2.2.1探索直线平行的条件
一、夯实基础
1.如图，与∠2构成同位角的是（ ）
A.∠5 B.∠6 C.∠7 D.∠8
2.如图所示，是同位角是的___________.
3.如图③ ，∵∠1=∠2，∴_______∥________（ ）
∵∠2=∠3，∴_______∥________（ ）
4.如图⑦，∠D=∠EFC，那么（ ）
A．AD∥BC B．AB∥CD
C．EF∥BC D．AD∥EF
5.如图6，三条直线两两相交，其中同位角共有（ ）
A.6对 B.8对 C.12对 D.16对21世纪教育网版权所有
二、能力提升
6.在同一平面内有3条直线，如果其中只有两条平行，那么它们的交点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
7.若两条平行线被第3条直线所截，则一组同位角的平分线互相（ ）
A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交
三、课外拓展
8.如图所示，请填写一个你认为恰当的条件：_________，使AB∥DC．
四、中考链接
9.在如图给出的过直线外一点作已知直线l1的平行线l2的方法，其依据是 .
10.如图，直线a、b被直线c所截，若要a∥b，需增加条件 （填一个即可）．
参考答案
一、夯实基础
1.D
2.∠1和∠4
3.AB∥DE,同位角相等，两直线平行；B∥EF,同位角相等，两直线平行.
4.D
5.C
二、能力提升
6.C
7.B
三、课外拓展
8.∠5和∠A.
四、中考链接
9.同位角相等，两直线平行
10.∠1=∠3
2.2.1 探索直线平行的条件
一、选择题
1．如图，下列条件中能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，下列推理中正确的是（ ）
A． ∴
B． ∴
C． ∴
D． ∴
3．已知如图AB、BE被AC所截，下列说法不正确的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是同位角 D． 与不是同位角
4．已知如图：直线AB、CD被直线EF所截，则（ ）
A．同位角相等 B．内错角相等
C．同旁内角互补 D．两对同旁内角的和是360°
5．已知如图直线被直线c所截，下列条件能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，直线都与c相交，由下列条件能推出的是（ ）
① ② ③ ④
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
二、填空题
7．如图，；．；理由是____________．
8．如图，，理由是____ __；
若，要使．
9．如图，与______互补，可以判定，与______互补，可以判定．
10．在横线上填空，并在括号内填写理由．
（1） ∴（ ）
（2） ∴（ ）
11．点D、E、F分别在AB、AC、BC上
（1） ∴
（2） ∴
（3） ∴
（4） ∴
三、解答题
12．如图，直线DE、FM，分别交的两边于N、G，P、Q，若吗？如果平行请说明理由．
13．如图，已知：，则BC与EF平行吗？为什么？
参考答案
1．D 2．D 3．C 4．D 5．C 6．D
7．，同位角相等，两直线平行；
8．180°，同旁内角互补两直线平行；50°
9．
10．（1）同位角相等，两直线平行
（2）内错角相等，两直线平行
11．（1） （2） （3） （4）
12．平行，因为，所以，所以根据“同位角相等，两直线平行可得．
13．平行
2.2.1探索直线平行的条件
一、选择题
1.如图所示，下列判断错误的是( )
A.∠1和∠2是同旁内角
B.∠3和∠4是内错角
C.∠5和∠6是同旁内角
D.∠5和∠8是同位角
2．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是 ( )
3．如图，∠1和∠2是内错角，可看成是由直线( )．
A.AD，BC被AC所截构成
B.AB，CD被AC所截构成
C.AB，CD被AD所截构成
D.AB，CD被BC所截构成
4．如图，直线AB，CD与直线EF，GH分别相交，图中的同旁内角共有( )．
A.4对 B.8对
C.12对 D.16对
二、填空题
5．如图所示，
(1)∠B和∠ECD可看成是直线AB、CE被直线______所截得的_______角；
(2)∠A和∠ACE可看成是直线_______、______被直线_______所截得的______角．
6．如图所示，
(1)∠AED和∠ABC可看成是直线______、______被直线______所截得的_______角；
(2)∠EDB和∠DBC可看成是直线______、______被直线_______所截得的______角；
(3)∠EDC和∠C可看成是直线_______、______被直线______所截得的______角．
7.如图所示，在∠1、∠2、∠3、∠4中，
(1)同位角有____对，它们是____；
(2)内错角有____对，它们是____；
(3)同旁内角有____对，它们是____．
8.探究题：
(1)如图①，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有____对，同旁内角有____对；21世纪教育网版权所有
(2)如图②，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有____对，同旁内角有____对；21教育网
(3)根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有____对，内错角有____对，同旁内角有____对（用含n的式子表示）．21cnjy.com
三、解答题
9.如图所示，二条直线两两相交，形成12个角，其中同位角有几对？内错角有几对？同旁内角有几对？
10.如图所示，图中数字表示的角哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？
参考答案
一、选择题
1.C
2.C解析：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的角叫做同位角，所以C选项中的∠1和∠2不是同位角，故选C．21·cn·jy·com
3．B．
4．D．
二、填空题
5．(1)BD，同位．
(2)AB，CE，AC，内错．
6．(1)ED，BC，AB，同位；
(2)ED，BC，BD，内错；
(3)ED，BC，AC，同旁内．
7.(1)1 ∠4与∠1
(2)1 ∠2与∠3
(3)2 ∠4与∠3，∠1与∠2
8.解：(1)4 2 2;
(2)12 6 6;
(3)2n(n-1) n(n-1) n(n-1).
点拨：本题中的规律也可以这样总结：当n条水平线被一条竖直直线所截时，内错角和同旁内角各有n(n-1)对，而同位角的对数是内错角的对数的2倍，因此有2n（n-1）对．
三、解答题
9.解：分直线l1，l2，l3分别是截线三种情况讨论，对于每一种情况，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对，所以三种情况分别共有4×3=12（对），2×3=6（对），2×3=6（对）．所以同位角共有12对，内错角共有6对，同旁内角共有6对.www.21-cn-jy.com
提示：(1)要求同位角、内错角和同旁内角的对数，题图①中的图形是“三线八角”的基本图形，所以容易得出；(2)把题图②中的图形进行拆分得3个“三线八角”的基本图形，即可求出；(3)当有n条水平直线，可以拆分成个“三线八角”的基本图形，从而得出规律．
10.解：同位角有∠1和∠3，∠5和∠6，内错角有∠2和∠4，∠1和∠6，
同旁内角有∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠4，∠3和∠5.
2.2.1探索直线平行的条件
一、选择题
1．如图所示，与∠A组成同位角，与∠B组成内错角的角分别有 ( )
A.2对，4对 B．4对，2对
C.2对，2对 D．4对，4对
2.如图所示，下列判断正确的是( )
A.有4对同位角，4对内错角，2对同旁内角
B．有4对同位角，4对内错角，4对同旁内角
C.有6对同位角，4对内错角，4对同旁内角
D．以上判断都不对
3．已知图①～④，
图① 图② 图③ 图④
在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有( )．
A.①②③④ B.①②③
C.①③ D.①
4．如图，下列结论正确的是( )．
A.∠5与∠2是对顶角 .B.∠1与∠3是同位角
C.∠2与∠3是同旁内角 D.∠1与∠2是同旁内角
二、填空题
5．如图，若直线a，b被直线c所截，在所构成的八个角中指出，下列各对角之间是属于哪种特殊位置关系的角?21教育网
(1)∠1与∠2是______；(2)∠5与∠7是______；
(3)∠1与∠5是_______；(4)∠5与∠3是_____；
(5)∠5与∠4是_______；(6)∠8与∠4是______；
(7)∠4与∠6是_______；(8)∠6与∠3是______；
(9)∠3与∠7是______；(10)∠6与∠2是______．
6．如图所示，图中用数字标出的角中，同位角有______；内错角有______；同旁内角有______．
7.如图所示，____是∠1和∠6的同位角，____是∠1和∠6的内错角，____是∠6的同旁内角．
8.如图所示，直线AF和AC被直线EB所截，∠EBC的同位角是____，∠EBC的同旁内角是____，∠EBC的内错角是____；直线DC、AC被直线AF所截，∠FAC的同位角是____，∠FAC的内错角是____，∠FAC的同旁内角是____.21世纪教育网版权所有
三、解答题
9.如图所示，三角形ABC、四边形ABCD、五边形ABCDE中各有多少对同旁内角？分别是哪几对同旁内角？21cnjy.com
10.图所示的∠1与∠2都是同旁内角吗？
参考答案
一、选择题
1.D
2.C
3．C．
4．D．
二、填空题
5．(1)邻补角，(2)对顶角，(3)同位角，(4)内错角，
(5)同旁内角，(6)同位角，(7)内错角，(8)同旁内角，
(9)同位角，(10)同位角．
6．同位角有：∠3与∠7、∠4与∠6、∠2与∠8；
内错角有：∠1与∠4、∠3与∠5、∠2与∠6、∠4与∠8；
同旁内角有：∠2与∠4、∠2与∠5、∠4与∠5、∠3与∠6．
7.∠3 ∠5 ∠4 解析：两个角都在截线的同旁，且分别处在被截的两条直线同侧，具有这样的位置关系的一对角叫做同位角，21·cn·jy·com
∴∠3是∠1和∠6的同位角；
∵两个角分别在截线的两侧，且在被截的两条直线之间，具有这样的位置关系的一对角叫做内错角，
∴∠5是∠1和∠6的内错角；
∵两个角都在截线的同一侧，且在被截的两条直线之间，具有这样的位置关系的一对角叫做同旁内角，
∴∠4是∠6的同旁内角．
8.∠EOF ∠BOF ∠AOB ∠FOC ∠AOD ∠AOC
三、解答题
9.解：在三角形ABC中，∠A与∠B，∠B与∠C，∠C与∠A均为同旁内角，共有3对.
