4.5
相似三角形判定定理的证明
一、教学目标：
知识与技能：正确理解并掌握相似三角形的判定定理的证明方法
过程与态度:
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
情感态度与价值观：让学生在演绎推理的过程中体验成功的快乐
二、教学重难点：
重点：相似三角形的判定定理的证明过程
难点：相似三角形的判定定理的运用
三、教学过程：
（一）提出问题，导入新课
在上节课中，我们通过类比两个三角形全等的条件，寻找并探究判定两个三角形相似的条件，我们得出的结论是怎样的？您能证明它们一定成立吗？
目的：通过学生回顾复习已得结论入手，激发学生学习兴趣。
（二）合作探究，学习新知：
命题1、两角分别相等的两个三角形相似。如何对文字命题进行证明？与同伴进行交流.
目的：通过学生回顾证明文字命题的步骤入手，引导学生进行画图，写出已知，求证。
第一步：引导学生根据文字命题画图，
第二步：根据图形和文字命题写出已知，求证。
已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。
求证:
△ABC∽△A’B’C’。
第三步：写出证明过程。（分析现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角形的定义，我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等，下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可。根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC内部或外部构造平行线，从而构造出与△A’B’C’全等的三角形。）
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A’B’,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。
过点D作AC的平行线，交BC于点F,则
(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。
∴____________
∵DE∥BC，DF∥AC
∴四边形DFCE是平行四边形。
∴DE=CF
∴____________
∴____________
而∠ADE=∠B,
∠DAE=∠BAC,
∠AED=∠C,
∴___________
∵∠A=∠A’,
∠ADE=∠B’,
AD=A’B’,
∴△____≌△____
∴△ABC∽△A’B’C’.
通过证明，我们可以得到命题1是一个真命题，从而得出相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。现在，我们已经有两种判定三角形相似的方法。
下面我们可以类比前面的证明方法，来继续证明命题2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。能自己试试吗？
鼓励学生积极思考，模仿前面的证明过程进行证明。可让学生板书过程，或老师在学生中寻找资源，通过投影修正过程中存在的问题。
通过证明，学生可以得到相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
下面让每个学生独立完成三边成比例的两个三角形相似的证明。从而得到相似三角形判定定理：三边成比例的两个三角形相似。
（三）运用知识解决问题
例1
已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N与窗户的距离NC．
例2
如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．
例3
在ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．（1）试说明△AMD∽△EMB；（2）求的值．
相似三角形的判定定理的选择：1.已知有一角相等，可选判定定理1和2；2.已知有两边对应成比例，可选判定定理2和3。
（四）学习小结：
通过本节课的学习，你学会了哪些知识和方法？哪里还有困惑？
（五）布置作业：
四、教学反思：(共14张PPT)
4.5
相似三角形判定定理的证明
第四章
图形的相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会证明相似三角形判定定理；（重点）
2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）
导入新课
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
①
两角对应相等，两三角形相似.
②
两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
③
三边对应成比例,两三角形相似.
讲授新课
证明相似三角形的判定定理
一
在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明．
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图，在
△ABC
和△A'B'C'
中，∠A
=
∠A'，∠B
=∠B'.
求证：△ABC
∽△A'B'C'．
A′
B′
C′
A
B
C
A′
B′
C′
A
B
C
证明：在
△ABC
的边
AB（或它的延长线）上截取AD
=A'B'，过点D作BC的平行线，交
AC
于点E，则
∠1=∠B，∠2
=∠C，
过点
D
作
AC
的平行线,交
BC
于点
F,则
∴
∴
∵
DE∥BC,
DF∥AC,
∴
四边形
DFCE
是平行四边形．∴
DE
=
CF.
∴
∴
E
D
F
1
2
而
∠
1
=
∠
B，∠
DAE
=
∠
BAC，∠
2=∠
C，
∴
△ADE
∽
△ABC.
∵
∠
A
=
∠
A'，∠
ADE
=
∠
B
=∠
B'，AD
=
A'B'，
∴
△ADE
≌△A'
B
'
C
'
．
∴
△ABC
∽△A'B'C.
A′
B′
C′
A
B
C
E
D
F
1
2
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC
和△A'B'C'
中，∠A
=∠
A'，
求证：△ABC
∽
△A'B'C'.
A′
B′
C′
A
B
C
E
D
1
2
证明：在△ABC
的边
AB（或它的延长线）上截取
AD
=
A'B'，过点
D
作
BC
的平行线，交
AC
于点
E，则
则∠
B
=
∠
1，
∠
C
=
∠
2，
∴
△ABC
∽
△ADE
∴
∵
，AD
=
A'B'，
∴
∴
∴
AE
=A'C'.
而
∠
A=∠
A'，
∴
△ADE
≌
△A'B'C'.
△ABC
∽
△A'B'C'.
A′
B′
C′
A
B
C
E
D
1
2
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在
△ABC
和△A'B'C'
中，
求证：△ABC
∽
△A'B'C'
.
A′
B′
C′
A
C
E
D
B
证明：在△ABC
的边
AB（或它的延长线）上截取
AD
=
A'B'，过点
D
作
BC
的平行线，交
AC
于点
E，则
∵
，AD
=
A'B'，AE
=
A'C'，
∴
而
∠
BAC
=∠
DAE，
∴
△ABC
∽△ADE.∴
又
，AD
=
A'B'，
∴
∴
∴
DE
=
B'C'.
∴
△ADE
≌
△A'B'C'
.
