6.2
反比例函数的图象与性质
第1课时
反比例函数的图象
课
题
第1课时
反比例函数的图象
课型
新授课
教学目标
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。2．体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。3．逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数图象的主要特征。
教学重点
掌握反比例函数的作图。
教学难点
反比例函数图象的特征
教学方法
自主探究法
教学后记
教
学
内
容
及
过
程
备注
一、回顾交流、问题牵引回顾：1.一次函数的图象是怎样的呢？你能画出y＝－2x-1的图象吗？2.什么叫做反比例函数：3.你能提供一个生活情境来表现反比例函数中两个变量之间的相依关系吗？与同伴交流。学生思考、交流、回答。迁移：同学们，请你们猜一猜，反比例函数的图象是什么样的呢？你能画出的图象吗？学生动手画图，相互观摩。议一议（1）你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？与同伴进行交流。（2）如果在列表时所选取的数值不同，那么图象的形状是否相同？（3）连接时能否连成折线？为什么必须用光滑的曲线连接各点？（4）曲线都分布在哪个象限内？学生先分四人小组进行讨论，而后小组汇报做一做作反比例函数的图象。学生动手画图，相互观摩。想一想观察和的图象，它们有什么相同点和不同点？学生小组讨论，弄清上述两个图象的异同点。交流讨论反比例函数图象是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心.反比例函数图象是轴对称图形吗 如果是，请指出它的对称轴.二、随堂练习课本随堂练习
[探索与交流]对于函数，两支曲线分别位于哪个象限内？对于函数，两支曲线又分别位于哪个象限内？怎样区别这两个函数的图象。学生分四人小组全班探索。三、课堂总结在进行函数的列表，描点作图的活动中，就已经渗透了反比例函数图象的特征，因此在作图象的过程中，大家要进行积极的探索。另外，（1）反比例函数的图象是非线性的，它的图象是双曲线；（2）反比例函数y=的图像，当k＞0时，它的图像位于一、三象限内，当k＜0时，它的图像位于二、四象限内；（3）反比例函数既是中心对称图形，又是轴对称图形。四、布置作业
课本习题6.2第2课时
反比例函数的性质
学习目标：
1.通过比较，探索反比例函数的增减性变化的性质。
2.掌握过反比例函数图象上的一点作坐标轴的垂线，此垂线段与坐标轴围成的矩形的面积问题.
3.会通过图象比较两个函数的函数值的大小。
复习回顾
1．反比例函数y=的图象经过点（－1，2），那么这个反比例函数的解析式为
2.
反比例函数的图象位于第
象限，
3.
已知反比例函数，当时，其图象的两个分支在第一、三象限内；
自学提示：自学课本并完成下面总结：
性质：
1.反比例函数y=的图象，当k＞0时，它的图象位于 象限内，在
内，y的值随x值的增大而
；当k＜0时，它的图象位于 象限内，在
内y的值随x值的增大而
；
2.在一个反比例函数y=图象上任取两点P、Q，过P、Q分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积分别为S1、S2，则S1
S2=
.
试一试，谁的反应快
1.下列函数中，其图象位于第一，三象限的有
；在其图象所在象限内，
y的值随x值的增大而增大的有
。
①
y=
②
y=
③
y=
④
y=
2.
已知点(
2,
y1),
(
3,
y2
)在反比例函数y=的图象上，则y1
y2.
3.已知点A（）、B（）是反比例函数（）图象上的两点，
若，则(
)
A．
B．
C．
D．
4.
已知点(
x1,
y1),
(
x2,
y2
)都在反比例函数y=的图象上，且x1＜x2＜0,则
y1
y2。
5.反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为 .
自我检测：
1.在反比例函数的图象的每一条曲线上，的增大而增大，则的值可以是（
）
A．
B．0
C．1
D．2
2.对于反比例函数，下列说法不正确的是（
）
A．点在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大
D．当时，随的增大而减小
3.反比例函数在第一象限内的图象如图，
点M是图象上一点，MP垂直轴于点P，
如果△MOP的面积为1，那么的值是
；
3.在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是
.
