4.3 相似多边形
1.了解相似多边形和相似比的概念；
2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形；（重点）
3.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.（难点）
一、情景导入
观察以下三组图形，每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？
二、合作探究
探究点一：相似多边形的判定
下列图形都相似吗？为什么？
（1）所有正方形；（2）所有矩形；（3）所有菱形；（4）所有等边三角形；（5）所有等腰三角形；（6）所有等腰梯形；（7）所有等腰直角三角形；（8）所有正五边形.
解析：利用定义判断边数相同的多边形是否相似，要从两方面进行判断：（1）对应角相等；（2）对应边成比例，两者缺一不可.
解：（1）相似，因为正方形每个角都等于90°，所以对应角相等，而每个正方形的边长都相等，所以对应边成比例；
（2）不一定，虽然矩形的每个角都等于90°，对应角相等，但是对应边不一定成比例，如图①；
（3）不一定，每个菱形的四条边长都相等，所以两菱形的对应边一定成比例，但是它们的对应角不一定相等，如图②，显然两个菱形的对应角是不相等的；
（4）相似，因为每个等边三角形的三条边都相等，所以两个等边三角形的对应边一定成比例，并且对应角都等于60°；
（5）不一定，如图③，对应边不成比例，对应角不相等；
（6）不一定，如图④，对应边不成比例，对应角不相等；
（7）相似，因为等腰直角三角形的三个角分别是45°，45°，90°，所以对应角相等，而且每一个三角形的三边的比都是1：1：，所以对应边成比例；
（8）相似，因为正五边形的各角都等于108°，所以对应角相等，而且正五边形的各边都相等，所以对应边成比例.
方法总结：（1）相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法，在判定两个多边形相似时，必须同时具备两点：对应角相等，对应边成比例.（2）在说明图形不相似时只需画图举出反例即可.（3）所有边数相等的正多边形都相似.
探究点二：相似多边形的性质
已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，试根据图中所给出的数据求出四边形EFGH和四边形ABCD的相似比.
解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，且∠A＝∠E＝80°，∠B＝∠F＝75°，
∴AB与EF是对应边.∵＝＝，
∴四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为.
方法总结：找准相似多边形的对应边是解决此类问题的关键，方法类似于找全等三角形对应边和对应角的方法.
探究点三：相似多边形的应用
如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，EF将四边形ABCD分成两个相似四边形AEFD和EBCF.若AD＝3，BC＝4，求AE：EB的值.
解析：根据相似多边形的对应边成比例，可得到＝，可以求出EF的长，从而可求AE：EB的值.
解：因为四边形AEFD∽四边形EBCF，
所以＝，
所以EF2＝AD·BC＝3×4＝12，
所以EF＝＝2.
因为四边形AEFD∽四边形EBCF，
所以AE：EB＝AD：EF＝3：2＝：2.
方法总结：若两个多边形相似，则它们对应的边成比例，根据此特性，可列等式或比例式求解.
在AB＝20m，AD＝30m的矩形花坛ABCD的四周建筑小路.
（1）如果四周的小路的宽均相等，如图①，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由；
（2）如果对应着的两条小路的宽均相等，如图②，试问小路的宽x与y的比值是多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？
解析：（1）根据两矩形的对应边是否成比例来判断两矩形是否相似；
（2）根据矩形相似的条件列出等量关系式，从而求出x与y的比值.
解：（1）矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似.理由如下：
假设两个矩形相似，不妨设小路宽为xm，
则＝，解得x＝0.
∵由题意可知，小路宽不可能为0，
∴矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似；
（2）当x与y的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似.理由如下：
若矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似，
则＝，所以＝.
∴当x与y的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似.
方法总结：因为矩形的四个角均是直角，所以在有关矩形相似的问题中，只需看对应边是否成比例，若成比例，则相似，否则不相似.
三、板书设计
相似多边形
在探索相似多边形本质特征的过程中，让学生运用“观察－比较－猜想”分析问题，进一步发展学生观察、分析、判断、归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用，培养与他人交流、合作的意识和品质.(共13张PPT)
4.3
相似多边形
第四章
图形的相似
1.了解相似多边形和相似比的概念.
2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形.（重点）
3.掌握相似多边形的性质,能根据相似比进行相关的计算.（难点）
学习目标
导入新课
观察与思考
想一想:下面几组图形有什么相同点和不同点
（1）
（2）
（3）
（4）
讲授新课
相似多边形的概念及基本性质
一
A1
B1
C1
D1
E1
F1
A
B
C
D
E
F
问题1：在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？
问题2：在这两个多边形中，夹相等内角的两边否成比例？
多边形ABCDEF是显示在电脑屏幕上的,而多边形A1B1C1D1E1F1是投射到银幕上的.
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相
似多边形.
相似多边形的对应边的比叫作相似比.
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似比：
相似多边形的特征：
相似多边形的定义：
归纳总结
相似多边形用符号“∽”表示，读作“相似于”
任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意正n边形呢？
a1
a2
a3
an
…
分析：已知等边三角形的每个角都为60°,
三边都相等.
所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.
…
同理，任意两个正方形都相似.
归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.
a1
a2
a3
an
问题：任意的两个菱形是否形似？
相似多边形的应用
二
例：如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，EF将四边形ABCD分成两个相似四边形AEFD和EBCF.若AD=3，BC=4，求AE:EB的值.
解：∵四边形AEFD∽四边形EBCF,
∴
.
∴EF2=AD·BC=3×4=12,
∴EF=
.
∵四边形AEFD∽四边形EBCF,
∴AE:EB=AD:EF=3:
=
:2.
A
B
C
D
E
F
当堂练习
1.下列命题中，正确的是（
）
A.所有的等腰三角形都相似
B.所有的直角三角形都相似
C.所有的等边三角形都相似
D.所有的矩形都相似
C
2、若△ABC∽△
A′B′C′，且AB：A′B′=1:2
则△ABC与△
A′B′C′相似比是
，
△
A′B′C′与△ABC的相似比是 ．
2
3．已知△ADE∽△ABC，点A、D、E分别与点
A、B、C对应，且相似比为
，若DE=
4cm，
求BC的长.
∵
解
△
ADE
∽△
ABC,
4. ABCD中，AB=10，AD=6，EF∥AD,若 ABCD与 ADFE相似，求AE的长.
能力提升
∵
解
平行四边形
ABCD
∽平行四边形
ADFE,
∵AB=10，AD=6
∴AE=3.6
相似多边形
课堂小结
概念：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做
相似多边形.
性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.4.3
相似多边形
教学目的:
(1)探索相似图形的性质，知道相似图形的对应角相等，对应边的比相等．
(2)探索相似图形的判定，知道“如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等．那么这两个多边形相似”
(3)在探索相似图形的性质的探究过程中，让学生运用观察—猜想—思考—验证的数学思想，并体会由特殊到一般的思想方法．能运用相似图形的性质解决问题．
(4)在探索相似图形的性质过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
重点、难点
教学重点:
知道相似图形的对应角相等，对应边的比相等．
教学难点:
能运用相似图形的性质解决问题．
一.创设情境
活动1观察图片，体会相似图形性质
(1)
图27.1-4(1)中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？
图27.1-4
(2)对于图27.1-4(2)中两个相似的正六边形，是否也能得到类似的结论？
教师活动:教师出示图片，提出问题；
学生活动:学生细心观察思考,小组讨论后回答问题:
它们的对应角相等，对应边的比相等．
．
教师活动:在活动中,教师应重点关注：
(1)
学生参与活动的热情及语言归纳数学结论的能力；
(2)
学生对正三角形和正六边形的图形性质的认识是否到位．
活动2
探究：
图27.1-5(1)中是两个相似三角形,
它们的对应角有什么关系？对应边的比是否相等？
对于图27.1-5(2)中两个相似四边形，它们的对应角、对应边是否也有同样的结论？
(1)
(2)
图27.1-5
教师活动:教师出示图片，提出问题；为了验证学生自己的猜想，可以鼓励学生用刻度尺和量角器量一量．
学生活动:学生猜想，小组讨论后回答问题:
学生归纳总结：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等；
(1)如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似；
(2)相似多边形的对应边的比称为相似比；
(3)当相似比为1时，两个多边形全等．
二、运用相似多边形的性质．
活动3
例：
如图27.1-6，四边形ABCD和EFGH相似，求角的大小和EH的长度．
27.1-6
教师活动:教师出示例题，提出问题；
学生活动:学生通过例题运用相似多边形的性质，正确解答出角的大小和EH的长度．(2人板演)
活动4
1．在比例尺为1﹕10
000
000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30
cm，求两地的实际距离．
2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？
3．如图所示的两个五边形相似，求未知边、、、的长度．
教师活动:在活动中,教师应重点关注：
（1）学生参与活动的热情及语言归纳数学结论的能力；
（2）学生对于相似多边形的性质的掌握情况．
三、回顾与反思．(1)谈谈本节课你有哪些收获．
(2)布置课外作业：教材P88页习题4.44.3
相似多边形
学习目标：
1、认识相似图形，理解相似多边形及相似比等有关概念.
2、经历观察、操作相似图形的过程，进一步体会相似图形的本质特征和相似图形在现实生活中的应用.
学习重点：认识生活中相似的图形，学会画简单相似图形的方法.
预设难点：判断两个多边形是否是相似形.
【预习案】
一、链接
1、能够
的两个图形是全等形，全等形中互相重合的边叫做
，它们相等；互相重合的角叫
，它们相等.
2、若△ABC和△DEF全等，则可以记作：△ABC≌△DEF，读作“△ABC全等于△DEF”，可得：AB
=
，
BC
=
，AC
=
，∠A
=
∠
，∠B
=
∠
，∠C
=
∠
.
二、导读
阅读课本解决下列问题
1、观察下面两幅图说说它与全等图形有哪些区别？
2、通过阅读课本，你能说说相似多边形及相似比的概念吗，相似多边形有哪些性质？
【探究案】
1、如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（
）
2、如图，矩形ABCD和矩形EBFG中，E是AB的中点，F是BC的中点，这两个矩形相似吗？
若相似请求出它们的相似比,
若不相似请说明理由.
【训练案】
1、下面每组图形中的两个图形是相似图形的是（
）.
2、下列图形中不一定是相似图形的是
（
）
A、两个等边三角形
B、两个等腰直角三角形
C、两个长方形
D、两个正方形
3、把下列菱形缩小为原来的一半.
