4.2
平行线分线段成比例
学习目标：
1、了解两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例这一基本事实证明方法.
2、能利用基本事实及推论决简单的实际问题.
学习重点：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例这一基本事实和推论的简单应用.
学习难点：定理证明思路的寻求过程.
【预习案】
一、链接
1、已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，求证：S△ABC=
S△BCD.
2、写出平行线等线段这个基本事实的内容。
二、导读
阅读课本内容并回答以下问题：
1、试着证明平行线分线段成比例定理.
试证明两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
这一基本事实.
【探究案】
1、如图，AD∥BE∥CF,AB:BC
=
2:3，AD
=
6，CF
=
11，则BE的长为多少？
2、如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE=
AB，EM的延长线与BC的延长线交于点D，求证：BC
=
2CD.
【训练案】
1、如图，DE∥BC，DF∥AC，AD=3cm，BD=6cm，DE=2cm.求BF的长.
2、已知：如图，在△ABC中，点D
是BC边中点，点F是AD中点，求BF：FE的值.4.2
平行线分线段成比例
一、教学目标
1．知识目标：
①了解平行线分线段成比例定理
②会用平行线分线段成比例定理解决实际问题
2．能力目标：
掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
二、教学过程分析
1.复习提问
（1）什么叫比例线段？
答：四条线段
a、b、c、d
中，如果
a：b=c：d，那么这四条线段a、b、c、d
叫做成比例的线段，简称比例线段.
（2）比例的基本性质？
答：如果
a：b
=c：d
，那么ad
=bc.
如果
ad
=bc，那么
a：b
=c：d
.
如果
a：b
=c：d，那么(a-b)：b
=(c-d)：d;
(a+b)：b
=(c+d)：d.
2.引入新课
做一做
在图4-6中，小方格的边长均为1，直线l1
∥
l2∥
l3，分别交直线m，n与格点A1，A2，A3，B1，B2，B3.
图4-6
（1）计算
的值，你有什么发现？
（2）将向下平移到如图3-7的位置，直线m,n
与的交点分别为
你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将平移到其它位置呢？
（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
3.分组讨论，得出结论
平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
4.想一想
（一）如果把图1中l1
,
l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
（二）如果把图1中l1
,
l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
得出结论：（推论）
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.
5.
例题学习
例1
如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。
（1）如果AE=7
，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？
（2）如果AB=10
，AE=6，AF=5.那么FC的长是多少？
例2
如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：OD∶OA＝OE∶OB
6.课时小结
平行线分线段成比例定理：
(1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）
(2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.
7.课后作业
习题4.3
知识技能
第1，2题4.2 平行线分线段成比例
1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；（重点）
2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点）
一、情景导入
梯子是我们生活中常见的工具.
如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB＝BC＝CD，AA1∥BB1∥CC1∥DD1，那么A1B1和B1C1相等吗？
二、合作探究
探究点一：平行线分线段成比例
如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交这三条直线于点A，B，C，直线DF分别交这三条直线于点D，E，F，若AB＝3，DE＝，EF＝4，求BC的长.
解：∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝3，DE＝，EF＝4，
∴根据平行线分线段成比例可得＝，
即BC＝·AB＝×3＝.
方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.
如图所示，直线l1∥l2∥l3，下列比例式中成立的是（ ）
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：由平分线分线段成比例可知＝，故A选项不成立；由＝可知B选项不成立；由＝可知C选项不成立；D选项成立.故选D.
方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：“＝，＝，＝”或“＝＝”.
探究点二：平行线分线段成比例的推论
如图所示，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于（ ）
A.3
B.4
C.6
D.8
解析：由DE∥BC可得＝，即＝，∴AC＝8.故选D.
易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.
如图，在△ABC的边AB上取一点D，在AC上取一点E，使得AD＝AE，直线DE和BC的延长线相交于P，求证：＝.
解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP：CP，又含有BD，故可考虑过点C作PD的平行线CF，便可以构造出＝，此时只需证得CE＝DF即可.
证明：如图，过点C作CF∥PD交AB于点F，则＝，＝.
∵AD＝AE，∴DF＝CE，∴＝.
方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.
