6.3
反比例函数的应用
一、知识要点
1、在实际问题中构建函数的数学模型,通过实际问题提高学生的分析问题解决问题的能力。
2、学生能根据实际问题列出反比例函数的解析式，根据自变量求因变量，根据因变量求自变量。3、结合图形求自变量、因变量。进一步体会反比例函数的图象是中心对称图形，加强学生的数形结合的能力。
4、课前预习：
①反比例函数的定义、图象、性质分别是什么？
②反比例函数的图象既是______对称图形，又是
______对称图形
二、典型例题分析：
例1、某科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地.为了安全迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干木板,构筑了一条临时通道,从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗 当人和木板对湿地的压力一定时,随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强P(Pa)将如何变
如果人和木板对湿地地面的压力合计600N,那么
(1)用含S的代数式表示P,P是S的反比例函数吗 为什么
(2)当木板面积为0.2m2时,压强是多少
(3)如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要多大
(4)在直角坐标系,作出相应函数的图象(作在课本143页的图上)
分析：本题为和物理知识相连系的实际应用，可先回顾压力、压强、面积三者之间的关系，然后分析谁是常量，谁是变量。⑴中表示P应为P=
⑵中根据自变量求因变量，
⑶中根据因变量求自变量。或用不等式来求解。⑷注意和实际问题的联系。
解：
跟踪练习：
1、蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（）之间的函数关系如图5-8所示：探究（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？
（2）完成下表：并回答问题，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
R/
3
4
5
6
7
8
9
10
I/A
三、基础练习
2、甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（
）
3.某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是多少
(2)如果增加排水管,使每时的排水量达到Q(m3),那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化
(3)写出t与Q之间的函数关系式;
(4)如果准备在5h内将满池水排空,那么每时的排水量至少为多少
(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3/h,那么最少多长时间可将满池水全部排空
(6)画出函数图象,根据图象请对问题(4)和(5)作出直观解释,并和同伴交流
四、知识延伸
例2、如图5-9，正比例函数y=k1x,和反比例函数y=K2X-1的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标
⑴分别写出这两个函数的表达式；
⑵你能求出点B的坐标吗？你是怎样求出的？与同伴进行交流。
分析：本题是正比例函数与反比例函数相结合的综合性题目，重在考察学生的数形结合的能力，⑴中只要把点的坐标代入便可求出表达式;⑵中可用代数法也可利用反比例函数的中心对称性来解决。
解：
五、拓展提高
5、
六、中考链接
6、如图，为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒。已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例，现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg。请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y与x的关系式为
（2）药物燃烧完后，y与x的关系式为
；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6
mg时学生方可进入教室，那么从消毒开始，至少经过min后，学生才能回到教室；研究表明，当空气中每
立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10
min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？请说明理由。
A
y
O
B
x
M
N6.3 反比例函数的应用
1.会根据实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型；（重点）
2.能利用反比例函数解决实际问题.（难点）
一、情景导入
我们都知道，气球内可以充满一定质量的气体.
如果在温度不变的情况下，气球内气体的气压p（kPa）与气体体积V（m3）之间有怎样的关系？你想知道气球在什么条件下会爆炸吗？
二、合作探究
探究点一：实际问题与反比例函数
做拉面的过程中，渗透着反比例函数的知识.一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比例函数，其图象如图所示：
（1）写出y与S之间的函数表达式；
（2）当面条的横截面积为1.6mm2时，面条的总长度是多少米？
（3）要使面条的横截面积不多于1.28mm2，面条的总长度至少是多少米？
解析：由题意可设y与S之间的函数表达式为y＝，而P（32，4）为函数图象上一点，所以把对应的S，y的值代入函数表达式即可求出比例系数，从而得出反比例函数的表达式，最后根据反比例函数的图象和性质解题.
解：（1）由题意可设y与S之间的函数关系式为y＝.∵点P（4，32）在图象上，
∴32＝，∴k＝128.
∴y与S之间的函数表达式为y＝（S>0）；
（2）把S＝1.6代入y＝中，得y＝＝80.
