学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在等比数列{an}中，a4＝2，a7＝8，则an＝
.
【解析】 因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.
【答案】 2
2．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于
．
【解析】 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
【答案】 －243．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝
，ac＝
.
【解析】 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号．
∴ac＝b2＝9.
【答案】 －3 9
4．在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则公比q＝
.
【解析】 由a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.
【答案】 2
5．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝
.
【解析】 ∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.
又∵a1＋a2＝3，
∴a1＝1.
故a7＝1·26＝64.
【答案】 64
6．若{an}是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为
．
①{a}；②{a2n}；③；④{lg|an|}．
【解析】 考查等比数列的定义，验证第n＋1项与第n项的比是否为常数．
【答案】 ①②③
7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为
．【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝，
∴这4个数依次为80,40,20,10.
【答案】 80,40,20,10
8．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝
.
【解析】 记数列{an}的公比为q，由a5＝－8a2，得a1q4＝－8a1q，即q＝－2.由|a1|＝1，得a1＝±1，当a1＝－1时，a5＝－16
a2＝－2，符合题意，故an＝a1qn－1＝(－2)n－1.
【答案】 (－2)n－1
二、解答题
9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项，公比．
【解】 设该数列的公比为q.
由已知，得
所以解得
故首项a1＝1，公比q＝3.
10．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求an.【解】 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
由a2＝－4，a3＝－15可知，an≠n.
∵
＝＝
＝3(n＝1,2,3，…)．
又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，
∴an＝n－2·3n－1.
[能力提升]
1．在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于
．
【解析】 由题意知a3是a1和a9的等比中项，
∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，
得a1＝d，∴＝＝.
【答案】
2．已知{an}是等比数列，an>0，又知a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝
.
【解析】 ∵a2a4＝a，a4a6＝a，∴a＋2a3a5＋a＝25，∴(a3＋a5)2＝25，又∵an>0，∴a3＋a5＝5.
【答案】 5
3．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是
．
【解析】 由an＝2Sn－3，得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)．
故{an}是公比为－1的等比数列，
令n＝1，得a1＝2a1－3，
∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.
【答案】 an＝3·(－1)n－14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．
【解】 设这3个数分别为，a，aq，则a3＝－8，即a＝－2.
(1)若－2为－和－2q的等差中项，
则＋2q＝4，∴q2－2q＋1＝0，
解得q＝1，与已知矛盾，舍去；
(2)若－2q为－和－2的等差中项，
则＋1＝2q，∴2q2－q－1＝0，解得q＝－或q＝1(与已知矛盾，舍去)，
∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1；
(3)若－为－2q和－2的等差中项，则q＋1＝，
∴q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(与已知矛盾，舍去)，
∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.
故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和S10＝
.
【解析】 因为3an＋1＋an＝0，所以＝－，所以数列{an}是以－为公比的等比数列．
因为a2＝－，所以a1＝4，所以S10＝eq
\f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))),1＋\f(1,3))＝3(1－3－10)．
【答案】 3(1－3－10)
2．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝
.
【解析】 因为a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且数列{an}是递增的等比数列，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，所以S6＝＝63.
【答案】 63
3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为
．
【解析】 易知公比q≠1.
由9S3＝S6，得9·＝，
解得q＝2.
∴是首项为1，公比为的等比数列，
∴其前5项和为eq
\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))),1－\f(1,2))＝.
【答案】
4．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a＝
.
【解析】 ∵Sn＝Aqn－A，∴a＝－1.
【答案】 －1
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝
.
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，因为S3＝a2＋10a1，a5＝9，
所以解得
所以a1＝.
【答案】
6．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝，a3＝，则＋＋＋＋＝
.
【解析】 设数列{an}的公比为q，则＝a3
∴＋＋1＋q＋q2＝，
∴＋＋＋＋
＝＝31.
【答案】 31
7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N
)等于
．
【解析】 每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.
【答案】 6
8．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为
．
【解析】 由题意可知，q≠1，
∴Sn＝.
又∵Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，
∴2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，
即2－2qn＝2－qn＋1－qn＋2，
即2＝q＋q2，
∴q＝－2(q＝1不合题意舍去)．
【答案】 －2
二、解答题
9．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
【解】 (1)证明：因为an＝×＝，
Sn＝＝，
所以Sn＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
所以{bn}的通项公式为bn＝－.
10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.设n年内(本年度为第1年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式．
【解】 第1年投入800万元，第2年投入800×万元，…，第n年投入800×万元，所以，总投入an＝800＋800×＋…＋800×n－1＝4
000×eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))))(万元)．
同理，第1年收入400万元，第2年收入400×万元，…，第n年收入400×万元．所以，总收入bn＝400＋400×＋…＋400×＝1
600×eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4))))).
[能力提升]
1．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1,
则a＋a＋a＋…＋a等于
．
【解析】 ∵Sn＝，∴ ∴
∵{an}为等比数列，∴{a}也为等比数列，∴a＋a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
【答案】 (4n－1)
2．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝
.
【解析】 当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝.即Sn＝
【答案】
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为
．
【解析】 由已知4S2＝S1＋3S3，
即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)，
∴a2＝3a3，∴{an}的公比q＝＝.
【答案】
4．已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N
)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：Sn＋≤(n∈N
)．
【解】 (1)设等比数列{an}的公比为q，由－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.
又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝×＝(－1)n－1×.
(2)证明：Sn＝1－，
Sn＋＝1－＋eq
\f(1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))
＝
当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S1＋＝.
当n为偶数时，
Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S2＋＝.
故对于n∈N
，有Sn＋≤.学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式为an＝
.
【解析】 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n；
当n＝1时，a1＝S1＝2也适合上式，∴an＝2n(n∈N
)．
【答案】 2n(n∈N
)2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数n为
．
【解析】 ∵an＝＝－，
∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.
【答案】 120
3．若数列{an}的通项公式为an＝(－1)n，则其前9项的和S9＝
.
【解析】 S9＝(－1＋1)＋(－1＋1)＋(－1＋1)＋…＋(－1＋1)－1＝－1.
【答案】 －1
4．若{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5＝
.
【解析】 ∵an＝＝－，
∴S5＝1－＋－＋－＋－＋－＝1－＝.
【答案】
5．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N
)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝
.
【解析】 由an＝2n－10(n∈N
)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴当n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
【答案】 130
6．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝
.
【解析】 a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9(3×9－2)＋(－1)10(3×10－2)]＝3×5＝15.
【答案】 15
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为
．
【解析】 由题意可知
∴a1＝1，d＝1，
∴an＝n，
∴＝＝－.
∴数列的前100项和为＋＋…＋＝1－＝.
【答案】
8．
【解析】 设an＝66…66＝(10n－1)，
∴Sn＝(101＋102＋…＋10n)－n＝·－n＝.
【答案】
二、解答题
9．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
【解】(1)因为S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，所以Sn＝2n－1，
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2，
所以an＝
(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝，
所以a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.
10．已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N
)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N
).
(1)求an与bn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.
【解】 (1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N
)．
由题意知：
当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.
当n≥2时，bn＝bn＋1－bn，整理得＝，
所以bn＝n(n∈N
)．
(2)由(1)知anbn＝n·2n，
因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N
)．
[能力提升]
1．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
.(填数字)
【解析】 远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a1.
代入公式Sn＝，
即381＝，∴a1＝＝3.
∴此塔顶有3盏灯．
【答案】 3
2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝
.
【解析】 ∵an＋1＝an＋ln，∴an＋1－an
＝ln＝ln＝ln(n＋1)－ln
n.
又a1＝2，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln
2－ln
1＋ln
3－ln
2＋ln
4－ln
3＋…＋ln
n－ln(n－1)]＝2＋ln
n－ln
1＝2＋ln
n.
【答案】 2＋ln
n
3．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于
．
【解析】 a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝[f(1)＋f(2)]＋[f(2)＋f(3)]＋…＋[f(100)＋f(101)]
＝(12－22)＋(－22＋32)＋(32－42)＋…＋(－1002＋1012)＝－3＋5－7＋9－…－99＋101＝2×50＝100.
【答案】 100
4．n2(n≥4)个正数排成n行n列：
a11 a12 a13 a14 … a1n
a21 a22 a23 a24 … a2n
a31 a32 a33 a34 … a3n
…
… …
… … …
an1 an2 an3 an4 … an
n
其中第一行的数成等差数列，每一列中的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24＝1，a42＝，a43＝，求a11＋a22＋a33＋…＋an
n.
【解】 设第一行的公差为d，各列公比为q，则得a1k＝a11＋(k－1)d，
a24＝a14q＝(a11＋3d)q＝1，
①
a42＝a12q3＝(a11＋d)q3＝，
②
a43＝a13q3＝(a11＋2d)q3＝，
③
由①②③，解得a11＝d＝q＝.
∴akk＝a1kqk－1＝[a11＋(k－1)d]qk－1＝.
设Sn＝a11＋a22＋a33＋…＋an
n，
则Sn＝＋＋＋…＋，
④
Sn＝＋＋＋…＋，
⑤
④－⑤得，
Sn＝＋＋＋…＋－＝1－.
∴Sn＝2－，
即a11＋a22＋a33＋…＋an
n＝2－.学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则公比为
．
【解析】 由已知得
∴2b＝a＋，即a2＋b2＝2ab，
∴(a－b)2＝0，
∴a＝b≠0，
∴q＝＝1.
【答案】 1
2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1a15＝
.
【解析】 ∵lg(a3a8a13)＝lg
a＝6，
∴a＝106 a8＝102＝100.
又a1a15＝a＝10
000.
【答案】 10
000
3．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝
.
【解析】 ∵{an}为等比数列，∴a5a6＝a4a7＝－8，联立可解得或 ∴q3＝－或q3＝－2，故a1＋a10＝＋a7·q3＝－7.
【答案】 －7
4．在各项均为正数的等比数列{an}中，an＋1.
【解析】 设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1∴＝＝＝.
【答案】
5．已知数列{an}是等比数列，且a2a6＝2a4，则a3a5＝
.
【解析】 ∵a2a6＝2a4，
由等比数列的性质可知，a2a6＝a3a5＝a，
∴a＝2a4，∴a4＝2，∴a3a5＝4.
【答案】 4
6．互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，a＋3b＋c＝10，则a＝
.
【解析】 由题意知a＋c＝2b，
∴5b＝10，b＝2，
∴a＋c＝4.
∵＝，∴a2＝bc，∴a2＝2c，
∴a2＋2a－8＝0，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，a＝b＝2不合题意，∴a＝－4.
【答案】 －4
7．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q＝
.
【解析】 设等差数列为{an}，公差为d，d≠0，则a＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，化简得d2＝－2a1d.∵d≠0，∴d＝－2a1，
∴a2＝－a1，a3＝－3a1，
∴q＝＝3.
【答案】 3
8．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝
.【解析】 设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12可得q9＝3，又an－1·anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.
【答案】 14
二、解答题
9．数列{an}是等比数列，(1)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值；
(2)若a2＝2，a6＝16，求a10；
(3)若a3＝－2，a7＝－16，求a5.
【解】 (1)∵a3a4a5＝8，∴a＝8，a4＝2.
∴a2a3a4a5a6＝(a2·a6)·(a3·a5)·a4＝a·a·a4＝32.
(2)∵a2·a10＝a，
∴a10＝＝＝128.
(3)∵a3·a7＝a，∴a5＝±＝±4.
又∵a5＝a3q2<0，
∴a5＝－4.
10．若a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，试判断△ABC的形状.
【解】 ∵角A，B，C成等差数列，
∴A＋C＝2B，又△ABC中，A＋B＋C＝π，∴B＝.
又∵边a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac，由余弦定理
∴cos
B＝＝＝cos＝，
∴a2＋c2－ac＝ac，
∴(a－c)2＝0，∴a＝c，
∴△ABC为等边三角形．
[能力提升]
1．若正数a，b，c成公比大于1的等比数列，则当x>1时，下列关于logax，logbx，logcx的说法正确的是
(填序号)．
①成等差数列；
②成等比数列；
③各项倒数成等差数列；
④各项倒数成等比数列．
【解析】 a，b，c成等比数列，则＝，
即b2＝ac,2logxb＝logxa＋logxc，
即＝＋，
即，，成等差数列．
【答案】 ③
2．设{an}是公比为q的等比数列，其前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a99a100－1>0，<0，给出下列结论：
①0其中正确的编号为
．
【解析】 根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a99a100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据<0，可知a99，a100一个大于1，一个小于1，因为a1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以01，a100<1，又a99·a101＝a<1，①③正确；T198＝a1a2…a99a100…a197·a198＝(a99a100)99>1，②不正确；T199＝a1a2…a100…a198a199＝(a100)199<1，故④正确．
【答案】 ①③④
3．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)．若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝
.【解析】 ∵bn＝an＋1，
∴an＝bn－1，
而{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，
∴{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．
∵{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，
∴{an}中的连续四项为－24,36，－54,81，
∴q＝－＝－，
∴6q＝－9.
【答案】 －9
4．若{an}是公差d≠0的等差数列，{bn}是公比q≠1的等比数列，已知a1＝b1＝1，且a2＝b2，a6＝b3.
(1)求d和q；
(2)是否存在常数a，b，使对一切n∈N
都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)由题意得
解得d＝3，q＝4.
(2)假设存在常数a，b.
由(1)得an＝3n－2，bn＝4n－1，
代入an＝logabn＋b，
得3n－2＝loga4n－1＋b，
即(3－loga4)n＋(loga4－b－2)＝0对n∈N
都成立，
∴
∴
所以存在常数a＝，b＝1使等式成立．