第2课时 相似三角形的周长和面积之比
1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；（重点）
2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点）
一、情景导入
如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与AB平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△CDE的面积为10平方米，CD长为4m，BD长为6m.根据所测得的数据，请你计算出整个花坛△ABC的面积.
二、合作探究
探究点一：相似三角形的周长比
已知△ABC∽△A′B′C′，AD是△ABC的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若＝，且△A′B′C′的周长为20cm，求△ABC的周长.
解：因为△ABC∽△A′B′C′，所以它们周长的比等于它们的相似比，对应边中线的比等于相似比，即相似比k＝＝，＝.
已知△A′B′C′的周长为20cm，所以＝.所以△ABC的周长为10cm.
易错提醒：在相似表达式△ABC∽△A′B′C′及对应中线比＝中，都是△ABC在前，△A′B′C′在后，而在出现问题时，△A′B′C′在前，△ABC在后，顺序已经不同了，所以相似比要随之调整或者直接把相关量代入关系式求解.
探究点二：相似三角形的面积比
如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
解：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，
∴CF是△ACD的中线，即F是AD的中点.
∵点E是AB的中点，∴EF∥BD，且＝.
∴∠B＝∠AEF，∠ADB＝∠AFE，∴△AEF∽△ABD.∴＝（）2＝.
∵S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，
∴＝.
∴S△ABD＝8，即△ABD的面积为8.
易错提醒：在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比，在本题中不要犯由EF：BD＝1：2得S△AEF：S△ABD＝1：2，或S△AEF：S四边形BDFE＝1：2之类的错误.
三、板书设计
相似三角形的周长和面积之比：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
经历相似三角形的性质的探索过程，培养学生的探索能力.通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体验化归思想.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，训练学生的运用能力，增强学生对知识的应用意识.第2课时
相似三角形的周长和面积之比
学习目标：
理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
能用三角形的性质解决简单的问题．
重点：相似三角形的性质与运用．
难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．
【预习案】
1．复习提问：
已知：
ABC∽ A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？
（从对应边上看；
从对应角上看：）
问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，
我们还可以得到哪些结论？
【探究案】
（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？
（2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？
推导见教材P109．
结论：相似三角形的性质：
性质1
相似三角形周长的比等于相似比．
即：如果
△ABC
∽△A′B′C′，且相似比为k
，
那么
．
性质2
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
即：如果
△ABC
∽△A′B′C′，且相似比为k
，
那么
．
四、例题讲解
例
1（补充）
已知：如图：△ABC
∽△A′B′C′，它们的周长分别是
60
cm
和72
cm，且AB＝15
cm，B′C′＝24
cm，求BC、AB、A′B′、A′C′的长．
【训练案】
（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5
，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．
（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5
，那么它们的相似比为________，周长的比为________．
（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．
（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6
cm和18
cm，若较大三角形的周长是42
cm
，面积是12
cm
2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2．
3．如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比．4.7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形中的对应线段之比
1.明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；（重点）
2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题.（难点）
一、情景导入
在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.
二、合作探究
探究点一：相似三角形对应高的比
如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE＝10，BC＝15，AG＝12.求GH的值.
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴△ADE∽△ABC.
又∵AH⊥BC，DE∥BC，∴AH⊥DE.
∴＝，即＝.
∴AH＝18.
∴GH＝AH－AG＝18－12＝6.
方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，将所求线段转化为求对应高的差.
探究点二：相似三角形对应角平分线的比
两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：方法一：设其中较短的角平分线的长为xcm，则另一条角平分线的长为（42－x）cm.
根据题意，得＝.解得x＝18.
所以42－x＝42－18＝24（cm）.
方法二：设较短的角平分线长为xcm，则由相似性质有＝.解得x＝18.较长的角平分线长为24cm.
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比，列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形.
探究点三：相似三角形对应中线的比
已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4cm，求A′B′边上的中线C′D′.
解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，
∴＝＝.
又∵CD＝4cm，
∴C′D′＝＝×4＝6（cm）.
即A′B′边上的中线C′D′的长是6cm.
方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比.
三、板书设计
相似三角形中的对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，经历“观察－猜想－论证－归纳”的过程，渗透逻辑推理的方法，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力.第2课时
相似三角形的周长和面积之比
●教学目标
（一）教学知识点
1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.