∴当面条的横截面积为1.6mm2时，面条的总长度是80m；
（3）把S＝1.28代入y＝，得y＝100.
由图象可知，要使面条的横截面积不多于1.28mm2，面条的总长度至少应为100m.
方法总结：解决实际问题的关键是认真阅读，理解题意，明确基本数量关系（即题中的变量与常量之间的关系），抽象出实际问题中的反比例函数模型，由此建立反比例函数，再利用反比例函数的图象与性质解决问题.
探究点二：反比例函数与其他学科知识的综合
某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干木块，构筑成一条临时近道.木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示.
（1）请直接写出这一函数表达式和自变量的取值范围；
（2）当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？
解析：由于木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，而图象经过点A，于是可以利用待定系数法求得反比例函数的关系式，进而可以进一步求解.
解：（1）设木板对地面的压强p（Pa）与木板面积S（m2）的反比例函数关系式为p＝（S>0）.
因为反比例函数的图象经过点A（1.5，400），所以有k＝600.
所以反比例函数的关系式为p＝（S>0）；
（2）当S＝0.2时，p＝＝3000，即压强是3000Pa；
（3）由题意知≤6000，所以S≥0.1，即木板面积至少要有0.1m2.
方法总结：本题渗透了物理学中压强、压力与受力面积之间的关系p＝，当压力F一定时，p与S成反比例.另外，利用反比例函数的知识解决实际问题时，要善于发现实际问题中变量之间的关系，从而进一步建立反比例函数模型.
三、板书设计
经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程，提高运用代数方法解决问题的能力，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.通过反比例函数在其他学科中的运用，体验学科整合思想.(共23张PPT)
6.3
反比例函数的应用
第六章
反比例函数
1.会根据实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数模型;
（重点）
2.能利用反比例函数解决实际问题．（难点）
学习目标
导入新课
观察与思考
问题:使劲踩气球时，气球为什么会爆炸？
在温度不变的情况下，气球内气体的压强p与它的体积V
的乘积是一个常数k.
即
pV=k(k为常数，k＞0).
讲授新课
反比例函数在实际生活中的应用
一
例1：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p
(Pa)将如何变化？
如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，
那么
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例
函数吗？为什么？
典例精析
由p＝
得p＝
p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数．
(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
当S＝0.2m2时，
p＝
＝3000(Pa)
．
答：当木板面积为0.2m2时压强是3000Pa．
(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？
(4)
在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
图象如下
当
p≤6000
Pa时，
S≥0.1m2．
0.1
0.5
O
0.6
0.3
0.2
0.4
1000
3000
4000
2000
5000
6000
p/Pa
S/
例1.市煤气公司要在地下修建一个容积为104
m3的圆柱形煤气储存室.
(1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500
m2,施工队施工时应该向下掘进多深
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时,碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金,储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)
解:
(1)根据圆柱体的体积公式,我们有
S×d=
变形得
即储存室的底面积S是其深度d的反比例函数.
市煤气公司要在地下修建一个容积为104
m3的圆柱形煤气储存室.
(1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系
把S=500代入
,得
解得
d=20
如果把储存室的底面积定为500m ,施工时应向地下掘进20m深.
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500
m ,施工队施工时应该向下掘进多深
解:
根据题意,把d=15代入
,得
解得
S≈666.67
当储存室的深为15m时,储存室的底面积应改为
666.67m 才能满足需要.
