(共21张PPT)
6.1
反比例函数
第六章
反比例函数
1.理解并掌握反比例函数的意义及概念.（重点）
2.会判断一个函数是否是反比例函数.(重点)
3.会求反比例函数的表达式．（难点）
学习目标
当面积
S=15m2
时,长y(m)与宽x(m)的关系是：
问题：小明想要在家门前草原上围一个面积约为15平米的矩形羊圈，那么羊圈的长y（单位：m）和宽x（单位：m）之间有着什么样的关系呢？
xy
=15或
导入新课
反比例函数的定义
一
问题1：我们知道，导体中的电流I,与导体的电阻R、导体两端的电压之间满足关系式U=IR，当U=220V时，
（1）请用含有R的代数式表示I.
（2）利用写出的关系式完后下表：
R/Ω
20
40
60
80
100
I/A
11
5.5
3.66
2.75
2.2
讲授新课
当R
越来越大时，I
怎样变化？当R
越来越小呢？
（3）变量I
是R的函数吗？为什么？
I
随着R的增大而变小,随着R
的减小而变大.
问题2：京沪高速公路全长约为1318km,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京,汽车行完全程所需的时间t
(h)与行驶的平均速度v(
km
/h)之间有怎样的关系 变量t是v的函数吗 为什么
变量t
与v之间的关系可以表示成：
一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成
的形式，那么称
y
是
x
的反比例函数.
（k为常数,
k≠0)
其中x是自变量不能为0，常数k（k≠0）称为反比例函数的反比例系数.
概念归纳
试一试
下列函数是不是反比例函数？若是,请写出它的比例系数.
是，k=3
不是，它是正比例函数
不是
是，k=1
是，
反比例函数的三种表达方式：（注意：k≠0）
归纳总结
例1:若函数
是反比例函数，求k的值，并写出该反比例函数的解析式.
典例精析
解：由题意得4-k2=0，且k-2≠0
，解得k=-2.
因此该反比例函数的解析式为
做一做
1.已知函数
是反比例函数，则k必须满足
.
2.当m
时，
是反比例函数.
k≠2且k≠-1
=±1
因为x作为分母，不能等于零，因此自变量x的取值范围是所有非零实数.
反比例函数
(k≠0)的自变量x的取值范围是什么呢？
想一想
但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数自变量的取值范围.例如，在前面得到的
中，v的取值范围是v＞0．
用待定系数法求反比例函数
二
典例精析
例2：已知y是x的反比例函数，当x=-4时，y=3.
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）当x=-2时，求y的值；
（3）当y=12时，求x的值.
解：（1）设
∵当x=-4时，y=3，
∴3=
，解得k=-12.
因此，y和x之间的函数表达式为y=-
；
（2）把x=-2代入y=-
，得y=-
=6；
（3）把y=12
代入y=-
，得12=-
，x=-1.
（1）求反比例函数表达式时常用待定系数法，先设其表达式为y=kx（k≠0），然后再求出k值；
（2）当反比例函数的表达式y=kx（k≠0）确定以后，已知x（或y）的值，将其代入表达式中即可求得相应的y（或x）的值.
总结
例3：已知y与x-1成反比例，当x
=
2时，y
=
4.
（1）用含有x的代数式表示y；
（2）当x=3时，求y的值.
解：（1）设y
=
（k≠0），
因为当
x=2时，y=4，所以4=
，
解得
k
=
4.
所以y
与
x
的函数表达式是y=
；
（2）当x
=
3时，y=
=2.
建立简单的反比例函数模型
三
例4：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，
已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则y与x的函数关
系式为 .
方法归纳
反比例函数模型在物理学中应用最为广泛，一定条件
下，公式中的两个变量可能构成反比例关系，进而可以构建反比例函数的数学模型.列出反比例函数解析式后，注意结合实际问题写出自变量的取值范围.
