19.2.3一次函数与方程、不等式(第1
课时)
【学习目标】
1.能用函数观点认识一元一次方程.
2.会用函数的方法求解一元一次方程.
【重点难点】
重点:1.函数观点认识一元一次方程.
2.应用一次函数求解一元一次方程.
难点:通过具体问题初步体会一次函数与一元一次方程的关系.
【学习过程】
自主学习:
复习回顾:
1.已知一次函数y=2x+1,
(1)当y=3时,x=____;(2)当y=0时,x=______;(3)当y=-1时,x=______.
2.解方程:
(1)2x+1=3;(2)2x+1=0;(3)2x+1=-1.
二、合作探究:
【探究】结合以上两题的解答,你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗?
(1)2x+1=3;(2)2x+1=0;(3)2x+1=-1.
三、例题探究:
【例1】利用函数图象解方程:
(1)-x+1=0;
(2)4x-2=x-8
[解析]
(1)根据-x+1=0写出对应的一次函数y=-x+1.画出函数y=-x+1的图象,观察图象求方程的解;
(2)将4x-2=x-8转化为一般形式3x+6=0,然后利用(1)的方法求解.
解:
【例2】求函数y=-x+3的图象与两坐标轴围成的三角形的面积.
尝试应用
1.直线y=x+3与x轴的交点坐标为
,所以相应的方程x+3=0的解是
.
2.设m,n为常数且m≠0,
直线y=mx+n(如图所示),
则方程mx+n=0的解是
.
3.
已知方程ax+b=0的解是-2,下列图像肯定不是直线y=ax+b的是(
)
4.利用函数图象法求方程6x-3=x+2的解
补偿提高
5.一个物体现在的速度是5米/秒,其速度每秒增加2米/秒,再过几秒它的速度为17米/秒?(用函数图象解决)
【学后反思】
参考答案:
自主探究:
1、(1)1(2);(3)-1
2.(1)x=1(2)x=(3)x=-1
合作探究
从函数的角度看,上面的三个方程可以看成函数y=2x+1的一种具体情况,解这三个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3,0,-1时,求自变量x的值。
当y=3时,x=1
当y=0时,x=
当y=-1时,x=
-1
或者说,在直线y=2x+1
上取纵坐标分别为3,0,-1的点,看他们的横坐标分别为多少。
例题探究
例1.解:(1)-x+1=0对应的一次函数为y=-x+1.画出y=-x+1的图象,如图①.
因为直线y=-x+1与x轴的交点坐标为(3,0),所以方程-x+1=0的解是x=3.
(2)将方程4x-2=x-8转化为3x+6=0,其对应的函数为y=3x+6.
画出y=3x+6的图象,如图②.
因为直线y=3x+6与x轴的交点坐标为(-2,0),所以方程4x-2=x-8的解是x=-2.
例2.解:∵直线y=-x+3与x轴的交点坐标为(4,0),与y轴的交点坐标为(0,3),
∴函数y=-x+3的坐标三角形的面积为×3×4=6.
尝试应用
1.(-3,0),x=-3
2.x=-2
3.B
4.解:将方程6x-3=x+2变形为
5x-5=0
画出函数y=5x-5的图象
∵直线y=5x-5与x轴的交点为(1,0)
∴方程的解为
x=1
补偿提高
5.解:速度y(单位:米/秒)是时间x(单位:秒)的函数
y=2x+5
由2x+5=17
得
2x-12=0
画出函数y=2x-12的图象,
如图由图象观察可知,函数y=2x-12与x轴的交点为(6,0),得x=6.
答:再过6秒它的速度为17米/秒.19.2.3一次函数与方程、不等式(第1课时)
【教材分析】
教学目标
知识技能
1.能用函数观点认识一元一次方程.2.会用函数的方法求解一元一次方程.
过程方法
1.通过“自主─合作─探究”的过程,探索方程与函数的关系,拓展解题思路.2.通过“归纳─总结─应用”加深数形结合思想的认识与应用.
情感态度
1.经过活动,会从不同方面认识事物本质的方法.2.培养学生实事求是,一分为二的分析思维习惯.
重点
1.函数观点认识一元一次方程.
2.应用一次函数求解一元一次方程.
