19.2.3一次函数与方程、不等式（第1
课时）
【学习目标】
1．能用函数观点认识一元一次方程．
2.会用函数的方法求解一元一次方程.
【重点难点】
重点：1.函数观点认识一元一次方程.
2.应用一次函数求解一元一次方程．
难点：通过具体问题初步体会一次函数与一元一次方程的关系.
【学习过程】
自主学习：
复习回顾:
1．已知一次函数y＝2x＋1，
(1)当y＝3时，x＝____；(2)当y＝0时，x＝______；(3)当y＝－1时，x＝______．
2．解方程：
(1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝－1.
二、合作探究：
【探究】结合以上两题的解答，你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
三、例题探究：
【例1】利用函数图象解方程：
(1)－x＋1＝0；
(2)4x－2＝x-8
[解析]
(1)根据－x＋1＝0写出对应的一次函数y＝－x＋1.画出函数y＝－x＋1的图象，观察图象求方程的解；
(2)将4x－2＝x－8转化为一般形式3x＋6＝0，然后利用(1)的方法求解．
解：
【例2】求函数y＝－x＋3的图象与两坐标轴围成的三角形的面积．
尝试应用
1.直线y=x+3与x轴的交点坐标为
，所以相应的方程x+3=0的解是
.
2.设m，n为常数且m≠0，
直线y=mx+n（如图所示），
则方程mx+n=0的解是
.
3.
已知方程ax+b=0的解是-2，下列图像肯定不是直线y=ax+b的是（
）
4.利用函数图象法求方程6x-3=x+2的解
补偿提高
5.一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(用函数图象解决)
【学后反思】
参考答案：
自主探究：
1、（1）1（2）；（3）-1
2．（1）x=1（2）x=（3）x=-1
合作探究
从函数的角度看，上面的三个方程可以看成函数y=2x+1的一种具体情况，解这三个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3,0，-1时，求自变量x的值。
当y=3时，x=1
当y=0时，x=
当y=-1时，x=
-1
或者说，在直线y=2x+1
上取纵坐标分别为3,0，-1的点，看他们的横坐标分别为多少。
例题探究
例1.解：(1)－x＋1＝0对应的一次函数为y＝－x＋1.画出y＝－x＋1的图象，如图①.
因为直线y＝－x＋1与x轴的交点坐标为(3，0)，所以方程－x＋1＝0的解是x＝3.
(2)将方程4x－2＝x－8转化为3x＋6＝0，其对应的函数为y＝3x＋6.
画出y＝3x＋6的图象，如图②.
因为直线y＝3x＋6与x轴的交点坐标为(－2，0)，所以方程4x－2＝x－8的解是x＝－2.
例2.解：∵直线y＝－x＋3与x轴的交点坐标为(4，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)，
∴函数y＝－x＋3的坐标三角形的面积为×3×4＝6.
尝试应用
1.(-3,0),x=-3
2.x=-2
3.B
4.解：将方程6x-3=x+2变形为
5x-5=0
画出函数y=5x-5的图象
∵直线y=5x-5与x轴的交点为（1，0）
∴方程的解为
x=1
补偿提高
5.解：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数
y=2x+5
由2x+5=17
得
2x－12=0
画出函数y=2x－12的图象，
如图由图象观察可知，函数y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.
答：再过6秒它的速度为17米/秒.19.2.3一次函数与方程、不等式（第1课时）
【教材分析】
教学目标
知识技能
1.能用函数观点认识一元一次方程．2.会用函数的方法求解一元一次方程.
过程方法
1.通过“自主─合作─探究”的过程，探索方程与函数的关系，拓展解题思路.2.通过“归纳─总结─应用”加深数形结合思想的认识与应用．
情感态度
1.经过活动，会从不同方面认识事物本质的方法．2.培养学生实事求是，一分为二的分析思维习惯．
重点
1.函数观点认识一元一次方程.
2.应用一次函数求解一元一次方程．
难点
通过具体问题初步体会一次函数与一元一次方程的关系.
【教学流程】
环节
导
学
问
题
师
生
活
动
二次备课
情境引入
复习回顾:1．已知一次函数y＝2x＋1，(1)当y＝3时，x＝____；(2)当y＝0时，x＝______；(3)当y＝－1时，x＝______．2．解方程：(1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝－1.
教师出示问题，学生独立思考、尝试解决，师生共评价,1、（1）1（2）；（3）-12．（1）x=1（2）x=（3）x=-1
自主探究合作交流自主探究合作交流
【探究】结合以上两题的解答，你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．结论：因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x的值．从图象上看，这又相当于求直线y＝ax＋b与x轴交点的横坐标．【问题一】利用一次函数图象解一元一次方程
【例1】利用函数图象解方程：(1)－x＋1＝0；(2)4x－2＝x-8[解析]
(1)根据－x＋1＝0写出对应的一次函数y＝－x＋1.画出函数y＝－x＋1的图象，观察图象求方程的解；(2)将4x－2＝x－8转化为一般形式3x＋6＝0，然后利用(1)的方法求解．【问题二】利用解一元一次方程确定一次函数的图像与坐标轴的交点坐标
【例2】求函数y＝－x＋3的图象与两坐标轴围成的三角形的面积．总结：求直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴交点坐标时，可令y＝0得到一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)，解方程，得,
则
就是直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴交点的横坐标.
