特殊平行四边形
菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
学习目标：
①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。
②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。
教学重点：菱形的概念和菱形的性质，菱形的面积公式的推导。
教学难点：菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。
【预习案】
学习过程：
活动一：
自学课本例题以上的内容，完成下列问题：
如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来？
的四边形叫做菱形，生活中的菱形有 。
【探究案】
按探究步骤剪下一个四边形。
①所得四边形为什么一定是菱形？
②菱形为什么是轴对称图形？
有 对称轴。
图中相等的线段有：
图中相等的角有：
③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？自己完成证明。
性质：
证明：
活动二：对比菱形与平行四边形的对角线
菱形的对角线：
平行四边的对角线：
活动三：菱形性质的应用
1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。
【训练案】
2.如图，菱形花坛ABCD的边长为20cm，∠ABC=60°
沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD，
求两条小路的长和花坛的面积。
课效检测：
一、填空
（1）菱形的两条对角线长分别是12cm，16cm，它的周长等于 ，面积等于 。
（2）菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3：2，菱形的四个内角是 。
（3）已知：菱形的周长是20cm，两个相邻的角的度数比为1：2，则较短的对角线长是 。
（4）已知：菱形的周长是52 cm，一条对角线长是24 cm，则它的面积是 。
二、解答题
已知：如图，在菱形ABCD中，周长为8cm，∠BAD=1200 对角线AC，BD交于点O，求这个菱形的对角线长和面积。21世纪教育网版权所有
1．1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
1．通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质，理解菱形与平行四边形之间的联系；
2．通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结菱形的特征；
3．掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导．(重点、难点)
一、情景导入
请看演示：(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．21教育网
让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．
总结：(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是有一组邻边相等．(2)菱形是特殊的平行四边形，即当一个平行四边形的一组邻边相等时，该平行四边形是菱形．不能忽略平行四边形这一前提，而错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形．
二、合作探究
探究点一：菱形的性质
【类型一】 菱形的四条边相等
如图所示，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是( )
A．10
B．12
C．15
D．20
解析：根据菱形的性质可判断△ABD是等边三角形，继而根据AB＝5求出△ABD的周长．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD.
又∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴△ABD的周长＝3AB＝15.
故选C.
方法总结：如果一个菱形的内角为60°或120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形．21世纪教育网版权所有
【类型二】 菱形的对角线互相垂直
如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．21cnjy.com
解析：由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理进行计算．
解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
AO＝AC，BO＝BD.
因为AC＝6cm，BD＝12cm，
所以AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理，得
AB＝＝＝3(cm)．
所以菱形的周长＝4AB＝4×3＝12(cm)．
方法总结：因为菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的有关计算问题常转化到直角三角形中求解．21·cn·jy·com
【类型三】 菱形是轴对称图形
如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
解析：要证明AE＝AF，需要先证明△ACE≌△ACF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
在△ACE和△ACF中，
∴△ACE≌△ACF.
∴AE＝AF.
方法总结：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
探究点二：菱形的面积的计算方法
如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.www.21-cn-jy.com
解析：先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离．2·1·c·n·j·y
解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12，
于是S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30，
所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
又因为菱形两组对边的距离相等，
所以S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
所以13h＝120，得h＝.
方法总结：菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．【来源：21·世纪·教育·网】
三、板书设计
菱形
为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间，让学生经历知识发生、发展的全过程，培养学生自主学习、合作学习、主动获取知识的能力，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展.
特殊平行四边形
菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
教 学 目 标
1、会归纳菱形的特性并进行证明；
2、能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明；
3、在进行探索、猜想、证明过程中，进一步发展推理论证的能力，体会证明的必要性.
重点：菱形的性质定理证明
难点：菱形的性质定理证明、运用 ，生活数学与理论数学的相互转化.
知识链接： 平行四边形的性质与判定
一 、课前预习：
1．复习平行四边形的性质.
