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19.2.1.正比例函数
（第1课时）
什么叫自变量？什么叫函数？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
问题1
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
解：乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需的时间为
1381
300
4.6
(h)
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1100km的南京南站？
解：300×2.5=750
(km)
因为750<1100，所以京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，还没经过了距始发站1100km的南京南站。
（2）京沪高铁列车的行程
y（单位：km
）与运行时间
t（单位：k
）之间有何数量关系？
解：y=300t(0
t
4.6)
下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？
（1）圆的周长
l
随半径r的大小变化而变化.
解：
l
=2πr
.
（2）铁的密度为7.8g/
cm3
，铁块的质量
m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的大小变化而变化.
解：m
=7.8
V
.
（3）每个练习本的厚度为0.5
cm，一些练习本摞在一起的总厚度
h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化.
解：h
=
0.5n
.
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化．
解：T
=
－2t
．
（1）（
l＝2πr
）
（2）（
m＝7.8
V
）
（3）（h＝
0.5n
）
（4）（T＝－2
t
）
找出它们的共同点
共同点：正如y＝200x一样，上述函数都是常量与自变量的乘积的形式。
正比例函数定义：一般地，形如y＝kx(k为常数，
k
≠0)的函数叫做正比例函数，其中的k叫比例系数。
一般地，形如y=
kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
你能举出一些正比例函数的例子吗？
正比例函数y=kx的结构特征：
(2)
k≠0，
也就是说与自变量相乘的常数不能为0
(3)
x的次数是１，也就是说自变量的指数为1.
（1）表现为常数与自变量的乘积形式。
待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
二、把已知的自变量的值和对应的函数值代入
所设的解析式，得到以比例系数k为未知数的
方程，解这个方程求出比例系数k。
三、把k的值代入所设的解析式。
一、设所求的正比例函数解析式。
例1：已知y与x成正比例，当x=4时，y=8，试求y与x的函数解析式
解：
∵y与x成正比例
∴y=kx
又∵当x=4时，y=8
∴8=4k
∴k=2
∴y与x的函数解析式为：y=2x
1.下列函数是否为正比例函数？如果是，请指出比例系数;若不是，请说明理由
（2）y
=
x+2
（1）y
=2x
（5）y=x2+1
（3）
（4）
是
是
不是
不是
不是
尝试应用
2.若y=5x3m-2是正比例函数，m=
。
3.
若
是正比例函数，m=
。
1
-2
4.
已知△ABC的底边BC=8cm，当BC边上的高线从小到大变化时，
△ABC的面积也随之变化。
（1）写出△ABC的面积y（cm2）与高线x的函数解析式，并指明它是什么函数；
（2）当x=7时，求出y的值。
解：
（1）
（2）当x=7时，y=4×7=28
5.
已知y-3与x成正比例，当x=2时，y=7，求y与x之间的函数解析式.
解：设y-3=kx，
∵当x=2时，y=7，
代入得7-3=2k，
∴k=2，
即y-3=2x，
则y=2x＋3
6.
某学校准备添置一批篮球，已知所购篮球的总价y（元）与个数x（个）成正比例，当x=4（个）时，y=100（元）.
（1）求正比例函数关系式及自变量的取值范围；
（2）求当x=10（个）时，函数y的值；
（3）求当y=500（元）时，自变量x的值.
解（1）设所求的正比例函数的解析式为y=kx，
（2）当x=10（个）时，y=25x=25×10=250（元）
∵当x
=4时，y
=100，∴100=4k.
解得
k=
25.
∴所求正比例函数的解析式是y=25x.
自变量x的取值范围是所有自然数.
（3）当y=500（元）时，x=
=
=20（个）
y
25
500
25
补偿提高19.2．1.正比例函数（第1课时）当堂达标题
【当堂达标】
1.下列关系式中,表示是的正比例函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.下列关系中，符合正比例函数关系的是(
)
A.边长一定，三角形的面积与该边上的高
B.质量一定时，体积与密度
C.路程一定时，速度与时间
D.长方形的面积一定时，它的长与宽
3.列出下列函数关系式，并判断是否为正比例函数.
(1)圆的面积S与其半径r;
(2)面积为常数S，矩形的长y与宽x;
(3)某报纸售价0.5元,每卖一份报纸可得20％的利润,其利润y(元)与出售份数x(份)的关系式;
(4)冲一卷胶卷手续费3元，洗一张照片0.3元，冲一卷胶卷与洗x张照片所需费用y(元)的关系式.
4.已知y－5与3x－4成正比例，且当x=1时，y=2，求当y=11时，x的值.
