2017-2018学年高中数学苏教版必修5：第1章 章末综合测评1

章末综合测评(一)
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)
1．在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝
.
【解析】　C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝2.
【答案】　2
2．在△ABC中，已知c＝6，a＝4，B＝120°，则b＝
.
【解析】　由b2＝16＋36－2×4×6cos
120°，
得b＝2.
【答案】　2
3．在△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B＝
.
【解析】　sin
B＝＝＝.
又aA，∴B＝60°或120°.
【答案】　60°或120°
4．在△ABC中，化简bcos
C＋ccos
B＝
.
【解析】　利用余弦定理，得bcos
C＋ccos
B＝b·＋c·＝a.
【答案】　a
5．在△ABC中，若sin
A∶sin
B∶sin
C＝2∶3∶4，则cos
C＝
.
【解析】　∵sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c，
∴a∶b∶c＝2∶3∶4.
设a＝2k，b＝3k，c＝4k，则
cos
C＝＝－.
【答案】　－
6．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，S△ABC＝220，则a＝
.
【解析】　由bcsin
A＝220，可知c＝55.
又a2＝b2＋c2－2bccos
A＝2
401，
∴a＝49.
【答案】　49
7．在△ABC中，若sin
A＝，a＝10，则边长c的取值范围是
．
【解析】　∵＝＝，
∴c＝sin
C，∴0【答案】　
8．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是
．(填序号)
(1)a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；
(2)b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
(3)a＝5，c＝2，A＝90°，无解；
(4)a＝30，b＝25，A＝150°，有一解．
【解析】　(1)中，∵＝，
∴sin
B＝＝1，
∴B＝90°，即只有一解；
(2)中，sin
C＝＝，且c>b，
∴C>B，故有两解；
(3)中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，
∴b＝＝＝，即有解，故(1)(2)(3)都不正确．所以答案为(4)．
【答案】　(4)
9．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos
2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝
.
【解析】　化简23cos2A＋cos
2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos
A＝.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos
A，代入数据解方程，得b＝5.
【答案】　5
10．在△ABC中，若＝＝，那么△ABC是
三角形．
【解析】　由正弦定理得，＝＝，
∴sin
＝sin
＝sin
.∵0<，，<，
∴＝＝，即A＝B＝C，∴△ABC是等边三角形．
【答案】　等边
11．如图1所示，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，的模为2，的模为3，的模为1，那么的模为
．
图1
【解析】　由三角形内角平分线的性质得
||∶||＝||∶||，
故||＝.
【答案】　
12．如图2所示，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1
000
m至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为
m.
图2
【解析】　由题可知，∠SAB＝45°－30°＝15°，又∠SBD＝15°，∴∠ABS＝45°－15°＝30°，AS＝1
000.
由正弦定理可知＝，∴BS＝2
000sin
15°，∴BD＝BS·sin
75°＝2
000sin
15°cos
15°＝1
000sin
30°＝500，且DC＝1
000sin
30°＝500，∴BC＝DC＋BD＝1
000
m.
【答案】　1
00013．已知角A，B，C是三角形ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝，n＝，m⊥n，且a＝2，cos
B＝，则b＝
.
【解析】　∵m·n＝0，
∴2sin
cos－2cos2＝0，∵cos
≠0，
∴tan
＝，∴＝30°，∴A＝60°，
∵＝，sin
B＝＝，
∴b＝＝＝.
【答案】　
14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝6cos
C，则＋的值是
．
【解析】　∵＋＝6cos
C，
∴＝6·，
即a2＋b2＝c2，
∴＋
＝tan
C
＝
＝＝4.
【答案】　4
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc，求角A的大小及.
【解】　由b2＝ac及a2－c2＝ac－bc，得b2＋c2－a2＝bc.
在△ABC中，cos
A＝＝.
∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.
在△ABC中，由正弦定理得sin
B＝.
又∵b2＝ac，A＝60°，
∴＝＝sin
60°＝.
16．(本小题满分14分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos
B＝.
(1)若b＝4，求sin
A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
【解】　(1)∵cos
B＝>0，且0∴sin
B＝＝.
由正弦定理得＝，
sin
A＝＝＝.
(2)∵S△ABC＝acsin
B＝4，
∴×2×c×＝4，∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos
B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.
17．(本小题满分14分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos
B＝，△ABC的周长为5，求b的长．
【解】　(1)由正弦定理，设＝＝＝k，
则＝
＝，
所以＝，
即(cos
A－2cos
C)sin
B
＝(2sin
C－sin
A)cos
B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sin
C＝2sin
A.
因此＝2.
(2)由＝2，得c＝2a，
由余弦定理及cos
B＝得b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2，
所以b＝2a.
又a＋b＋c＝5，从而a＝1，
因此b＝2.
18．(本小题满分16分)在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin
A＝(2b＋c)sin
B＋(2c＋b)sin
C.
(1)求A的大小；
(2)若sin
B＋sin
C＝1，试判断△ABC的形状.
【解】　(1)由2asin
A＝(2b＋c)sin
B＋(2c＋b)sin
C，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴2bccos
A＝－bc，
∴cos
A＝－，又A∈(0，π)，
∴A＝.
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin
Bsin
C，
又sin
B＋sin
C＝1，得sin
B＝sin
C＝.
又B，C∈，故B＝C.
所以△ABC是等腰三角形．
19．(本小题满分16分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cos
B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－.
(1)求sin
A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．
【解】　(1)由cos(A－B)cos
B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－，得cos(A－B)cos
B－sin(A－B)sin
B＝－，
则cos(A－B＋B)＝－，即cos
A＝－.
又0A＝.
(2)由正弦定理，有＝，
所以sin
B＝＝.
由题知a>b，则A>B，故B＝.
根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(负值舍去)．
故向量在方向上的投影为||cos
B＝.
20．(本小题满分16分)如图3，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50
m/min.在甲出发2
min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1
min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130
m/min，山路AC长为1
260
m，经测量，cos
A＝，cos
C＝.
图3
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3
min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【解】　(1)在△ABC中，因为cos
A＝，cos
C＝，
所以sin
A＝，sin
C＝.
从而sin
B＝sin
＝sin(A＋C)
＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C
＝×＋×＝.
由＝，得
AB＝×sin
C＝×＝1
040(m)．
所以索道AB的长为1
040
m.
(2)设乙出发t
min后，甲、乙两游客距离为d
m，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t
m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×
＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝
min时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由＝，得BC＝×sin
A＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710
m才能到达C.
设乙步行的速度为v
m/min，由题意得－3≤－≤3，
解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3
min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．