三、板书设计
通过教学，培养学生的观察、分析、概括能力，了
解特殊与一般的辩证关系.再次锻炼类比的数学思想，能把一个复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.在探索过程中，积累数学活动的经验，体验探索结论的方法和过程，发展学生的合情推理能力和有条理的说理表达能力.(共23张PPT)
4.2
平行线分线段成比例
第四章
图形的相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论;（重点）
2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点）
学习目标
观察与猜想
下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA1,BB1,CC1互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？
a
b
c
DE=EF
导入新课
D
F
E
N
E
A
B
C
D
F
直线
，AB=BC，
求证：DE与EF相等.
M
证明：分别过点D、E作DM∥a交l2于点
M，EN∥a交l3于点N.
易证：四边形ABMD和四边形BCNE是平行四边形.
由AB=BC得DM=EN
易证：△DME≌△ENF
∴
DE=EF.
平行线分线段成比例（基本事实）
一
证明猜想
平行线等分线段
讲授新课
如图（1），小方格的边长都是1，直线a
∥b∥c
,分别交直线m,n于
（1）计算
，你有什么发现？
合作探究
平行线分线段的关系
（2）将b向下平移到如图2的位置，直线m，n与直线b的交点分别为
.你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将b平移到其他位置呢？
(图2）
猜想：在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？
如果
，那么
与
相等吗？
解：
相等.理由如下，如图，我们分别找出AB的二等分点和BC的三等分点，再过它们作AD的平行线.
P
M
H
Q
N
G
由平行线等分线段可知：
证明猜想（特殊）
如果
，
那么
与
相等吗？
解：相等.理由如下：我们分别找出AB的n等分点和BC的m等分点，再过它们作AD的平行线.
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例.
成比例
n个
m个
n个
m个
证明猜想（一般）
基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所截得的对应线段成比例.
符号语言：
若a
∥b∥
c
，则
.
b
c
a
归纳总结
1.直线AB//CD//EF，若AC=3，CE=4，
则
，
2.直线
，若AC=4，CE=6，
则BD=3
，BF=
练一练
l2
l1
l2
l3
l4
l5
l1
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
l3
l4
l5
C
A
B
D
E
A
B
C
D
E
找一找：如图2、图3，l3∥
l4∥l5,请指出成比例的线段.
猜想：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
图2
图3
平行线分线段成比例定理的推论
二
如图，在△ABC中，已知DE∥BC,求证：
及
.
A
B
C
D
E
M
N
如图，过点A作直线MN，使
MN//DE.
∵DE//BC,
∴MN//DE//BC.
因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC所截.
证明猜想
同时还可以得到
则由平行线分线段成比例可知
归纳总结
平行线分线段成比例的推论：
平行于三角形一边的直线与其他两边（
或其延长线）相交，截得的对应线段成比例.
例1:如图所示，在△ABC中，E，F，分别是AB和AC的点，且EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少？
A
E
B
C
F
解:
∵EF∥BC,
∴
∵AE
=
7,
EB
=
5
,
FC
=
4.
∴
典例精析
(2)如果AB=10，AE=6，AF=5,那么FC的长是多少？
A
E
B
C
F
解:
∵EF∥BC,
∴
∵AB
=
10
,
AE
=
6
,
AF
=
5.
∴
∴FC=AC
–
AF
=
例2：如图：在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE//BC、EF//AB.若AD=2BD.
(1)求
的值.
(2)求证：
.
A
B
C
D
E
F
解：(1)∵DE//BC，EF//AB,
又AD=2BD
(2)∵DE//BC，EF//AB,
∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF.
由(1)知
1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是( )
A.
B.
C.
D.
D
当堂练习
A
B
C
E
D
2.填空题:
如图:DE∥BC,
已知:
则
.
3.在△ABC中，ED//AB，若
，
则
A
B
C
D
E
4.已知：DE//BC,
AB=15,AC=9,BD=4
.求AE的长.
解:
∵
DE∥BC,
AB
AC
BD
CE
∴
——
——
＝
.（推论）
即
5.如图，AB=AC，AD⊥BC于点D,M是AD的中点，CM交AB于
点P,DN
∥CP.若AB=6cm，求AP的长.
拓展提升
解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D,
M是AD的中点,
∴DB=DC,AM=MD.
∵DN
∥CP,
又∵AB=6cm，
∴AP=2cm.
平行线分线
段成比例
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，
截得的对应线段成比例.
基本事实
推论
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线
段成比例.
课堂小结
