第2课时
比例的性质
学习目标：
1、掌握比例的基本性质、合比性质及等比性质.
2、会运用比例的性质进行简单的比例变形，并解决有关问题.
重点：比例的基本性质、合比性质及等比性质.
难点：运用比例基本性质解决各类问题.
【预习案】
一、链接
1、什么叫做两条线段的比？
2、若四条线段a、b、c、d成比例线段，写出它们的比例式，并指出比例内项、比例外项和第四比例项.
3、等式有哪些性质？
二、导读
阅读课本回答下列问题：
1、比例的基本性质
（1）、比例的基本性质：如果，那么
（2）、请写出上述变形的过程：
（3）请用简短的语言总结下列变形的方法：
如果
，那么ad=bc（
）
如果,那么（
）
2、等积式转化为比例式
（1）、如果，那么
（答案不唯一）
（2）、请写出上述变形的过程，并用简短的语言总结变形的方法：
【探究案】
1、合比性质：已知：，求证：
2、等比性质：已知(b＋d＋…＋n≠0)，求证：
【训练案】
1、如果3x-2y=0,那么=
.
2、若，则=
.
3、若2
x
=
3
y
=
4
z
，求
的值.
4、已知：已知，求的值.四章
图形的相似
4.1
成比例线段
第1课时
线段的比和成比例线段
教学目的：
1、知道线段的比的概念。理解成比例线段的概念
2、会计算两条线段的比。
3、掌握成比例线段的判定方法。
重点：线段的比与成比例线段的概念。
教学过程：
一、自主预习
（一）阅读课本
，思考并回答下列问题：
1、一般地，如果选用
量得两条线段AB，CD的长度分别为m,n，那么这两条线段的比就是他们长度的比，即AB∶CD=
m:n,或写成其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k,那么。
（1）在比或∶中，是
，是
。
⑵两条线段的
要统一
。
⑶在同一单位下线段长度的比与选用的
无关。
⑷线段的比是一个没有
的数。
（二）比例尺
1、在地图上或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。
2、比例尺为1：50000，意思为：
。
（三）成比例线段的概念
1、一般地，在四条线段中，如果
等于
的比，那么这四条线段叫做成比例线段。（举例说明）
如：
2、四条线段a,b,c,d成比例，有顺序关系。即a,b,c,d成比例线段，则比例式为：a:b=c:d；a,b,
d,c成比例线段，则比例式为：a:b=d:c
3思考：a=12,b=8,c=6,d=4成比例吗？a=12,b=8,c=15,d=10呢？
三、例题解析：
例1、A、B两地的实际距离AB=
250m，画在一张地图上的距离A'B'=5cm,求该地图的比例尺。
例2：已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A＝30°,斜边AB＝2。
求⑴，⑵
四、巩固练习
1、已知某一时刻物体高度与其影长的比值为2：7，某天同一时刻测得一栋楼的影长为30米，则这栋楼的高度为多少？
2、某地图上的比例尺为1：1000，甲，乙两地的实际距离为300米，则在地图上甲、乙两地的距离为多少？
3、已知线段a,d,b,c是成比例线段，其中a=4,b=5,c=10，求线段d的长。
五、小结：这节课我学到了第2课时
比例的性质
【教学目标】
1、（理解）
能熟记比例的基本性质．
2、（掌握）
能够运用比例的性质进行简单的计算和证明.
【教学重点】
比例的基本性质及其应用.
【教学过程】
知识链接：
1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题：
（1）如果a与b的比值和c与d的比值相等，应记为：
。
（2）已知2：3＝4：x，则x=
。
2、上节课教学了两条线段的比，成比例线段
（1）比例线段及其相关概念
“成比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做
。
（2）
“成比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？
线段的比是指
条线段的比的关系，成比例线段是指
条线段之间的关系。
（3）注意：概念的有序性
线段的比有顺序性，a:b和b:a相等吗？请举例说明。
成比例线段也有顺序性，如能说成是b、a、c、d成比例吗？请举例说明。
预习交流：
比例的基本性质是：
。
请写出推理过程：
∵，在两边同乘以bd得，
=
∴
=
合比性质:如果，那么
请写出推理过程：
∵，在两边同时加上1得，
+
=+
.
