2017-2018学年高中数学苏教版必修5学业分层测评：第1章 1.3 正弦定理、余弦定理的应用
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年高中数学苏教版必修5学业分层测评：第1章 1.3 正弦定理、余弦定理的应用 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 249.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-06-06 10:58:19 | ||
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文档简介
学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于
．
【解析】 由余弦定理得cos
A＝＝，
∴sin
A＝，
∴S△ABC＝bcsin
A＝×3×8×＝6.
【答案】 6
2．有一长为10
m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸
m.
【解析】 如图，在△ABC中，由正弦定理可知：
＝，
∴x＝10(m)．
【答案】 10
3．江岸边有一炮台高30
m，江中有两条船，由炮台顶部测得这两条船的俯角分别为45°和60°，而且这两条船与炮台底部连线成30°角，则这两条船相距
m.
【解析】 设炮台顶为A，底为D(图略)，两船分别为B，C，
由题意知∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30
m，∴DB＝30
m，DC＝10
m，
在△BCD中，由正弦定理知，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos
30°＝300，∴BC＝10
m，
即这两条船相距10
m.
【答案】 10
4．为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，如图1 3 11所示，且B＋D＝180°，则AC的长为
km.
图1 3 11
【解析】 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝82＋52－2×8×5cos
B，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝32＋52－2×3×5cos
D，由cos
D＝－cos
B，并消去AC2得cos
B＝，所以AC＝7.
【答案】 7
5.如图1 3 12所示，甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东
(填角度)的方向前进．
图1 3 12
【解析】 由题意知，AC＝BC，∠ABC＝120°，
由正弦定理知，
＝，
∴sin
∠CAB＝，
∴∠CAB＝30°，
∴∠CAD＝60°－30°＝30°.
【答案】 30°
6．若两人用大小相等的力F提起重为G的货物，且保持平衡，则两力的夹角θ的余弦为
．
【解析】 如图，由平行四边形法则可知，
||＝G，
在△AOB中，由余弦定理可得
||2＝F2＋F2－2F·Fcos(π－θ)．
∵||＝G，
∴2F2(1＋cos
θ)＝G2，
∴cos
θ＝.
【答案】
7．如图1 3 13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是75°，30°，此时气球的高是60
m，则河流的宽度BC等于
m.
图1 3 13
【解析】 由题意可知，AC＝＝120.
∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin
∠ABC＝sin
105°＝sin(60°＋45°)＝sin
60°cos
45°＋cos
60°sin
45°＝.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
于是BC＝＝＝120(－1)(m)．
【答案】 120(－1)
8.如图1 3 14，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为
．
图1 3 14
【解析】 ∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)
＝cos∠BAD＝，
∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，
∴BD＝.
【答案】
二、解答题
9．如图1 3 15所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是O，甲、乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4
km/h，4.5
km/h,3小时后两人相距多远(精确到0.1
km)
图1 3 15
【解】 经过3小时后，甲到达点P，OP＝4×3＝12(km)，乙到达点Q，OQ＝4.5×3＝13.5(km)，依余弦定理，知
PQ＝
≈16.4(km)．10．如图1 3 16，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin
B＝，求BC边上的高AD.
图1 3 16
【解】 在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，由正弦定理，得＝，
∴sin
C＝×＝，∴C＝60°(C＝120°舍去，否则由8x>7x，知B也为钝角，不符合要求)．
由余弦定理，得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos
60°，
∴x2－8x＋15＝0.
∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35.
在△ABC中，AD＝ABsin
B＝AB，
∴AD＝12或AD＝20.
[能力提升]
1.如图1 3 17，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2
min，从D沿着DC走到C用了3
min.若此人步行的速度为每分钟50
m，则该扇形的半径为
m.
图1 3 17
【解析】 连结OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17
500，
∴OC＝50.
【答案】 50
2．如图1 3 18所示，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10
m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是
m.
图1 3 18
【解析】 在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，得＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan
60°＝，AB＝BCtan
60°＝10(m)．
【答案】 10
3．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是
小时.
【解析】 设行驶x
h后甲到点C，乙到点D，两船相距y
km(图略)，则∠DBC＝180°－60°＝120°.
∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos
120°＝28x2－20x＋100
＝28－＋100，
∴当x＝时，y2有最小值，即两船相距最近．
【答案】
4．如图1 3 19，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cos
B＝，cos
∠ADC＝－.
图1 3 19
(1)求sin
∠BAD的值；
(2)求AC边的长．【解】 (1)因为cos
B＝，所以sin
B＝.
又cos
∠ADC＝－，所以sin
∠ADC＝.
所以sin
∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin
∠ADCcos
B－cos
∠ADCsin
B＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理，得＝，即＝，解得BD＝2.