在四边形ABCD中，∠A与∠B，∠B与∠C，∠C与∠D，∠A与∠D均为同旁内角，共有4对．
在五边形ABCDE中，∠A与∠B，∠B与∠C，∠C与∠D，∠D与∠E，∠A与∠E均为同旁内角，共有5对.www.21-cn-jy.com
10.解：题图中的∠1与∠2都是同旁内角.
2.2.1 探索直线平行的条件
一、预习与质疑（课前学习区）
（一）预习内容：P44-P45
（二）预习时间：10分钟
（三）预习目标：
1．理解并掌握同位角的概念，能够判定同位角并确定其个数；
2．能够运用同位角相等判定两直线平行；
3．理解并掌握平行公理及其推论，能够运用其解决实际问题．
（四）学习建议：
1．教学重点：能够运用同位角相等判定两直线平行；
2．教学难点：能够运用同位角相等判定两直线平行；
（五）预习检测：
1.（1）在同一平面内两条直线的位置关系有 几种？分别是什么？
（2）如图2-9，两条直线相交所构成的四个角中分别有何关系？
2.装修工人如图2-10正在向墙上钉木条。如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？21教育网
解：当木条a与墙壁边缘所夹角是 度时，木条a与木条b_______。
活动一：教材精读
1.如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b，c，转动木条a
当∠1＞∠2时 当∠1=∠2时 当∠1＜∠2时
①直线a和b不平行 ②直线__________ ③直线____________
认识“三线八角”：两条直线被第三条直线所截，形成“三线八角”，具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角21·cn·jy·com
①∠1和∠2是同位角
②∠3和∠4是______
③∠5和 是同位角
④ 和∠8是同位角
注意： 同位角在被截直线的同一侧，在截线的同一方
判定两条直线平行的方法：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线 。 简称： 相等，两直线平行。21世纪教育网版权所有
用符号“____”表示，例如，直线a与直线b平行，记作_______。
实践练习：如图2-12：因为∠1=∠2根据 相等,两直线平行所以 ∥b
（六）生成问题：通过预习和做检测题你还有哪些疑惑请写在下面。
二、落实与整合（课中学习区）
活动二：合作探究
你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？能画出几条？
在图2-13中，分别过点C，D画直线AB的平行线EF，GH，那么EF与GH又怎么样的位置关系？
解：（1）能过直线AB外一点画直线AB的平行线，只能画 条
（2）EF GH
归纳总结：①过直线外一点有且只有 直线与这条直线平行
②平行于同一直线的两条直线
实践练习：如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?为什么?21cnjy.com
解：
//
又且
（同角的的补角相等）
（ ）
// （平行于同一直线的两直线平行）
三、检测与反馈（课堂完成）
1．b∥a , c∥a , 那么 ，理由:
2.如右图所示,BE是AB的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C.
(1)由∠CBE=∠A可以判断______∥______,根据是_______________________.
(2)由∠CBE=∠C可以判断______∥______,根据是_________.
3. 如图所示,请写出能够得到直线AB∥CD的所有直接条件.
四、课后互助区
1.学案整理：整理“课中学习去”后，交给学习小组内的同学互检。
2.构建知识网络
互帮互助：
“我”认真阅读了你的学案，“我”有如下建议：________________________
“我”的签名：_____________
2.2.1探索直线平行的条件
预习案
一、预习目标及范围
能识别同位角，掌握“同位角相等，两直线平行”；
知道“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”；
知道“平行于同一条直线的两条直线平行”；
预习课本第44和45页.
二、预习要点
1.如果∠1和∠2相对于直线a、b和c的位置，都在直线a和b的上方，在直线c的同一侧.这两个角叫做 .21世纪教育网版权所有
2. 同位角 ，两直线 .
3.平行于同一条直线的两条直线 .
4.过直线外一点 直线与这条直线平行.
三、预习检测
1.如图，能与构成同位角的角有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2.如图,如果∠D=∠EFC,那么 ( )
A.AD∥BC B.EF∥BC C.AB∥DC D.AD∥EF21教育网
探究案
一、合作探究（9分钟），要求各小组组长组织成员进行合作探究、讨论。
探究：活动1.如图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所成夹角为多少度时，木条a与木条b才能平行？21cnjy.com
2.如果木条b与墙边边缘不垂直，那么木条a与墙壁边缘所成夹角为多少度时，木条a与木条b才能平行？
探究：活动2.如图，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条a，c转动木条b，观察∠1，∠2满足什么条件时木条a与b平行？21·cn·jy·com
2.转动木条b时，观察∠1和∠2的大小关系有几种？此时木条a与木条b的位置关系发生了什么变化？木条a何时与木条b平行？www.21-cn-jy.com
3.你能得出判断两条直线平行的方法吗？
探究：活动3：你还记得怎样用移动三角尺的方法画两条平行线吗？
你能用这种方法过已知直线外一点画它的平行线吗？尝试完成下面的画图的任务。
1.你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？能画几条？
2.分别边点C、D画直线AB的平行线EF、GH，那么EF和GH有怎样的位置关系？
二、小组展示（7分钟）
每小组口头或利用投影仪展示, 一个小组展示时，其他组要积极思考，勇于挑错，谁挑出错误或提出有价值的疑问，给谁的小组加分（或奖星）2·1·c·n·j·y
交流内容
展示小组（随机）
点评小组（随机）
____________
第______组
第______组
____________
第______组
第______组
三、归纳总结
1、本节课你学会了什么本领？
2、在本节课的学习过程中你还有那些困惑？
3、除了今天的方法外，你还能有其他说明两直线平行的办法吗？
四、随堂检测
1.如图，∠1和∠2是直线_______和直线________被直线_____所截得的同位角.
2.如图 ∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知）
∴AB∥CD( )
又∵∠1=∠CEF（已知）.
∴AB∥EF( )
∴CD∥EF( )
参考答案
预习检测
1、B
2、D
随堂检测
1、AF、EF、AB
2、∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知）
∴AB∥CD(垂直于同一条直线的两条直线平行)
又∵∠1=∠CEF（已知）.
∴AB∥EF( 同位角相等，两直线平行.)
∴CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)
2.2.1探索直线平行的条件
一、教学目标
1.通过探索直线平行的条件的过程，掌握识别同位角判定直线平行的方法，并能应用它解决一些问题.
2.会用三角尺过直线外的一点画这条直线的平行线.
3.经历观察，操作，想象，推理，交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力.
二、课时安排
1课时
三、教学重点
会辨认同位角，并掌握“同位角相等，两直线平行”.
四、教学难点
将实际问题转化为数学问题并给予合理的解答.
五、教学过程
（一）导入新课
观察下面每幅图中的直线a,b，它们分别平行吗？你能验证吗？
三组直线看上去似乎不平行，其实它们分别都是平行的，这是由于背景造成的视觉误差，让学生体会到若按照平行线的定义仅凭观察来判断直线的平行关系是不够的，这就需要进一步寻求证据，本节课老师将和同学们一起来探索直线平行的条件，由此引入新课.21世纪教育网版权所有
（二）讲授新课
活动一：
1.如图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所成夹角为多少度时，木条a与木条b才能平行？21教育网
2.如果木条b与墙边边缘不垂直，那么木条a与墙壁边缘所成夹角为多少度时，木条a与木条b才能平行？
先由学生举手回答问题，并进行交流。然后由学生自由发表意见，根据讨论情况，安排学生分组讨论。讨论后由学生到讲台上演示，并讲解。其他学生观察，体会直线与直线的夹角的大小对直线位置的影响。21cnjy.com
活动二：
1.如图，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条a，c转动木条b，观察∠1，∠2满足什么条件时木条a与b平行？21·cn·jy·com
2. 转动木条b时，观察∠1和∠2的大小关系有几种？此时木条a与木条b的位置关系发生了什么变化？木条a何时与木条b平行？www.21-cn-jy.com
学生四人一组，拿出准备好的纸木条进行探究试验，在实验的过程中通过测量，观察等得出；∠1和∠2共有三种情况，2·1·c·n·j·y
（1）∠1>∠2 时两根木条不平行
（2）∠1=∠2时两根木条平行
（3）∠1<∠2时两根木条不平行
结论：只有当∠1=∠2时，木条a平行木条b.
活动三：
教师引导学生观察图形，∠1和∠2相对于直线a、b和c的位置，都在直线a和b的上方，在直线c的同一侧。这两个角的名称是“同位角”，顾名思义，就是位置相同的角。
继而得出：同位角相等，两直线平行。
（三）重难点精讲
活动四：
你还记得怎样用移动三角尺的方法画两条平行线吗？你能用这种方法过已知直线外一点画它的平行线吗？尝试完成下面的画图的任务。学生画图，教师个别指导。【来源：21·世纪·教育·网】
1.你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？能画几条？
2.分别边点C、D画直线AB的平行线EF、GH，那么EF和GH有怎样的位置关系？
师生共同归纳：
1.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
2.平行于同一条直线的两条直线平行。
（四）归纳小结
1、本节课你学会了什么本领？
2、在本节课的学习过程中你还有那些困惑？
3、除了今天的方法外，你还能有其他说明两直线平行的办法吗？
（五）随堂检测
1.如图，∠1和∠2是直线_______和直线________被直线_____所截得的同位角.
2.如图 ∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知）
∴AB∥CD( )
又∵∠1=∠CEF（已知）.
∴AB∥EF( )
∴CD∥EF( )
六、板书设计
2.2.1探索直线平行的条件
同位角相等，两直线平行.