两边分别通分得：
思考：请仿照上面的方法，证明“如果，那么”．
等比性质：
猜想（），与相等吗？能否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法）
等比性质：如果（），那么＝．
思考：等比性质中，为什么要这个条件？
巩固练习：
1.在相同时刻的物高与影长成比例，如果一建筑在地面上影长为50米，高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么，该建筑的高是多少米？
2．若则
3．若，则
本课小结：
1．比例的基本性质：a:b=c:d
；
2.
合比性质：如果，那么
；
3.
等比性质：如果（），
布置作业：
课本习题4.24.1 成比例线段
第1课时 线段的比和成比例线段
1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；（重点）
2.理解成比例线段的概念；（重点）
3.掌握成比例线段的判定方法.（难点）
一、情景导入
请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？
这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同.
二、合作探究
探究点一：线段的比
【类型一】
求线段的比
已知线段AB＝2.5m，线段CD＝400cm，求线段AB与CD的比.
解析：要求AB和CD的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB和CD的单位统一.
解：∵AB＝2.5m＝250cm，
∴＝＝.
方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比.
【类型二】
比例尺
在比例尺为1：50
000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是 m.
解析：根据“比例尺＝”可求解.
设甲、乙两地的实际距离为xcm，则有1：50
000＝3：x，解得x＝150
000.
150
000cm＝1500m.故答案为1500.
方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化.
探究点二：成比例线段
【类型一】
判断线段成比例
下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A.3cm，4cm，5cm，6cm
B.4cm，8cm，3cm，5cm
C.5cm，15cm，2cm，6cm
D.8cm，4cm，1cm，3cm
解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例.四个选项中，只有C项排列后有＝.故选C.
方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：
（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；
（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.
【类型二】
由线段成比例求线段的长
已知：四条线段a、b、c、d，其中a＝3cm，b＝8cm，c＝6cm.
（1）若a、b、c、d是成比例线段，求线段d的长度；
（2）若b、a、c、d是成比例线段，求线段d的长度.
解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解.
解：（1）由a、b、c、d是成比例线段，得
＝，即＝，解得d＝16.
故线段d的长度为16cm；
（2）由b、a、c、d是成比例线段，得
＝，即＝，解得d＝.
故线段d的长度为cm.
方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长.
已知三条线段长分别为1cm，cm，2cm，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.
解析：因为本题中没有明确告知是求1，，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论.
解：若x：1＝：2，则x＝；若1：x＝：2，则x＝；若1：＝x：2，则x＝；若1：＝2：x，则x＝2.
所以所添加的线段的长有三种可能，可以是cm，cm，或2cm.
方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.
三、板书设计
从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识，并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力.第四章
图形的相似
4.1
成比例线段
第1课时
线段的比和成比例线段
学习目标：
1、了解两线段的比的概念，并会计算两线段的比.
2、了解成比例线段的意义，并会判断四条线段是否成比例.
学习重点：线段的比和成比例线段的概念及其有关计算
学习难点：会判断四个数或四条线段成比例
【预习案】
一、链接
1、一般地，如果选用同一长度单位去度量两条线段的
分别为a,b,那么
叫作这两条线段的比.
2、归纳：
(1)计算两条线段的比时，必须选用同一长度单位，即单位要统一；
(2)两线段的比的最后结果应约分、化简；
(3)两条线段的比是一个没有单位的正数。
二、导读
1、成比例线段：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
2归纳：
成比例的条件：在判断四条线段是否成比例线段时，只要把四条线段的长度化为同一单位，然后按从小到大(或从大到小)的顺序排列，再分别计算第一和第二、第三和第四条线段的比，如果相等，那么这四条线段就是成比例线段，否则就不是成比例线段。
【探究案】
1、线段a＝15厘米，b＝20厘米，c＝75毫米，d＝0.1米，求:
与，这四条线段会成比例吗
2、延长线段AB到点C，使BC=AB,求（1）AC：AB
（2）AB：BC
（3）BC：AC
.