边：
角：
对角线：
对称性：
2.菱形的定义是什么？
___ ____
菱形是不是中心对称图形? ，对称中心是___ __
3.请动手制作一个菱形，折—折，观察并填空.
菱形是不是轴对称图形? ，对称轴有几条?_______，分别是 ___ ____
二、探索活动：
探索活动（一）：
菱形是一种特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质。
菱形特有的性质是（性质定理）：
菱形的四条边_______ ______；菱形的对角线____ _________。
探索活动（二）：
试证明上述定理
已知：_____________________________________。
求证：（1）__________________________；
（2）__________________________。
探索活动(三)：
已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,图中存在特殊的三角形吗？
如果菱形的两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？（可得到边长为 ；周长为 面积为 ）
你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？如果有关，怎样根据菱形的对角线的计算它的面积？
由此可得：菱形的面积__________________________________.
由此得到菱形的两种面积计算方法：
1. _____________________________________________
2. _____________________________________________
你会计算菱形的周长吗？
三、例题精讲
例1．课本3页例1
例2．已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，求证：OE=OF=OG=OH.
四、课堂检测：
1．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，菱形的边长是________cm．
2．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC：BD=4：3，那么对角线AC=______cm，BD=______cm．
3．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为
4．已知菱形的面积为30平方厘米，如果一条对角线长为12厘米，则别一条对角线长为________厘米.
5．菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（ ）．
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
6.在菱形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，BC=2，BE=1，求菱形的周长和面积
五、学习体会：
课件22张PPT。1.1 菱形的性质与判定第一章 特殊平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 菱形的性质1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点）学习目标问题:什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？平行四边形的性质：边：对边平行且相等.
对角线：相交并相互平分.
角：对角相等,邻角互补.导入新课活动: 观察下列图片，?找出你所熟悉的图形. 问题1: 观察上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么 样的共同特征？平行四边形菱形菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.讲授新课 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形.问题2: 菱形与平行四边形有什么关系？平行四边形菱形集合平行四边形集合做一做
请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称 轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？1.菱形是轴对称图形，有两条对称轴(对称轴直线AC和直线BD).
2.菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD).
3.菱形的对角线互相垂直(AC⊥BD).ABCOD 发现菱形的性质已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交 于点O.
求证:(1）AB = BC = CD =AD；
（2）AC⊥BD.
证明菱形的性质证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD;
∴AB = BC = CD =AD.求证：菱形的四条边相等，对角线互相垂直. 思考：菱形的一条对角线所分成的两个内角有什么关系？试证明AC平分∠BAD和∠BCD， BD平分∠ABC和∠ADC.（2）∵AB=AD,
∴△ABD是等腰三角形.又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD.在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD. 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直. 角：对角相等，邻角互补.
边：对边平行且相等.
对角线：相交并相互平分.菱形的特殊性质平行四边形的性质总结归纳1.如图，在菱形ABCD中，两条对角线
AC与BD相交于点O，图中的等腰三角
形有______________________________，
直角三角形有_____________________________ ，而且它们是________（“全等”或“不全等”）.
口答：2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A.内角和为360°
B.对角线互相垂直
C.对边平行
D.对角线互相平分△ABD, △BCD，△ABC,△ADC△ABO，△ADO,△BCO,△CDO全等B例1：已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5cm,BD=8cm.
则：（1）BO=____________;
(2)AC=_____________.典例精析BACDO4cm6cm 菱形中已知边长或对角线，求相关长度问题，一般利用菱形的对角线垂直平分，再结合勾股定理解题.例2：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6. 典例精析在RtΔAOB中，由勾股定理，得
OA2+OB2=AB2，
∴OA = = =
∴AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）. 若菱形有一个内角为60°，那么60°角的两边与较
短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成
四个全等的含30°角的直角三角形.当堂练习1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ） A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等2.如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是 （ ）
A.40 B.32 C.24 D.20
CD3.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是 （ ）A.75° B.60° C.45° D.30°B6.已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的四个内角度数分别为_____________________.