当堂练习
1.生活中有许多反比列函数的例子，在下面的实例中，x和y成反比例函数关系的有几个？
（
）
（1）x人共饮水10kg，平均每人饮水ykg
（2）底面半径为xm，高为ym的圆柱形水桶的体积为10m3
（3）用铁丝做一个圆，铁丝的长为xcm，做成圆的半径为ycm
（4）在水龙头前放满一桶水,出水的速度为x，放满一桶水的时间y
A
1个
B
2个
C
3个
D
4个
B
2.小明家离学校1000
m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速度为v(m/min)，所用的时间为t(min)．
(1)求变量v和t之间的函数表达式；
(2)星期二他步行上学用了25
min，星期三他骑自行车上学用了8
min，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快多少呢？
解：(1)
(t>0)．
(2)当t＝25时，
；
当t＝8时，
，
125－40＝85(m/min)．
答：小明星期三上学时的平均速度比星期二快85
m/min.
反比例
函数
建立反比例函数模型
用待定系数法求反比例函数
反比例函数：
（k≠0）
课堂小结第六章
反比例函数
6.1
反比例函数
（1）从现实情境和学生已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相互关系，加深对函数概念的理解。
（2）经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
（3）体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程。培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力。
三、重点、难点、关键
（1）重点：理解和领会反比例函数的概念；
（2）难点：领悟反比例函数的概念；
（3）关键：从现实情境和所学的知识入手，探索两个变量之间的相依关系。
四、教学方法：小组合作、探究式
五、教学过程
（一）创设情境，引入新课
1、把一张100元换成50元的人民币，可换几张？换成10元的人民币可换几张？依次换成5元，2元，1元的人民币，各可换几张？换得的张数y
与面值x之间有怎样的关系呢？请同学们填表：
换成的元数x（元）
50
20
10
5
2
1
换成的张数y（张）
提问：学生你会用含有x的代数式表示y吗？并提出问题：当换成的元数x变化时，换成的张数y会怎样变化呢？变量y是x的函数吗？为什么？这就是我们今天要学习的反比例函数。我们再看课本的例子：
（二）互动探究，学习新课
我们知道，电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V时，（1）你能用含有R的代数式表示I吗？；（2）利用你写出的关系式完成下表：
R/Ω
20
40
60
80
100
I/A
学生填表完成，提出当R越来越大时，I是怎样变化的？当R越来越小呢？（3）变量I是R的函数吗？为什么？
我们通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果。在电压一定时，当R变大时，电流I变小，灯光就变暗，相反，当R变小时，电流I变大，灯光变亮。
引导学生看课本例子，京沪高速铁路全长约为1318km，列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京，列车行完成全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v
(km/h)之间有怎样的关系？变量t是v的函数吗？为什么？
（三）学生分组交流讨论
提示学生：数学来源于生活，请同学在生活中找出类似的例子。分组交流讨论，并完成资料的讨论部分。
我们再看例子：
两个变量x和y的乘积等于-6，用函数关系式表示出来是，思考：变量x和y之间的关系是什么？
提出问题：①变量之间的关系具有什么特点？引导学生得出：两个变量的乘积等于非零常数．②如何给反比例函数下定义？
教师总结并和学生一起探索出反比例函数的概念：
一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成：（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。
强调在理解概念时要注意：①常数k≠0；②自变量x不能为零（因为分母为0时，该式没意义）；③当写成时注意x的指数为—1。④由定义不难看出，k可以从两个变量相对应的任意一对对应值的积来求得，只要k确定了，这个函数就确定了。
六、课堂练习：
I、学生完成课本的做一做1-3题：即
1、一个矩形的面积为20，相邻的两条边长分别为x
cm和
ycm,那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？
