(共28张PPT)
4.6
利用相似三角形测高
第四章
图形的相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.通过测量旗杆的高度的活动，并复习巩固相似三角形有
关知识.（重点）
2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点）
学习目标
世界上最高的树
——
红杉
导入新课
乐山大佛
台北101大楼
怎样测量这些非常高大物体的高度？
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？
运用相似三角形解决高度(长度)测量问题
一
讲授新课
例1：如下图，如果木杆EF长2
m，它的影长FD为3
m，测得OA为201
m，求金字塔的高度BO.
我们来试着用学过的知识解决前面提出的问题．
解：∵BF∥ED，∴∠BAO=∠EDF，
又∵∠AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF，
∴
=
，∴
=
，
∴BO=134.
因此金字塔高134
m.
物1高
：物2高
=
影1长
：影2长
测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
例2：如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.
解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN∥BD交ID于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN.
A
E
C
D
F
B
N
A
E
C
D
F
B
N
解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，
∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°,
∴AB∥EF∥CD,
∴∠EMA=∠CNA.
∵∠EAM=∠CAN,
∴△AEM∽△ACN
,
∴
.
∵AB=1.6m
,
EF=2m
,
BD=27m
,
FD=24m
,
∴
,
∴CN=3.6（m），
∴CD=3.6+1.6=5.2（m）.
故树的高度为5.2m.
M
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决.
例3：为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，
①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；
②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；
③观察镜面，恰好看到树的顶端.
你能帮助他计算出大树的大约高度吗？
解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°,
∴△DCE∽△BAE.
∴
,
得
BA=18.75m.
因此，树高约为18.75m.
D
B
A
C
E
2
1
测高方法三：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
例3：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45
m，ST=90
m，QR=60
m，求河的宽度PQ.
45m
90m
60m
解：
∵
QR∥ST
∴△PQR∽△PST
PQ=90m.
（1）根据题意画出___________;
（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的
_____________________;
（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出__________;
（4）写出___________.
示意图
已知线段、已知角
未知量
答案
利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：
归纳总结
利用三角形相似测高的模型：
1.
铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高______m.
8
O
B
D
C
A
┏
┛
1m
16m
0.5m
？
2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高为______.
4米
当堂练习
3.如图
，利用标杆BE测量建筑物的高度。如果标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，楼高CD是多少？
解：
∴
EB∥CD
∴△ABE∽△ACD
CD=10.5m.
∵EB⊥AC
,
CD⊥AC
1.2m
12.4m
1.6m
4.如图，左、右并排的两棵大树的高分别是
AB
=8
m和
CD=12
m，两树底部的距离
BD=5
m，一个人估计自己的眼睛距地面
1.6
m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路
l
从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点
C
了？
解：如图，假设观察者从左向右走到点
E
时，她的眼睛的位置点
E
与两棵树的顶端
A，C
恰在一条直线上．
∵ AB⊥l，
CD⊥l，
∴ AB∥CD．
∴ △AEH∽△CEK．
∴ =
，
即
=
=
．
解得 EH=8（m）．
由此可知如果观察者继续前进，当她与左边的树距离小于
8
m
时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端
C．
5.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB.（精确到0.1米）
A
D
C
E
B
解：∵∠ADB=∠EDC
∠ABD=∠ECD=90゜
答：河的宽度AB约为96.7米.
∴⊿ABD∽⊿ECD
（两角分别相等的两个三角形相似），
∴
解得
A
D
C
E
B
6.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米
E
D
6.4
1.2
？
1.5
1.4
A
B
C
解：作DE⊥AB于E
得
∴AE=8米，
∴AB=8+1.4=9.4米
物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
相似三角形的应用
测量高度问题
课堂小结
测量河宽问题4.6 利用相似三角形测高
1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验；（重点）
2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点）
一、情景导入
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.
你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？
二、合作探究
探究点一：利用阳光下的影子测量高度
【类型一】
影子在同一平面上时高度的测量
如图所示，身高为1.6m的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为2m，旗杆在地面上的影长为8m，那么旗杆的高度是多少呢？
解析：同一时刻的太阳的光线应是平行的，人和旗杆都与地面垂直，因此可以通过相似三角形对应边成比例来求旗杆的高度.
解：如图，用DC表示人的身高，EC表示人的影长，AB表示旗杆的高度，BC表示旗杆的影长.
由题意知DC＝1.6m，EC＝2m，BC＝8m.
∵太阳光AC∥DE，
∴∠E＝∠ACB.
