2017-2018学年高中数学苏教版必修5学业分层测评：第2章 2.1 数列

学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)[学业达标]
一、填空题
1．将正整数的前5个数排列如下：
①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.
那么可以称为数列的有
．
【解析】　由数列定义，①②③④均为按一定次序排列的一列数，故均为数列．
【答案】　①②③④
2．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x的值是
．
【解析】　观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，…，依次增加1，故x为15.
【答案】　15
3．下列各式能成为数列1,3,6,10，…的一个通项公式的是
．
①an＝n2－n＋1；②an＝；③an＝；④an＝n2＋1.
【解析】　令n＝1,2,3,4，分别代入①②③④检验即可．排除①②④，从而确定答案为③.
【答案】　③
4．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于
．
【解析】　由an＝
得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.【答案】　20
5．已知数列，，2，，…，则2是这个数列的第
项.
【解析】　数列的通项为an＝.
∵2＝＝，
∴2是数列的第7项．
【答案】　7
6．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有
个点．
(1)　(2)
　(3)　　(4)
图2 1 2
【解析】　由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为an＝n2，
故第n个图形中的点数为n2.
【答案】　n2
7．若数列{an}的通项公式an＝3－2n，则a2n＝
，＝
.
【解析】　∵an＝3－2n，∴a2n＝3－22n，＝＝.
【答案】　3－22n　
8．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N
)，则数列{an}的前30项中，最大项和最小项分别是
．
①a10，a9；②a1，a9；③a1，a30；④a9，a30.
【解析】　通项公式变形为：
an＝＝1＋，
显然当n＝10和n＝9时，an分别取最大值和最小值．
【答案】　①
二、解答题
9．已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，通项an相应的函数是一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式，并求出a2
017；
(2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成，试归纳{bn}的一个通项公式．
【解】　(1)由题意可设an＝kn＋b，
又a1＝3，a10＝21，
∴解得
∴an＝2n＋1(n∈N
)，
a2
017＝2×2
017＋1＝4
035.
(2)∵{bn}是由{an}的偶数项组成，
∴bn＝a2n＝2×2n＋1＝4n＋1(n∈N
)．
10．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)．
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．
【解】　(1)an＝＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝.
(2)令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，故不是该数列中的项．
(3)证明：因为an＝＝＝1－，
又n∈N
，所以0<<1.
所以0所以数列中的各项都在区间(0,1)内．
[能力提升]
1．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N
都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5的值为
.
【解析】　由a1·a2·a3·…·an＝n2，∴a1a2＝4，a1a2a3＝9，∴a3＝，
同理a5＝，
∴a3＋a5＝.
【答案】　
2．如图2 1 3，五角星魅力无穷，一动点由A处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2
016应在
处．
图2 1 3
【解析】　设a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5，a6＝1分别对应点A，B，C，D，E，A，故动点运动的周期为5，
∵a2
016＝a2
015＋1＝a5×403＋1＝a1＝1，故应在A处．
【答案】　A
3．已知数列{an}满足am·n＝am·an(m，n∈N
)，且a2＝3，则a8＝
.
【解析】　由am·n＝am·an，得a4＝a2·2＝a2·a2＝9，
a8＝a2·4＝a2·a4＝3×9＝27.
【答案】　27
4．设函数f(x)＝log2x－logx2(0)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的单调性．
【解】　(1)由f(x)＝log2x－logx2，
可得f(2an)＝an－＝2n，
所以a－2nan－1＝0，解得an＝n±.
因为0故an＝n－.
(2)法一：(作商比较)
＝
＝<1.
因为an<0，所以an＋1>an.故数列{an}是递增数列．
法二：(作差比较)an＋1－an＝n＋1－－n＋
＝＋1－
＝>0.
所以数列{an}是递增数列．