2、某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷/人）是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？为什么？
3、y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
x
1
3
Y
2
（1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据表达式完成上表。
教师巡视个别辅导，学生完毕教师给予评估肯定。
II巩固练习：限时完成课本“随堂练习”1-2题。教师并给予指导。
七、总结、提高。（结合板书小结）
今天通过生活中的例子，探索学习了反比例函数的概念，我们要掌握反比例函数是针对两种变化量，并且这两个变化的量可以写成（k为常数，k≠0）同时要注意几点：：①常数k≠0；②自变量x不能为零（因为分母为0时，该式没意义）；③当可写为时注意x的指数为—1。④由定义不难看出，k可以从两个变量相对应的任意一对对应值的积来求得，只要k确定了，这个函数就确定了。
八、布置作业：（见资料
）
九、板书设计：
反比例函数1、定义：一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成：（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。2、注意：①常数k≠0；②自变量x不能为零（因为分母为0时，该式没意义）；③当可写为时注意x的指数为—1。④确定了k，这个函数就确定了。
自由空间（供作教学过程演练用）
十、课后反思（记录教学感受，包括学生作业完成情况等情况）6.1 反比例函数
1.领会反比例函数的意义，理解并掌握反比例函数的概念；（重点）
2.会判断一个函数是否是反比例函数；（重点）
3.会求反比例函数的表达式.（难点）
一、情景导入
你吃过拉面吗？有人能拉到细如发丝，同时还能做到丝丝分明.实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识.
一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与面条的粗细之间有什么关系呢？
二、合作探究
探究点一：反比例函数的概念
【类型一】
辨别反比例函数
在下列函数表达式中，哪些函数表示y是x的反比例函数？
（1）y＝； （2）y＝； （3）y＝；
（4）xy＝； （5）y＝； （6）y＝－；
（7）y＝2x－1； （8）y＝（a≠5，a是常数）.
解析：根据反比例函数的概念，必须是形如y＝（k是常数，k≠0）的函数，才是反比例函数.如（2）（3）（6）（8）均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数.但还要注意y＝（k是常数，且k≠0）的一些常见的变化形式，如xy＝k，y＝kx－1等，所以（4）（7）也是反比例函数.在（5）中，y是（x－1）的反比例函数，而不是x的反比例函数.（1）中的y是x的正比例函数.
解：（2）（3）（4）（6）（7）（8）表示y是x的反比例函数.
方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，关键看它能否写成y＝（k是常数，k≠0）或xy＝k（k≠0）或y＝kx－1（k≠0）这样的形式，即两个变量的积是不是一个非零常数.如果两个变量的积是一个不为0的常数，则这两个变量就成反比例关系；否则便不成反比例关系.
【类型二】
根据反比例函数的概念求值
若y＝（k2＋k）xk2－2k－1是反比例函数，试求（k－3）2015的值.
解：根据反比例函数的概念，得
所以
即k＝2.
因此（k－3）2015＝（2－3）2015＝－1.
易错提醒：反比例函数表达式的一般形式y＝（k是常数，k≠0）也可以写成y＝kx－1（k≠0），利用反比例函数的定义求字母参数的值时，一定要注意y＝中k≠0这一条件，不能忽略，否则易造成错误.
探究点二：确定反比例函数的表达式
【类型一】
用待定系数法求反比例函数的表达式
已知y是x的反比例函数，当x＝－4时，y＝3.
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）当x＝－2时，求y的值；
（3）当y＝12时，求x的值.
解：（1）设y＝（k≠0），
∵当x＝－4时，y＝3，
∴3＝，解得k＝－12.
因此，y和x之间的函数表达式为y＝－；
（2）把x＝－2代入y＝－，得y＝－＝6；
（3）把y＝12代入y＝－，得12＝－，x＝－1.
方法总结：（1）求反比例函数表达式时常用待定系数法，先设其表达式为y＝（k≠0），然后再求出k值；（2）当反比例函数的表达式y＝（k≠0）确定以后，已知x（或y）的值，将其代入表达式中即可求得相应的y（或x）的值.
【类型二】
用待定系数法求有反比例关系的函数的表达式
已知y与x－1成反比例，当x＝2时，y＝4.