1.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
2.平行于同一条直线的两条直线平行。
七、作业布置
1.家庭作业：完成本节课的同步练习；
2.预习作业：完成导学案《2.2.2》预习案
八、教学反思
2.2.1 探索直线平行的条件
教学目标
1．理解并掌握同位角的概念，能够判定同位角并确定其个数；
2．能够运用同位角相等判定两直线平行；
3．理解并掌握平行公理及其推论，能够运用其解决实际问题．
教学重、难点
重点：能够运用同位角相等判定两直线平行；
难点：能够运用同位角相等判定两直线平行；
导学方法
启发式教学、小组合作学习
导学步骤
导学行为（师生活动）
设计意图
回顾旧知，引出新课
数学来源于生活，生活中处处有数学，观察下面的图片，你发现了什么？
以上的图片中都有直线平行，这将是我们这节课学习的内容．
从学生已有的知识入手，引入课题
新知探索
例题
精讲
合作探究
探究点一：同位角
【类型一】 判断同位角
下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是( )
解析：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方向，是同位角，即在图中可找到形如“F”的模型；选项C中，∠1与∠2没有公共直线，不是同位角．故选C.
方法总结：判断两个角是否是同位角的有效方法——描图法：①把两个角在图中“描画”出来；②找到两个角的公共直线；③观察所描的角，判断所属“字母”类型是否为“F”型．
【类型二】 数同位角的个数
如图，直线l1，l2被l3所截，则同位角共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析：图中同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8共4对．故选D.
方法总结：数同位角的个数时，应从各个方向逐一观察，避免重复或漏数．
探究点二：利用同位角判定两直线平行
如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD.
解析：要说明AB∥CD，可转化为说明∠1与其同位角相等，这由∠2的对顶角容易证出．
解：因为∠2＝∠EHD(对顶角相等)，又因为∠2＝70°，所以∠EHD＝70°.因为∠1＝70°，所以∠EHD＝∠1，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
方法总结：本题考查的是平行线的判定，熟知“同位角相等，两直线平行”是解答此题的关键．
探究点三：平行公理及其推论
【类型一】 应用平行公理及其推论进行判断
有下列四种说法：
(1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(2)同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；(4)平行于同一条直线的两条直线平行．其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：根据平行公理、垂线的性质进行判断．(1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；(2)同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，正确；(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；(4)平行于同一条直线的两条直线平行，正确．正确的有4个．故答案为D.
方法总结：平行线公理和垂线的性质两者比较相近，特别注意，对于平行公理中，必须是过直线外一点可以作已知直线的平行线，过直线上一点不能做已知直线的平行线．但垂线的性质中，无论点在平面内何处都能作出已知直线的唯一垂线．
【类型二】 应用平行公理进行推论论证
四条直线a，b，c，d互不重合，如果a∥b，b∥c，c∥d，那么直线a，d的位置关系为________．
解析：由于a∥b，b∥c，根据平行公理的推论得到a∥c，而c∥d，所以a∥d.故答案为a∥d.
方法总结：平行公理的推论是证明两条直线相互平行的理论依据．
【类型三】 平行公理推论的实际应用
将一张长方形的硬纸片ABCD对折后打开，折痕为EF，把长方形ABEF平摊在桌面上，另一面CDFE无论怎样改变位置，总有CD∥AB存在，为什么？
解析：根据平行公理的推论得出答案即可．
解：∵CD∥EF，EF∥AB，∴CD∥AB.
方法总结：利用平行公理的推论进行证明时，关键是找到与要证两条直线都平行的第三条直线进行说明．
引出研究本节课要学习知识的必要性，清楚新知识的引出是由于实际生活的需要
学生积极参与学习活动，为学生动脑思考提供机会，发挥学生的想象力和创造性
体现教师的主导作用
学以致用，
举一反三
教师给出准确概念，同时给学生消化、吸收时间，当堂掌握
例2由学生口答，教师板书，
课堂检测
1．如图，过点M作直线AB的平行线，下列说法正确的是【 】
A.不能作 B．只能作一条
C．能作两条 D．能作无数条
2.下列说法正确的有【 】
①不相交的两条直线是平行线；②在同一个平面内，两条不相交的线段是平行线；③在同一个平面内，没有交点的直线是平行线.
A.0个 B．1个 C．2个 D．3个
3.在同一平面内有三条直线，如果其中有两条且只有两条平行，那么它们【 】
A.没有交点 B．只有一个交点
C．有两个交点 D．有三个交点
4．小李在一张白纸上，先画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条时，发现第十条直线与第一条直线的位置关系是_______.
检验学生学习效果，学生独立完成相应的练习，教师批阅部分学生，让优秀生帮助批阅并为学困生讲解.
总结提升
1．同位角的概念
2．运用同位角判定两条直线平行：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
3．平行公理及其推论：
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
板书设计
2.2.1探索直线平行的条件
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
（二）探索新知 例1、例2
（四）课堂练习 练习设计
本课作业
教材P46随堂练习
本课教育评注（实际教学效果及改进设想）
课件17张PPT。七年级下册2.2.1 探索直线平行的条件回顾与思考不在同一平面内——在同一平面内异面直线相交平行同一平面内，不相交同一平面内(无公共点)——(1)同一平面内；(2) 没有交点． 1、你学过了哪些具有特殊位置关系的角? 2、两条直线相交，交成几个角? 这些角都有什么样的关系?对顶角.两条直线相交成的四个角中有对顶角 对.两3、若两条直线被第三条直线所截，形成几个角?13752486三条直线构成的八个角之间除以上这些角的关系外，还有什么样的关系．这就是我们这节课要研究的内容之一．平行线的定义——
“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线” —— 在日常生活中人们经常用到它。如图,装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁的边缘垂直，那么木条a与墙壁的边缘所夹的角为多少度时，才能使木条a与木条b平行？答: 木条 a 与墙壁的边缘 也垂直时
才能使木条a与木条b平行.平行在日常生活中的应用 如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b、c，转动木条a , 观察∠1， ∠2满足什么条件时直线a与b平行.①直线a和b不平行②直线a∥b③直线a和b不平行做一做具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角. 上述三个木条所成角的图可统一画成如图2—6. 同 位 角 的 定 义 你能说出同位角的特征吗?位置相同的一对角叫做同位角.两直线被第三直线所截, 位于两直线同一方、 且在第三直线同一侧的两个角， 构成
的八个角中， 说明? 同位角都有一条边是在同一条直线上(且方向相同 )，这条直线就是第三条直线. 两直线被第三直线所截构成的八个角中，位于两直线同一方、且在第三直线同一侧的两个角，叫做同位角.同位角 定义 的 理解在同一条直线上 方向相同 没有 公共顶点和公共边；学会从复杂图形中分解出简单图形将上述互为同位角的两个角，从图2—6中分解出来，画出如图①②③④的草图，从这些简单图形中容易识别出∠1和∠2都是同位角．右上左上左下右下∠1和∠2不是同位角，练 一 练 如图中的∠1和∠2是同位角吗? 为什么?1212∵∠1和∠2无一边共线。∠1和∠2是同位角，∵∠1和∠2有一边共线、同向，且不共项点。判断两条直线平行的方法：回到两直线平行的判断上来不平行∥不平行由此可得：两直线 平行的公理同位∴ a ∥b。∵同位角相等，两直线平行，∠1和∠2同位角，相等，48.5°如何判断两条直线平行21 48.5°议一议你还记得怎样用移动三角尺的方法画两条平行线吗？同位角相等，两直线平行.一、放二、靠三、推四、画请说出其中的道理。已知直线外一点画它的平行线议一议 1、找出下面点阵图中互相平行的线段，并说明理由.
（点阵中相邻的四个点构成正方形）① AB∥CD.② EF∥GH.∵ ∠AMP=∠CPF=45°∴ AB∥CD.∵ ∠AMP=∠ANQ=45°,∴ EF∥GH.EGBDFH请看下面的推理是否正确∵ ∠AMP=∠CQH∴ EF∥GH。ACMNPQp55随堂练习2、如图，∠1 = ∠2 = 55°， ∠3等于多少度？
直线AB、CD平行吗？ 说明你的理由。第2题图312ABFCDE∵ ∠1 = ∠2 = 55° ∠3 = ∠2， ∴ ∠3 =∠1= 55° ∴ AB∥CD. （ ）对项角相等随堂练习每得出一个两直线平行的结论，都要依序完成下列三个过程：小结本节课你学到了什么?①找出同位角； ②说明这两个同位角相等； ③用公理得出“平行”的结论。教材p.46 习题2.3 第1、2题。再见！课件17张PPT。七年级下册2.2.1探索直线平行的条件情境导入观察下面每幅图中的直线a,b，它们分别平行吗？你能验证吗？本节目标预习反馈1.如图，能与 构成同位角的角有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个B预习反馈2.如图,如果∠D=∠EFC,那么 ( )
A.AD∥BC B.EF∥BC C.AB∥DC D.AD∥EFD课堂探究1.如图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所成夹角为多少度时，木条a与木条b才能平行？2.如果木条b与墙边边缘不垂直，那么木条a与墙壁边缘所成夹角为多少度时，木条a与木条b才能平行？90 °木条a与墙壁边缘所成夹角与木条b与墙边边缘所夹角相同时课堂探究1.如图，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条a，c转动木条b，观察∠1，∠2满足什么条件时木条a与b平行？∠1=∠2课堂探究2. 转动木条b时，观察∠1和∠2的大小关系有几种？此时木条a与木条b的位置关系发生了什么变化？木条a何时与木条b平行？（1）∠1>∠2 时两根木条不平行
（2）∠1=∠2时两根木条平行
（3）∠1<∠2时两根木条不平行课堂探究∠1和∠2相对于直线a、b和c的位置，都在直线a和b的上方，在直线c的同一侧。这两个角的名称是“同位角”，顾名思义，就是位置相同的角。课堂探究同位角相等，两直线平行∵ ∠1= ∠2，
∴a ∥b.你还记得怎样用移动三角尺的方法画两条平行线吗？典例精析1.你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？能画几条？
2.分别边点M、N画直线AB的平行线EF、GH，那么EF和GH有怎样的位置关系？典例精析典例精析1.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.2.平行于同一条直线的两条直线平行.随堂检测1.如图，∠1和∠2是直线_____和直线______被直线____所截得的同位角.AFEFAB2.如图 ∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知）
∴AB∥CD( )
又∵∠1=∠CEF（已知）.
