学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知等差数列{an}的通项公式是an＝3n，则其公差是
．
【解析】 an－an－1＝3n－3(n－1)＝3.
【答案】 3
2．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列为
(填序号)．
(1)是公差为2的等差数列；
(2)是公差为5的等差数列；
(3)是首项为5的等差数列；
(4)是公差为n的等差数列．
【解析】 ∵an＝2n＋5，
∴an＋1－an＝2(n＋1)＋5－2n－5＝2.
又a1＝2×1＋5＝7，
故(1)正确．
【答案】 (1)
3．等差数列3,7,11，…的第4项是
．
【解析】 由题意可知7－3＝a4－11，∴a4＝15.
【答案】 15
4．已知数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，若an＝2
017，则项的序号n等于
.
【解析】 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d得2
017＝1＋(n－1)·3，解得n＝673.
【答案】 673
5．已知数列{an}为等差数列a3＝，a7＝－，则a15＝
.
【解析】 法一 由
得
解得a1＝，d＝－.
∴a15＝a1＋(15－1)d
＝＋14×＝－.
法二 由a7＝a3＋(7－3)d，
即－＝＋4d，解得d＝－.
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
【答案】 －
6．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是
．【解析】 设an＝－24＋(n－1)d，
由
解得【答案】
7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按图2 2 1的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖
块．
图2 2 1
【解析】 显然构成一个等差数列，且首项a1＝6，公差d＝4，∴第n个图案中有an＝6＋4(n－1)＝4n＋2块白色地面砖．
【答案】 4n＋2
8．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，则它们的公共项的个数有
．
【解析】 设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，
则a1＝11.
∵数列5,8,11…与3,7,11…的公差分别为3和4，∴{an}的公差d＝3×4＝12，
∴an＝11＋12(n－1)＝12n－1.
又∵5,8,11，…与3,7,11…的第100项分别为302和399，
∴an＝12n－1≤302，即n≤25.25.
又n∈N
，
∴两数列有25个相同的项．
【答案】 25
二、解答题
9．若等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．
【解】 由题意知
∴
解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
故数列{an}的通项公式an＝2n.
10．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解】 (1)证明：∵bn＋1－bn＝－
＝－＝－
＝＝，
又∵b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)可知bn＝＋(n－1)×＝，
又由bn＝可知，an＝2＋＝2＋.
[能力提升]
1．若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是
(填序号)．①{an＋3}；②；③{an＋1－an}；④{2an}；⑤.
【解析】 ∵{an}成等差数列，
∴an＋1－an＝d(常数)．∴{an＋3}，{an＋1－an}，{2an}均是等差数列，
{a}，未必是等差数列．
【答案】 ①③④
2．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝
.
【解析】 由题设可得－＋1＝0，
即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.
【答案】 n2
3．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，那么称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝
.
【解析】 因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.
【答案】 19
4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
【解】 (1)数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，
∴＝＝＋，
∴－＝，
即是首项为＝，
公差为d＝的等差数列．
(2)由上述可知
＝＋(n－1)d＝，∴an＝.