（1）用含有x的代数式表示y；
（2）当x＝3时，求y的值.
解：（1）设y＝（k≠0），
因为当x＝2时，y＝4，所以4＝，
解得k＝4.
所以y与x的函数表达式是y＝；
（2）当x＝3时，y＝＝2.
易错提醒：题中y与x－1成反比例，而y与x不成反比例，防止出现设y＝（k≠0）的错误.
探究点三：建立反比例函数的模型
已知一个长方体水箱的体积为1000立方厘米，它的长是y厘米（y>25），宽是25厘米，高是x厘米.
（1）写出用高表示长的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围.
解：（1）根据题意，可得y＝，化简得y＝；
（2）根据题设可知自变量x的取值范围为0＜x＜.
方法总结：反比例函数的自变量取值范围是全体非零实数，但在解决实际问题的过程中，自变量的取值范围要根据实际情况来确定.解题过程中应该注意对题意的正确理解.
三、板书设计
反比例函数
结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象，从感性认识到理性认识的转化过程，发展学生的思维.利用多媒体创设大量生活情境，让学生体验数学来源于生活实际，并为生活实际服务，让学生感受数学有用，从而培养学生学习数学的兴趣.6.1
反比例函数
学习目标：
会判断一个函数是反比例函数，能举例辩析一个变化过程中两个变量之间符合反比例函数的特征；
会求简单问题中反比例函数的表达式．
学习重点：感受反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型
学习难点：利用反比例函数关系解决实际问题
【预习案】
一般地.在某个变化中,有两个
x和y,如果给定一个x的值,相应地
,那
么我们称y是x的函数,其中x叫
,y叫
。
2、我们已经学过一次函数，还记得相关知识吗？
⑴形如y=
的函数，叫做一次函数；
⑵图像的性质是：
当k＞0时，图像经过第
象限，y随x的逐渐增大而
，这时图像是
图像（上
升或下降）。
当k<0时，图像经过第
象限，y随x的逐渐增大而
；
当b=0时，它变成
函数，图像的性质与
的性质相同。
【探究案】
问题提出：
1、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U＝220V时，
（1）你能用含有R的代数式表示I吗？
（2）利用写出的关系式完成下表：
R/Ω
20
40
60
80
100
I/A
当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？
（3）变量I是R的函数吗？为什么？
2、汽车从南京出发开往上海（全程约为300km），全程所用的时间t(h)随速度v(km/h)的变化而变化.
（1）你能用含有v的代数式表示t吗？
（2）利用（1）中的关系式完成下表：
v/(km/h)
60
80
90
100
120
t/h
随着速度的变化，全程所用的时间发生怎样的变化？
．
（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？
概念：如果两个变量x,y之间的关系可以表示成 的形式，那么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零。
反比例函数的三种表达形式：_____________________；
_____________________；
_____________________；
练习．下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，系数k是多少？
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦
三、典型例题
个矩形的面积为20，相邻的两条边长分别为xcm和ycm。那么变量y是变量x的函数吗？为什么？
学生先独立思考，再进行全班交流。
2.某村有耕地346.2公顷，人数数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷/人）是全村人口数n的函数吗？为什么？
3.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
x
-2
-1
1
3
…
y
2
-1
……
（1）写出这个反比例函数的表达式；
（2）根据函数表达式完成上表。
【训练案】
1．对于函数y=，当m
时，y是x的反比例函数，K为_____。
2．已知三角形的面积是定值S，则三角形的高h与底a的函数关系式是h
=__________,
这时h是a的__________；
3．如果与成反比例，z与成正比例，则z与成____
______；
4．已知函数是反比例函数，
a为___
。
5．下列函数中，y与x成反比例函数关系的是（
）
A.
x(y－1)=1
B.
y
=
C.
y
=
D.
y
=
6.下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，系数k是多少？
(1)y＝(2)y＝(3)y＝－
(4)y＝－3
(5)y＝
(6)y＝＋2
(7)y＝