难点
通过具体问题初步体会一次函数与一元一次方程的关系.
【教学流程】
环节
导
学
问
题
师
生
活
动
二次备课
情境引入
复习回顾:1.已知一次函数y=2x+1,(1)当y=3时,x=____;(2)当y=0时,x=______;(3)当y=-1时,x=______.2.解方程:(1)2x+1=3;(2)2x+1=0;(3)2x+1=-1.
教师出示问题,学生独立思考、尝试解决,师生共评价,1、(1)1(2);(3)-12.(1)x=1(2)x=(3)x=-1
自主探究合作交流自主探究合作交流
【探究】结合以上两题的解答,你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗?(1)2x+1=3;(2)2x+1=0;(3)2x+1=-1.结论:因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值.从图象上看,这又相当于求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标.【问题一】利用一次函数图象解一元一次方程
【例1】利用函数图象解方程:(1)-x+1=0;(2)4x-2=x-8[解析]
(1)根据-x+1=0写出对应的一次函数y=-x+1.画出函数y=-x+1的图象,观察图象求方程的解;(2)将4x-2=x-8转化为一般形式3x+6=0,然后利用(1)的方法求解.【问题二】利用解一元一次方程确定一次函数的图像与坐标轴的交点坐标
【例2】求函数y=-x+3的图象与两坐标轴围成的三角形的面积.总结:求直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点坐标时,可令y=0得到一元一次方程kx+b=0(k≠0),解方程,得,
则
就是直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标.
教师出示问题学生自主探究,通过教师引领,鼓励合作交流、互帮互助.从函数的角度看,上面的三个方程可以看成函数y=2x+1的一种具体情况,解这三个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3,0,-1时,求自变量x的值。当y=3时,x=1当y=0时,当y=-1时,x=
-1
或者说,在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3,0,-1的点,看他们的横坐标分别为多少。教师出示例题,引导学生合作交流,评价矫正,学生小组合作,展示交流解:(1)-x+1=0对应的一次函数为y=-x+1.画出y=-x+1的图象,如图①.因为直线y=-x+1与x轴的交点坐标为(3,0),所以方程-x+1=0的解是x=3.(2)将方程4x-2=x-8转化为3x+6=0,其对应的函数为y=3x+6.画出y=3x+6的图象,如图②.因为直线y=3x+6与x轴的交点坐标为(-2,0),所以方程4x-2=x-8的解是x=-2.例2.解:∵直线y=-x+3与x轴的交点坐标为(4,0),与y轴的交点坐标为(0,3),∴函数y=-x+3的坐标三角形的面积为×3×4=6.
尝试应用
1.直线y=x+3与x轴的交点坐标为
,所以相应的方程x+3=0的解是
.2.设m,n为常数且m≠0,
直线y=mx+n(如图所示),
则方程mx+n=0的解是
.3.
已知方程ax+b=0的解是-2,下列图像肯定不是直线y=ax+b的是(
)
4.利用函数图象法求方程6x-3=x+2的解
教师出示问题,学生先自主,再合作,交流展示,师生共同评价1.(-3,0),x=-32.x=-23.B4.解:将方程6x-3=x+2变形为
5x-5=0画出函数y=5x-5的图象∵直线y=5x-5与x轴的交点为(1,0)∴方程的解为
x=1
成果展示
欣赏自我:本节课你学会了什么?完善自我:对本课的内容,你还有哪些疑惑?
教师引导学生归纳总结、反思、梳理知识,帮助学生形成知识体系.
补偿提高
5.一个物体现在的速度是5米/秒,其速度每秒增加2米/秒,再过几秒它的速度为17米/秒?(用函数图象解决)
教师出示问题,学生先自主,再合作,交流展示,师生共同评价解:速度y(单位:米/秒)是时间x(单位:秒)的函数
y=2x+5由2x+5=17
得
2x-12=0画出函数y=2x-12的图象,如图由图象观察可知,函数y=2x-12与x轴的交点为(6,0),得x=6.答:再过6秒它的速度为17米/秒.
作业设计
作业:利用函数图象法求方程2x-1=x+2的解
教师布置作业,提出具体要求学生认定作业,课下独立完成19.2.3一次函数与方程、不等式(第1课时)
【当堂达标】
⒈在函数中,
(1)当时,
;
(2)当时,
;
(3)当时,
.