2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.
（二）能力训练要求
1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.
2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.
（三）情感与价值观要求
1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.
2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.
●教学重点
1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.
2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.
●教学难点
相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.
●教学方法
引导启发式
通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的.
●教具准备
投影片两张
第一张：（记作§4.7.2
A）
第二张：（记作§4.7.2
B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.
（让学生把数据写在黑板上）
［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题.
1.两三角形是否相似.
2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流.
［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.
周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.
［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？
［生］面积比与相似比的平方相等.
［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.
Ⅱ.新课讲解
1.做一做
投影片（§4.7.2
A）
在上图中，△ABC∽△A′B′C′，相似比为.
（1）请你写出图中所有成比例的线段.
（2）△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？你是怎么做的？
（3）△ABC的面积如何表示？△A′B′C′的面积呢？△ABC与△A′B′C′的面积比是多少？与同伴交流.
［生］（1）∵△ABC∽△A′B′C′
∴======.
（2）.
∵===.
∴
=
=.
（3）S△ABC=AB·CD.
S△A′B′C′=A′B′·C′D′.
∴.
2.想一想
如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比分别是多少？
［生］由上可知
若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比为k，面积比为k2.
3.议一议
投影片（§4.7.2
B）.
如图，四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，相似比为k.
（1）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？
（2）连接相应的对角线A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？
△A1C1D1与△A2C2D2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？
（3）设△A1B1C1，△A1C1D1，△A2B2C2，△A2C2D2的面积分别是
那么各是多少？
（4）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比是多少？
如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？
［生］解：（1）∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2.相似比为k.
（2）△A1B1C1∽△A2B2C2、△A1C1D1∽△A2C2D2，且相似比都为k.
∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2
∴
∠D1A1B1=∠D2A2B2,∠B1=∠B2.
∠B1C1D1=∠B2C2D2,∠D1=∠D2.
在△A1B1C1与△A2B2C2中
∵
∠B1=∠B2.
∴△A1B1C1∽△A2B2C2.
∴=k.
同理可知，△A1C1D1∽△A2C2D2，且相似比为k.
（3）∵△A1B1C1∽△A2B2C2,△A1C1D1∽△A2C2D2.
照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.
由此可知：
相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
Ⅲ.随堂练习
完成教材随堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.
Ⅴ.课后作业
习题4.12
●板书设计
4.7
相似三角形的性质
第2课时
相似三角形的周长和面积之比
一、1.做一做
2.想一想
3.议一议
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业(共18张PPT)
4.7
相似三角形的性质
第四章
图形的相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时
相似三角形的周长和面积之比
1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等
于相似比的平方.（重点）
2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点）
学习目标
导入新课
问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？
A
B
C
A1
B1
C1
问题引入
讲授新课
相似三角形周长比等于相似比
一
问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形，
它们都相似吗？
(1)
(2)
(3)
1
2
3
(1)与(2)的相似比=______,
(1)与(2)的周长比=______，
(1)与(3)的相似比=______,
(1)与(3)的周长比=______.
1∶
2
结论：
相似三角形的周长比
等于______．
相似比
（都相似）
1∶
3
1∶
2
1∶
3
合作探究
有什么规律吗？
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
求证：相似三角形的周长比等于相似比.
A
B
C
A1
B1
C1
想一想：怎么证明这一结论呢？
相似三角形周长的比等于相似比.
归纳总结
例1
如图所示，△ABC和△EBD中，
，△ABC与△EBD的周长之差为10cm，求△ABC的周长.
解：设△ABC与△EBD的周长分别为p1cm，p2cm.∵
，∴△ABC∽△EBD，且
.
又∵△ABC与△EBD的周长之差为
10cm，∴p1－p2＝10，
∴
，解得p1＝25，p2＝15，
∴△ABC的周长为25cm.
典例精析
(1)与(2)的相似比=
______,
(1)与(2)的面积比=______
(1)与(3)的相似比=______,
(1)与(3)的面积比=______
相似三角形的面积比等于相似比的平方
二
合作探究
1
2
3
1∶
2
（1）
（2）
（3）
1∶
4
1∶
3
1∶
9
问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形，
回答以下问题：
结论：
相似三角形的面积比
等于__________．
相似比的平方
有什么规律吗？
证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,
如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.
∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′.
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
想一想：怎么证明这一结论呢？
∵△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
归纳总结
1.已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2：3，则对
应边上中线之比
，面积之比为
.
2.
如果两个相似三角形的面积之比为1:9，
周长的比为______
.
1:3
2:3
4:9
练一练
典例精析
例2：将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离.
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC
即，△ABC平移的距离为
G
例3：如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2
，且
求四边形BCDE的面积.
∴△ABC
∽△ADE
.
∴它们的相似比为5：3，面积比为25：9.
又∵△ABC的面积为100
cm2
，
∴△ADE的面积为36
cm2
.
∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2）
.
解：∵∠BAD=∠DAE，且
B
A
E
D
C
当堂练习
1.连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______,面积比等于_______.
2.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.
1:2
1:4
14
3.判断：
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍.（
）
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍.（
）
√
×
4.如图，
ABCD中，E为AD的中点，若
S
ABCD=1，则图中阴影部分的面积为
（
）
A.
B.
C.
D.
B
A
E
D
C
F
B
5.
若△ABC
∽△
A′B′C′
，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B′C′=24cm，求BC，AC，A′B′,A′C′的长.
B
A
C
解：∵
△ABC
∽△
A′B′C′
，它们的周长分别为60cm和72cm，
∵AB=15cm，B′C′=24cm，
∴BC
=
20cm，
AC
=
25cm，
A′B′=18cm，A′C′=30cm.
相似三角形的性质2
相似三角形周长之比等于相似比
课堂小结
相似三角形面积之比等于相似比的平方4.7
相似三角形的性质
第1课时
相似三角形中的对应线段之比
●教学目标
（一）教学知识点
相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.
（二）能力训练要求
1.
熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.
（三）情感与价值观要求
1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.
2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.
●教学重点
1.相似三角形中对应线段比值的推导.
2.运用相似三角形的性质解决实际问题.
●教学难点
相似三角形的性质的运用.
●教学方法
引导启发式
●教具准备
投影片两张
第一张：（记作§4.7.1
A）
第二张：（记作§4.7.1
B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.
Ⅱ.新课讲解
1.做一做
投影片（§4.7.1
A）
钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的△ABC表示该零件的横断面△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的高.
（1）,,各等于多少？
（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.
（3）请你在图①中再找出一对相似三角形.
（4）等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.
图①
［生］解：（1）===
（2）△ABC∽△A′B′C′
∵==
∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶4.
（3）△BCD∽△B′C′D′.（△ADC∽△A′D′C′）
∵由△ABC∽△A′B′C′得
∠B=∠B′
∵∠BCD=∠B′C′D′
∴△BCD∽△B′C′D′（同理△ADC∽△A′D′C′）
（4）=
∵△BDC∽△B′D′C′
∴=
=
2.议一议
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k.
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线,那么等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
［师］请大家互相交流后写出过程.
［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′是它们的对应高，那么==k.
［生乙］如图②，△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′分别是它们的对应角平分线，那么=
=k.
图②
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A=∠A′,∠ACB=∠A′C′B′
∵CD、C′D′分别是∠ACB、∠A′C′B′的角平分线.
∴∠ACD=∠A′C′D′
∴△ACD∽△A′C′D′
∴=
=k.
［生丙］如图③中，CD、C′D′分别是它们的对应中线，则=
=k.
图③
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A=∠A′，=
=k.
∵CD、C′D′分别是中线
∴===k.
∴△ACD∽△A′C′D′
∴=
=k.
由此可知相似三角形还有以下性质.
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
3.例题讲解
投影片（§4.7.1
B）
图④
如图④所示，AD是△ABC的高，AD=h,点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD,垂足为E.当SR=BC时，求DE的长，如果SR=BC呢？
解：∵
SR⊥AD,BC⊥AD,
∴SR∥BC.
∵∠ASR=∠B,
∠ARS=∠C,
∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.
∴（相似三角形对应高的比等于相似比），
即.
当SR=BC时，得，解得DE=h
当SR=BC时，得，解得DE=h
Ⅲ.课堂练习
如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？
（都是4∶5）.