∴AB∥EF( )
∴CD∥EF( )同位角相等，两直线平行.随堂检测同位角相等，两直线平行.平行于同一条直线的两条直线平行.本课小结平行判定方法同位角相等，两直线平行.平行公理过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.探索直线平行的条件03平行于同一条直线的两条直线平行.平行判定方法作业布置家庭作业完成本节的同步练习预习作业预习《2.2.2探索直线平行的条件》导学案中的“预习案”2.2.2探索直线平行的条件
一、夯实基础
1.如图，与∠2构成内错角的是（ ）
A.∠5 B.∠6 C.∠7 D.∠8
2.如图所示，是内错角是的___________.
3. 如图,若∠1=∠5,则____∥_____;如果∠3+∠4+∠5+∠6=180°,那么____∥_____.
4.如图,下列判断不正确的是( )
A.因为∠1=∠4,所以DE∥AB B.因为∠2=∠3,所以AB∥EC
C.因为∠5=∠A,所以AB∥DE D.因为∠ADE+∠BED=180°,所以AD∥BE
5.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )21世纪教育网版权所有
A．第一次向左拐300，第二次向右拐300
B．第一次向右拐500，第二次向左拐1300
C．第一次向右拐500，第二次向右拐1300
D．第一次向左拐500，第二次向左拐1300
二、能力提升
6.如图,能判断AB∥CE的条件是( )
A.∠A=∠ACE B.∠A=∠ECD C.∠B=∠BCA D.∠B=∠ACE21教育网
7. 如图，已知∠1=∠2，则在结论：（1）∠3=∠4，（2）AB∥CD，（3）AD∥BC中（ ）
A．三个都正确 B．只有一个正确; C．三个都不正确 D．只有一个不正确
三、课外拓展
8. 如图所示，请填写一个你认为恰当的条件：_________，使AD∥BC．
四、中考链接
9.如图所示，已知∠A=∠1，∠D=∠2，则AB与CD的位置关系是 ．
10.如图3所示，下列条件中不能判定DE∥BC的是（ ）
A．∠1=∠C B．∠2=∠3 C．∠1=∠2 D．∠2+∠4=180°
参考答案
一、夯实基础
1.B
2.∠3和∠4
3.AB∥DC, AD∥BC.
4.B
5.A
二、能力提升
6.A
7.B
三、课外拓展
8.∠ADB=∠DBC等
四、中考链接
9.AB∥DC
10.C
2.2.2 探索直线平行的条件
一、选择题:
1.如图1，下列推理错误的是( )
A.∵∠1＝∠2,∴a∥b B.∵∠1＝∠3,∴a∥b
C.∵∠3＝∠5,∴c∥d D.∵∠2＋∠4＝180°,∴c∥d
(1) (2) (3)
2.如图2，3条直线两两相交，其中同位角共有（ ）
A.6对 B.8对 C.12对 D.16对
3.如图3，在下列四组条件中，能判定AB∥CB的是（ ）
A.∠1＝∠2; B.∠3＝∠4;
C.∠BAD＋∠ABC＝180°; D.∠ABD＝∠BDC
4.在同一平面内有3条直线，如果其中只有两条平行，那么它们的交点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
5.若两条平行线被第3条直线所截，则一组同位角的平分线互相（ ）
A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交
6.如图，直线a、b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2, ②∠3＝∠6, ③∠4＋∠7＝180°, ④∠5＋∠3＝180°，其中能判断a∥b的是（ ）21教育网
A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.②④
二、填空题:
7、如图4，∠1和∠2是直线_______和直线________被直线_____所截得的同位角，∠2和∠3是直线_____和直线________被直线______所截得的__________角。21cnjy.com
(4) (5) (6) (7)
8、如图5，AC、BC分别平分∠DAB、∠ABE，且∠1与∠2互余， 则______∥_______，理由是________________________________。21·cn·jy·com
9、如图6所示，是同位角是的______________，是内错角的是________________，是同旁内角关系的是_______________________。www.21-cn-jy.com
10.如图7，∠B＝∠D＝∠E，那么图形中的平行线有___________________________，理由是_____________________________。2·1·c·n·j·y
三、解答题:
11.如图，∠ABC＝∠ADC、DE是∠ABC、∠ ADC的角平分线，
∠1＝∠2，求征DC∥AB。（7）
12.已知直线a、b、c在同一平面内，a∥b，a与c相交于p，那么b与c也一定相交，请说明理由，（7分）【来源：21·世纪·教育·网】
13.如图，∠B＝∠C，B、A、D三点在同一直线上，∠DAC＝∠B＋∠C，AE是∠DAC的平分线，求征：AE∥BC。（7分）21·世纪*教育网
14.如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN＝∠D NF，∠1＝∠2，那么MQ∥NP，试写出推理，（7分）www-2-1-cnjy-com
15.如图，已知∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，问直线平行吗？为什么？（8分）
16.平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？（8分）
参考答案
1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B
7.AF，EF，AB；AB，CD，EF，内错
8.GD；HE；同旁内角互补，两直线平行
9.∠1与∠4，∠3与∠4，∠4与∠5
10.CD∥EF，内错角相等，两直线平行
11.∵BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线
∴∠2=∠ABC，∠3=∠ADC
∵∠ABC=∠ADC
∴∠2=∠3
∵∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴DC∥AB
12.假定b与c不相交，即平行，b∥c
∵a∥b
∴a∥c这与a与c相交于p矛盾
故假设不成立
∴b与c一定相交
13.∵∠DAC=∠B+∠C，∠B=∠C
∴∠DAC=2∠B，∠1=∠2
∴∠1=∠B
∴AE∥BC
14.∵∠BMN=∠DNF，∠1=∠2
∴∠BMN+∠1=∠DNF+∠2
即∠QMN=∠PNF，MQ∥NP
15.平行
∵∠1+∠3=90°，∠2+（90°-∠3）
＝180°
∴∠3=90°-∠1，
∠2+90°-90°+∠1=180°
∴∠2+∠1=180°
∴l1∥l2
16.平面上的10条直线，若两两相交，最多出现45个交点， 现在只要求出现31个交点，就要减去14个交点，这样就要出现平行线，在某一方向上有5 条直线互相平行，则减少10个交点，若6条直线平行，则可减少15个交点， 所以这个方向上最多可取5条平线，这时还有4个点要去掉，转一个方向取3条平行线，即可减少3个交点，这时还剩下2条直线与1个要减去的点，只须让其在第三个方向上互相平行，如图所示：21世纪教育网版权所有
图表 1
2.2.2探索直线平行的条件
一、选择题
1.如图所示，给出下列条件：①∠1=∠2;②∠3=∠4;③∠A=∠CDE;④∠A+∠ADC=180°．其中，能推出AR∥CD的条件为 （ ）21世纪教育网版权所有
A.①④ B.②③
C.①③ D.①③④
2．如图，桌面上的木条b，c固定，木条a在桌面上绕点O旋转n°（0A．20 B．30 C．70 D．80
二、填空题
3．在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______．
4．平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则______．www.21-cn-jy.com
5．已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．
(1)如果∠2＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
(2)如果∠2＝∠5，那么____________．
(____________，____________)
(3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．
(____________，____________)
(4)如果∠5＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
(5)如果∠4＋∠6＝180°，那么____________．
(____________，____________)
(6)如果∠6＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
6.如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB∥AC的条件：____.
三、解答题
7．已知：三角形ABC及BC边的中点D．过D点作DF∥CA交AB于M，再过D点作DE∥AB交AC于N点．2·1·c·n·j·y
8．已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC．且∠1＝∠3．
求证：AB∥DC．
证明：∵∠ABC＝∠ADC，
( )
又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，
( )
∴∠______＝∠______．( )
∵∠1＝∠3，( )
∴∠2＝∠______．(等量代换)
∴______∥______．( )
9.如图所示，已知EF⊥EG，MG⊥EG，∠1= 35°，∠2=35°，EF与MG平行吗？AB与CD平行吗？为什么？21教育网
10．绘图员画图时经常使用丁字尺，丁字尺分尺头、尺身两部分，尺头的里边和尺身的上边应平直，并且一般互相垂直，也有把尺头和尺身用螺栓连接起来，可以转动尺头，使它和尺身成一定的角度．用丁字尺画平行线的方法如下面的三个图所示．画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是什么?
11．如图所示，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，使DE∥BC，如果∠ABC=30°，那么∠BDE应该是多少度？21·cn·jy·com
参考答案
一、选择题
1.D解析：①∵∠1=∠2，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴①符合题意；
②∵∠3=∠4，∴BC∥AD（内错角相等，两直线平行），但不能推出AB∥CD，∴②不符合题意；
③∵∠A=∠CDE，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，∴③符合题意；
④∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)，∴④符合题意．故选D．
2.B解析 根据“内错角相等，两直线平行’可得n°=100°- 70°= 30°.
二、填空题
3．相交、平行．
4．第三条直线平行，互相平行，a∥c.
