学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在△ABC中，若B＝60°，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为
．
【解析】 在△ABD中，∠ABD＝60°，AB＝1，BD＝2，由余弦定理得AD2＝3，故AD＝.
【答案】
2．如图1 2 3所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a
km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为
km.
图1 2 3
【解析】 ∵CA＝CB＝a，
∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，
∴AB2＝AC2＋CB2－2×AC×CBcos
∠ACB，
即AB2＝a2＋a2＋a2＝3a2，
∴AB＝a.
【答案】 a
3．如图1 2 4所示，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是
．
图1 2 4
【解析】 由余弦定理：x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1(舍去)．
【答案】 4
4．在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围为
．
【解析】 在钝角△ABC中，由于最大边为c，所以角C为钝角．所以c2>a2＋b2＝1＋4＝5，即c>，又因c
【答案】 (，3)
5．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是
．
【解析】 设直角三角形三边为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，
∴c＋x所对的最大角变为锐角．
【答案】 锐角三角形
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若S△ABC＝，则角C的大小为
.
【解析】 ∵S△ABC＝，
∴absin
C＝×2abcos
C，
∴tan
C＝1，又C∈(0，π)，
∴C＝.
【答案】
7．在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC＝6，则A·B等于
．
【解析】 由余弦定理得cos
B＝＝＝.
∴·＝－·＝－||·||·cos
B＝－7×5×＝－19.
【答案】 －19
8．在△ABC中，若sin2A≤sin2B＋sin2C－sin
Bsin
C，则A的取值范围是
．
【解析】 由正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc，
即b2＋c2－a2≥bc，
∴2bccos
A≥bc，
∴cos
A≥.
又A∈(0，π)且y＝cos
x在(0，π)上是减函数，故A∈.
【答案】
二、解答题
9．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos
A＝.
(1)求·；
(2)若c－b＝1，求a的值．
【解】 由cos
A＝，得sin
A＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13))))＝.
又bcsin
A＝30，
∴bc＝156.
(1)·＝bccos
A＝156×＝144.
(2)a2＝b2＋c2－2bccos
A＝(c－b)2＋2bc(1－cos
A)＝1＋2×156×＝25，∴a＝5.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．
(1)求证：A＝2B.
(2)若a＝b，判断△ABC的形状．
【解】 (1)证明：由a2＝b(b＋c)得
a2＝b2＋bc，
又cos
B＝＝＝，
∴2sin
Acos
B＝sin
B＋sin
C＝sin
B＋sin(A＋B)
即sin
B＝sin(A－B)，
∴B＝A－B或A－B＝π－B，
∴A＝2B或A＝π不成立，
故A＝2B.
(2)∵a＝b，∴＝.
又由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，
∴cos
B＝＝＝，
所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
[能力提升]
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos
A＝－，则a的值为
.
【解析】 在△ABC中，由cos
A＝－可得sin
A＝，
所以有解得
【答案】 8
2．如图1 2 5，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin
C＝
.
图1 2 5
【解析】 设AB＝a，则AD＝a，BD＝，BC＝2BD＝，cos
A＝＝＝，∴sin
A＝＝.由正弦定理知sin
C＝·sin
A＝×＝.
【答案】
3．在△ABC中，若lg
a－lg
c＝lg
sin
A＝－lg，并且A为锐角，则△ABC为
三角形．
【解析】 ∵lg
a－lg
c＝lg
sin
A＝－lg，
∴＝sin
A＝.
∵A为锐角，∴A＝45°，∵sin
C＝sin
A＝×sin
45°＝1，∴C＝90°.
【答案】 直角4.如图1 2 6所示，甲船以30
n
mile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20
n
mile，当甲船航行20
min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10
n
mile.求乙船的航行速度．
图1 2 6
【解】 如图所示，连结A1B2，由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，
∴A1A2＝A2B2，
又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，
∴△A1A2B2是等边三角形，
∴A1B2＝A1A2＝10.
由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理得，B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos
45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.
∴B1B2＝10.