Ⅳ.课时小结
本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
Ⅴ.课后作业
完成习题
Ⅵ.活动与探索
图⑤
如图⑤，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且
==
你认为△ABC∽△A′B′C′吗？
解：△ABC∽△A′B′C′成立.
∵==
∴△ABD∽△A′B′D′
∴∠B=∠B′,∠BAD=∠B′A′D′
∵∠BAC=2∠BAD,
∠B′A′C′=2∠B′A′D′
∴∠BAC=∠B′A′C′
∴△ABC∽△A′B′C′
●板书设计
4.7
相似三角形的性质
第1课时
相似三角形中的对应线段之比
一、1.做一做
2.议一议
3.例题讲解
二、课堂练习
三、课时小节
四、课后作业
●备课资料
如图⑥，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.
图⑥
（1）则图中有几对相似三角形.
（2）若AD=9
cm,CD=6
cm,求BD.
（3）若AB=25
cm,BC=15
cm,求BD.
解：（1）∵CD⊥AB
∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°
在△ADC和
△ACB中
∠ADC=∠ACB=90°
∠A=∠A
∴△ADC∽△ACB
同理可知，△CDB∽△ACB
∴△ADC∽△CDB
所以图中有三对相似三角形.
（2）∵△ACD∽△CBD
∴
即
∴BD=4
（cm）
（3）∵△CBD∽△ABC
∴.
∴
∴BD==9
（cm）.(共31张PPT)
4.7
相似三角形的性质
第四章
图形的相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时
相似三角形中的对应线段之比
1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.
（重点）
2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点）
学习目标
A
C
B
A1
C1
B1
问题1：
ΔABC与ΔA1B1C1相似吗？
导入新课
A
C
B
A1
C1
B1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
ΔABC∽
ΔA1B1C1
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几
何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
A
C
B
D
∟
A1
C1
B1
D1
∟
1.CD和C1D1分别是它们的高，你知道
比值是多少吗？
2.如果CD和C1D1分别是他们的对应角平分线呢？
3.如果CD和C1D1分别是他们的对应中线呢？
A
C
B
D
A
1
C1
B1
D1
想一想
量一量，猜一猜
D1
A
1
C1
B1
∟
A
C
B
D
∟
ΔABC
∽
ΔA1B1C1,
,CD和C1D1分别是它们的高,
你知道
等于多少吗？
讲授新课
相似三角形对应高的比等于相似比
一
证明:
∵△
A′B′C′∽△ABC，
∴
∠B′=
∠B．
又∵
∠AD′B
=∠ADB
=90°,
∴△A′B′D′∽△ABD
(两角对应相等的两个三角形相似).
从而
(相似三角形的对应边成比例).
问题：如图，△A′B′C′
∽△ABC，相似比为k，分别作BC，B′C′上的高AD，A′D′．
求证：
由此得到：
相似三角形对应高的比等于相似比．
类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．
归纳总结
如图,电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是
m.
P
A
D
B
C
2
4
1.5
练一练
例1：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
（1）AE是Δ
ASR的高吗？为什么？
（2）
ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
（3）求正方形PQRS的边长.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
典例精析
（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？
解：
AE是ΔASR的高.
理由如下：
∵AD是ΔABC的高，
∴
∠ADC=90
°.，
∵四边形PQRS是正方形
∴SR
∥BC
∴∠AER=∠ADC=90
°，
∴
AE是ΔASR的高.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
（2）
ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
解：
ΔASR与ΔABC相似
.
理由如下:
∵
SR∥BC，
∴
ΔASR∽ΔABC.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
（3）求正方形PQRS的边长.
是方程思想哦！
解：∵
ΔASR
∽
ΔABC
AE、AD分别是ΔASR
和ΔABC
对应边上的高
∴
设正方形PQRS的边长为xcm,
则SR=DE=xcm
AE=（40-x）cm
∴
解得x=24.
∴正方形PQRS的边长为24cm.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
变式一：
如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm.