4.
已知点（-m，n）在反比例函数的图象上，则它的图象也一定经过点
。
5.如图所示，反比例函数M与正比例函数的图象的一个交点坐标是，若，则的取值范围为
。
6.若反比例函数的表达式为，则当时，
的取值范围是
．
7.设P是函数在第一象限的图象上任意一点，点P关于
原点的对称点为P’，过P作PA平行于y轴，过P’作P’A
平行于x轴，PA与P’A交于A点，
的面积为
.
能力提升：
1.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象
相交于A、B两点，
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式
（2）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数
的值的的取值范围
2.如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，
AB⊥轴于B且S△ABO=
（1）求这两个函数的解析式
（2）A，C的坐标分别为（-1，m）和（n，-1）
求△AOC的面积。
3.如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线与轴的交点的坐标及△的面积；
(3)求方程的解（请直接写出答案）；
(4)求不等式的解集（请直接写出答案）.
y
x
O
P
M
y
1
2
2
1
y2
y1
x
O
第11题图
O
y
x
B
A
C第2课时 反比例函数的性质
1.理解并掌握反比例函数图象的性质；（重点）
2.能利用反比例函数的图象与性质解决问题.（难点）
一、情景导入
在一个平面直角坐标系中，根据所提供的两组数据描绘出相应的反比例函数图象.
x
－6
－3
－2
－1
1
2
3
6
y
－1
－2
－3
－6
6
3
2
1
x
－6
－3
－2
－1
1
2
3
6
y
1
2
6
6
－6
－3
－2
－1
观察这两个图象，试着求出它们的解析式，看看它们之间是否存在着某些关系？
二、合作探究
探究点一：反比例函数图象的性质
【类型一】
利用反比例函数的性质确定字母的取值范围
在反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A.－1
B.0
C.1
D.2
解析：反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，根据反比例函数的性质可知，该图象的两个分支分别在第二、四象限内，所以该函数的比例系数1－k＜0，解得k>1.故只有D项符合题意.故选D.
方法总结：反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.
【类型二】
比较函数值的大小
在反比例函数y＝－的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是（ ）
A.y3＞y1＞y2
B.y3＞y2＞y1
C.y1＞y2＞y3
D.y1＞y3＞y2
解析：本题方法较多，一是根据x1，x2，x3的大小即可比较；二是画出草图，根据反比例函数图象的性质比较；三是利用特殊值法.
（方法一）比较法：由题意，得y1＝－，y2＝－，y3＝－，因为x1＞x2＞0＞x3，所以y3＞y1＞y2.
（方法二）图象法：
如图，在直角坐标系中作出y＝－的草图，描出符合条件的三个点，观察图象直接得到y3＞y1＞y2.
（方法三）特殊值法：设x1＝2，x2＝1，x3＝－1，则y1＝－，y2＝－1，y3＝1，所以y3＞y1＞y2.故选A. 方法总结：此题的三种解法中，图象法形象直观，具有一般性；特殊值法最简单，这种方法对于解答许多选择题都很有效，要注意学会使用.
探究点二：反比例函数图象中比例系数k的几何意义
如图，四边形OABC是边长为1的正方形，反比例函数y＝的图象经过点B（x0，y0），则k的值为 .
解析：∵四边形OABC是边长为1的正方形，∴它的面积为1，且BA⊥y轴.又∵点B（x0，y0）是反比例函数y＝图象上的一点，则有S正方形OABC＝|x0y0|＝|k|，即1＝|k|.∴k＝±1.又∵点B在第二象限，∴k＝－1.
方法总结：利用正方形或矩形或三角形的面积确定|k|的值之后，要注意根据函数图象所在位置或函数的增减性确定k的符号.