故DC＝2，从而在△ADC中，由余弦定理，得
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC＝32＋22－2×3×2×＝16，所以AC＝4.
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于
．
【解析】 由余弦定理得cos
A＝＝，
∴sin
A＝，
∴S△ABC＝bcsin
A＝×3×8×＝6.
【答案】 6
2．有一长为10
m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸
m.
【解析】 如图，在△ABC中，由正弦定理可知：
＝，
∴x＝10(m)．
【答案】 10
3．江岸边有一炮台高30
m，江中有两条船，由炮台顶部测得这两条船的俯角分别为45°和60°，而且这两条船与炮台底部连线成30°角，则这两条船相距
m.
【解析】 设炮台顶为A，底为D(图略)，两船分别为B，C，
由题意知∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30
m，∴DB＝30
m，DC＝10
m，
在△BCD中，由正弦定理知，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos
30°＝300，∴BC＝10
m，
即这两条船相距10
m.
【答案】 10
4．为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，如图1 3 11所示，且B＋D＝180°，则AC的长为
km.
图1 3 11
【解析】 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝82＋52－2×8×5cos
B，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝32＋52－2×3×5cos
D，由cos
D＝－cos
B，并消去AC2得cos
B＝，所以AC＝7.
【答案】 7
5.如图1 3 12所示，甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东
(填角度)的方向前进．
图1 3 12
【解析】 由题意知，AC＝BC，∠ABC＝120°，
由正弦定理知，
＝，
∴sin
∠CAB＝，
∴∠CAB＝30°，
∴∠CAD＝60°－30°＝30°.
【答案】 30°
6．若两人用大小相等的力F提起重为G的货物，且保持平衡，则两力的夹角θ的余弦为
．
【解析】 如图，由平行四边形法则可知，
||＝G，
在△AOB中，由余弦定理可得
||2＝F2＋F2－2F·Fcos(π－θ)．
∵||＝G，
∴2F2(1＋cos
θ)＝G2，
∴cos
θ＝.
【答案】
7．如图1 3 13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是75°，30°，此时气球的高是60
m，则河流的宽度BC等于
m.
图1 3 13
【解析】 由题意可知，AC＝＝120.
∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin
∠ABC＝sin
105°＝sin(60°＋45°)＝sin
60°cos
45°＋cos
60°sin
45°＝.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
于是BC＝＝＝120(－1)(m)．
【答案】 120(－1)
8.如图1 3 14，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为
．
图1 3 14
【解析】 ∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)
＝cos∠BAD＝，
∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，
∴BD＝.
【答案】
二、解答题
9．如图1 3 15所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是O，甲、乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4
km/h，4.5
km/h,3小时后两人相距多远(精确到0.1
km)
图1 3 15
【解】 经过3小时后，甲到达点P，OP＝4×3＝12(km)，乙到达点Q，OQ＝4.5×3＝13.5(km)，依余弦定理，知
PQ＝
≈16.4(km)．10．如图1 3 16，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin
B＝，求BC边上的高AD.
图1 3 16
【解】 在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，由正弦定理，得＝，
∴sin
C＝×＝，∴C＝60°(C＝120°舍去，否则由8x>7x，知B也为钝角，不符合要求)．
由余弦定理，得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos
60°，
∴x2－8x＋15＝0.
∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35.
在△ABC中，AD＝ABsin
B＝AB，
∴AD＝12或AD＝20.
[能力提升]
1.如图1 3 17，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2
min，从D沿着DC走到C用了3
min.若此人步行的速度为每分钟50
m，则该扇形的半径为
m.
图1 3 17
【解析】 连结OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17
500，
∴OC＝50.
【答案】 50
2．如图1 3 18所示，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10
m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是
m.
图1 3 18
【解析】 在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，得＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan
60°＝，AB＝BCtan
60°＝10(m)．
【答案】 10
3．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是
小时.
【解析】 设行驶x
h后甲到点C，乙到点D，两船相距y
km(图略)，则∠DBC＝180°－60°＝120°.
∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos
120°＝28x2－20x＋100
＝28－＋100，
∴当x＝时，y2有最小值，即两船相距最近．
【答案】
4．如图1 3 19，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cos
B＝，cos
∠ADC＝－.
图1 3 19
(1)求sin
∠BAD的值；
(2)求AC边的长．【解】 (1)因为cos
B＝，所以sin
B＝.
又cos
∠ADC＝－，所以sin
∠ADC＝.
所以sin
∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin
∠ADCcos
B－cos
∠ADCsin
B＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理，得＝，即＝，解得BD＝2.
故DC＝2，从而在△ADC中，由余弦定理，得
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC＝32＋22－2×3×2×＝16，所以AC＝4.