设SP=xcm，则SR=2xcm
得到：
所以
x=2
2x=4
S矩形PQRS=
2×4=8cm2
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
分析：
情况一：SR=2SP
设SR=xcm，则SP=2xcm
得到：
所以
x=2.5
2x=5
S矩形PQRS=2.5×5=12.5cm2
原来是分类思想呀！
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
分析：
情况二：SP=2SR
如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm
相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都
等于相似比
二
问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？
图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
A
B
C
D
E
A'
B'
D'
C'
E'
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
求证：
证明：∵
△ABC∽△A′B′C′，
∴
∠A′B′C′=
∠ABC,
∠B′A′C′=
∠BAC．
又BE,B'E'分别为对应角的平分线，
∴
△ABE∽△A′B′E′.
A'
B'
D'
C'
E'
A
B
C
D
E
验证猜想1
由此得到：
相似三角形对应的中线的比也等于相似比．
同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比．
归纳总结
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
求证：
证明：∵
△ABC∽△A′B′C′.
∴
∠A′B′C′=
∠ABC,
．
又AD,AD′分别为对应边的中线.
∴
△ABD∽△A′B′D′.
A'
B'
D'
C'
E'
A
B
C
D
E
验证猜想2
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
归纳总结
典例精析
例2：两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为xcm，
则由相似性质有
解得x＝18.
较长的角平分线长为24cm.
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
ΔABC∽
ΔA1B1C1
，BD和B1D1是它们的中线，
已知
,B1D1
=4cm，则BD=
cm.
6
2.ΔABC∽
ΔA1B1C1,
AD和A1D1是对应角平分
线，已知AD=8cm，
A1D1=3cm
,则
ΔABC与
ΔA1B1C1的对应高之比为
.
8:3
练一练
3．两个相似三角形对应中线的比为
，
则对应高的比为______
.
当堂练习
2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角平分线的比为______.
2∶
3
1．两个相似三角形的相似比为
,
则对应高的比为_________,
则对应中线的比为_________.
解：∵
△ABC∽△DEF，
解得,EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2cm.
A
G
B
C
D
E
F
H
（相似三角形对应角平
线的比等于相似比），
4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.
5.如图，AD是△ABC的高，AD=h,
点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当
时，求DE的长.如果
呢？
∴△ASR∽△ABC
(两角分别相等的两个三角形相似).
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
B
A
E
R
C
D
S
∴SR∥BC.
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
(相似三角形对应高的比等于相似比)，
当
时，得
解得
B
A
E
R
C
D
S
当
时，得
解得
选做题：
6.
一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图（1）、（2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）
F
A
B
C
D
E
（1）
F
G
B
A
C
E
D
（2）
相信自己是最棒的！
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
7.AD是ΔABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中小正方
形的边长.
拓展延伸
A
C
B
D
(1)
A
C
B
D
(5)
D
C
B
A
(4)
A
C
B
D
(3)
D
C
B
A
(1)
A
C
B
D
(2)
相似三角形的性质
相似三角形对应高的比等于相似比
课堂小结
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
相似三角形对应中线的比等于相似比4.7
相似三角形的性质
第1课时
相似三角形中的对应线段之比
学习目标：
1、掌握并会证明相似三角形的性质定理1.
2、会用相似三角形的性质定理1解决有关问题.
学习重点：相似三角形的性质定理1的证明和简单应用．
预设难点：相似三角形的性质定理1的灵活应用.
预习导航
一、链接
1、相似三角形的对应角______
，对应边
.
2、相似三角形的判定方法有那些？
3、全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等吗？请说明理由？
二、导读
阅读课本解决下列问题：
1、已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高,
求证：．
2、证明：相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比.
合作探究
1、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m,CD=5m，
（1）若点P到CD的距离为3m。求P到AB的距离？
（2）若PE⊥CD于D交AB于F，EF=1m，求PF
2、已知在△ABC中，BC=120mm，
BC边上的高为80mm，在这个三角形内有一个内接正方形，正方形的一边在BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上．求这个正方形的边长．
达标检测
1、若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高的比是
，
对应中线的比是
，对应角平分线的比是
．
2、若△ABC∽△A′B′C′,
BC=3.6cm，B′C′=6cm，AE是△ABC的一条中线，AE=2.4cm，则△A′B′C′中对应中线A′E′的长是
.
3、某人拿着一把分度值为厘米的小尺，站在距电线杆30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上12cm的长度恰好遮住电线杆，已知臂长为60cm．求电线杆的高.
D
E
F
C
A
B
P
