个。
2. 点O在直线AB上，OC平分∠BOD，OE平分∠AOD，则OE和OC有何位置关系？请简述你的理由.21教育网
六、板书设计
2.1.2两条直线的位置关系
垂线定义
垂线段最短
七、作业布置
1.家庭作业：完成本节课的同步练习；
2.预习作业：完成导学案《2.2.1》预习案
八、教学反思
课件16张PPT。七年级下册2.1.2 两条直线的位置关系在奥运会的跳远比赛中，裁判员在测量运动员的跳远成绩时，拉紧的皮尺与起跳线有什么关系？这样做的依据是什么？
提示：垂直.因为直线外一点到
这条直线的垂线段的长度才是
点到直线的距离.【例】如图,∠ACB=90°,D是AB上一点，且∠ADC=∠BDC,请写出图中互相垂直的线段，并简要说明理由.
【解题探究】图中互相垂直的线段有AC⊥BC,AB⊥CD,AD⊥CD,BD⊥CD.
理由如下：因为∠ACB=90°,所以AC⊥BC(垂直的定义)，因为∠ADC=∠BDC, 又因为∠ADC+∠BDC=180°,所以∠ADC=∠BDC=90°,所以AB⊥CD,AD⊥CD,BD⊥CD(垂直的定义).探究点一 垂线的概念及画法探究点二 垂线的性质及点到直线的距离
【例】如图，AC⊥BC,CD⊥AB，
(1)不用刻度尺，试比较AC与AB,AC与CD,BC与CD的长短.
(2)点A到直线BC、点B到直线AC的距
离分别是哪条线段的长度.【解题探究】(1)因为AC⊥BC，
所以在点A与直线BC上所有点的连线中线段AC最短，所以AC＜AB(填“>”“<”或“=”)，
同理因为CD⊥AB，所以在点C与直线AB上所有点的连线中线段CD最短,所以AC＞CD，BC＞CD(填“>”“<”或“=”).
(2)因为AC⊥BC，点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，所以线段AC的长度表示点A到直线BC的距离，线段BC的长度表示点B到直线AC的距离.过一点画已知直线的垂线的三个步骤
1.靠，让三角尺的一条直角边紧靠在已知直线上.
2.移，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边过已知点.
3.画，沿不与已知直线重合的直角边画一直线，则该直线就是已知直线的垂线.课堂小结认识垂线及其性质的三点注意
(1)线段和射线都有垂线.
(2)点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数值，而垂线段是一个图形，对此要分清楚.
(3)在实际问题中，确定路径最短或最短距离问题时，首先将实际问题转化成数学问题，再作出垂线，并求出具体数值.1.下列说法中，不正确的是( )
(A)在同一平面内，经过一点只能画一条直线和已知直线垂直
(B)一条直线可以有无数条垂线
(C)在同一平面内，过射线的端点与该射线垂直的直线只有一条
(D)过直线外一点并过直线上一点可画一条直线与该直线垂直
【解析】选D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过直线外一点并过直线上一点不一定有一条直线与已知直线垂直.故D错.2.如图，点D在直线AB上，当∠1与∠2具备条件________时，CD与AB的位置关系是垂直.
【解析】因为∠1与∠2互补，所以当∠1＝∠2=90°时，CD与AB垂直.
答案：∠1=∠23.如图，三条直线AB，CD和EF相交于点O，∠AOE=40°,
∠BOD=50°，则图中互相垂直的两条直线是________.
【解析】因为∠AOE和∠BOF是对顶角，所以∠BOF=∠AOE =40°，又∠BOD=50°，所以∠DOF=∠BOD+∠BOF=90°，所以EF⊥CD.
答案：EF和CD4.已知直线L外一点P,则点P到直线L的距离是指( )
(A)点P到直线L的垂线的长度
(B)点P到直线L的垂线
(C)点P到直线L的垂线段的长度
(D)点P到直线L的垂线段
【解析】选C.点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度.5.如图，AB丄BD于点B，CD丄BD于点D，则∠ABD=________，∠CDB=_________.