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时,碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金,储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)
解:
圆柱体的体积公式是什么？第（2）问和第（3）问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？
【反思小结】（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为d，满足基本公式：圆柱的体积＝底面积×高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式.（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，（3）问则是与（2）相反．
小组讨论
我们学习过反比例函数，例如，当矩形面积一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数解析式可以写为
（S为常数，S≠0）．
请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有
反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式．
实例：
；
函数解析式：
．
解：实例，三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数，其函数解析式可以写为
（S为常数，S≠0）．
做一做
S(mm2)
y(m)
100
P(4,32)
O
6
解：由P点可知反比例函数为：
当S为1.6时，代入可得y=80
故当面条粗1.6mm2时，面条长80米．
练一练：你吃过拉面吗？一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(m)是面条的粗细（横截面积）
S(mm2)的反比例函数．其图象如图所示，则当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多少米？
反比例函数在物理问题中的应用
二
物理中也有一些问题是与反比例函数息息相关的，一起来看看下面的例子．
典例精析
例3：蓄电池的电压为定值.使用此电源时，用电器的额电流I（A）与电阻R(Ω)之间的函数关系如下图所示
(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？
解：
(1)由题意设函数表达式为
I＝
∵A(9，4)在图象上，
∴U＝IR＝36．
∴表达式为I＝
．
即蓄电池的电压是
36V．
R／Ω
3
4
5
6
7
8
9
10
I／A
(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
解：当I≤10A时,解得R≥3.6Ω.所以可变电阻应不小于3.6Ω．
12
9
7.2
6
5.1
4.5
4
3.6
方法归纳
反比例函数应用的常用解题思路是：（1）根据题意确定反比例函数关系式：（2）由反比例关系式及题中条件去解决实际问题．
(1)当矩形的长为12cm时，宽为 ，当矩形的宽为4cm，其长为 .
(2)
如果要求矩形的长不小于8cm，其宽 .
当堂练习
１．已知矩形的面积为24cm2，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（
）
至多3cm
2cm
6cm
A
2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（
）
A.
不大于
B.
小于
C.
不小于
D.
大于
C
3.码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把货物装载完毕恰好用了8天时间．货物到达目的地后开始卸货，则：
（1）卸货速度v(吨/天)与卸货时间t(天)之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须不超过5日卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
解析：(1)从题设中我们不难发现：v和t之间的函数关系，实际上是卸货速度和卸货时间的关系，根据卸货速度＝货物总量÷卸货时间，就可得到v和t的函数关系，根据题中每天以30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把货物装载完毕恰好用了8天时间．根据装货速度×装货时间＝货物总量，可以求出轮船装载货物的总量，即货物的总量为30×8＝240(吨)．所以v与t的函数表达式为
(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，求平均每天卸载货物至少多少吨．即求当t≤5时，v至少为多少吨．由
得
，t≤5，所以
≤5
.因为v>0，所以240≤5v，解得v≥48，所以船上的货物要在不超过5日内卸载完毕，平均每天至少卸载48吨货物．
反比例函数的应用
实际问题与反比例函数
审题、准确判断数量关系
应用类型
物理问题与反比例函数
一般解题步骤
建立反比例函数的模型
根据实际情况确定自变量的取值范围
实际问题的求解
课堂小结6.3
反比例函数的应用
教学目标：
(一)教学知识点
1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程.
2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.提高运用代数方法解决问题的能力
(二)能力训练要求
通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力.
(三)情感与价值观要求
经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题。理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题.发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
教学重点：用反比例函数的知识解决实际问题.
教学难点：如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，用数学知识去解决实际问题.
教学方法：教师引导学生探索法.
教具准备：多媒体课件
教学过程：
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]有关反比例函数的表达式，图象的特征我们都研究过了，那么，我们学习它们的目的是什么呢
[生]是为了应用.
[师]很好.学习的目的是为了用学到的知识解决实际问题.究竟反比例函数能解决一些什么问题呢 本节课我们就来学一学.
Ⅱ.
新课讲解
某校科技小组进行野外考察，途中遇到片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗 当人和木板对湿地的压力一定时随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化 如果人和木板对湿地地面的压力合计600
N，那么
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗
为什么
(2)当木板画积为0.2
m2时.压强是多少
(3)如果要求压强不超过6000
Pa，木板面积至少要多大
(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象.
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进
行交流.
[师]分析：首先要根据题意分析实际问题中的两个
变量，然后看这两个变量之间存在的关系，从而去
分析它们之间的关系是否为反比例函数关系，若是
则可用反比例函数的有关知识去解决问题.
请大家互相交流后回答.