2.如图(1)是一次函数的图象,则方程的解为
.
3.方程的解是,则一次函
数与轴交于点
.
4.如图一次函数与的图象相交于点(-1,1),则方程的解为
.
5.直线与轴的交点是(1,0),则的值是(
)
A.3
B.2
C.-2
D.-3
6.利用函数图象解方程:
;并笔算检验.
【拓展应用】
7.有一个一次函数的图象,小张和小明分别说出了它的两个特征.小张说:“图象与x轴交于点(6,0)”;小明说:“图象与x轴、y轴围成的三角形的面积是9”.你知道这个一次函数的关系式吗?
【学习评价】
自评
师评
参考答案
1.
(1)
;(2)
;(3)
.
2..
3.
(3,0)
.
4.
.
5.D
6.原方程化为.画直线,可看出它与轴交点坐标是
∴原方程的解是
笔算检验原方程的解是
7.解:设,则由题意得:三角形的面积=,解得
又因为图象过点(6,0),所以,解得
所以解析式为:或
(1)(共19张PPT)
19.2.3一次函数与方程、不等式(第1课时)
前面我们学习了一次函数.实际上一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应,互相依存.它与我们七年级学过的一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组有着必然的联系.这节课开始,我们就学着用函数的观点去看待方程(组)与不等式,并充分利用函数图象的直观性,形象地看待方程(组)不等式的求解问题.
复习回顾
1.已知一次函数y=2x+1,(1)当y=3时,x=____;
(2)当y=0时,x=______;(3)当y=-1时,x=______.
1
-1
2.解方程:
(1)2x+1=3;(2)2x+1=0;(3)2x+1=-1.
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
那么你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗?
(1)2x+1=3;(2)2x+1=0;(3)2x+1=-1.
2x
+1=3
的解
y
=2x+1
2x
+1=0
的解
2x
+1=-1
的解
上面的三个方程可以看成函数y=2x+1的一种具体情况。
当y=3时,x=1
当y=0时,x=-
当y=-1时,x=
-1
而这三个方程的解则刚
好是自变量x的一个值。
一次函数与一元一次方程的关系
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值.从图象上看,这又相当于求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标.
求ax+b=0(a,b是
常数,a≠0)的解.
一次函数与一元一次方程的关系
x为何值时
函数y=
ax+b的值
为0.
从“函数值”看
求ax+b=0(a,
b是
常数,a≠0)的解.
求直线y=
ax+b
与
x
轴交点的横
坐标.
从“函数图象”看
问题一、利用一次函数图象解一元一次方程
问题二 利用解一元一次方程确定一次函数的图像与坐标轴的交点坐标
总结:求直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点坐标时,可令y=0得到一元一次方程kx+b=0(k≠0),解方程,得x=
,则
就是直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标.
1.直线y=x+3与x轴的交点坐标为
,所以相应的方程x+3=0的解是
.
2.设m,n为常数且m≠0,
直线y=mx+n(如图所示),
则方程mx+n=0的解是
.
x=-3
(-3,0)
x=-2
3.已知方程ax+b=0的解是-2,下列图像肯定不是直线y=ax+b的是(
)
A
B
C
D
B
4.利用图象法求方程6x-3=x+2的解
解:将方程6x-3=x+2变形为
5x-5=0
画出函数y=5x-5的图象
∵直线y=5x-5与x轴的交点为(1,0)
∴方程的解为
x=1
1
-5
y=5x-5
0
y
x
5.一个物体现在的速度是5米/秒,其速度每秒增加2米/秒,再过几秒它的速度为17米/秒?
解法1:设再过x秒它的速度为17米/秒,
由题意得,2x+5=17
解得
x=6
答:再过6秒它的速度为17米/秒.
补偿提高
解法2:速度y(单位:米/秒)是时间x(单位:秒)的函数
y=2x+5
由2x+5=17
得
2x-12=0
由右图看出直线y=2x-12与x轴的交点为(6,0),得x=6.
0
x
y
6
-12
y=2x-12
答:再过6秒它的速度为17米/秒.