学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知△ABC的面积为且b＝2，c＝2，则A＝
.
【解析】 ∵S△ABC＝bcsin
A，b＝2，c＝2，
∴×2×2sin
A＝，
∴sin
A＝.
又A∈(0，π)，
∴A＝或.
【答案】 或
2．海上有A，B两个小岛相距10
n
mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是
n
mile.【解析】 如图所示，
易知C＝45°，
由正弦定理得＝，
∴BC＝＝5.
【答案】 5
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为
.
【解析】 由正弦定理知，＝，结合条件得c＝＝2.
又sin
A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝，
所以△ABC的面积S＝bcsin
A＝＋1.
【答案】 ＋1
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝
.
【解析】 由正弦定理得＝，∵B＝2A，a＝1，b＝，
∴＝.
∵A为三角形的内角，∴sin
A≠0，∴cos
A＝.
又0＜A＜π，∴A＝，∴B＝2A＝.
∴C＝π－A－B＝，即△ABC为直角三角形，
由勾股定理得c＝＝2.
【答案】 2
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为
．
【解析】 由正弦定理得，原式＝＝2－1＝2×－1＝.
【答案】
6．在△ABC中，a＝2bcos
C，则这个三角形一定是
三角形.
【解析】 由a＝2bcos
C可知
sin
A＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B＋C)＝2sin
Bcos
C，
∴sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝2sin
Bcos
C，∴sin(B－C)＝0，
∴B＝C，∴b＝c，
∴△ABC为等腰三角形．
【答案】 等腰
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin
B·cos
C＋csin
Bcos
A＝b，且a>b，则B＝
.
【解析】 根据正弦定理将边化角后约去sin
B，得sin(A＋C)＝，所以sin
B＝，又a>b，所以A>B，所以B＝.
【答案】
8．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为
．
【解析】 设最小角为α，则最大角为120°－α，
∴＝，
∴2sin(120°－α)＝(＋1)sin
α，
∴sin
α＝cos
α，∴α＝45°，
∴最大角为120°－45°＝75°.
【答案】 75°
二、解答题
9．一船以每小时15
km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4
h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，求这时船与灯塔的距离．
【解】 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，
∴∠ABC＝45°，AC＝60.根据正弦定理，
得BC＝＝＝30(km)．
10．在△ABC中，∠A的平分线交BC于D，用正弦定理证明：＝.
【证明】 如图，由题意可知，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，
在△ABD中，由正弦定理得
＝，
①
在△ADC中，由正弦定理得
＝，
②
又sin∠1＝sin∠2，sin∠3＝sin∠4，
故得＝.
[能力提升]
1．在△ABC中，＝，则△ABC的形状一定是
．
【解析】 在△ABC中，∵＝，
∴acos
A＝bcos
B，由正弦定理，得2Rsin
Acos
A＝2Rsin
Bcos
B，
∴sin
2A＝sin
2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，
∴A＝B或A＋B＝90°.
故△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
【答案】 等腰或直角三角形或等腰直角三角形
2．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，则的取值范围为
．
【解析】 在锐角三角形ABC中，A，B，C均小于90°，
即∴30°
由正弦定理知：
＝＝＝2cos
B∈(，)，
故的取值范围是(，)．
【答案】 (，)
3．△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为
(用B表示).
【解析】 在△ABC中，A＋B＋C＝π可知C＝－B.
由正弦定理得
＝＝，
∴AB＝2sin，
AC＝2sin
B，
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝2·＋3＝3＋6sin.
【答案】 3＋6sin
4．在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.
(1)求cos
A的值；
(2)求c的值．
【解】 (1)因为a＝3，b＝2，B＝2A，
所以在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以＝，
故cos
A＝.
(2)由(1)知cos
A＝，所以sin
A＝＝.又B＝2A，所以cos
B＝2cos2
A－1＝，
所以sin
B＝＝.
在△ABC中，sin
C＝sin(A＋B)
＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝，
所以c＝＝5.学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin
A∶sin
B的值是
．
【解析】 由正弦定理可知，sin
A∶sin
B＝a∶b＝5∶3.【答案】 5∶3
2．在△ABC中，若A＝75°，B＝60°，c＝2，则b＝
.
【解析】 在△ABC中，C＝180°－A－B＝45°，
∴b＝＝＝.
【答案】
3．在△ABC中，若＝，则C的值为
．
【解析】 由正弦定理可知，＝，
又＝，
∴＝，
即tan
C＝1,0°∴C＝45°.
【答案】 45°
4．在△ABC中，a＝3，b＝，A＝，则B＝
.
【解析】 在△ABC中，根据正弦定理＝，有＝，可得sin
B＝.因为A为钝角，所以B＝.
【答案】
5．在△ABC中，已知a＝4，b＝4，A＝60°，则c＝
.
【解析】 由＝，得sin
B＝sin
A＝×＝.
∵b∴c＝a＝4×
＝2(＋)．
【答案】 2(＋)
6．在△ABC中，已知a＝18，b＝16，A＝150°，则满足条件的三角形有
个．
【解析】 A＝150°>90°，∵a>b，∴满足条件的三角形有1个．
【答案】 1
7．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的长为
.
【解析】 易得A＝75°，∴B为最小角，即b为最短边，
∴由＝，得b＝.
【答案】
8．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝
.
【解析】 由A∶B∶C＝1∶2∶3，可知A＝，B＝，C＝.
∴a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C＝∶∶1
＝1∶∶2.
【答案】 1∶∶2
二、解答题
9．在△ABC中，若a＝2，A＝30°，讨论当b为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？
【解】 当a30°，即b>4时，
无解；
当a≥b或a＝bsin
A，即b≤2或b＝4时，有一解；
当bsin
A10．在△ABC中，b＝2a，B＝A＋60°，求角A.
【解】 根据正弦定理＝，把b＝2a代入得＝，
∴sin
B＝2sin
A.
又∵B＝A＋60°，
∴sin(A＋60°)＝2sin
A，
展开得－sin
A＋cos
A＝0，
∴sin(A－30°)＝0，
解得A＝30°.
[能力提升]
1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin
B＝b，则角A等于
．
【解析】 由正弦定理可得，2asin
B＝b可化为2sin
Asin
B＝sin
B，又sin
B≠0，即sin
A＝，又△ABC为锐角三角形，得A＝.
【答案】
2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos
C＋ccos
B＝2b，则＝
.
【解析】 因为bcos
C＋ccos
B＝2b，
所以sin
Bcos
C＋sin
Ccos
B＝2sin
B，
故sin(B＋C)＝2sin
B.
故sin
A＝2sin
B，则a＝2b，即＝2.
【答案】 23．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是
.
【解析】 因为三角形有两解，所以asinB即x<2【答案】 (2,2)
4．在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状．
【解】 法一 ∵acos＝bcos，
∴asin
A＝bsin
B.
由正弦定理可得a·＝b·，
∴a2＝b2，
即a＝b，∴△ABC为等腰三角形．
法二 ∵acos＝bcos，
∴asin
A＝bsin
B.
由正弦定理可得2Rsin2A＝2Rsin2B，
即sin
A＝sin
B.
∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)
故△ABC为等腰三角形．