三、板书设计
通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，概括反比例函数的有关性质，进行语言表述，训练学生的概括、总结能力，在相互交流中发展从图象中获取信息的能力.让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲.6.2 反比例函数的图象与性质
第1课时 反比例函数的图象
1.会用描点法画出反比例函数的图象，并掌握反比例函数图象的特征；（重点）
2.会利用反比例函数图象解决相关问题.（难点）
一、情景导入
已知某面粉厂加工出4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市.
所需要的时间t（天）和每天运出的面粉总重量m（吨）之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中形象地画出这个函数关系的图象吗？
二、合作探究
探究点一：反比例函数的图象
【类型一】
判断反比例函数所在的象限
反比例函数y＝－的图象在（ ）
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第一、三象限
D.第二、四象限
解析：因为k＝－6＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限.故选D.
方法总结：反比例函数y＝的图象是由两支曲线组成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.
【类型二】
由反比例函数图象的位置确定k的取值范围
若双曲线y＝的两个分支分别在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A.k＞
B.k＜
C.k＝
D.不存在
解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有2k－1＜0，解得k＜.故选B.
方法总结：反比例函数的图象的位置由k的符号确定.
【类型三】
实际问题的反比例函数图象
已知一个长方形的面积是8，则这个长方形的一组邻边长y与x之间的函数关系图象大致是图中的（ ）
解析：本题是一道有关反比函数的实际问题.已知长方形的面积是8，两邻边的长分别是x，y，所以x·y＝8，即y＝，所以此函数属于反比例函数.而长方形的任意一边的长度都必须大于0，故x的取值范围是x＞0.由k＞0且x＞0可知，函数的图象只在第一象限内，故选D.
方法总结：在解决与反比例函数的图象有关的实际问题时，因自变量的取值范围有限制，常只有一个分支或一个分支中的部分曲线段符合题意.
探究点二：一次函数与反比例函数的综合应用
在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝（ab≠0）的图象大致是（ ）
解析：在A、B中，反比例函数的图象在第一、三象限，∴ab＞0.而观察一次函数的图象，在A中，a＞0，b＜0，矛盾；在B中，a＜0，b＞0，矛盾.在C、D中，反比例函数的图象在二、四象限，∴ab＜0.再观察一次函数的图象，在C中，a＜0，b＞0，符合题意；在D中，a＞0，b＞0，矛盾，故选C.
方法总结：在每个选项中可先由一个函数图象的位置得出a、b的符号情况，然后在另一个函数图象上检验，若无矛盾，则此选项正确，否则就是错误的.
已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝3x＋m的图象相交于点（1，5）.
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标.
解：（1）∵点（1，5）在反比例函数y＝的图象上，
∴5＝，即k＝5，
∴反比例函数的解析式为y＝.
又∵点（1，5）在一次函数y＝3x＋m的图象上，
∴5＝3＋m，即m＝2，
∴一次函数的解析式为y＝3x＋2；
（2）由题意，联立
解得或
∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为（－，－3）.
三、板书设计
通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力.理解函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，逐步明确研究函数的一般要求.反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的空间.第2课时
反比例函数的性质
课
题
第2课时
反比例函数的性质
课型
新授课
教学目标
1．经历观察、归纳、交流的过程，逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索反比例函数的主要性质。2．提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平，使学生从整体上领会研究函数的一般要求。
教学重点
掌握反比例函数的主要性质。
教学难点
理解反比例函数的性质。
教学方法
自主探究法
教学后记
教
学
内
容
及
过
程
备注
一、观察联想、探究新知观察反比例函数的图象，你能发现它们的共同特征吗？探索：（1）函数图象分别位于哪几个象限内？
（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？
（3）反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？学生观察，同桌交流，大胆发言，发表见解。二、自主探究、领悟规律议一议考察当k＝－2，－4，－6时，反比例函数的图象，它们有哪些共同特征？学生通过相互交流、补充和修正。性质：反比例函数的图象，当k>0时，在每个象限内，y的值随x值的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。想一想在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为，和有什么关系？为什么？学生分四人小组进行操作。三、随堂练习课本随堂练习
1、2四、课堂总结通过归纳、概括反比例函数的性质，发展从图象中获取信息的能力。五、布置作业
课本习题6.3(共22张PPT)
6.2
反比例函数的图象与性质
第六章
反比例函数
第1课时 反比例函数的图象
学习目标
1.会用描点法画出反比例函数的图象,并掌握反比例函数图象的特
征.（重点）
2.会利用反比例函数图象解决相关问题.（难点）
导入新课
当容积S=1000
时,时间t与每小时水流量v之间的关系是：
（t>0）
问题1
某游泳池容积为1000m3,现在需要灌满它，每小时水流量v(m3/h
)与时间t(h)之间有怎样的函数关系呢？你能在平面直角坐标系中形象的画出这个图形吗？
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的定义中需要注意什么？
（1）k
是非零常数.