又∵∠B＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DCE.
∴＝，即＝.
解得AB＝6.4（m）.
故旗杆的高度是6.4m.
方法总结：同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比相同.
【类型二】
影子不在同一平面上时高度的测量
如图①，在离某建筑物CE4m处有一棵树AB，在某时刻，1.2m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2m，那么这棵树的高是多少？
解：方法一：延长AD，与地面交于点M，如图②.
根据同一时刻，物体的影长和它的高度成正比，
所以＝＝.
因为CD＝2m，FG＝1.2m，GH＝2m，BC＝4m，
所以CM＝m，所以BM＝BC＋CM＝（m）.
所以＝，AB＝4.4（m）.
故这棵树的高是4.4m.
方法二：过点D作AB的垂线，交AB于点M，如图③.
由题意可知＝，而DM＝BC＝4m，AM＝AB－CD＝（AB－2）m，FG＝1.2m，GH＝2m，
所以＝，解得AB＝4.4（m）.
故这棵树的高是4.4m.
方法三：过点C作AD的平行线交AB于点P，如图④.
由题意可知＝，而BP＝AB－CD＝（AB－2）m，BC＝4m，FG＝1.2m，GH＝2m，
所以＝，解得AB＝4.4（m）.
故这棵树的高是4.4m.
方法总结：在图上补全影子或构造相似三角形是求出树高的关键.三种方法的解题依据实质上都是应用了相似三角形的性质，但其解题的简便性不同，显然方法二和方法三比方法一简单.
探究点二：利用标杆测量高度
如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.
解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN.
解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，
所以∠ABF＝∠EFD＝∠CDF＝90°，
所以AB∥EF∥CD，所以∠EMA＝∠CNA.
因为∠EAM＝∠CAN，
所以△AEM∽△ACN，所以＝.
因为AB＝1.6m，EF＝2m，BD＝27m，FD＝24m，
所以＝，所以CN＝3.6（m），
所以CD＝3.6＋1.6＝5.2（m）.
故树的高度为5.2m.
方法总结：利用标杆测量物体的高度时，必须使观测者的眼睛、标杆顶端、建筑物顶端在同一条直线上.
探究点三：利用镜子的反射测量高度
为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；③观察镜面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大树的大约高度吗？
解析：借助物理学知识：入射角等于反射角，法线垂直于水平面（镜面），然后利用相似三角形的知识求解.
解：如图，∵∠1＝∠2，
∠DCE＝∠BAE＝90°，
∴△DCE∽△BAE.
∴＝，即＝，
解得BA＝18.75（m）.
因此，树高约为18.75m.
方法总结：利用镜子的反射测量物体的高度时，利用入射角等于反射角，等角的余角相等产生相似三角形，利用相似三角形的性质求树高.
三、板书设计
利用相似三角形测高
通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何图形的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想，培养学生的观察、归纳、建模、应用能力，体验解决问题策略的多样性.在增强相互协作的同时，激发学习数学的兴趣.4.6
利用相似三角形测高
学习目标：
1.掌握测量旗杆高度的方法；
2.通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想；
3.培养勇于探索、勇于发现、敢于尝试的科学精神。
重点：会利用相似三角形定义和判定定理计算物体实际高度。
难点
:构造相似三角形的模型
【预习案】
1.