因此，乙船速度的大小为×60＝30(海里/时)．
答 乙船每小时航行30海里．学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为
．
【解析】 ∵c∵cos
C＝
＝＝，
又C∈(0°，180°)．
∴C＝30°.
【答案】 30°
2．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos
B＝
.
【解析】 ∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cos
B＝＝＝.
【答案】
3．三角形的两边长分别为3
cm,5
cm，其夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是
cm2.
【解析】 ∵5x2－7x－6＝0的两根为－，2，
设已知两边夹角为C，则cos
C＝－(∵cos
C＝2>1，舍去)．
∴sin
C＝＝，∴S△ABC＝×3×5×＝6
cm2.
【答案】 6
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为
．【解析】 设顶角为C，∵l＝5c，∴a＝b＝2c，
由余弦定理，得cos
C＝＝＝.
【答案】
5．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是
．
【解析】 由题可知，边长为7的边所对角为中间角，设为θ，则cos
θ＝＝，
∴θ＝60°，∴最大角＋最小角＝120°.
【答案】 120°
6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos
B＝－，则b＝
.
【解析】 由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos
B，∴b2＝22＋c2－2ac×，∴b2＝4＋(7－b)2＋(7－b)，
∴b＝4.
【答案】 4
7．在△ABC中，a＝1，b＝2，cos
C＝，则c＝
，sin
A＝
.
【解析】 在△ABC中，由余弦定理得cos
C＝，把a＝1，b＝2，cos
C＝代入可得c＝2.
因为cos
C＝，所以sin
C＝＝.
再由正弦定理得＝，解得sin
A＝.
【答案】 2
8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin
A＝5sin
B，则角C＝
.
【解析】 ∵3sin
A＝5sin
B，
∴3a＝5b，又b＋c＝2a，∴3c＝7b，
∴a∶b∶c＝5∶3∶7.
设a＝5x，b＝3x，c＝7x，则
cos
C＝
＝－.
又C∈(0，π)，
∴C＝.
【答案】
二、解答题
9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的大小；
(2)求AB的长．
【解】 (1)cos
C＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)＝－，
又∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝a2＋b2－2abcos
120°
＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知c＝2，acos
B－bcos
A＝.
(1)求bcos
A的值；
(2)若a＝4，求△ABC的面积．
【解】 (1)∵acos
B－bcos
A＝，根据余弦定理得，
a·－b·＝，
∴2a2－2b2＝7c，又∵c＝2，∴a2－b2＝7，
∴bcos
A＝＝－.
(2)由acos
B－bcos
A＝及bcos
A＝－，得acos
B＝.
又∵a＝4，∴cos
B＝，
∴sin
B＝＝，
∴S△ABC＝acsin
B＝.
[能力提升]
1．在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tan
B＝ac，则角B的值为
．
【解析】 由(a2＋c2－b2)tan
B＝ac得＝×，即cos
B＝×，
∴sin
B＝，又∵B为△ABC的内角，
∴B为或.
【答案】 或
2．在△ABC中，AB＝，BC＝1，cos
C＝，则·＝
.
【解析】 在
△ABC中，由余弦定理得
||2＝||2＋||2－2||·||cos
C，
即2＝||2＋1－2||×，
∴||2－||－1＝0，∴||＝2，
∴·＝||||cos(180°－C)
＝－||||cos
C
＝－1×2×＝－.
【答案】 －
3．若△ABC是钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是
．
【解析】 ∵b>a，∴A不可能为钝角．
当B为钝角时，
即
解得1当C为钝角时，
即解得5综上，x的取值范围是(1，)∪(5,7)．
【答案】 (1，)∪(5,7)
4．已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，AD＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．【解】 连结AC，在△ACD中，由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos
D＝62＋42－2×6×4cos
60°＝28，
在△ABC中，由AB＝2，BC＝4，AC2＝28，
可得cos
B＝＝
＝－.又0°故B＝120°.
所以四边形ABCD的面积
S＝S△ACD＋S△ABC
＝AD·CDsin
D＋AB·BCsin
B
＝×6×4sin
60°＋×2×4sin
120°
＝8.