【拓展应用】
5.水产品养殖加工厂有200名工人，每名工人每天平均捕捞水产品50千克，或者将当日所捕捞的水产品40千克进行精加工.已知每千克水产品直接出售可获得利润6元，精加工后再出售，可获得利润18元.设每天安排x名工人进行水产品精加工，求每天做水产品精加工所得利润y(元)与x的函数关系式.
【学习评价】
自评
师评
参考答案
1.B;
2.A
3.解：(1)S=πr2,不是正比例函数.
(2)y=,不是正比例函数.
(3)y=0.1x,是正比例函数.
(4)y=0.3x+3，不是正比例函数.
4.
思路分析：把y－5与3x－4作为整体，用待定系数法求解，则可设y－5=k(3x－4)，再代入x、y的值，建立方程即可求出k的值，然后再代入y的值，则可求x的值.
解：设y－5=k(3x－4)，把x=1，y=2代入，得2－5=k(3×1－4)，解得k=3.
∴y－5=3(3x－4)，即y=9x－7.当y=11时，有11=9x－7，解得x=2.
5.分析：此题最关键的是从所给的所有信息中排除干扰，找到有用的信息，这里只要求每天做水产品精加工所得利润y(元)与x的函数关系式.利润＝每千克利润×人数×每人加工量.
解：每天做水产品精加工所得利润y(元)与x的函数关系式为y=18×40x，
即y=720x.19.2.1正比例函数（第1
课时）
【学习目标】
1．理解正比例函数的概念
；2.能够判断两个变量是否构成正比例函数关系.
【重点难点】
重点：理解正比例函数意义及解析式特点．
难点：从实际问题出发，提炼正比例函数的模型．
【学习过程】
一、自主学习：
复习回顾：
1.什么叫自变量？什么叫函数？
二、合作探究：
【问题1】2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
（2）京沪高铁列车的行程
y（单位：km
）与运行时间
t（单位：k
）之间有何数量关系？
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1100km的南京南站？
【问题2】请写出下列问题中的函数解析式：
（1）圆的周长L随半径r的变化而变化？
（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m(单位;g)随它的体积V的变化而变化。
（3）每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位：cm)随练习本的本数n的变化而变化。
（4）冷冻一个0°C的物体，使它每分下降2°C,物体的温度T(单位：°C）随冷冻时间t(单位：min）的变化而变化。
结合上述函数解析式的共同点总结：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
三、例题探究：
【例1】已知y与x成正比例，当x=4时，y=8，试求y与x的函数解析式
尝试应用
1.下列函数是否为正比例函数？如果是，请指出比例系数;
（1）y
=2x
（2）y
=
x+2
（3）
（4）
（5）y=x2+1
2.若y=5x3m-2是正比例函数，则m=
.
3.
若是正比例函数，则m=
.
4.
已知△ABC的底边BC=8cm，当BC边上的高线从小到大变化时，
△ABC的面积也随之变化.
（1）写出△ABC的面积y（cm2）与高线x的函数解析式，并指明它是什么函数；
（2）当x=7时，求出y的值.
5.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)y与x之间是什么函数关系；
(3)求x＝2.5时，y的值．
补偿提高
6.
某学校准备添置一批篮球，已知所购篮球的总价y（元）与个数x（个）成正比例，当x=4（个）时，y=100（元）.
（1）求正比例函数关系式及自变量的取值范围；
（2）求当x=10（个）时，函数y的值；
（3）求当y=500（元）时，自变量x的值.
【学后反思】
参考答案：
自主探究：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
二、合作探究：
【问题1】（1）解：乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需的时间为
1311÷
300≈
4.4
(h)
（2）
解：y=300t(0
≤
t
≤
4.4)
（3）
解：300×2.5=750
(km)
因为750<1100，所以京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，还没经过了距始发站1100km的南京南站。
【问题2】
解：（1）根据圆的周长公式可得：．
（2）依据密度公式可得：m=7．8V．
（3）据题意可知：
h=0．5n．
（4）据题意可知：T=－2t．
三、例题探究：
【例1】解：∵y与x成正比例，∴y=kx
.
又∵当x=4时，y=8.
∴8=4k,
∴k=2.
∴y与x的函数解析式为：y=2x.
尝试应用
1.（1）是,比例系数是2
（2）不是正比例函数
（3）是，比例系数
（4）不是
（5）不是
2.1；
3.-2；
4.
（1）
正比例函数；
（2）当x=7时，y=4×7=28
5.解
(1)因为
y与x－3成正比例,所以y＝k(x－3)．
又因为x＝4时，y＝3，所以3＝
k(4－3)，解得k＝3，
所以y＝3(x－3)，即y＝3x－9．
(2)
y是x的一次函数．
(3)当x＝2.5时，y＝3×2.5＝7.5．
补偿提高
6.解（1）设所求的正比例函数的解析式为y=kx
∵当x
=4时，y
=100，∴100=4k.