5．(1)EF∥DC，内错角相等，两直线平行．
(2)AB∥EF，同位角相等，两直线平行．
(3)AD∥BC，同旁内角互补，两直线平行．
(4)AB∥DC，内错角相等，两直线平行．
(5)AB∥DC，同旁内角互补，两直线平行．
(6)AD∥BC，同位角相等，两直线平行．
6.∠C=∠EBD（答案不唯一）
三、解答题
7．略．
8．略．
9.解：EF∥MG，AB∥CD．
因为EF⊥EG，MG⊥EG，所以∠FEG=∠MGH=90°，所以EF∥MG(同位角相等，两直线平行)．
因为∠1=35°，∠2=35°，所以∠AEL=∠CGE=55°，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
10．同位角相等，两直线平行．
11.解：∠BDE应该是150°．
2.2.2探索直线平行的条件
一、选择题
1.下面是甲、乙、丙、丁四人的观点：
甲：同一平面内，两条直线的位置关系有相交、垂直、平行三种；
乙：在同一平面内，不平行的两条直线必垂直；
丙：在同一平面内，不垂直的两条直线必平行；
丁：在同一平面内，不相交的两条直线一定平行．
其中观点正确的是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
2．如图所示，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB，AC，AE，ED，EC，DB中，相互平行的线段有( )2·1·c·n·j·y
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
二、填空题
3．平行公理是：____________________________________________________________．
4．在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b平行，则记作______．
5．两条直线平行的条件(除平行线定义和平行公理推论外)：
(1)两条直线被第三条直线所截，如果____________，那么这两条直线平行．这个判定方法1可简述为：____________，两直线平行．www-2-1-cnjy-com
(2)两条直线被第三条直线所截，如果____________，那么____________．这个判定方法2可简述为：____________，____________．21cnjy.com
(3)两条直线被第三条直线所截，如果____________，那么________．这个判定方法3可简述为：____________，____________．21教育网
6．已知：如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
(1)∵∠B＝∠3(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(2)∵∠1＝∠D(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(3)∵∠2＝∠A(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(4)∵∠B＋∠BCE＝180°(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
7.如图，下列条件中：①AC⊥AD，AC⊥BC;②∠1=∠2，∠3=∠D；③∠4=∠5；④∠BAD+∠ABC=180°，其中，可得到AD∥BC的是____（填序号）．2-1-c-n-j-y
三、解答题
8．已知：点P是∠AOB内一点．过点P分别作直线CD∥OA，直线EF∥OB．
9．已知：如图，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
(1)分析：如图，欲证AB∥CD，只要证∠1＝______．
证法1：
∵∠1＝∠2，(已知)
又∠3＝∠2，( )
∴∠1＝_______．( )
∴AB∥CD．(___________，___________)
(2)分析：如图，欲证AB∥CD，只要证∠3＝∠4．
证法2：
∵∠4＝∠1，∠3＝∠2，( )
又∠1＝∠2，(已知)
从而∠3＝_______．( )
∴AB∥CD．(___________，___________)
10．已知：如图，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2．试确定射线DF与AE的位置关系，并说明你的理由．21世纪教育网版权所有
(1)问题的结论：DF______AE．
(2)证明思路分析：欲证DF______AE，只要证∠3＝______．
(3)证明过程：
证明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，( )
∴∠CDA＝∠DAB＝______°．(垂直定义)
又∠1＝∠2，( )
从而∠CDA－∠1＝______－______，(等式的性质)
即∠3＝＿＿＿．
∴DF＿＿＿AE．(＿＿＿＿，＿＿＿＿)
11．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°．试确定直线a与直线c的位置关系，并说明你的理由．21·cn·jy·com
(1)问题的结论：a______c．
(2)证明思路分析：欲证a______c，只要证______∥______且______∥______．
(3)证明过程：
证明：∵∠1＝∠2，( )
∴a∥______．(________，________)①
∵∠3＋∠4＝180°，( )
∴c∥______．(________，________)②
由①、②，因为a∥______，c∥______，
∴a______c．(________，________)
12.如图所示，已知∠A=∠D,∠B=∠FCB，能否确定ED与CF的位置关系？请说明理由．
参考答案
一、选择题
1.D 解析同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，所以甲的观点错误；垂直是相交的一种特殊情况，所以乙和丙的观点错误．www.21-cn-jy.com
2.B 解析由平行线的判定和三角尺的特点得∠B=∠D8CE，则AB∥EC（同位角相等，两直线平行）；∠BCA=∠CAE，则AE∥DB(内错角相等，两直线平行)；∠ACE=∠DEC，则AC∥DE（内错角相等，两直线平行）．故选B．【来源：21·世纪·教育·网】
二、填空题
3．经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
4．不相交，a∥b．
5．略．
6．(1)AB，EC，同位角相等，两直线平行．
(2)AC，ED，同位角相等，两直线平行．
(3)AB，EC，内错角相等，两直线平行．
(4)AB，EC，同旁内角互补，两直线平行．
7.①②④ 解析①中可得∠DAC=∠BCA，利用“内错角相等，两直线平行”可得结果；②中由∠1=∠2可得EF∥BC,由∠3=∠D可得EF∥AD，根据平行公理的推论可得AD∥BC;③中可得AB∥DC;④中根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AD∥BC.21·世纪*教育网
三、解答题
8．略．
9．略．
10．略
11．略
12.解：ED∥CF.理由如下：
∵∠A=∠D，∴ED∥AB．
∵B=∠FCB，∴CF∥AB．
∴ED∥CF.
2.2.2探索直线平行的条件
预习案
一、预习目标及范围
能识别内错角、同旁内角；
掌握“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”.
预习课本第47和48页.
预习要点
1.具有∠4与∠5这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的内部，在截线的两旁，我们把这样的角称为 .21cnjy.com
2.具有∠4与∠7这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的内部，在截线的同旁，我们把这样的角称为 .21·cn·jy·com
3.内错角 ，两直线平行.
4.同旁内角 ，两直线平行.
三、预习检测
1.∠1=∠2=55°,∠3等于 度，直线AB、CD平行。
2.如图,一个合格的变形管道ABCD需要AB边与CD边平行,若一个拐角∠ABC=72°,则另一个拐角∠BCD=_______时,这个管道符合要求.21世纪教育网版权所有
探究案
一、合作探究（9分钟），要求各小组组长组织成员进行合作探究、讨论。
探究：活动一：
具有∠4与∠5这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的内部，在截线的两旁，我们把这样的角称为内错角.图中还有其他的内错角吗？这些角相等也可以得出两直线平行吗？
探究：活动二：
具有∠4与∠7这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的内部，在截线的同旁，我们把这样的角称为同旁内角.图中还有其他的同旁内角吗？这些角相等也可以得出两直线平行吗？你能猜一猜同旁内角满足什么关系，可以得出两直线平行.21教育网
探究：活动三：
例:在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什么?
二、小组展示（7分钟）
每小组口头或利用投影仪展示, 一个小组展示时，其他组要积极思考，勇于挑错，谁挑出错误或提出有价值的疑问，给谁的小组加分（或奖星）www.21-cn-jy.com
交流内容
展示小组（随机）
点评小组（随机）
____________
第_____组
第______组
____________
第______组
第______组
三、归纳总结
1.三线八角：同位角、内错角、同旁内角；
2.判定直线的方法：
（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
此外还有平行线的定义和平行于同一条直线的两条直线平行。
四、随堂检测
1.如图所示,下列条件中,不能判定AB∥CD的是( )
A.AB∥EF,CD∥EF B.∠5=∠A; C.∠ABC+∠BCD=180° D.∠2=∠3
2. 右图,由图和已知条件,下列判断中正确的是( )
A.由∠1=∠6,得AB∥FG; B.由∠1+∠2=∠6+∠7,得CE∥EI
C.由∠1+∠2+∠3+∠5=180°,得CE∥FI; D.由∠5=∠4,得AB∥FG
参考答案
预习检测
1、55°
2、108°
随堂检测
1、B
2、C
2.2.2 探索直线平行的条件
一、预习与质疑（课前学习区）
（一）预习内容：P47-P48
（二）预习时间：10分钟
（三）预习目标：
1．理解并掌握内错角和同旁内角的概念，能够识别内错角和同旁内角；
2．能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行．
（四）学习建议：
1．教学重点：能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行．
2．教学难点：能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行．
（五）预习检测：
1.如图2-14，直线 a，b被直线c所截.
(1)数一数图中有几个角（不含平角）？
(2)写出图中的所有同位角，并用自己的语言说明什么样的角是同位角？
(3)同位角具备什么关系能够判断直线a∥b？你的依据是什么？
解：（1）图中有 个角
（2）同位角有 ， ， ， ，
（3）只要（2）中任意一组同为角 ，a//b，依据是 .
活动一：教材精读
1. 图2-15中∠3与∠5,∠4与∠6这样位置关系的角有什么特点？说说你的理由。
解：∠3与∠5,∠4与∠6这样位置关系的角，在两条被截直线的 部，在截线的 侧，位置是交错的，这样的角叫做内错角。21教育网
2. 图2-15中∠3与∠6,∠4与∠5这样位置关系的角呢？说说你的理由。
解：∠3与∠6,∠4与∠5这样位置关系的角，在两条被截直线的 部，在截线的 ，这样的角叫做同旁内角。21cnjy.com
实践练习：1.观察右图并填空：
（1）∠1 与 是同位角;
（2）∠5 与∠3是 角;
（3）∠1 与 是内错角.
2. 如图，直线AB，CD被EF所截，构成了八个角，你能找出哪些角是同位角、内错角、同旁内角吗？
解：同位角有 和
内错角有 和
同旁内角 和
3.（1）内错角满足什么关系时？两直线平行？为什么？
_____________________________________________________________________
（2）同旁内角满足什么关系时？两直线平行？为什么？
______________________________________________________________________
4. 看图填空：
解：（1）∠1 = ∠2（已知）
∠1 = ∠3（对顶角 ）
∠3 = （等量代换）
直线 a∥ （ 相等，两直线平行）
（2）∵ ∠1 与∠2 （已知）
∠1 与∠3是 （邻补角定义）
∴ ∠3 = （同角的 相等）
∴ 直线 a b. （ ）
归纳总结：内错角相等 相等 两直线平行
内错角相等 两直线平行
同旁内角互补
同位角相等 两直线平行
（六）生成问题：通过预习和做检测题你还有哪些疑惑请写在下面。
二、落实与整合（课中学习区）
活动二：合作探究
1.做一做：你能用三块大小相同的三角板（30°，60°，90°）拼接成一个含有平行线段的图形吗?试一试，多拼几个图形，找出平行线段后，说明你的理由。21世纪教育网版权所有
三、检测与反馈（课堂完成）
1. 如图(1)∵∠A=_____(已知)，
∴AC∥ED( )
(2)∵∠2=_____(已知)，
∴AC∥ED( )
(3)∵∠A+_____=180°(已知)，
∴AB∥FD( )
(4)∵∠A+_____=180°(已知)，
∴DE∥AC( )
2.看图填空：
（1）如右图，∵∠1＝∠2
∴ ∥ ，
∵∠2＝
∴ ∥ ，同位角相等，两直线平行
∵∠3＋∠4＝180°
∴ ∥ ，( )
∴AC∥FG ( )
（2）如右图，∵∠2= ，
∴DE∥BC ( )
∵∠B＋ ＝180°( )
∴DB∥EF
∵∠B＋∠5＝180°( )
∴ ∥ ， ( )
3．如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE是∠ABC、∠ ADC的角平分线，∠1＝∠2.求证：DC∥AB.