教师出示问题学生自主探究，通过教师引领，鼓励合作交流、互帮互助.从函数的角度看，上面的三个方程可以看成函数y=2x+1的一种具体情况，解这三个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3,0，-1时，求自变量x的值。当y=3时，x=1当y=0时，当y=-1时，x=
-1
或者说，在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3,0，-1的点，看他们的横坐标分别为多少。教师出示例题，引导学生合作交流，评价矫正，学生小组合作，展示交流解：(1)－x＋1＝0对应的一次函数为y＝－x＋1.画出y＝－x＋1的图象，如图①.因为直线y＝－x＋1与x轴的交点坐标为(3，0)，所以方程－x＋1＝0的解是x＝3.(2)将方程4x－2＝x－8转化为3x＋6＝0，其对应的函数为y＝3x＋6.画出y＝3x＋6的图象，如图②.因为直线y＝3x＋6与x轴的交点坐标为(－2，0)，所以方程4x－2＝x－8的解是x＝－2.例2.解：∵直线y＝－x＋3与x轴的交点坐标为(4，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)，∴函数y＝－x＋3的坐标三角形的面积为×3×4＝6.
尝试应用
1.直线y=x+3与x轴的交点坐标为
，所以相应的方程x+3=0的解是
.2.设m，n为常数且m≠0，
直线y=mx+n（如图所示），
则方程mx+n=0的解是
.3.
已知方程ax+b=0的解是-2，下列图像肯定不是直线y=ax+b的是（
）
4.利用函数图象法求方程6x-3=x+2的解
教师出示问题，学生先自主，再合作，交流展示，师生共同评价1.(-3,0),x=-32.x=-23.B4.解：将方程6x-3=x+2变形为
5x-5=0画出函数y=5x-5的图象∵直线y=5x-5与x轴的交点为（1，0）∴方程的解为
x=1
成果展示
欣赏自我：本节课你学会了什么？完善自我：对本课的内容，你还有哪些疑惑？
教师引导学生归纳总结、反思、梳理知识，帮助学生形成知识体系.
补偿提高
5.一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(用函数图象解决)
教师出示问题，学生先自主，再合作，交流展示，师生共同评价解：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数
y=2x+5由2x+5=17
得
2x－12=0画出函数y=2x－12的图象，如图由图象观察可知，函数y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.答：再过6秒它的速度为17米/秒.
作业设计
作业:利用函数图象法求方程2x-1=x+2的解
教师布置作业，提出具体要求学生认定作业，课下独立完成19.2.3一次函数与方程、不等式（第1课时）
【当堂达标】
⒈在函数中,
(1)当时,
；
(2)当时,
；
(3)当时,
.
2.如图(1)是一次函数的图象,则方程的解为
.
3.方程的解是,则一次函
数与轴交于点
.
4.如图一次函数与的图象相交于点(-1,1),则方程的解为
.
5．直线与轴的交点是（1，0），则的值是（
）
A．3
B．2
C．－2
D．－3
6.利用函数图象解方程：
；并笔算检验.
【拓展应用】
7.有一个一次函数的图象，小张和小明分别说出了它的两个特征．小张说：“图象与x轴交于点（6，0）”；小明说：“图象与x轴、y轴围成的三角形的面积是9”.你知道这个一次函数的关系式吗？
【学习评价】
自评
师评
参考答案
1.
(1)
；(2)
；(3)
.
2..
3.
(3,0)
.
4.
.
5.D
6.原方程化为.画直线,可看出它与轴交点坐标是
∴原方程的解是
笔算检验原方程的解是
7.解：设，则由题意得：三角形的面积＝，解得
又因为图象过点(6,0)，所以，解得
所以解析式为：或
(1)(共19张PPT)
19.2.3一次函数与方程、不等式（第1课时）
前面我们学习了一次函数．实际上一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应，互相依存．它与我们七年级学过的一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组有着必然的联系．这节课开始，我们就学着用函数的观点去看待方程(组)与不等式，并充分利用函数图象的直观性，形象地看待方程(组)不等式的求解问题．
复习回顾
1．已知一次函数y＝2x＋1，(1)当y＝3时，x＝____；
(2)当y＝0时，x＝______；(3)当y＝－1时，x＝______．
1
－1
2．解方程：
(1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝－1.
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
那么你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
2x
+1=3
的解
y
=2x+1
2x
+1=0
的解
2x
+1=-1
的解
上面的三个方程可以看成函数y=2x+1的一种具体情况。
当y=3时，x=1
当y=0时，x=-
当y=-1时，x=
-1
而这三个方程的解则刚
好是自变量x的一个值。
一次函数与一元一次方程的关系
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x的值．从图象上看，这又相当于求直线y＝ax＋b与x轴交点的横坐标．
求ax+b=0(a，b是
常数，a≠0)的解．
一次函数与一元一次方程的关系
x为何值时
函数y=
ax+b的值
为0．
从“函数值”看
求ax+b=0(a,
b是
常数，a≠0)的解．
求直线y=
ax+b
与
x
轴交点的横
坐标．
从“函数图象”看
问题一、利用一次函数图象解一元一次方程
问题二 利用解一元一次方程确定一次函数的图像与坐标轴的交点坐标
总结：求直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴交点坐标时，可令y＝0得到一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)，解方程，得x＝
，则
就是直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴交点的横坐标.
1.直线y=x+3与x轴的交点坐标为
，所以相应的方程x+3=0的解是
.
2.设m，n为常数且m≠0，
直线y=mx+n（如图所示），
则方程mx+n=0的解是
.
x=－3
（－3，0）
x=－2
3.已知方程ax+b=0的解是-2，下列图像肯定不是直线y=ax+b的是（
）
A
B
C
D
B
4.利用图象法求方程6x-3=x+2的解
解：将方程6x-3=x+2变形为
5x-5=0
画出函数y=5x-5的图象
∵直线y=5x-5与x轴的交点为（1，0）
∴方程的解为
x=1
1
-5
y=5x-5
0
y
x
5.一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒，
由题意得，2x+5=17
解得
x=6
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
补偿提高
解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数
y=2x+5
由2x+5=17
得
2x－12=0
由右图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.
0
x
y
6
－12
y=2x－12
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