相似三角形的性质：相似三角形的对应角_________，对应边_________；
2.相似三角形的判定：①___________________的两个三角形相似；
②________________且___________的两个三角形相似；
③______________________的两个三角形相似；
【探究案】
知识点1：利用阳光下的影子来测量旗杆的高度
操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的_________和此时旗杆的_______．
点拨：把太阳的光线看成是平行的．
∵太阳的光线是_________的，∴________∥_________，∴∠AEB＝∠CBD，
∵人与旗杆是________于地面的，∴∠ABE＝∠CDB=_____°，
∴△_______∽△_______
∴
即CD=
因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长DB，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了．
知识点2：利用标杆测量旗杆的高度
操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在____________时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．
如图，过点A作AN⊥DC于N，交EF于M．
点拨：∵人、标杆和旗杆都_______于地面，∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝_______°
∴人、标杆和旗杆是互相_______的．
∵EF∥CN，∴∠_____＝∠_____，∵∠3＝∠3，
∴△______∽△______，∴
∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM都已测量出，
∴能求出CN，∵∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°，∴四边形ABND为________．
∴DN＝_______，∴能求出旗杆CD的长度．
知识点3：利用镜子的反射
操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆_______．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．
点拨：入射角＝反射角
∵入射角＝反射角
∴∠________＝∠________
∵人、旗杆都_________于地面
∴∠B＝∠D＝_______°
∴△________∽△________，∴
因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度．
活动的注意事项：
①运用方法1时可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高．
②运用方法2时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度．
③运用方法3时应注意向学生解释光线的入射角等于反射角的现象．
【训练案】
1．小明的身高是1.6m，他的影长是2m，同一时刻一古塔的影长是18m，则该古塔的高度是多少？
2．高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，求该建筑物的高度？
3．旗杆的影子长6m，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10m，如果此时附近小树的影子长3m，那么小树有多高？
4．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m，已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5m，AC在地面的影长CM=4.5m，求窗户的高度？
5.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影长CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB为多少米？
A
B
C
N
M4.6
利用相似三角形测高
教学目标：
1、知识与技能：使学生掌握和综合运用三角形相似的判定条件和性质．
2、过程与方法：通过测量旗杆的高度，使学生运用所学知识解决问题，以课后分组合作活动的方法进行实践以及进行全班交流，进一步积累数学活动经验．
3、情感与态度：通过问题情境的设置，培养学生积极的进取精神，增强学生数学学习的自信心．实现学生之间的交流合作，体现数学知识解决实际问题的价值．
重点、难点
重点：综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题
难点：解决学生在操作过程中如何与课本中有关知识相联系．
关键：抓住测量方法，结合所学，进行问题的解决．
第一环节
自学互助
活动内容：学生课前预习、教师课堂引导、学生课上讨论，归纳总结出测量一些不能直接测量的物体的高度的方法：
1．利用阳光下的影子来测量旗杆的高度，如图1：
图1
操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长．
点拨：把太阳的光线看成是平行的．
图2
∵太阳的光线是平行的，∴AE∥CB，∴∠AEB＝∠CBD，
∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE＝∠CDB，∴△ABE∽△CBD
∴
即CD=
因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长DB，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了．
2．利用标杆测量旗杆的高度
操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．
如图，过点A作AN⊥DC于N，交EF于M．
图3
点拨：∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝90°
∴人、标杆和旗杆是互相平行的．
∵EF∥CN，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠3，△AME∽△ANC，∴
∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM都已测量出，
∴能求出CN，∵∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°，∴四边形ABND为矩形．
∴DN＝AB，∴能求出旗杆CD的长度．
3．利用镜子的反射
操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆项端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．
点拨：入射角＝反射角
图4
∵入射角＝反射角
∴∠AEB＝∠CED
∵人、旗杆都垂直于地面
∴∠B＝∠D＝90°∴
因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度．
活动目的：本节课的主要任务是通过测量某些不能直接测量的物体的高度，培养学生学数学的兴趣和用数学的意识．因此首先要明确测量方法．
活动的注意事项：
1、对学生在讨论中的可能的想法要及时予以点评、指导．
2、在总结测量方法时要注意以下几点：
运用方法1时可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高．
运用方法2时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度．
运用方法3时应注意向学生解释光线的入射角等于反射角的现象．
第二环节
展示点拔
活动内容：将全班学生分成五人小组，选出组长，分头进行户外自行寻找测量对象进行实际测量，被测物不一定是旗杆，也可以选择楼房、树等进行测量．
第三环节
巩固提高
活动内容：
通过以下问题的解决，充分发挥学生的聪明才智．
[想一想]同学们经历了上述三种方法，你还能想出哪些测量旗杆高度的方法？你认为最优化的方法是哪种？
思路点拔：1、如果旗杆周围有足够地空地使旗杆在太阳光照射下影子都在平地上，并能测出影子的长度，那么，可以在平地垂直树一根小棒，等到小棒的影子恰好等于棒高时，再量旗杆的影子，此时旗杆的影子长度就是这个旗杆的高度．2、可以采用立一个已知长度的参照物在旗杆旁照相后量出照片中旗杆与参照物的长度根据线段成比例来进行计算．3、拿一根知道长度的直棒，手臂伸直，不断调整自己的位置，使直棒刚好完全挡住旗杆，量出此时人到旗杆的距离、人手臂的长度和棒长，就可以利用三角形相似来进行计算．等等．
第四环节
课堂小结
1、本节课你学到了哪些知识？
2、在运用科学知识进行实践过程中，你是否想到最优的方法？
3、在与同伴合作交流中，你对自己的表现满意吗？
第五环节
布置作业，反思提炼