（2）xy
=
k．
一般地，形如
y
=
(
k是常数,
k
≠0
)的函数叫做反比例函数．
k
x
—
3．还记得一次函数的图像与性质吗？
导入新课
回顾与思考
函数
正比例函数
表达式
图象形状
k>0
k<0
位置
增减性
位置
增减性
y=kx(k是常数，k≠0）
直线（经过原点）
一、三象限
从左到右上升
y随x的增大而增大
二、四象限
从左到右下降
y随x的增大而减小
k
(
k是数,k≠0
)x
≠0
y
=
x
反比例函数
4.如何画函数的图象？
函数图象画法
描点法
列
表
描
点
连
线
想一想：
正比例函数y=kx
(k≠0)的图像的位置和增减性是由谁决定的？我们是如何探究得到的？
反比例函数的图像与性质又如何呢？
反比例函数
的图象
一
讲授新课
问题：如何画反比例函数
的图象？
解析：画出函数的图象一般分为
列表
描点
连线
解：列表如下
应注意
1.自变量x需要取多少值 为什么
2.取值时要注意什么
x
-8
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
8
y
-1
-2
-4
-8
8
4
2
1
描点、连线：
x
-8
–7
–6
–5
–4
–3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
87654321
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
想一想：你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题
1.列表时，自变量的值可以选取一些互为相反数的值这样既可简化计算,又便于对称性描点;
2.列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样
既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势;
3.连线时，一定要养成按自变量从小到大的顺序，
依次用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性；
……
注意要点
列表：
描点、连线：
x
-8
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
8
1
2
4
8
-8
-4
-2
-1
请大家用同样的方法作反比例函数
的图象.
y
x
-8
–7
–6
–5
–4
–3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
87654321
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
（1）观察
和
的图象，它们有什么相同点和不同点
（2）反比例函数
的图象在哪两个象限,由什么确定？
x
y
x
y
双曲线
轴对称图形，也是
以原点为对称中心的中
心对称图形．
O
O
相同点：1.
两支曲线构成；
2.
与坐标轴不相交；
3.图象自身关于原点成中心对称；
4.图象自身是轴对称图形。
不同点：
的图象在第一、三象限；
的图象在第二、四象限。
归纳总结
第一、三象限
第二、四象限
形状:
反比例函数
的图象由两支曲线组成，因此称
反比例函数
的图象为双曲线.
位置：由k决定：
当k>0时,两支曲线分别位于_______________内;
当k<0时,两支曲线分别位于_______________内.
反比例函数y=
的图象大致是（
)
y
A.
x
y
o
B.
x
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
C
例1：若双曲线y
=
的两个分支分别在第二、四象限，则
k
的取值范围是(
)
A.
k＞
B.
k＜
C.
k=
D.不存在
解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有2k-1＜0，解得k＜
.故选B.
B
典例精析
例2:如图所示的曲线是函数
(m为常数)图象的一支．
(1)求常数m的取值范围；
(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限的交点为A(2，n)，求点A的坐标及反比例函数的解析式．
（2）∵两个函数的交点为A(2，n)，
∴
，
解得
.
∴
点A的坐标为(2，4)；反比例函数的
解析式为y＝
.
解：（1）由题意可得，m－5＞0，解得m＞5.
当堂练习
１．已知反比例函数
的图象在第一、三象限内，
则m的取值范围是________
2.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有_____________;
图象位于二、四象限的有___________.
（1）（2）（3）
(4)
3.如图，已知直线y=mx与双曲线
的一个交点坐标为
(-1,3)，则它们的另一个交点坐标是
(
)
A.
(1,3)
B.
(3,1)
C.
(1,-3)
D.
(-1,3)
x
y
C
O
4.
已知反比例函数
(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)．
(1)求这个函数的表达式；
解：(1)∵反比例函数
(k为常数，k≠0)的图象经
过点
A(2，3)，
∴把点A的坐标代入表达式，得
，
解得k=6，
∴这个函数的表达式为
．
解：∵反比例函数的表达式为 ，
∴6=xy
分别把点B，C的坐标代入，得(－1)×6=－6≠6，则
点B不在该函数图象上；
3×2=6，则点C在该函数图象上．
(2)判断点B(-1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由.
课堂小结
反比例函数的图象
形状
双曲线
位置
画法
当k＞0时，两支曲线分别位于第一、
三象限内
当k<0时，两支曲线分别位于第二、
四象限内
描点法：列表、描点、连线6.2
反比例函数的图象与性质
第1课时
反比例函数的图象
学习目标:
1．进一步熟悉画函数图象的主要步骤，会画反比例函数的图象。
2．体会函数三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。
3．逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主
学习重点:掌握反比例函数的画图
学习难点:反比例函数三种表示方法的相互转换
【预习案】
1.
下列函数中哪些是反比例函数？
①
y=3x-1
②
y=2x2
③
y=
④
y=
⑤
y=3x
⑥
y=
-
⑦
y=
⑧
y=
2.
一次函数的一般形式是
（
k
0），其图像是
。反比例函数的一般形式是
（
k
0）.
3.
作函数图象的一般步骤是
，
，
。
【探究案】
1、画出一次函数y=2x+1的图象，
解：（1）列表：
(2)描点、连线
x
0
y
0
2、画函数图象的步骤是：
，
，
。
3、画出反比例函数y=的图象
x
...
-6
-3
-2
-1
1
2
3
6
…
y=
思考：1、列表时所选取的数值不同，图象的形状相同吗？
2、连线时能否连成折线，为什么必须用光滑的曲线连接各点
3、曲线的发展趋势如何？
那么你在今后画图象时，应注意那些问题
画出反比例函数y=-的图象
x
...
…
y=-
三、【总结提升】
1、请同学们观察y=和y=-的图象，回答问题：
（1）你能发现它们的共同特点吗？（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？
（3）在每个象限内，y随x的变化如何变化？说说你的理由。如果把“在每个象限内”这几个字去掉，你同意吗？为什么？
（4）每个函数的双曲线会与坐标轴相交吗？为什么？
（5）比例函数y=与y=-的图象有什么关系？你是如何得出的？
2、反比例函数y=（k为常数且k
≠0）图象与性质：
（1）反比例函数y=的图象是
；
（2）反比例函数y=（k为常数且k
≠0）性质：
k>0时，双曲线的两支分别位于第_________象限，在每个象限内______________________________________________.
k<0时，双曲线的两支分别位于第_________象限，在每个象限内_____________________________________________.
【训练案】
1.
下列四个点，在反比例函数图象上的是（
）
A．(1，)
B．（2，4）
C．（3，）
D．（，)
2.
反比例函数的图象位于（
）
A．第一、三象限
B．第一、二象限
C．第二、三象限
D．第二、四象限
3.
函数的图象经过点(1，2)，则k的值为____________．
4.
若的图象分别位于第二、第四象限，则k的取值范围是
.
5.
已知反比例函数，当时，其图象的两个分支在第一、三象限内；
6.
如果反比例函数的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在
（ ）
A
第一、三象限
B
第一、二象限
C
第二、四象限
D
第三、四象限
7.
正方形的边长为2，反比例函数过点，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
8.
若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（
）
A、－1或1
B、小于
的任意实数
C、
－1
Ｄ、
不能确定
9.
下列函数中，图象位于第一、三象限的有
.
（填序号）
①
②
③
④
10.已知反比例函数的图象经过点P(一l，2)，则这个函数的图象位于（
）
A．第二、三象限
B．第一、三象限
C．第三、四象限
D．第二、四象限
11.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的
二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度
（单位：kg/m3）是体积（单位：m3）的反比例函数，它的图象
如图所示，当时，气体的密度是（
）
A．5kg/m3
B．2kg/m3
C．1kg/m3
D.
100kg/m3
12.反比例函数
的图象经过点（2，1），则的值是
.
13.
若反比例函数的图象位于一、三象限内，正比例函数过二、四象限，则k的整数值是________。
14.
反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象在（
）
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第二、三象限
D．第一、二象限
15.
已知反比例函数=(≠0)的图象，它的图象在一、三象限，则一次函数=-+的图象不经过（
）
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
16.
请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数．答：
．
17.
反比例函数图像的两支分别在第
象限．
18.已知点A(1，－k＋2)在双曲线上．求常数k的值．
19.
反比例函数的图象在二、四象限，则k=
21.已知，反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过点（）。
（1）试求反比例函数的表达式；
（2）若点A在第一象限，且同时在上述两函数的图象上，求A点的坐标。
22.已知：如图，反比例函数的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，3），点B的纵坐标为1，点C的坐标为（2，0）.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求直线BC的解析式.
x
y
C
O
A
B
（第8题）(共27张PPT)
6.2
反比例函数的图象与性质
第六章
反比例函数
第2课时 反比例函数的性质
学习目标
1.理解并掌握反比例函数图象的性质;（重点）
2.能利用反比例函数的图象与性质解决问题.（难点）
y随x的增大而增大;
你还记得一次函数的增减性吗
x
y
o
x
y
o
y随x的增大而减小.
b>0
b<0
当k>0时,
当k<0时,
导入新课
回顾与思考
3
4
5
-1
-3
-4
-1
-2
-4
-5
y=
-3
2
1
-1
-2
1
2
3
4
5
x
6
观察反比例函数图象的增减性.
3
4
5
-1
-3
-4
-1
-2
-4
-5
y=
-3
2
1
-1
-2
-5
1
2
3
4
5
x
6
0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
y=-
6
x
y
x
问题：观察下列的函数图象，填一填.
y
y
y
x
x
x
O
O
O
反比例函数的性质
一
(2)函数图象分别位于哪几个象限？
第二、四象限内
(1)上面三个函数相应的k值分别是________，则k___0.
-2,-4,-6
＜
x＜0时，图象在第二象限；x＞0
时，图象在第四象限．
(4)在每一象限内,曲线从左往右______,所以随着x值的增大，y的值怎样变化？
逐渐上升，减小．
(3)当x取什么值时，图象在第二象限？当x取什么值时，图象在第四象限？
y
x
y
0
反比例函数的增减性
当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小。
当k>0时，在每一支曲线上，y随x的增大而减小。
x
y
0
归纳总结
1.函数
的图象，在每一象限内
y随x的增大而______.
y
=
x
5
2.在双曲线
的一支上，
y随x的增大而减小，则m的取值范围是
____
.
m-2
x
y
=
m
>
2
增大
练一练
典例精析
例1：已知反比例函数
的图象过点(-2，-3)，函数图象上有两点A(
),B(5,y2)
,C(-8,y3)
,则y1与y2、y3的大小关系为
(
)
A.y1>
y2
>
y3
B.y1<
y2
<
y3
C.y2
>
y1
>y3
D.不能确定
C
解析：已知反比例函数过点（-2，-3），所以可知k
>
0
,可判断
y1>0，
y2
>
0，
y3
＜
0.
由概念可知,当k
>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小，所以y2>y1>0>y3.
已知两点（
，
），（
，
）在函数
的图象上，当
＞
＞0时，下列结论正确的是
（
）
A.
＞
＞0
B.
＜
＜0
C.
＞
＞0
D.
＜
＜0
Ｄ
变式拓展
反比例函数解析式中k的几何意义
二
合作探究
1.在反比例函数
的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=k
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想与k的关系
P（2,2）
Q（4,1）
1
2
3
4
5
-1
-3
-2
-4
-5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
5
x
y
O
Q
P
S1
S2
2.若在反比例函数
中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想与k的关系
P（-1,4）
Q（-2,2）
4
4
S1=S2
S1=S2=-k
y
x
o
P
Q
S1
S2
由前面的探究过程，可以猜想:
若点P是
图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形
AOBP=|k|.
合理猜想
y
x
O
P
S
我们就k<0的情况给出证明：
设点P的坐标为(a,b)
A
B
∵点P(a,b)在函数
的图象上，
∴
，即ab=k
∴S矩形
AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k；
若点P在第二象限，则a<0，b>0
若点P在第四象限，则a>0，b<0
∴S矩形
AOBP=PB·PA=a·（-b）=-ab=-k.
B
P
A
综上，S矩形
AOBP=|k|.
自己尝试证明k>0的情况.
方法归纳
点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形
AOBQ=
推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO=
Q
对于反比例函数
，
A
B
|k|
反比例函数的面积不变性
y
x
O
典例精析
例3.如图，在函数
的图像上有三点A、B
、
C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、
y轴围成的矩形的面积分别为SA
，SB，SC，则（
）
y
x
O
A.SA
>SB>SC
B.SAC.SA
=SB=SC
D.SAA
B
C
C
例4：如图,过反比例函数
图象上的一点P,作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6,则k=
.
y
x
O
P
A
﹣12
当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k＜0.
归纳
3．如图：点A在双曲线
上，AB丄x轴
于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=_____ ．
m<2
<
<
>
-4
当堂练习
4.下列关于反比例函数
的三个结论：
(1)它的图象经过点（-1,12）和点（10，-1.4）；
(2)它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小；
(3)它的图象在二、四象限内.
其中正确的是
（填序号）．
(1)(3)
5.如果点（a,-2a）在双曲线上，那么在第几象限内，y随x的增大而__________
增大
6.如图所示，反比例函数
（k≠0）的图象上有一点A,
AB
∥x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的表达式是（
）
A.
B.
C.
D.
y
x
O
A
B
C
7.已知k<0,则函数
y1=kx,y2=
在同一坐标系中的图象大致是
(
)
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
(A)
(B)
(C)
(D)
D
x
k
拓展训练
y
x
O
A．
y
x
O
B．
y
x
O
C．
y
x
O
D．
8.若点
在函数
（x＜0）的图象上，
，则它的图象大致是（
）
B
9.已知反比例函数的图象的一支如图所示．
(1)判断k是正数还是负数；
(2)求这个反比例函数的表达式；
(3)补画这个反比例函数图象的另一支．
解：(1)因为反比例函数的图象在第二象限，所以k是负数．
(2)设反比例函数的表达式为
将(-4，2)代入其中，解得k=-8，所以反比例函数的表达式为:
(3)根据反比例函数图象的中心对称性可补画出另一支，图象略．
课堂小结
反比例函数的性质
性质
反比例函数图象中比例系数k的几何意义
当k＞0时，在每一象限内，y的值随x
的增大而减小.
当k<0时，在每一象限内，y的值随x
的增大而增大.