四、课后互助区
1.学案整理：整理“课中学习去”后，交给学习小组内的同学互检。
2.构建知识网络
互帮互助：
“我”认真阅读了你的学案，“我”有如下建议：________________________
“我”的签名：_____________
2.2.2探索直线平行的条件
一、教学目标
1.识别内错角、同旁内角，理解平行线的判定条件.
2.经历探究直线平行的条件的过程,领悟归纳和转化的数学思想方法.
3.在探索交流的过程中,培养学生发现问题,提出问题的能力.
二、课时安排
1课时
三、教学重点
探索并掌握直线平行的条件.
四、教学难点
从实践活动中抽象出三线八角；借助教具探究平行的条件.
五、教学过程
（一）导入新课
如图（1）是一种画平行线的工具，在画平行线之前，工人师傅往往要先调整一下工具（如图2），然后画平行线（如图3），你能说明这种工具的用法和其中的道理吗？21世纪教育网版权所有
我们知道“同位角相等，两直线平行”，今天我们探究直线平行的条件。
（二）讲授新课
如图，直线AB、CD被直线l所截，构成了八个角，具有∠1与∠2这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的同一侧，在截线的同一旁，相对位置是相同的，我们把这样的角称为同位角.
问题1：图中还有其他的同位角吗？
问题2：这些角相等也可以得出两直线平行吗？
具有∠4与∠5这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的内部，在截线的两旁，我们把这样的角称为内错角.21教育网
问题3：图中还有其他的内错角吗？
问题4：这些角相等也可以得出两直线平行吗？
学生思考，回答问题，教师引导学生进行简单推理证明。
∵∠4=∠5，∠3=∠5；
∴∠4=∠3；
∴AB∥CD.
具有∠4与∠7这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的内部，在截线的同旁，我们把这样的角称为同旁内角.21·cn·jy·com
问题5：图中还有其他的同旁内角吗？
问题6：这些角相等也可以得出两直线平行吗？
问题7：猜一猜，一组同旁内角满足什么关系，可以得出两直线平行.
学生分小组讨论问题5、问题6、问题7.
教师总结点拔，回顾探索到的两直线平行的条件，教师指着板书中大家观察到的这些角如果存在这样的关系时，直线a∥b，现在能否用文字语言来叙述你刚才探索到的条件。引导学生归纳出两直线平行的条件：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.www.21-cn-jy.com
（三）重难点精讲
例:在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什么?
教师引导学生证明.
因为b⊥a,c⊥a,
所以∠1=∠2=90°,
从而b∥c.
例题讲解后,教师提问:你还能利用其他方法说明b∥c吗?教师鼓励学生用内错角（图1）或同旁内角（图2）的方法写出理由.2·1·c·n·j·y
(1) (2)【来源：21·世纪·教育·网】
教师追问：如果∠1,∠2不是同位角,也不是内错角、同旁内角,如图(3),教师启发学生用化归思想将它转化为已知问题来解决,并且有条理地陈述理由:21cnjy.com
(3)
如图(3),因为a⊥b,c⊥a,
所以∠1=90°,∠2=90°.
因为∠3=∠1=90°,
从而b∥c(同位角相等,两直线平行).
（四）归纳小结
1.三线八角：同位角、内错角、同旁内角；
2.判定直线的方法：
（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
此外还有平行线的定义和平行于同一条直线的两条直线平行。
（五）随堂检测
1.如图所示,下列条件中,不能判定AB∥CD的是( )
A.AB∥EF,CD∥EF B.∠5=∠A; C.∠ABC+∠BCD=180° D.∠2=∠3
2. 右图,由图和已知条件,下列判断中正确的是( )
A.由∠1=∠6,得AB∥FG;
B.由∠1+∠2=∠6+∠7,得CE∥EI
C.由∠1+∠2+∠3+∠5=180°,得CE∥FI;
D.由∠5=∠4,得AB∥FG
六、板书设计
2.2.2探索直线平行的条件
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行..
七、作业布置
1.家庭作业：完成本节课的同步练习；
2.预习作业：完成导学案《2.3.1》预习案
八、教学反思
2.2.2 探索直线平行的条件
教学目标
1．理解并掌握内错角和同旁内角的概念，能够识别内错角和同旁内角；
2．能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行．
教学重、难点
重点：能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行．
难点：能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行．
导学方法
启发式教学、小组合作学习
导学步骤
导学行为（师生活动）
设计意图
回顾旧知，引出新课
观察下列图形：
猜想其中任意两条直线的位置关系，想想如何证明你的猜想．
从学生已有的知识入手，引入课题
新知探索
例题
精讲
探究点一：内错角与同旁内角
【类型一】 判断内错角、同旁内角
如图，下列说法错误的是( )
A．∠A与∠B是同旁内角
B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠1与∠2是同位角
解析：根据同位角、内错角、同旁内角的基本模型判断．A中∠A与∠B形成“U”型，是同旁内角；B中∠3与∠1形成“U”型，是同旁内角；C中∠2与∠3形成“Z”型，是内错角；D中∠1与∠2是邻补角，该选项说法错误．故选D.
方法总结：在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”型，内错角的边构成“Z”型，同旁内角的边构成“U”型．
【类型二】 一个角的内错角、同旁内角不唯一的图形问题
如图所示，直线DE与∠O的两边相交，则∠O的内错角是________，∠8的同旁内角是________．
解析：直线DE与∠O的两边相交，则∠O的内错角是∠4和∠7，∠8的同旁内角是∠1和∠O.故答案为∠4和∠7，∠1和∠O.
易错点拨：找某角的内错角、同旁内角时，应从各个方位观察，避免漏数．
探究点二：利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
【类型一】 内错角相等，两直线平行
如图所示，若∠ACE＝∠BDF，那么CE∥DF吗？
解析：要判定CE∥DF，需满足∠ECB＝∠FDA，利用“内错角相等，两直线平行”即可判定．
解：CE∥DF.理由如下：因为∠ACE＝∠BDF，又因为∠ACE＋∠ECB＝180°，∠BDF＋∠FDA＝180°，所以∠ECB＝∠FDA(等角的补角相等)，所以CE∥DF(内错角相等，两直线平行)．
方法总结：综合运用补角的性质及等量代换，将已知条件转换为内错角相等来判定两条直线平行，充分运用转化思想．
【类型二】 同旁内角互补，两直线平行
如图，已知点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，且∠DEC＝90°，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
解析：先根据三角形内角和定理得出∠EDC＋∠ECD＋∠DEC＝180°.再由∠DEC＝90°得出∠EDC＋∠ECD＝90°.由CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，可知∠ADC＋∠BCD＝2(∠EDC＋∠ECD)＝180°，由此可得出结论．
解：AD∥BC.理由如下：∵∠EDC＋∠ECD＋∠DEC＝180°，∠DEC＝90°，∴∠EDC＋∠ECD＝90°.∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴∠ADC＋∠BCD＝2(∠EDC＋∠ECD)＝180°，∴AD∥BC.
方法总结：本题考查的是平行线的判定，熟知“同旁内角互补，两直线平行”是解答此题的关键．
【类型三】 灵活运用判定方法判定平行
如图，有以下四个条件：①∠B＋∠BCD＝180°，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝5.其中能判定AB∥CD的条件有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
①∵∠B＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD；②∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；③∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；④∵∠B＝∠5，∴AB∥CD.∴能得到AB∥CD的条件是①③④.故选C.
方法总结：要判定两直线是否平行，首先要将题目给出的角转化为这两条直线被第三条直线所截得的同位角、内错角或同旁内角，再看这些角是否满足平行线的判定方法．
【类型四】 平行线的判定的应用
一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为( )
A．第一次右拐60°，第二次右拐120°
B．第一次右拐60°，第二次右拐60°
C．第一次右拐60°，第二次左拐120°
D．第一次右拐60°，第二次左拐60°
解析：汽车两次拐弯后，行驶的路线与原路线一定不在同一直线上，但方向相同，说明这前后路线应该是平行的．如图，如果第一次向右拐，那么第二次应左拐，两次拐的方向是相反且角度相等的，两次拐的角度是同位角，所以前后路线平行且行驶方向不变．故选D.
方法总结：利用数学知识解决实际问题，关键是将实际问题正确地转化为数学问题，即画出示意图或列式表示等，然后再解决数学问题，最后回归实际．
引出研究本节课要学习知识的必要性，清楚新知识的引出是由于实际生活的需要
学生积极参与学习活动，为学生动脑思考提供机会，发挥学生的想象力和创造性
体现教师的主导作用
学以致用，
举一反三
教师给出准确概念，同时给学生消化、吸收时间，当堂掌握
例2由学生口答，教师板书，
课堂检测
1．如图1，下列条件中，不能判断直线a∥b的是【 】
A.∠1=∠3 B.∠2=∠3
C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°
2.如图2，已知∠1=∠2，那么【 】
A.AB∥CD，根据“内错角相等，两直线平行”
B.AD∥BC，根据“同位角相等，两直线平行”
C.AB∥CD，根据“同位角相等，两直线平行”
D.AD∥BC，根据“内错角相等，两直线平行”
3.如图3，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，若∠1=∠2，则_____∥_____，若∠1=∠3，则_____∥_____.