解得
k=
25.
∴所求正比例函数的解析式是y=25x.
自变量x的取值范围是所有自然数.
（2）当x=10（个）时，y=25x=25×10=250（元）.
（3）当y=500（元）时,
x=20（个）.19.2.1
正比例函数（第1课时）
【教材分析】
教学目标
知识技能
理解正比例函数的概念
；能够判断两个变量是否构成正比例函数关系.
过程方法
实例引入，激发学生学习数学的兴趣，培养学生数学建模的能力．
情感态度
积极参与数学活动，增强自己的好奇心和求知欲；养成独立思考、合作交流的学习习惯．
重点
理解正比例函数意义及解析式特点．
难点
从实际问题出发，提炼正比例函数的模型．
【教学流程】
环节
导
学
问
题
师
生
活
动
二次备课
情境引入
复习回顾：1.什么叫自变量？什么叫函数？
教师出示问题，学生观察,
1.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
自主探究合作交流自主探究合作交流
【问题1】2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
（2）京沪高铁列车的行程
y（单位：km
）与运行时间
t（单位：k
）之间有何数量关系？（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1100km的南京南站？【问题2】请写出下列问题中的函数解析式：
（1）圆的周长L随半径r的变化而变化？（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m(单位;g)随它的体积V的变化而变化。（3）每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位：cm)随练习本的本数n的变化而变化。（4）冷冻一个0°C的物体，使它每分下降2°C,物体的温度T(单位：°C）随冷冻时间t(单位：min）的变化而变化。结合上述函数解析式的共同点总结：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．【例1】已知y与x成正比例，当x=4时，y=8，试求y与x的函数解析式.
教师出示问题，学生尝试解答，师生共同评价【问题1】（1）解：乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需的时间为
1311÷300≈4.4
(h)（2）解：y=300t(0
≤t≤4.4)（3）解：300×2.5=750
(km)
因为750<1100，所以京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，还没经过了距始发站1100km的南京南站。【问题2】解：（1）根据圆的周长公式可得：．
（2）依据密度公式可得：m=7．8V．
（3）据题意可知：
h=0．5n．
（4）据题意可知：T=-2t．
【例1】解：∵y与x成正比例，∴y=kx
，又∵当x=4时，y=8，∴8=4k，∴k=2，∴y与x的函数解析式为：y=2x.
尝试应用
1.下列函数是否为正比例函数？如果是，请指出比例系数.（1）y
=2x
;（2）y
=
x+2;（3）;（4）;（5）y=x2+1
2.若y=5x3m-2是正比例函数，则m=
.
3.
若是正比例函数，则m=
.4.
已知△ABC的边BC=8cm，当BC边上的高线从小到大变化时，
△ABC的面积也随之变化.（1）写出△ABC的面积y（cm2）与高线x的函数解析式，并指明它是什么函数；（2）当x=7时，求出y的值.5.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)y与x之间是什么函数关系；(3)求x＝2.5时，y的值．
教师出示问题，学生先自主，再合作，交流展示，师生共同评价1.（1）是,比例系数是2（2）不是正比例函数（3）是，比例系数（4）不是（5）不是2.1；3.-2；4.
（1）正比例函数；（2）当x=7时，y=4×7=285.解
(1)因为
y与x－3成正比例,所以y＝k(x－3)．又因为x＝4时，y＝3，所以3＝
k(4－3)，解得k＝3，所以y＝3(x－3)＝3x－9．(2)
y是x的一次函数．(3)当x＝2.5时，y＝3×2.5＝7.5．
成果展示
欣赏自我：本节课你学会了什么？完善自我：对本课的内容，你还有哪些疑惑？
教师引导学生归纳总结、反思、梳理知识，帮助学生形成知识体系.
补偿提高
6.
某学校准备添置一批篮球，已知所购篮球的总价y（元）与个数x（个）成正比例，当x=4（个）时，y=100（元）.（1）求正比例函数关系式及自变量的取值范围；（2）求当x=10（个）时，函数y的值；（3）求当y=500（元）时，自变量x的值.
教师出示问题，学生先自主，再合作，交流展示，师生共同评价6.解（1）设所求的正比例函数的解析式为y=kx∵当x
=4时，y
=100，∴100=4k.
解得
k=
25.
∴正比例函数的解析式是y=25x.
自变量x的取值范围是所有自然数.
（2）当x=10（个）时，y=25x=25×10=250（元）.
（3）当y=500（元）时,X=20（个）
.
作业设计
作业：教科书P87第1、2题
教师布置作业，提出具体要求学生认定作业，课下独立完成