∴
△ABC
∽△A'B'C'
.
A′
B′
C′
A
C
E
D
B
相似三角形判定定理的运用
二
例：已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2,
AC=8，求AB.
C
D
A
B
解：
∵
∠
A=
∠
A
,
∠ABD=∠C,
∴
△ABD
∽
△ACB
,
∴
AB
:
AC
=
AD
:
AB,
∴
AB2
=
AD
·
AC.
∵
AD
=
2
,
AC
=
8,
∴
AB
=
4.
1.如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是
（
）
①
②
③
④
①③
当堂练习
2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=
，求AD的长.
解:
∵
AB=6，BC=4，AC=5，CD
=
∴
又∠B
=∠ACD,
∴△ABC∽△DCA，
∴
∴AD=
A
B
C
D
相似三角形判定定理的证明
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
定理的运用
定理证明
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角
形相似.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
课堂小结4.5 相似三角形判定定理的证明
1.会证明相似三角形判定定理；（重点）
2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）
一、情景导入
相似三角形的判定方法有哪些？
答：（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似.
怎样证明这些结论呢？
二、合作探究
探究点：相似三角形的判定定理
【类型一】
根据条件判定三角形相似
如图所示，给出以下条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD·AB.其中能单独判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：在图中已知两个三角形有一对公共角，只要再找一对角相等，或夹公共角的两组对应边成比例即可判定两个三角形相似.题中有三个条件可以单独判定△ABC∽△ACD，分别是①②④.①②是根据有两组角分别对应相等的两个三角形相似来判定的；④是根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定；③虽然两边对应成比例，但不能得到其夹角相等，所以不能判定两个三角形相似.故选C.
方法总结：利用两边分别对应成比例且夹角相等的方法判定两个三角形相似时，一定要注意必须是对应成比例的两边的夹角相等，若不是夹角相等，则不能判定这两个三角形相似.
【类型二】
探索三角形相似的条件
如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD.
（1）若AB＝9，CD＝4，BD＝10，请问在BD上是否存在点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；
（2）若AB＝9，CD＝4，BD＝12，请问在BD上存在多少个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（3）若AB＝9，CD＝4，BD＝15，请问在BD上存在多少个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（4）若AB＝m，CD＝n，BD＝l，请问在m、n、l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个点P？两个点P？三个点P？
解：（1）设BP＝x，则DP＝10－x.
若△ABP∽△CDP，则＝，即＝，解得x＝；若△ABP∽△PDC，则＝，即＝，此时方程无解.
综上，存在这样的点P，此时BP＝；
（2）设BP＝x，则DP＝12－x.
若△ABP∽△CDP，则＝，即＝，解得x＝；若△ABP∽△PDC，则＝，即＝，解得x＝6.
综上所述，存在两个这样的点P，此时BP＝6或；
（3）设BP＝x，则DP＝15－x.
若△ABP∽△CDP，则＝，即＝，解得x＝；若△ABP∽△PDC，则＝，即＝，解得x＝3或12.
综上所述，存在三个这样的点，此时BP＝，3或12；
（4）设BP＝x，则DP＝l－x.
若△ABP∽△CDP，则＝，即＝，解得x＝；若△ABP∽△PDC，则＝，即＝，得方程x2－lx＋mn＝0，Δ＝l2－4mn.
当Δ＝l2－4mn＜0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个点P；
当Δ＝l2－4mn＝0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个点P；
当Δ＝l2－4mn＞0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个点P.
方法总结：由于相似情况不明确，因此要分两种情况讨论，注意要找准对应边.
三、板书设计
相似三角形判定定理的证明
本课主要是证明相似三角形判定定理，以学生的自主探究为主，鼓励学生独立思考，多角度分析解决问题，总结常见的辅助线添加方法，使学生的推理能力和几何思维都获得提高，培养学生的探索精神和合作意识.4.5
相似三角形判定定理的证明
学习目标：
1、进一步复习巩固相似三角形的判定定理.
2、能灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.
学习重点：灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.
预设难点：灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.
【预习案】
一、链接
回忆相似三角形的判定定理的内容：
定理1可简单说成：
.
定理2可简单说成：
.
定理3可简单说成：
.
直角三角形相似的特殊判定定理：
.
二、导读
1、想一想：判定一般的两个三角形相似有几种方法？判定两个直角三角形相似有几种方法？
2、想一想如何根据已知条件来选择三角形相似的判定方法？
【探究案】
1、如图，点D为△ABC的AB边一点（AB>AC）,下列条件不一定能保证
△ACD∽△ABC的是（
）．
A.∠ADC=∠ACB
B.∠ACD=∠B
C.
2、已知：如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE，请认真研究图形与所给条件，然后回答：图中是否存在相似的三角形？若存在，请加以说明；若不存在，请说明理由．
3、已知△ABC，△DCE，△EFG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=，BC=1，连接BF，分别交AC，DC，DE于P，Q，R．求证：△BFG∽△FEG，尝试用不同的方法证明.
【训练案】
1、下列图形不一定相似的是（
）．
A、有一个角是120°的两个等腰三角形
B、有一个角是60°的两个等腰三角形
C、两个等腰直角三角形
D、有一个角是45°的两个等腰三角形
2、如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，且BD=a，BC=b，当AC与a，b满足什么关系时，△ACB∽△CBD？
3、顺次连接三角形三边中点所得的小三角形与原三角形相似吗？试证明.