4.如图4，若∠A+∠D=_______，则AB∥DC，理由是_________；若∠A=120°，∠ABC=110°，要使BE∥AD，则要∠CBE=_______.
5.如图5，当∠BED与∠B，∠D满足___________条件时，可以判断AB∥CD.
（1）在“__________”上填上一个条件；
（2）试说明你填写的条件的正确性.
检验学生学习效果，学生独立完成相应的练习，教师批阅部分学生，让优秀生帮助批阅并为学困生讲解.
总结提升
1．内错角和同旁内角的概念
2．利用内错角、同旁内角判定两直线平行：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
板书设计
2.2.2探索直线平行的条件
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
（二）探索新知 例1、例2
（四）课堂练习 练习设计
本课作业
教材P48随堂练习1、2
本课教育评注（实际教学效果及改进设想）
课件14张PPT。七年级下册2.2.2 探索直线平行的条件两直线相交形成 4 个角，从数量关系上讲，∠1与∠2形成 角，1234互补的从位置关系上讲， ∠2与∠4形成 对顶角 除了能找到互为补角的角、对顶角外，你还能找出 什么具有特殊位置关系的角吗？还能找出 角。 同位4 “三线八角”中
有同位角 组。 小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB（如图所示）。动脑筋小明身边只有一个量角器， 他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？分解出∠2与∠4，定义：两条直线被第三条直线所截，位于截线两侧，被截线之间的两个角，叫做～我们称∠2和∠4为内错角。内错角像Z！内 错 角两直线的内部(两直线之间);“错”的涵义：第三直线的两侧.同 旁 内 角“内”的涵义：“旁”的涵义:两直线之内;第三直线的同旁同
旁
内
角两条直线被第三条直线所截，位于截线同侧，被截线之间的两个角叫做同旁内角。同旁内角像U“三线八角” 小结构成的八个角中， 两直线被第三直线所截 ①位于两被截线同一方、且在截线同一侧的两个角，叫做同位角② 位于两被截线的内部,且在第三直线的两侧的两个角,叫做 内错角 ; ③ 位于两被截线的内部, 且在第三直线的同旁的两个角,叫做 同旁内角 ; ZU两条直线平行的判定㈡ 同旁内角满足什么关系时？两直线平行？为什么？为什么？BCDAE图2—8你看得懂她的意识吗？
她选的第三线是谁？他选谁为第三线？内错角相等，
两直线平行。选BD作第三线，
如图2—8，三个相同的三角尺拼成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。用三角尺的60?角相等
说明“同位角相等”，用“同位角相等两直线平行”
来说明 BD∥AE。用的是什么角？内错角。你知道这一步的理由吗？AC再找一组平行线，说明你的理由。做一做1、观察右图并填空：
∠1 与 是同位角;
(2) ∠5 与 是同旁内角;
(3) ∠1 与 是内错角; 随堂练习p 68banm23145∠4∠3∠2a∥b.l∥m.l∥n .随堂练习小结① 同位角有4对：② 内错角有2对：③ 同旁内角有2对：∠1和∠2,∠3和∠4,∠5和∠6,∠7和∠8.∠7和∠2,∠5和∠4.∠7和∠4,∠5和∠2 习题:1、2 作业为什么“内错角相等时,二直线平行”已知: 如图 , 二直线a 、 bba被第三直线 c 所截,求证: 直线 a∥b.内错角 ∠1 = ∠2 . 证明: ∵∠3 = ∠1, ( )对项角相等 ∠1 = ∠2, ( ) 已知∴ ∠3 = ∠2; ( ） ∴ 直线 a∥b. ( ). 等量代换同位角相等,两直线平行.同位角相等对顶角相等内错角相等议一议为什么“同旁内角互补时,二直线平行”已知: 如图 , 二直线a 、 bba被第三直线 c 所截,求证: 直线 a∥b.同旁内角 ∠1 与∠2互补 . 证明: 设∠1 的 角是∠3, 已知∴ ∠3 ; ( )∴ 直线 a∥b. ( ). 同位角相等 同旁内角互补1同角的补角
相等补互补= ∠2同角的补角相等同位角相等,两直线平行.内错角相等同角的补角
相等∵ ∠1 、 ∠2 , ( ) 补= ∠2同角的补角相等内错角相等,两直线平行.接做一做做一做再见！课件17张PPT。七年级下册2.2.2探索直线平行的条件情境导入如图（1）是一种画平行线的工具，在画平行线之前，工人师傅往往要先调整一下工具（如图2），然后画平行线（如图3），你能说明这种工具的用法和其中的道理吗？本节目标预习反馈1.∠1=∠2=55°,∠3等于 度，直线AB、CD平行.55预习反馈2.如图,一个合格的变形管道ABCD需要AB边与CD边平行,若一个拐角∠ABC=72°,则另一个拐角∠BCD=_______时,这个管道符合要求.108°课堂探究1. 除了∠1与∠2，图中还有其他的同位角吗？2.这些角相等也可以得出两直线平行吗？∠3与∠4， ∠5与∠6， ∠7与∠8平行课堂探究具有∠4与∠5这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的内部，在截线的两旁，我们把这样的角称为内错角.2.这些角相等也可以得出两直线平行吗？1.图中还有其他的内错角吗？∵∠4=∠5，∠3=∠5；
∴∠4=∠3；
∴AB∥CD.课堂探究具有∠4与∠7这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的内部，在截线的同旁，我们把这样的角称为同旁内角.2.这些角相等也可以得出两直线平行吗？1.图中还有其他的同旁内角吗？不平行课堂探究猜 一 猜同旁内角满足什么关系，可以得出两直线平行？∵∠4+∠7=180，∵∠3+∠7=180，
∴∠3=∠4，
∴AB∥CD.例:在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什么?典例精析因为b⊥a,c⊥a,
所以∠1=∠2=90°,
从而b∥c.典例精析同位角相等，两直线平行例:在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什么?典例精析试 一 试内错角同旁内角例:在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什么?典例精析如果∠1,∠2不是同位角,也不是内错角、同旁内角,如上图，该怎么办？随堂检测1.如图所示,下列条件中,不能判定AB∥CD的是( )
A.AB∥EF,CD∥EF B.∠5=∠A;
C.∠ABC+∠BCD=180° D.∠2=∠3D随堂检测2. 右图,由图和已知条件,下列判断中正确的是( )
A.由∠1=∠6,得AB∥FG;
B.由∠1+∠2=∠6+∠7,得CE∥EI
C.由∠1+∠2+∠3+∠5=180°,得CE∥FI;
D.由∠5=∠4,得AB∥FGC本课小结平行判定方法同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.探索直线平行的条件03同旁内角互补，两直线平行.平行判定方法平行判定方法作业布置家庭作业完成本节的同步练习预习作业预习《2.3.1平行直线的特征》导学案中的“预习案”探索平行的条件(一)
课后作业
一、选择题
1、如图，与∠1是内错角的是（ ）
A.?∠2
B.?∠3
C.?∠4
D.?∠5
2、如图，在所标识的角中，同位角是（ ）
A.?∠1和∠2
B.?∠1和∠3
C.?∠1和∠4
D.?∠2和∠3
3、如图，其中同旁内角有（ ）
A.?2对
B.?4对
C.?6对
D.?8对
4、如图所示，同位角共有（ ）
A.?1对
B.?2对
C.?3对
D.?4对
5、已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角是（ ）
A.?∠AMF
B.?∠BMF
C.?∠ENC
D.?∠END
二、填空题
6、如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6中，同旁内角共有 ?对．
7、如图，与图中的∠1成内错角的角是 ?．
8、平面内5条直线两两相交，且没有3条直线交于一点，那么图中共有 ?对同旁内角．
9、如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为 ?．21世纪教育网版权所有
10、如图所示，已知∠C=100°，若增加一个条件，使得AB∥CD，试写出符合要求的一个条件 ．21cnjy.com
三、解答题
11、如图，直线a、b被直线l所截，已知∠1=40°，试求∠2的同位角及同旁内角的度数．
12、如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出与∠1是同位角的有哪些角？
（2）请指出与∠2是内错角的有哪些角？
参考答案
1．解析：根据内错角的定义，∠1的内错角是∠3．
故选B．
2．解析：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，
A、∠1和∠2是邻补角，故A错误；
B、∠1和∠3是邻补角，故B错误；
C、∠1和∠4是同位角，故C正确；
D、∠2和∠3是对顶角，故D错误．
故选：C．
3．解析：由同旁内角的定义可知：
以AB为截线，有一对同旁内角；以BC为截线，有一对同旁内角；以CD为截线，有2对同旁内角；以AD为截线，有2对同旁内角．21教育网
故图中有6对同旁内角，
故选C．
4．解析：如图，∠1与∠2，∠3与∠4分别是两对同位角．
故选B．
5．解析：∵直线AB、CD被直线EF所截，
∴只有∠END与∠EMB在截线EF的同侧，且在AB和CD的同旁，
即∠END是∠EMB的同位角．
故选D．
6．解析：图中同旁内角有：∠2和∠3，∠4和∠5，∠3和∠4，∠2和∠5，∠1和∠6，共5对．
故答案为5．
7．解析：如图，AB与CD被BD所截，
∵∠1和∠BDC在AB与DC之间，且在BD两侧，
∴∠1的内错角是∠BDC．
故答案为：∠BDC．
8．解析：如图所示：
∵平面上5条直线两两相交且无三线共点，
∴共有30条线段．
又∵每条线段两侧各有一对同旁内角内角，
∴共有同旁内角 30×2=60对．
故答案为：60．
9．解析：根据题意，∠1与∠2是三角尺的同一个角，
所以∠1=∠2，
所以，AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：平行．
10．解析：∵∠1=100°，
要使AB∥CD，
则要∠BEC=180°-100°=80°（同旁内角互补两直线平行）．
11．解析：
∵∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°，4=180°-∠1=140°，
即∠2的同位角市140°，∠2的同旁内角是40°．
12．解析：（1）与∠1是同位角的角是∠C，∠MOE，∠AOF；
（2）与∠2是内错角的角是∠MOE，∠AOE．
探索平行的条件（三）
课后作业
一、选择题
1、如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（ ）
A.?∠1=∠2
B.?∠1=∠5
C.?∠1+∠3=180°
D.?∠3=∠5
