第2课时
矩形的判定
学习目标：
1.会证明矩形的判定定理。
2.能运用矩形的判定定理进行计算与证明。
3.能运用矩形的性质定理与判定定理进行综合推理与证明。
【预习案】
学习准备：
1.矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．
2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．
3.矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢
请同学们说出最基本的方法：（用定义）
【探究案】
1.知识点一：探究“对角线相等的平行四边形是矩形。”
如图在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，如果AC=BD
求证：□ABCD是矩形。
证明：□ABCD是平行四边形
∴AB=CD
，
AB∥
CD
（
）
∴∠ABC+∠DCB=180
在△ABC和△DCB中
=
=
=
∴△ABC≌△DCB
（
）
∴∠ABC=∠DCB
∴∠ABC=
∴□ABCD是矩形
（
）
2.知识点二：探究“三个角都是直角的四边形是矩形。”
已知：
在四边形ABCD中∠A=∠B=∠C=90
求证：四边形ABCD矩形
证明：
∵∠A+∠B+∠C+∠D=
度
而∠A=∠B=∠C=90度
∴
∠D=
∴
=
=
=
∴四边形ABCD是
平行四边形
（
）
∴四边形ABCD矩形
（
）
【训练案】
1.
如图，□ABCD中，AB=
6，BC=
8，AC=
10
，
求证
:
□ABCD是矩形。
2.如上图已知：□ABCD的AC、BD对角线相交于O，△AOB是等边三角形，AB=4cm,
求这个平行四边形的面积。
能力提升：
△ABC中，点O是AC边上一动点，过O点作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，
（1）试说明EO=OF的理由。
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论。(共15张PPT)
1.2
矩形的性质与判定
第一章
特殊平行四边形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时
矩形的判定
1．理解并掌握矩形的判定方法．（重点）
2．能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.(难点)
学习目标
问题:
什么是矩形？矩形有哪些性质？
A
B
C
D
O
矩形：有一个角是直角的平行四边形.
矩形性质：①是轴对称图形;
②四个角都是直角;
③对角线相等且平分.
导入新课
矩形判定的定理及其证明
一
活动1:
利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的顶点时,
注意观察两条对角线的长度.
问题1:我们会看到对角线会随着∠α变化而变化,当两条对角线长度相等时,平行四边形有什么特征？
α
讲授新课
已知：如图,在□ABCD中,AC
,
DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB
=
DC,BC
=
CB,AC
=
DB,
∴
△ABC≌△DCB
,
∴∠ABC
=
∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC
+
∠DCB
=
180°,
∴
∠ABC
=
90°,
∴
□
ABCD是矩形（矩形的定义）.
猜想:当对角线相等时，该平行四边形可能是矩形.
A
B
C
D
对角线相等的平行四边形是矩形.
定理
活动2:
李芳同学通过画“边－直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.
①
②
③
④
问题2:李芳觉得按照以上步骤可以得到一个矩形？你认为她的判断正确吗？如果正确,你能证明吗？
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
猜想:当三个角都是直角,该四边形可能是矩形.
证明:∵
∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
有三个角是直角的四边形是矩形.
定理
例1：如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O
,
△ABO是等边三角形,
AB=4,求□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=
OC,OB
=
OD.
又∵△ABO是等边三角形,
∴OA=
OB=AB=
4,∠BAC=60°.
∴AC=
BD=
2OA
=
2×4
=
8.
定理的应用
二
典例精析
A
B
C
D
O
∴□ABCD是矩形
（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）
.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB2
+
BC2
=AC2
,
∴BC=
.
∴S□ABCD=AB·BC=4×
=
A
B
C
D
O
例2：如图，在△ABC中,
AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD
,
EC.
（1）求证：△ADC≌△ECD;
（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
证明：（1）∵△ABC是等腰三角形,
∴∠B=∠ACB.
又∵四边形ABDE是平行四边形,
∴∠B=∠EDC,AB=DE,
∴∠ACB=∠EDC,
∴△ADC≌△ECD.
A
D
C
E
B
(2)∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
A
D
C
E
B
1.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、
∠MCA、
∠
ACN、∠CAF的角平分线,则四边形ABCD是（
）
A.菱形
B.平行四边形
C.矩形
D.不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
当堂练习
2.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形CEDO是矩形吗？说出你的理由.
D
A
B
C
E
O
解：四边形CEDO是矩形.
理由如下：已知四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
∵DE∥AC,CE∥BD，
∴四边形CEDO是平行四边形.
∴四边形CEDO是矩形（矩形的定义）.
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明.
矩形的判定
定义
定理
课堂小结矩形的性质与判定
第1课时
矩形的性质
学习目标：
1．能运用综合法证明矩形性质定理。
2．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。
【预习案】
回顾旧知:
1．你了解哪些特殊的平行四边形？
2．这些特殊的平行四边形与平行四边形有哪些关系？
3．能用一张图来表示它们之间的关系吗？
自学提示：
自主学习：
①平行四边形活动框架在变化过程中，哪些量发生了变化？哪些量没有变化？从中得到哪些结论？你能试着说明结论是否成立？
②矩形的一条对角线把矩形分成两个什么三角形？矩形的两条对角线把矩形分成四个什么样的三角形？
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形。由此可见，矩形是特殊的
，它具有平行四边形的所有性质。
2．结合上面两个图形说说矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？
3．证明：矩形的四个角都是直角
已知：如图，
求证：___________________
证明：
证明：矩形对角线相等
已知：如图，
求证：
证明：
【探究案】
合作探究：
问题一:
如图，矩形ABCD，对角线相交于O，观察对角线所分成的三角形，你有什么发现？
问题二
将目光锁定在Rt△ABC中，你能发现它有什么特殊的性质吗？
证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．”
已知：
求证：
证明：
问题三
上面结论的逆命题是：
。
是否正确？请给予证明。
【训练案】
巩固练习
1.矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质：四个角
，对角线
。
2.在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若，则
。
3、已知矩形的长为20，宽为12，顺次连结矩形四边中点所形成的
四边形的面积是__________.
4，如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
已知∠AOD＝120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
六、反思领悟
这节课我们学到了:
.
我的疑问是:
BD
AD
DD
CD
D
C
B
A
D
C
B
A
PAGE1．2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；(重点)
2．会运用矩形的概念和性质来解决有关问题．(难点)
一、情景导入
1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等)，想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动过程如图)
3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形)，引出本课题及矩形定义．
矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形．
有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质．
二、合作探究
探究点一：矩形的性质
【类型一】
矩形的四个角都是直角
如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC.若BE＝4，AC＝15，则△AEC的面积为( )
A．15
B．30
C．45
D．60
解析：如图，过E作EF⊥AC，垂足为F.
∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，BE⊥AB，
∴EF＝BE＝4，
∴S△AEC＝AC·EF＝×15×4＝30.故选B.
方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件．
【类型二】
矩形的对角线相等
如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是( )
A．2
B．4
C．2
D．4
解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD＝OA＝AC，由∠AOD＝60°得△AOD为等边三角形，即可求出AC的长．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，
∴OA＝OD.∵∠AOD＝60°，
∴△AOD为等边三角形，
∴OA＝OD＝2，∴AC＝2OA＝4.
故选B.
方法总结：矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形，当两条对角线的夹角为60°或120°时，图中有等边三角形，从而可以利用等边三角形的性质解题．
探究点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理．
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝BC，DG＝BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
方法总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
探究点三：矩形的性质的应用
【类型一】
利用矩形的性质求有关线段的长度
如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
解析：先判定△AEF≌△DCE，得CD＝AE，再根据矩形的周长为32列方程求出AE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠CED＋∠ECD＝90°.
又∵EF⊥EC，
∴∠AEF＋∠CED＝90°，
∴∠AEF＝∠ECD.
而EF＝EC，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE＝CD.
设AE＝xcm，
∴CD＝xcm，AD＝(x＋4)cm，
则有x＋4＋x＝16，解得x＝6.
即AE的长为6cm.
方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，可借助直角的条件解决直角三角形中的问题．
【类型二】
利用矩形的性质求有关角度的大小
如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
解析：由∠BAE与∠DAE之和为90°及这两个角之比可求得这两个角的度数，从而得∠ABO的度数，再根据矩形的性质易得∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，
AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
方法总结：矩形的性质是证明线段相等或倍分、角的相等与求值及线段平行或垂直的重要依据．
【类型三】
利用矩形的性质求图形的面积
如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的( )
A.
B.
C.
D.
解析：由四边形ABCD为矩形，易证得△BEO≌△DFO，则阴影部分的面积等于△AOB的面积，而△AOB的面积为矩形ABCD面积的，故阴影部分的面积为矩形面积的.故选B.
方法总结：求阴影部分的面积时，当阴影部分不规则或比较分散时，通常运用割补法将阴影部分转化为较规则的图形，再求其面积．
【类型四】
矩形中的折叠问题
如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解析：这是一道折叠问题，折后的图形与原图形全等，从而得知△BCD≌△BC′D，则易得BE＝DE.在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求出BE的长，即可求得△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知△BC′D≌△BCD，
∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠3.∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2.解得x＝5，
即DE＝5.
∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10.
方法总结：矩形的折叠问题是常见的问题，本题的易错点是对△BED是等腰三角形认识不足，解题的关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析．
三、板书设计
矩形
经历矩形的概念和性质的探索过程，把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形的概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．培养学生的推理能力以及自主合作精神，掌握几何思维方法，体会逻辑推理的思维价值.第2课时 矩形的判定
1．理解并掌握矩形的判定方法；(重点)
2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用．(难点)
一、情景导入
小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！
二、合作探究
探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形
如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形．
解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AM＝BP＝CN＝DQ，
∴OM＝OP＝ON＝OQ.
∴四边形MPNQ是平行四边形．
又∵OM＋ON＝OQ＋OP，
∴MN＝PQ.
∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形．
探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形
如图，GE∥HF，直线AB与GE交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线，求证：四边形ADBC是矩形．
解析：利用已知条件，证明四边形ADBC有三个角是直角．
证明：∵GE∥HF，
∴∠GAB＋∠ABH＝180°.
∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线，
∴∠1＝∠GAB，∠4＝∠ABH，
∴∠1＋∠4＝(∠GAB＋∠ABH)＝×180°＝90°，
∴∠ADB＝180°－(∠1＋∠4)＝90°.
同理可得∠ACB＝90°.
又∵∠ABH＋∠FBA＝180°，
∠4＝∠ABH，∠2＝∠FBA，
∴∠2＋∠4＝(∠ABH＋∠FBA)＝×180°＝90°，即∠DBC＝90°.
∴四边形ADBC是矩形．
方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形．
探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形
如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝CD；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC.
解：(1)BD＝CD.理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF＝DC.
∵AF＝BD，
∴BD＝DC；
(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∴AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
三、板书设计
通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力.(共25张PPT)
1.2
矩形的性质与判定
第一章
特殊平行四边形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第3课时
矩形的性质、判定与其他知识的综合
1．回顾矩形的性质及判定方法．
2．矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.
(难点)
学习目标
问题1:
矩形有哪些性质？
A
B
C
D
O
①是轴对称图形;
②四个角都是直角;
③对角线相等且平分.
导入新课
①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
②有一组邻边相等的矩形
③有一个角是直角的菱形
问题2:
矩形有判定方法有哪些？
例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
矩形的性质与判定综合运用
典例精析
讲授新课
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，
∴AE=
AD=3.
【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.
例2：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断
四边形ABDE的形状，并证明；
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.
（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
分析：由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形；
解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
由（1）知，四边形ADCE为矩形，
则AE=CD，AC=DE．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，
并证明；
分析：利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC=DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形；
解：DF∥AB，DF=
AB．理由如下：
∵四边形ADCE为矩形，
∴AF=CF，
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DF=
AB
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.
分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF=
AB.
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
例3：如图，在△ABC中,
AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD
,
EC.
（1）求证：△ADC≌△ECD;
（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
证明：（1）∵△ABC是等腰三角形,
∴∠B=∠ACB.
又∵四边形ABDE是平行四边形,
∴∠B=∠EDC,AB=DE,
∴∠ACB=∠EDC,
∴△ADC≌△ECD.
A
D
C
E
B
(2)∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
A
D
C
E
B
例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
解：(1)BD＝CD.理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF＝DC.
∵AF＝BD，
∴BD＝DC；
分析：根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝CD；
(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∴AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
【方法总结】本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
分析：先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC.
例5：如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.
(1)求证：CM＝CN；
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比
为3∶1，求
的值．
典例精析
(1)求证：CM＝CN；
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM＝∠CMN，
由折叠知∠CNM＝∠ANM，
∴∠CNM＝∠CMN，
∴CN＝CM
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求
的值．
解：∵AD∥BC，S△CMN∶S△CDN＝3∶1，∴CM∶DN＝3∶1，
设DN＝x，则CM＝3x，
过点N作NK⊥BC于点K，
∵DC⊥BC，∴NK∥DC，
又∵AD∥BC，∴CK＝DN＝x，MK＝2x，
由(1)知CN＝CM＝3x，
∴NK2＝CN2－CK2＝(3x)2－x2＝8x2，
当堂练习
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是(
)
A．S1>S2 B．S1＝S2
C．S1D．3S1＝2S2
B
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10
cm，则EH等于( )
A．8
cm B．10
cm C．16
cm D．24
cm
B
3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝____度．
75
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标为
．
5.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，
求证：四边形ADCN是矩形．
证明：(1)证△AMD≌△CMN得AD＝CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD＝AN.
(2)若∠AMD＝2∠MCD，
求证：四边形ADCN是矩形．
证明：
∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，
∴MD＝MC，
由(1)知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD＝MN＝MA＝MC，
∴AC＝DN，∴ ADCN是矩形.
与全等三角形的结合
矩形的性质与判定
课堂小结
与平面直角坐标系的结合
折叠问题矩形的性质与判定
第1课时
矩形的性质
教学
目
标
1．知道矩形的概念与有关性质，会用这些知识进行简单的推理与计算。2.
在了解矩形与平行四边形之间的关系，掌握、运用矩形性质的过程中，渗透数形结合、转化化归与方程思想，进一步提高分析问题与解决问题的能力。
重点
矩形概念的理解；掌握并会运用矩形的性质
难点
运用矩形的性质进行简单的推理与计算。
一、定义： 矩形的定义：
。由此可见，矩形是特殊的
，它具有
的所有性质。 二、探究矩形的性质：1．四个角都是直角.2．对角线相等且平分.．．三、知识延展：（1）、由矩形性质有OA=OC=AC
OB=OD=BD且AC=BD得OA=
=
=
∴矩形对角线的交点O到各顶点的距离
。由图可知，在矩形中有
个直角三角形，它们分别是
有
个等腰三角形，它们分别是
∴我们通常在直角三角形、等腰三角形中求有关边与角。（3）、由矩形性质有∠ABC=900，OA=OB=OC这说明：Rt△ABC中，若OB是斜边AC的
，则OB=
AC∴直角三角形斜边上的中线等于斜边长的
思考：矩形是轴对称图形吗？将矩形作业纸对折，我们发现：矩形是
图形，有
条对称轴。对称轴是
。∴矩形既是
对称图形，又是
对称图形，对称中心为
四、应用1、例题：（P13例1，先看题目自己完成证明过程，再对照课本检查）2、课堂检测： (1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB=
60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有(
)
A．2条
B．4条
C．5条
D．6条(2)下列关于矩形的说法中正确的是（
）A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分(3)将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形。若∠CED′=56°,则∠AED的大小是_______.(共25张PPT)
1.2
矩形的性质与判定
第一章
特殊平行四边形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时
矩形的性质
1.了解矩形的概念及其与平行四边形的关系；
2.探索并证明矩形的性质定理.（重点）
3.应用矩形的性质定理解决相关问题.（难点）
学习目标
问题1:观察下面的图形,它们都是一种特殊的平行四边形,请你说
一说他们的特殊之处.
问题2：你能举出生活中的一些此种图形的实例吗？
导入新课
矩形的定义
一
活动：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形
讲授新课
矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,但平行四边形不一定是矩形.
归纳
平行四边形
菱形集合
平行四边形集合
矩形集合
做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.
（1）矩形是不是中心对称图形
如果是,那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
矩形的性质：
对称性：
.
对称轴：
.
轴对称图形
2条
矩形的性质
二
活动探究：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.
（2）根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时,
发现的结论是否仍然成立？
（3）通过测量、观察和讨论,你能得到矩形的特殊性质吗？
A
B
C
D
O
AB
AD
AC
BD
∠BAD
∠ADC
∠AOD
∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
（形象图）
填一填
根据上面探究，猜想矩形的特殊性质，并把结果填在下面横线上.
角：
.
对角线：
.
A
B
C
D
四个角为90°
相等
O
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角线)
AB∥DC(矩形的对边平行).
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵∠ABC
=
90°,
∴∠BCD
=
90°.
求证:矩形的四个角都是直角，且对角线相等.
已知：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线
AC与DB相较于点O.
求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;
（2）AC=DB.
A
B
C
D
O
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB
=90°.
证明猜想
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC(矩形的对边相等).