【解析】由垂直的定义得，∠ABD=90°,∠CDB=90°.
答案：90° 90°6.如图所示，A，D是直线m1上的两点，B，C是直线m2上的两点，且AB⊥BC，CD⊥AD.
(1)点A到直线m2的距离是
________.
(2)点C到直线m1的距离是
________.
(3)点C到点A的距离是________.【解析】因为AB⊥BC，所以线段AB的长度是点A到直线m2的距离；因为CD⊥AD，所以线段CD的长度是点C到直线m1的距离；点C到点A的距离是线段AC的长度.
答案：(1)线段AB的长度 (2)线段CD的长度
(3)线段AC的长度7.如图，直线AB，CD，EF都经过点O，且AB⊥CD，∠COE=35°，求∠DOF，∠BOF的度数.
【解析】因为∠DOF与∠COE是
对顶角，所以∠DOF=∠COE=
35°，又因为AB⊥CD，所以
∠BOD=90°，所以∠BOF=∠DOF+
∠BOD=35°+90°=125°.再见！课件20张PPT。七年级下册2.1.2两条直线的位置关系情境导入观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？本节目标预习反馈1.如图，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ．则∠SQT等于（ ）
A. 42° B. 64° C. 48° D. 24° A预习反馈2.如图，计划把池中的水引到C处，可过点C作CD⊥AB于D，然后沿CD开渠，可使所开的渠道最短.这种设计的依据是______ __.垂线段最短课堂探究两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。通常用“⊥”表示两直线垂直.课堂探究动 手 画 一 画 1工具1：你能借助三角尺或者量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
工具2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
说出你的画法和理由.
工具3：你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！请说明理由。课堂探究课堂探究1.请画出直线m和点A,你有几种画法？
2.过点A画直线m的垂线，你能画出多少条？动 手 画 一 画 2课堂探究1.点A和直线m的位置关系有两种：点A可能在直线m上，也可能在直线m外.
2.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
?课堂探究请画出直线l外一点P,做PO⊥l,O是垂足，在直线上取点A,B,C,比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？动 手 画 一 画 3课堂探究线段PO的长度叫做点P到直线l的距离.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.如图：一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两所学校。
问题1：汽车行驶时，会对公路两旁的学校造成一定的噪音影响。当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大？在图中标出来。
问题2：当汽车由A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大？越来越小？
问题3：在哪一段对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大？( 用文字表达)典例精析动 手 画 一 画 4汽车行驶时，会对公路两旁的学校造成一定的噪音影响。当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大？在图中标出来。典例精析典例精析当汽车由A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大？越来越小？当汽车由A向P行驶时,对M学校影响越来越大，由P向B行驶时,对M学校影响越来越小.当汽车由A向Q行驶时,对N学校影响越来越大，由Q向B行驶时,对N学校影响越来越小.典例精析在哪一段对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大？( 用文字表达)当汽车由P向Q行驶时,对M学校影响越来越小，对N学校影响越来越大.随堂检测1.如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下面结论中正确的有（ ）个.
①点B到AC的垂线段是线段AB；②线段AC是点C到AB的垂线段；
③线段AD是点A到BC的垂线段；④线段BD是点B到AD的垂线段.
A、1个； B、2个； C、3个； D、4个. D2.点O在直线AB上，OC平分∠BOD，OE平分∠AOD，则OE和OC有何位置关系？请简述你的理由.随堂检测解： OE和OC互相垂直.因为∠DOE等于∠AOD的一半， ∠CODE等于∠DOB的一半，所以∠EOC等于180的一半，即90.本课小结垂直的定义两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。通常用“⊥”表示两直线垂直.垂线段的性质直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.两条直线的位置关系作业布置家庭作业完成本节的同步练习预习作业预习《2.2.1探索直线平行的条件》导学案中的“预习案”