【训练案】
1、判断下列四条线段是否成比例
（1）a=2，b=,c=，d=；
（2）
a=，b=3,
c=2，d=；
（3）a=4，b=6,
c=5，d=10；
（4）a=12，b=8,
c=15，d=10
2、在比例尺为1:400000地图上，量得甲、乙两地的距离为15厘米，则甲、乙两地的实际距离为(共14张PPT)
4.1
比例线段
第四章
图形的相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时
线段的比和成比例线段
1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；（重点）
2．理解成比例线段的概念；（重点）
3．掌握成比例线段的判定方法．（难点）
学习目标
问题1
下面两张邮票有什么特点？有什么关系？
导入新课
观察与思考
问题2
多啦A梦的2寸照片和4寸照片，它的形状改变了吗？大小呢？
讲授新课
线段的比和成比例线段
一
如果选用同一个长度单位得两条先线段AB,CD的长度分别是m
,
n,那么这两条线段的比就是它们长度的比，即
A
B
C
D
m
n
AB:CD=
m
:
n
或
如果把
表示成比值k,那么
=k，或k
·
CD,两条线段的比实际上就是两个数的比.
设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，AD,
EF,
EH的长度分别是多少？
四条线段a,
b,
c,
d中，如果a与b的比等于c与d的比，即
，那么这四条线段a
,
b
,c
,
d叫作成比例线段，简称比例线段.
A
B
C
D
G
H
E
F
，那么
、
各等于多少？
2．已知
1．已知： 线段a、b、c满足关系式
且b＝4，那么ac＝______．
，
练一练
16
例：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
解：
（1） ∵
∴ 线段a、b、c、d
不是成比例线段．
，
∴
，
典例精析
（2）a＝2，b＝
，c＝
，d＝
．
（2） ∵
∴
∴ 线段a、b、c、d是成比例线段．
注意:
1.若a:b=k
,
说明a是b的
k
倍；
2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两
条线段的长度单位必须一致；
3.两条线段的比值是一个没有单位的正数；
4.除了a=b外,a:b≠b:a,
互为倒数.
解：根据题意可知AE=
am,
由
，得
即
开平方,得
成比例线段的应用
二
例：一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=1m，按照图中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即
，那么a的值应当是多少？
D
A
F
E
C
B
当堂练习
1.一把矩形米尺，长1m,宽3cm，则这把米尺的长和宽的比
为（
）
A.100:3
B.1:3
C.10:3
D.1000:3
2.甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的比例
尺为（
）
A.5:1
B.
1:5
C.1:500000
D.500000:1
A
C
解：根据题意可知
,
AB
=
15
,
AC
=
10
,
BD
=
6.
则
AD
=
AB
–
BD
=15
–
6=
9.
则
3.已知
，AB=15，AC=10，BD=6．求AE．
A
B
C
D
E
课堂小结
成比例线段
如果选用同一长度单位量得两条线段AB,CD的长
度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长
度的比，即AB：CD=m：n，或写成
四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的
比，即
，那么这四条线段a，b，c，d叫做
成比例线段，简称比例线段.
线段的比
成比例线段第2课时 比例的性质
1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点）
2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题.（难点）
一、情景导入
配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度.
若有含糖a千克的糖水b千克，含糖c千克的糖水d千克，含糖e千克的糖水f千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变.可表示为＝.
这样表示的数学根据是什么？
二、合作探究
探究点一：比例的基本性质
已知＝，求的值.
解：解法1：由比例的基本性质，
得2（a＋3b）＝7×2b.
∴a＝4b，∴＝4.
解法2：由＝，得＝7，
∴＋＝＋3＝7，∴＝4.
方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.
探究点二：等比性质
（1）已知a：b：c＝3：4：5，求的值；
（2）已知＝＝＝2，且b＋d＋f≠0，求的值.
解析：（1）利用“引入参数法”，把a，b，c用含同一个字母的代数式表示出来，再代入分式求值；（2）应用比例的等比性质，表示出a与b、c与d、e与f三组量之间的倍数关系，再代入原代数式求值.