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=
CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
1.矩形的四个角都是直角.
2.矩形的对角线相等.
定理
A
B
C
D
O
归纳结论
矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
角：四条角都是90°.
对角线：相等.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相交并相互平分.
矩形的特殊性质
平行四边形的性质
例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=2.5
,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC
=
BD(矩形的对角线相等).
OA=
OC=
AC,OB
=
OD
=
BD
,
(矩形对角线相互平分)
∴OA
=
OD.
A
B
C
D
O
典例精析
A
B
C
D
O
∵∠AOD=120°,
∴∠ODA=∠OAD=
(180°-
120°)=30°.
又∵∠DAB=90°
,
（矩形的四个角都是直角）
∴BD
=
2AB
=
2
×2.5
=
5.
提示：∠AOD=120°
→
∠AOB=60°→
OA=OB=AB
→
AC=2OA=2×2.5=5.
你还有其他解法吗？
例2：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE
,垂足为F.
求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD
=AE,∴∠AED
=∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE,
∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=
DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
已知：如右图,四边形ABCD是矩形,对角线AC与BD交于点E.
证明：在Rt△ABC中,BE=
AC.
A
B
C
D
E
证明：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC
=
BD(矩形的对角线相等).
BE=
DE=
BD,AE=CE=
AC
(矩形对角线相互平分),
∴BE=
AC.
直角三角形斜边上的中线上的性质
三
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
定理
例3：如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝2(1)BC，DG＝2(1)BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理．
练一练：根据右图填空
已知△ABC中,∠ABC
=
90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC
=_____cm;
(2)若∠C
=
30°
,AB
=
5cm,则
AC
=_____cm,
BD
=
_____cm.
A
B
C
D
6
10
5
归纳总结
直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型
典例精析
1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC
,
BD交于点O
,已知∠AOB=60°
,
AC=16,则图中长度为8的线段有（
）
A.2条
B.4条
C.5条
D.6条
D
A
B
C
D
O
60°
当堂练习
2.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE,
（2）若∠DBC=30°
,
BO=4
,求四边形ABED的面积.
A
B
C
D
O
E
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC=
BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD
=
2BO
=2×4=8.
∵∠DBC=30°,
∴CD=
BD=
×8=4,
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中,
BC=
∴四边形ABED的面积=
(4+8)×
=
.
A
B
C
D
O
E
平行四边形
1.矩形是轴对称图形和中心对称图形
2.矩形四个角都是直角
3.矩形的对角线相等且相互平分
矩形
性质
有一个角是直角
转换
直角三角形
等腰三角形
课堂小结第2课时
矩形的判定
教学
目
标
1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达。2.
能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算.
重点
掌握并会运用矩形的判定
难点
运用矩形的判定进行简单的推理与计算。
一、旧知回顾1、想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较.平行四边形矩形边对边平行且相等对边平行且相等角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角线对角线互相平分对角线相等且互相平分2、矩形对称性：二、合作探究仿照平行四边形的判定猜想，你能猜出矩形的判定有哪些吗？（分别从边、角、对角线几个方面考虑。）1、定义可以作为判定2、四个角都是直角的四边形3、对角线相等的平行四边形或对角线互相平分且相等的四边形。你能证明所写出的判定命题吗？
备注（教师复备栏）
三、应用例1.
如图，□
ABCD的对角线AC、BD交于点O，△AOB是正三角形，AB=4cm.(1)
求证□
ABCD是矩形.(2)
求□
ABCD的面积.2．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得
DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形吗？说明理由。答案：四边形ACBE是矩形.因为CD是Rt△ACB斜边上的中线，
所以DA=DC=DB,又因为DE=CD，所以DA=DC=DB=DE,所以四边形ABCD是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）。
四、课堂检测：1．下列说法正确的是（
）A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C.对角线互相平分的四边形是矩形
D.对角互补的平行四边形是矩形2.
矩形各角平分线围成的四边形是（
）
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形3.
下列判定矩形的说法是否正确
（1）有一个角是直角的四边形是矩形
（
）
（2）四个角都是直角的四边形是矩形
（
）（3）四个角都相等的四边形是矩形
（
）
（4）对角线相等的四边形是矩形
（
）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形
（
）（6）对角线相等且互相平分的四边形是矩形
（
）4.
在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是
.(写出一种即可)
备注（教师复备栏）
O
D
C
B
A