4.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
5.菱形ABCD中∠ABC＝120 °，则∠BAC＝_______.330°60°、60°、120°、120°7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD (菱形的两条对角线互相垂直).
∴∠AOB=90°.
∴BO= =3(cm).
∴BD=2BO=2×3=6(cm).8.已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又 CE=CE，
∴△BCE≌△COB（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠FDC.
∴∠AFD=∠CBE．
?课堂小结菱形的性质菱形的性质1.四边相等
2.对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角.菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形.第2课时 菱形的判定
学习目标：
1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用；
2.灵活运用判定方法进行有关的证明和计算.
重点：掌握并会应用菱形的判定方法.
难点：菱形判定方法的应用.
【预习案】
课前预习
你还记得菱形的定义吗？菱形有哪些特殊性质？
边：__________________________;_____________________________2·1·c·n·j·y
角：__________________________;______________________________21·世纪*教育网
对角线：_____________________________________________________www-2-1-cnjy-com
对称性：
【探究案】
1.木工在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你知道其中的道理吗?借助以下图形探索：如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,试说明四边形ABCD是菱形.www.21-cn-jy.com
证明：
我发现, 的四边形是菱形。
2.如下图,在□ABCD中,若AC⊥BD,则□ABCD是什么图形?
证明：
我发现, 的平行四边形四边形是菱形.
菱形的判定方法:
1、 的四边形是菱形
符号语言
2、 的平行四边形是菱形
符号语言
课堂活动
活动1 预习反馈
活动2 例习题分析
例 □ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AO=4,OB=3.求证：□ABCD是菱形。
21教育网
21cnjy.com
平行练习
1、一个平行四边形的一条边长是15，两条对角线的长分别是12和9，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求它的面积。21·cn·jy·com
归纳：S菱形= =
2、如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
【训练案】
课后巩固
如图，AE∥BF，AC平分∠BAD,且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形。【来源：21·世纪·教育·网】
如图，四边形ABCD是菱形，点M,N分别在AB,AD上，且BM=DN,MG∥AD,NF∥AB,点F,G分别在BC,CD上，MG与NF相交于点E.求证：四边形AMEN,EFCG都是菱形。21世纪教育网版权所有
第2课时 菱形的判定
1．理解并掌握菱形的判定方法；(重点)
2．灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算．(难点)
一、情景导入
木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你知道其中的道理吗？借助以下图形探索：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，试说明四边形ABCD是菱形．
二、合作探究
探究点一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
如图所示，?ABCD的对角线BD的垂直平分线与边AB，CD分别交于点E，F.求证：四边形DEBF是菱形．2·1·c·n·j·y
解析：本题首先应用到平行四边形的性质，其次应用到菱形的判定方法．要证四边形DEBF是菱形，可以先证明其为平行四边形，再利用“对角线互相垂直”证明其为菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC.
∴∠FDO＝∠EBO.
又∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD.
在△DOF和△BOE中，
∴△DOF≌△BOE(ASA)．
∴OF＝OE.
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形．
方法总结：用此方法也可以说是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须强调对角线是互相垂直且平分的．21cnjy.com
探究点二：四边相等的四边形是菱形
如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．【来源：21·世纪·教育·网】
解析：根据平移的性质可得CF＝AD＝10cm，DF＝AC，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10cm，就可以根据四边相等的四边形是菱形得到结论．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝＝10(cm)，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．
方法总结：当四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．21·cn·jy·com
探究点三：菱形的判定和性质的综合应用
如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.www.21-cn-jy.com
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2，
∴菱形的面积为4×2＝8.
方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形．21世纪教育网版权所有
三、板书设计
经历菱形的证明、猜想的过程，进一步提高学生的推理论证能力，体会证明过程中所运用的归纳概括
以及转化等数学方法．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.21教育网
第2时 菱形的判定
教 学
目 标
1、掌握菱形的判定定理并解决实际问题，会根据已知条件画出菱形
2、能够运用综合法证明菱形的判定定理及其推论。
3、经历探索菱形判定的过程，培养学生的动手能力、观察能力及推理能力。
重点：严格证明菱形判定定理及其推论。
难点：运用综合法解决菱形的相关题型。
知识链接： 平行四边形的性质与判定
【学习过程】
一、课前自主学习
菱形的对边 。
菱形的四边 。
菱形的性质： 菱形的对角线 。
菱形是 对称图形，又是 对称图形。
菱形的面积= 或 菱形的面积=
二、课内探索新知。
菱形的判定方法：
方法一：（定义）有一组邻边相等的平行四边形是菱形
方法二：
用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
通过探究，得到：对角线 的平行四边形是菱形。
证明上述结论：
已知菱形的一条对角线你会做菱形吗？试一试
方法三：一个同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？请你画一画。
通过探究，得到： 的四边形是菱形。
证明上述结论：
三、例题巩固
课本6页例2
四、课堂检测
1、下列判别错误的是( )
A.对角线互相垂直,平分的四边形是菱形. B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形. D.邻边相等的平行四边形是菱形.
2、下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（ ）
A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线相等且垂直 D.两条对角线互相垂直平分
3、要判断一个四边形是菱形，可以首先判断它是一个平行四边形，然后再判定这个四边形的一组__________或两条对角线__________.
4、已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F
求证：四边形AFCE是菱形
课件24张PPT。1.1 菱形的性质与判定第一章 特殊平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 菱形的判定1.理解并掌握菱形的两个判定方法.（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和
计算.（难点）学习目标问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形.
菱形的性质：1. 轴对称图形.
2. 四边相等.
3. 对角线互相垂直平分.导入新课动手做一做思考：剪下来的是什么图形？ 问题：根据菱形的定义,邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形?1.小明的想法 平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱形,对角线垂直的平行四边形是菱形.讲授新课2.小颖的想法 我觉得,对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形.但“四边相等的平行四边形是菱形”实际上与“邻边相等的平行四边形是菱形”一样. 3.你是怎么想的?你认为小明的想法如何?猜想1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.猜想2:四边相等的四边形是菱形.
通过探究，容易得到：
对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形活动1: 用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，木条端点围成的四边形是平行四边形吗？什么时候变成菱形？验证活动1平行四边形菱形已知：右图中四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交 于点O ,AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.证明猜想1定理运用格式：∵四边形ABCD是平行四边形,
又∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形.
(对角线互相垂直的平行四边形为菱形)练一练√判断对错：
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。 （ ）
（2）对角线垂直且平分的四边形是菱形 。 （ ）
（3）对角线互相平分的平行四边形是菱形。 （ ）
（4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。 （ ）
（5）有一条对角线平分一组对角的四边形
是菱形。 （ ）× ××√小刚：分别以A、C为圆心,以大于
AC的长为半径作弧,两条 弧分别相较于点B , D,依次
连接A、B、C、D四点.活动2：已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AB为菱形的一条对角线？CABD思考：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？
2.怎么验证四边形ABCD是菱形？提示：AB = BC=CD =AD验证活动2证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定）.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形 (菱形的定义).已知：右图中四边形ABCD,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形. 四边相等的四边形是菱形.证明猜想2定理的运用格式∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形
(四边相等的四边形为菱形).证明：在△AOB中.
∵AB= , OA=2,OB=1.
∴AB2=AO2+OB2.
∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.
∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形).例1：已知：如右图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,
AB= ,OA=2,OB=1. 求证： □ABCD是菱形.典例精析2例2：已知：如图,在△ABC, AD是角平分线,点E、F分别在AB、
AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形. ACBEDF证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.1四条边都相等菱形一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相平分一组对边平行且相等两组对边分别平行或相等四边形平行四边形两组对角分别相等归纳总结1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是 （ ）
A. AC⊥BD ,AC与BD互相平分
B. AB=BC=CD=DA
C. AB=BC,AD=CD,AC ⊥BD
D. AB=CD,AD=BC,AC ⊥BDC当堂练习2.如图所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：
添加方式1： .
添加方式2： .AB=BCAC⊥BD3.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形． ABCDEFO12证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC.
∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC,
∴AO = OC . ∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.4.如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB=BD,DE∥AC,CE ∥BD.
求证：四边形OCED是菱形.证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD, ∴OC=OD， ∴四边形OCED是菱形． 5.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
求证：四边形ADCE是菱形.BCN【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=CE，AD=CD，OA=OC，
∠AOD=∠EOC=90° .再结合CE∥AB，可证得△ADO≌△CEO，从而根据由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形. 再结合∠AOD=90°可证得四边形ADCE为菱形． 证明：∵MN是AC的垂直平分线，∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°. ∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO（ASA）． ∴AD=CE，OD=OE， ∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形． 6.已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗?ACBD有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.定理1：对角线互相垂直的平行四边形
是菱形.定理2：四边相等的四边形是菱形.菱形的判定定义定理课堂小结课件21张PPT。1.1 菱形的性质与判定第一章 特殊平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第3课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一
些相关问题,并掌握菱形面积的求法。(重点、难点)
2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会
数形结合、转化等思想方法。学习目标1．平行四边形的对边 ，对角 ，对角线 ．
2．菱形具有 的一切性质．
3．菱形是 图形也是 图形．
4．菱形的四条边都 ．
5．菱形的两条对角线互相 ．平行且相等相等互相平分平行四边形 轴对称 中心对称 相等 垂直 且平分复习引入导入新课6.平行四边形的面积=_________.ABCD底×高7.菱形是特殊的平行四边形，如图菱形ABCD的面积
=_________.BC·DF思考：你能用菱形的对角线表示菱形的面积吗？做一做：如图，请用两种方法表示菱形ABCD的面积.方法一：菱形ABCD的面积=底×高
=CD·BE.E方法二：菱形ABCD的面积
=4S△ABO
=4× ×AO×BO
= ×AC×BD.讲授新课ABDCah(1)S = a·h.
(2)S = AC·DB. O菱形的面积计算公式：总结归纳菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半练一练
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于
点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是
????????cm2．
16例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝ ，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）.60°典例精析解：∵花坛ABCD是菱形，例2 如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
典例精析解析：先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离．方法总结：菱形的面积计算有如下方法：
(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；
(3)两条对角线长度乘积的一半．解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12，
于是
所以，
S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
又因为菱形两组对边的距离相等，
所以，S菱形ABCD＝AB?h＝13h，
即，13h＝120，得 如图两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？做一做平行四边形如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是什么图形？为什么？菱形典例精析例3.如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形．1.已知菱形的周长是24cm，那么它的边长是______.2.如图，菱形ABCD中∠BAC＝120°，
则∠BAC＝_______.6cm60°3.如图，菱形的两条对角线长分别为10cm和24cm，
则菱形的边长是（ ）CA.10cm B.24cm C. 13cm D.17cm当堂练习4. 如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求：
（1）对角线AC的长度；
（2）菱形ABCD的面积.解: (1) ∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相交
于点E.
∴∠AED=90°(菱形的对角线互相垂直),
DE= BD = ×10 = 5(cm) .
(菱形的对角线互相平分)∴ AE= =12(cm).
∴AC=2AE=2 ×12= 24(cm)（菱形的对角
线互相平分）.
(2)如图，菱形ABCD的面积
= BD ×AC
=120(cm2).5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6. 在RtΔAOB中，由勾股定理，得
OA2+OB2=AB2，
∴OA = = =
∴AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）.课堂小结菱形的性质与判定的综合性问题菱形的面积有关计算面积=底×高=两条对角线乘积的一半