[生](1)由p=得p=
p是S的反比例函数，因为给定一个S的值.对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数.
(2)当S=0.2
m2时，
p==3000(Pa).
当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa.
(3)当p=6000
Pa时，
S==0.1(m2).
如果要求压强不超过6000
Pa，木板面积至少要0.1
m2.
(4)图象如下：
(5)(2)是已知图象上某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000，求这些点所处的位置及它们横坐标的取值范围.
[师]这位同学回答的很好，下面我要提一个问题，大家知道
反比例函数的图象是两支双曲线、它们要么位于第一、三象限，
要么位于第二、四象限，从(1)中已知p＝>0，所以图象应位于第一、三象限，为什么这位同学只画出了一支曲线，是不是另一支曲线丢掉了呢 还是因为题中只给出了第一象限呢
[生]第三象限的曲线不存在，因为这是实际问题，S不可能取负数，所以第三象限的曲线不存在.
[师]很好，那么在(1)中是不是应该有条件限制呢
[生]是，应为p＝
(S>0).
做一做
蓄电池的电压为定值.使用此电源时，电流I(A)与电阻
R(Ω)之间的函数关系如下图所示；
(1)蓄电池的电压是多少 你能写出这一函数的表达式吗
(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电
器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内
R/Ω
3
4
5
6
7
8
9
10
I/A
4
[师]从图形上来看，I和R之间可能是反比例函数关系.电压U就相当于反比例函数中的k.要写出函数的表达式，实际上就是确定k(U)，只需要一个条件即可，而图中已给出了一个点的坐标，所以这个问题就解决了，填表实际上是已知自变量求函数值.
[生]解：(1)由题意设函数表达式为I＝
∵A(9，4)在图象上，
∴U＝IR＝36.
∴表达式为I=.
蓄电池的电压是36伏.
(2)表格中从左到右依次是：12，9，7.2，6，4.5，3.6.
电源不超过10
A，即I最大为10
A，代入关系式中得R＝3.6，为最小电阻，所以用电器的可变电阻应控制在R≥3.6这个范围内.
2.如下图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(,2).
(1)分别写出这两个函数的表达式：
(2)你能求出点B的坐标吗 你是怎样求的 与同伴进行交流.
[师]要求这两个函数的表达式，只要把A点的坐标代入即可求出k1，k2，求点B的
坐标即求y＝k1x与y=的交点.
[生]解：(1)∵A(,2)既在y＝k1x图象上，又在y＝的图象上.
∴k1＝2，2＝.
∴k1=2,
k2=6
∴表达式分别为y＝2x,y＝.
y=2x,
(2)由
得2x=,
y=
∴x2=3
∴x=±.
当x=-时，y=-2.
∴B(-,-2).
Ⅲ.课堂练习
1.某蓄水池的排水管每时排水8
m3，6
h可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是多少
(2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q(m3)，那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化
(3)写出t与Q之间的关系式；
(4)如果准备在5
h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少
(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3，那么最少多长时间可将满池水全部排空
解：(1)8×6＝48(m3).
所以蓄水池的容积是48
m3.
(2)因为增加排水管，使每时的排水量达到Q(m3)，所以将满池水排空所需的时间t(h)将减少.
(3)t与Q之间的关系式为
t=.
(4)如果准备在5
h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为=9.6(m3).
(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3，那么最少要＝4小时可将满池水全部排空.
Ⅳ.课时小结
节课我们学习了反比例函数的应用.具体步骤是：认真分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而用反比例函数的有关知识解决实际问题.
Ⅴ课后作业
习题6.4.
补充题：为了预防“非典”，
某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，
室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时
间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y与x成反比例
(如右图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中
每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为
,自变量x的取值范围为
；
药物燃烧后，y关于x的函数关系式为
.
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效 为什么
答案：(1)y＝x，
0y=
(2)30
(3)此次消毒有效，因把y=3分别代入y=x，y=，求得x＝4和x＝16，而16-4=12>10，即空气中的含药量不低于3毫克/m3的持续时间为12分钟，大于10分钟的有效消毒时间.