2、如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A.?∠3=∠4
B.?∠D=∠DCE
C.?∠1=∠2
D.?∠D+∠ACD=180°
3、对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是（ ）
A.?∠1=∠2
B.?∠2=∠4
C.?∠3=∠4
D.?∠1+∠4=180°
4、如图所示，已知∠1=∠2，要使∠3=∠4，只要（ ）
A.?∠1=∠3
B.?∠2=∠4
C.?∠1=∠4
D.?AB∥CD
5、一个弯形管道ABCD的弯角∠ABC=130°，∠BCD=50°，则管道AB与CD的位置关系是（ ）21世纪教育网版权所有
A.?平行
B.?垂直
C.?相交但不垂直
D.?无法确定
二、填空题
6、如图，已知C、D、E三点在同一直线上，∠1=105°，∠A=75°．
求证：AB∥CD．
证明一：∵C、D、E三点在同一直线上，
∴∠1+∠2=180°（平角定义），
∵∠1=105°，
∴∠2=75°（ ）?，
又∵∠A=75°，
∴∠2=∠A，
∴AB∥CD ?．
证明二：∵C、D、E三点在同一直线上，
∴∠1和∠A是直线AB和直线CD被直线AD所截得到的同旁内角（同旁内角定义），
又∵∠A=75°，∠1=105°，
∴∠A+∠1=75°+105°=180°，
∴AB∥CD ?．
7、如图，两直线a，b被第三条直线c所截，若∠1=50°，∠2=130°，则直线a，b的位置关系是 ?．21教育网
8、如图所示，已知∠1=∠2，则再添上条件 ?可使AB∥CD．
9、如图所示，若∠1=∠C=60°，∠D=120°，那么平行线有 ?．
10、如图是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°，72°，72°，则图中共有 ?对平行线．21cnjy.com
三、解答题
11、如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°，求证：AB∥EF．
12、在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直线是否平行？为什么？21·cn·jy·com
参考答案
1．解析：A、根据∠1=∠2不能推出l1∥l2，故A选项错误；
B、∵∠5=∠3，∠1=∠5，
∴∠1=∠3，
即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2，故B选项错误；
C、∵∠1+∠3=180°，
∴l1∥l2，故C选项正确；
D、根据∠3=∠5不能推出l1∥l2，故D选项错误；
故选： C．
2．解析：A、∵∠3=∠4，
∴AC∥BD．
本选项不能判断AB∥CD，故A错误；
B、∵∠D=∠DCE，
∴AC∥BD．
本选项不能判断AB∥CD，故B错误；
C、∵∠1=∠2，
∴AB∥CD．
本选项能判断AB∥CD，故C正确；
D、∵∠D+∠ACD=180°，
∴AC∥BD．
故本选项不能判断AB∥CD，故D错误．
故选：C．
3．解析：A、∠1=∠2，因为它们不是a、b被截得的同位角或内错角，不符合题意；
B、∠2=∠4，因为它们不是a、b被截得的同位角或内错角，不符合题意；
C、∠3=∠4，因为它们不是a、b被截得的同位角或内错角，不符合题意；
D、∠1+∠4=180°，∠1的对顶角与∠4是a、b被截得的同旁内角，符合题意．
故选D．
4．解析：假设∠3=∠4，即∠BEF=∠CFE，由内错角相等，两直线平行，可得AB∥CD．
故已知∠1=∠2，要使∠3=∠4，只要AB∥CD．故选D．
5．解析：∵∠ABC+∠BCD=130°+50°=180°，
∴AB∥CD．
故选A．
6．解析：证明一：∵C、D、E三点在同一直线上，
∴∠1+∠2=180°（平角定义），
∵∠1=105°，
∴∠2=75°（邻补角的定义），
又∵∠A=75°，
∴∠2=∠A，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
证明二：∵C、D、E三点在同一直线上，
∴∠1和∠A是直线AB和直线CD被直线AD所截得到的同旁内角（同旁内角定义），
又∵∠A=75°，∠1=105°，
∴∠A+∠1=75°+105°=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为邻补角的定义，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行．
7．解析：∵∠2+∠3=180°，∠2=130°，
∴∠3=50°，
∵∠1=50°，
∴∠1=∠3，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
8．解析：添加条件是∠ABM=∠CDM，
理由是：∵∠ABM=∠CDM，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠ABM=∠CDM．
9．解析：∵∠1=∠C=60°，
∴AB∥CD；
∵∠C=60°，∠D=120°，
∴∠C+∠D=180°，
∴BC∥AD．
故答案为AB∥CD；BC∥AD．
10．解析：∵∠BAG=∠AHE=72°，∴AB∥EI；
∵∠BFC=∠FCD=72°，∴BG∥CD；
∵∠CBF=∠BGA=72°，∴BC∥AH；
∵∠EDI=∠CKD=72°，∴DE∥CF；
∵∠AEH=∠EID=72°，∴AE∥DK．
故共有5对平行线．
11．解析： 作CM∥AB，DN∥EF，如图，
∴∠1=∠B=25°，∠4=∠E=10°，
∴∠2=∠BCD-∠1=45°-25°=20°，
∠3=∠CDE-∠4=30°-10°=20°，
∴∠2=∠3，
∴CM∥DN，
∴AB∥EF．
12．解析：①通过度量∠3的度数，若满足∠2+∠3=180°，
根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论；
②通过度量∠4的度数，若满足∠2=∠4，
根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；
③通过度量∠5的度数，若满足∠2=∠5，
根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论．
探索平行的条件（二）
课后作业
一、选择题
1、如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是（ ）
A.?∠DAC=∠BCA
B.?∠DCB+∠ABC=180°
C.?∠ABD=∠BDC
D.?∠BAC=∠ACD
2、如图，能判定EB∥AC的条件是（ ）
A.?∠C=∠ABE
B.?∠A=∠EBD
C.?∠C=∠ABC
D.?∠A=∠ABE
3、如图所示，已知∠1=∠2，要使∠3=∠4，只要（ ）
A.?∠1=∠3
B.?∠2=∠4
C.?∠1=∠4
D.?AB∥CD
4、如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（ ）
A.?∠BED=∠EFC
B.?∠1=∠2
C.?∠3=∠4
D.?∠BEF+∠B=180°
5、如果∠2=∠4，那么AD∥BC．判断的依据是（ ）
a
A.?两直线平行，内错角相等
B.?两直线平行，同位角相等
C.?内错角相等，两直线平行
D.?同旁内角互补，两直线平行
二、填空题
6、如图，已知∠1=∠2，则图中互相平行的线段是 ．
7、如图，∠1=60°，∠2=60°，则直线a与b的位置关系是 ?．
8、如图，∠1=∠2，则 ?∥ ?；若∠3=∠4，则 ?∥ ?．
9、如图所示，用两个相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是 ?．21世纪教育网版权所有
10、如图，∠ABC=∠BCD，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，则图中互相平行的直线是 ?，理由是 ?．21教育网
三、解答题
11、已知，如图∠1和∠D互余，CF⊥DF，问AB与CD平行吗？为什么？
12、如图，DE⊥AO于E，BO⊥AO于O，FC⊥AB于C，∠1=∠2，找出图中互相平行的线，并加以说明．21cnjy.com
参考答案
1．解析：A、∵∠DAC=∠BCA，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
故A正确；
B、根据“∠DCB+∠ABC=180°”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故B错误；
C、根据“∠ABD=∠BDC”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故C错误；
D、根据“∠BAC=∠ACD”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故D错误；
故选：A．
2．解析：A和B中的角不是三线八角中的角；
C中的角是同一三角形中的角，故不能判定两直线平行．
D中内错角∠A=∠ABE，则EB∥AC．
故选D．
3．解析：假设∠3=∠4，即∠BEF=∠CFE，由内错角相等，两直线平行，可得AB∥CD．
故已知∠1=∠2，要使∠3=∠4，只要AB∥CD．故选D．
4．解析：当∠3=∠4时，则DE∥AC（内错角相等，两直线平行）．
故选：C．
5．解析：∵∠2=∠4
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故选C．
6．解析：∵∠1=∠2（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：AB∥CD．
7．解析：∵∠3=∠2=60°（对顶角相等），
又∵∠1=60°，
∴∠1=∠3，
∴a∥b．
8．解析：∵∠1=∠2，
∴AD∥BC；
∵∠3=∠4，
∴AB∥CD，
故答案为：AD；BC；AB；CD．
9．解析：∵∠PAB=∠ACD，
∴CD∥AP（内错角相等，两直线平行）．
10．解析：∵∠ABC=∠BCD，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∵∠ABC=∠BCD，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠EBC=∠FCB，
∴BE∥FC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：AB∥CD，BE∥CF；内错角相等，两直线平行．
11．解析： AB∥CD．理由如下：
∵CF⊥DF，
∴∠CFD=90°．
∵∠1+∠CFD+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°．
∵∠1与∠D互余，
∴∠1+∠D=90°，
∴∠2=∠D，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
12．解析：CF∥OD．
理由：∵DE⊥AO，BO⊥AO，
∴DE∥BO，
∴∠3=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴CF∥OD．
