2017-2018学年高中数学苏教版必修5：第2章 章末综合测评2

章末综合测评(二)
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)
1．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是
.
【解析】　法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2.
所以由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.
公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.【答案】　20
2．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝
.
【解析】　法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d，
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
又∵a10＝8，∴∴
∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.
法二：∵{an}是等差数列，
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.
故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.
【答案】　98
3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝kn2，若对所有的n∈N
，都有an＋1>an，则实数k的取值范围是
．
【解析】　由Sn＝kn2，得an＝k(2n－1)．
∵an＋1>an，∴{an}是递增数列，
∴k>0.
【答案】　(0，＋∞)
4．已知数列{an}，an≠0，若a1＝3,2an＋1－an＝0，则a6等于
．
【解析】　因为2an＋1－an＝0，an≠0，所以＝，所以数列{an}是首项为a1＝3，公比为q＝的等比数列，所以an＝a1qn－1＝3×，所以a6＝3×＝.
【答案】　
5．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝
.
【解析】　设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，
∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，
解得d＝－1，
∴q＝＝＝1.
【答案】　1
6．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝
.【解析】　当n＝1时，S1＝2a1－1，
∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，
∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，
∴an＝2n－1，n∈N
.
【答案】　2n－1，n∈N
7．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是
．
【解析】　设三边为a，aq，aq2(q>1)，
则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝，
较小锐角记为θ，则sin
θ＝＝.
【答案】　
8．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知＝，则＝
.
【解析】　＝＝＝＝＝.
【答案】　
9．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是
．
图1
【解析】　从题图中可观察图案的构成规律：
n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；
n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；……
第n个图案比第n－1(n≥2)个图案增加了n个星星．
∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
【答案】　an＝
10．等比数列{an}的公比q<0，已知a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则{an}的前2
016项和等于
．
【解析】　由an＋2＝an＋1＋2an，得qn＋1＝qn＋2qn－1，
即q2－q－2＝0，又q<0，解得q＝－1，
又a2＝1，∴a1＝－1，
S2
016＝＝0.
【答案】　0
11．设数列{an}的通项公式为an＝2n－7(n∈N
)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝
.
【解析】　∵an＝2n－7，
∴a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，a4＝1，
a5＝3，…，a15＝23，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋＝153.
【答案】　153
12．把正偶数按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，其中每一组都比它的前一组多一个数，那么第11组的第2个数是
．
【解析】　按照题中的分组方法，前10组共有1＋2＋…＋10＝＝55个偶数，故第10组的最后一个偶数为110，所以第11组的第2个数是114.
【答案】　114
13．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a1
元/m2，顶层由于景观好价格为a2
元/m2，第二层价格为a
元/m2，从第三层开始每层在前一层价格上加价
元/m2，则该商品房各层的平均价格为
元/m2.
【解析】　设第二层到第22层的价格构成数列{bn}，则{bn}是等差数列，b1＝a，公差d＝，共21项，所以其和为S21＝21a＋·＝23.1a，故平均价格为(a1＋a2＋23.1a)元/m2.
【答案】　(a1＋a2＋23.1a)
14．给出数阵：
0　　1　　…　　9
1　　2　　…　　10
　
　
　
　
9　
…　　…　　…
其中每行、每列均为等差数列，则此数阵所有数的和为
.
【解析】　设b1＝0＋1＋2＋…＋9，b2＝1＋2＋3＋…＋10，…，b10＝9＋10＋…＋18，则{bn}是首项b1＝45，公差d＝10的等差数列，∴S10＝45×10＋×10＝900.
【答案】　900
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？
【解】　(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a4－a3＝2，所以d＝2.
又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.
所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)．
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，
所以q＝2，b1＝4.
所以b6＝4×26－1＝128.
由128＝2n＋2得n＝63，所以b6与数列{an}的第63项相等．
16．(本小题满分14分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列．
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解】　(1)证明：由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.
∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，两边乘以2得，2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得，－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
17．(本小题满分14分)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N
.
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列．
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
【解】　(1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，
∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n≥2，且n∈N
)．
∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，
即an＋1＝4an，n≥2.
又a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，
∴当t＝1时，a2＝4a1，数列{an}是等比数列．
(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，an＝4n－1，所以bn＝log4an＋1＝n.
cn＝an＋bn＝4n－1＋n,
那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋.
18．(本小题满分16分)已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．
(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；
(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．
【解】　(1)由已知，an＝aqn－1，因此
S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3)．
当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，可得aq3＝aq＋aq2，
化简得q2－q－1＝0，
解得q＝.
(2)证明：若q＝1，则{an}的每项an＝a，此时am＋k，an＋k，al＋k显然构成等差数列．
若q≠1，由Sm，Sn，Sl构成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，即＋＝，
整理得qm＋ql＝2qn，
因此，am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1＝2an＋k，
所以am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．
19．(本小题满分16分)设{an}是正数组成的数列，其前n项和Sn，并且对于所有的n∈N
，都有8Sn＝(an＋2)2.
(1)写出数列{an}的前3项；
(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)；
(3)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N
都成立的最小正整数m的值．
【解】　(1)当n＝1时，8a1＝(a1＋2)2，
∴a1＝2；
当n＝2时，8(a1＋a2)＝(a2＋2)2，
∴a2＝6；
当n＝3时，8(a1＋a2＋a3)＝(a3＋2)2，
∴a3＝10.
(2)∵8Sn＝(an＋2)2，
∴8Sn－1＝(an－1＋2)2(n>1)，
两式相减得：8an＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，
即a－a－4an－4an－1＝0，
也即(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.
∵an>0，∴an－an－1＝4，
即{an}是首项为2，公差为4的等差数列，
∴an＝2＋(n－1)·4＝4n－2.
(3)bn＝＝＝＝.
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＝＝－<.
∵Tn<
对所有n∈N
都成立，
∴≥，即m≥10，
故m的最小值是10.
20．(本小题满分16分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2
000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4
000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．
【解】　(1)由题意得a1＝2
000(1＋50%)－d
＝3
000－d，
a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4
500－d，
an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.
(2)由(1)得an＝an－1－d
＝－d
＝an－2－d－d
＝…
＝a1－deq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))))).
整理得an＝(3
000－d)－2deq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－1))
＝(3
000－3d)＋2d.
由题意，am＝4
000，即(3
000－3d)＋2d＝4
000，
解得d＝eq
\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－2))×1
000,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－1)
＝.
故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4
000万元．