解：（1）设a：b：c＝3：4：5＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，∴＝＝＝－；
（2）∵＝＝＝2，∴＝＝＝2，
∴＝2.
方法总结：解多个比例式连在一起求值型试题的方法：方法一是引入参数，使其他的量都统一用含有一个字母的式子表示，再求分式的值；方法二是运用等比性质，即如果＝＝…＝（b＋d＋…＋n≠0），则＝，转化后求分式的值.
若a，b，c都是不等于零的数，且＝＝
＝k，求k的值.
解：当a＋b＋c≠0时，由＝＝＝k，
得＝k，
则k＝＝2；
当a＋b＋c＝0时，则有a＋b＝－c.
此时k＝＝＝－1.
综上所述，k的值是2或－1.
易错提醒：运用等比性质的条件是分母之和不等于0，往往忽视这一隐含条件而出错.本题题目中并没有交代a＋b＋c≠0，所以应分两种情况讨论，容易出现的错误是忽略讨论a＋b＋c＝0这种情况.
三、板书设计
经历比例的性质的探索过程，体会类比的思想，提高学生探究、归纳的能力.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增强学习数学的兴趣.(共14张PPT)
4.1
成比例线段
第四章
图形的相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时
比例的性质
1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点）
2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些
实际问题.（难点）
学习目标
导入新课
观察与思考
如图的(1)和(2)都是故宫太和殿的照片，(2)是由(1)缩小得到的.
（1）
（2）
P
Q
P′
Q′
在照片(1)中任意取四个点P，Q，A
，
B在照片(2)
找出对应的两个点P′，Q′，A
′,
B
′量出线段PQ，P′Q′，AB，
A′B′的长度.计算它们的长度的比值.
A
A
B
B
一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段PQ，
P′Q′的长度分别为m，n，那么把长度的比
叫作这两条线段PQ与P′Q′的比，记作
，或PQ：
其中PQ，
分别叫作比的前项、后项，如果
的比值为k，那么也可写成
，或
图中，对于另外两条线段有：
讲授新课
比例的基本性质
一
合作探究
问题1：如果四个数a
,
b,
c,
d成比例，即
那么ad
=
bc吗？反过来如果ad
=
bc,那么a
,
b,
c
,
d四个数成比例吗？
如果四个数a,b,c,d成比例，即
那么ad=bc吗？
在等式两边同时乘以bd,得ad=bc
由此可得到比例的基本性质：
如果
，那么
ad=bc.
由此可得到比例的基本性质：
如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么
.
如果ad=bc,那么等式
还成立吗？
在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式中，分母不能为0.
典例精析
例1：根据下列条件，求
a
:
b
的值：
（1）
4a=5b
；
（2）
解
（1）∵
4a=5b，∴
（2）∵
，∴8a=7b，∴
例2：已知
，求
的值.
解：解法1：由比例的基本性质，
得
2（a+3b）=7×2b.
∴a=4b，∴
=
4.
解法2：由
，得
.
∴
,
问题2：已知a
,
b,
c,
d,
e,
f
六个数，如果
（b+d+f≠0）,那么
成立吗？为什么？
设
,则
a
=
kb,
c
=
kd
,
e=
kf
.
所以
等比性质
二
例3：在△ABC与△DEF中，已知
，且△ABC的周长为18cm,求△DEF得周长.
解：∵
∴
∴4（AB
+
BC
+
CA）=3
(DE
+
EF
+
FD).
即
AB+BC+CA
=
(DE+EF+FD)
，
又
△ABC的周长为18cm，
即
AB+BC+CA=18cm.
∴
△DEF的周长为24cm.
1.(1)已知
，那么
=
，
=
.
(3)如果
，那么
.
(2)如果
那么
.
当堂练习
2.已知四个数a，b，c，d成比例.
（1）若a=-3，b=9，c=2，求d；
（2）若a=-3，b=
，c=2，求d.
比例的性质
如果
那么
ad
=
bc
基本性质
等比性质
如果ad
=
bc（a
,
b,
c,
d）都不等于0，那么
课堂小结
