2017-2018学年高中数学苏教版必修5：第3章 章末综合测评3

章末综合测评(三)
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)
1．若不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，那么a＋b＝
.
【解析】　因为x2－2x－3<0的解集为A＝{x|－1【答案】　－3
2．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5
kg，乙材料1
kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5
kg，乙材料0.3
kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2
100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150
kg，乙材料90
kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为
元．
【解析】　设生产产品A
x件，产品B
y件，则
目标函数z＝2
100x＋900y.
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．
当直线z＝2
100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2
100×60＋900×100＝216
000(元)．
【答案】　216
000
3．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是
．
①y＝|x|2＋≥2＝4≥0；
②y＝sin
x＋≥2＝4(x为锐角)；
③已知ab≠0，＋≥2＝2；
④y＝3x＋≥2＝4.
【解析】　①错，右侧不为定值；②错，sin
x＝，则sin
x＝2>1；③错，与为负时不成立．
【答案】　④
4．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b.这两年的平均增长率为x，则x与的大小关系为
.
【解析】　由题意可知A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)≤A，∴x≤.
【答案】　x≤
5．若0≤x≤1,0≤y≤2，且2y－x≥1，则z＝2y－2x＋4的最小值为
．
【解析】　由已知作出可行域(如图)，
由z＝2y－2x＋4，得y＝x－2＋，
当x＝1，y＝1时，zmin＝4.
【答案】　4
6．设M＝a＋(2．
【解析】　M＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，
此时a－2＝1，a＝3，
而24，
∴M>N.
【答案】　M>N
7．在如图1所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是
．
图1
【解析】　若最优解有无数个，则y＝－x＋与其中一条边平行，而三边的斜率分别为，－1,0，与－对照可知a＝－3或1，又因z＝x＋ay取得最小值，则a＝－3.
【答案】　－3
8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2
m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是
．
(1)6.5
m；(2)6.8
m；(3)7
m；(4)7.2
m.
【解析】　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故答案为(3)．
【答案】　(3)
9．方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是
．
【解析】　令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，
要使f(x)＝0的两根都大于2，
则
解得
故答案为(－5，－4]．
【答案】　(－5，－4]
10．已知等比数列{an}各项均为正数，公比q≠1，设P＝，Q＝，则P与Q的大小关系是
．　
【解析】　∵{an}是等比数列，
∴a2·a9＝a4·a7，
∴≥＝.
又q≠1，∴a2≠a9，
∴>，
∴P>Q.
【答案】　P>Q
11．已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是
．
【解析】　f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，解得－1【答案】　(－1,3)
12．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为
．
【解析】　由题意知y＝，所以＝＝＋≥＋＝＋＝3，
当且仅当x2＝9z2时等号成立，
所以的最小值为3.
【答案】　3
13．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么不等式f(x＋2)<5的解集是
.
【解析】　因为f(x)为偶函数，所以f(|x＋2|)＝f(x＋2)，
则f(x＋2)<5可化为f(|x＋2|)<5，
即|x＋2|2－4|x＋2|<5，
(|x＋2|＋1)(|x＋2|－5)<0，
所以|x＋2|<5，解得－7【答案】　(－7,3)
14．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为
．
【解析】　不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为y＝－x＋，显然当y＝－x＋过点A时取到最大值．
此时z＝4，即y＝－x＋.
由得A.
把A代入y＝mx得，
m＝，∴m＝1.
【答案】　1
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)解关于x的不等式：<0(a∈R)．
【解】　原不等式等价于(x－a)(x－a2)<0.
(1)当a＝0时，原不等式为x2<0，
∴x∈ .
(2)当a＝1时，原不等式为(x－1)2<0，
∴x∈ .
(3)当0a2，
∴原不等式的解集为{x|a2(4)当a<0或a>1时，a2>a，
∴原不等式的解集为{x|a综上，当a＝0或a＝1时，不等式解集为 ；
当0当a<0或a>1时，不等式解集为{x|a16．(本小题满分14分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
【解】　(1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根且k<0.
由根与系数的关系得
解得k＝－.
(2)因为不等式的解集为R，
所以即
所以k<－.
即k的取值范围是.
17．(本小题满分14分)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x，y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
(3)求z＝x－2y的最大值．
【解】　(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集点，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]．
(2)由图形及不等式组知当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点．所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
(3)平移直线y＝x－，所以当直线过点时z值最大．所以zmax＝3－2×(－3)＝9.
18．(本小题满分16分)在锐角三角形ABC中，若sin
A＝2sin
Bsin
C，求tan
Atan
Btan
C的最小值.
【解】　在锐角三角形ABC中，
∵sin
A＝2sin
Bsin
C，
∴sin(B＋C)＝2sin
Bsin
C，
∴sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝2sin
Bsin
C，等号两边同除以cos
Bcos
C，
得tan
B＋tan
C＝2tan
Btan
C.
∴tan
A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝.①
∵A，B，C均为锐角，
∴tan
Btan
C－1>0，∴tan
Btan
C>1.
由①得tan
Btan
C＝.
又由tan
Btan
C>1得>1，∴tan
A>2.
∴tan
Atan
Btan
C＝
＝
＝(tan
A－2)＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当tan
A－2＝，即tan
A＝4时取得等号．
故tan
Atan
Btan
C的最小值为8.
19．(本小题满分16分)规定：max(a，b，c)与min(a，b，c)分别表示a，b，c中的最大数与最小数，若正系数二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，试证：(1)max(a，b，c)≥f(1)；
(2)min(a，b，c)≤f(1)．
【证明】　由题意知a，b，c>0，f(1)＝a＋b＋c，Δ＝b2－4ac≥0.
(1)若b≥f(1)，结论显然成立；
下面证明当b记f(1)＝a＋b＋c＝d.，由b2－4ac≥0，可知ac≤d，所以a2＋d2≥a2＋ac＝a(a＋c)>ad，
即>0，解得aa>d.若ad，c>d.
因此，必有a>f(1)或b≥f(1)或
c>f(1)，于是max(a，b，c)≥f(1)．
(2)若a≤f(1)，结论显然成立；
下面证明当a>f(1)时，结论也成立．
因为b＋c＝d－acd，
所以c＋整理为<0，
解得c因此，必有a≤f(1)或c20．(本小题满分16分)某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2016年1月的产值都为a万元，甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等，乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，到2017年1月两个企业的产值再次相等．
(1)试比较2016年7月甲、乙两个企业产值的大小，并说明理由．
(2)甲企业为了提高产能，决定投入3.2万元买台仪器，并且从2017年2月1日起投入使用．从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，(n∈N
)，求前n天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最少时使用的天数？
【解】　(1)设从2016年1月到2017年1月甲企业每个月的产值分别为a1，a2，a3，…，a13，乙企业每个月的产值分别为b1，b2，…，b13，由题意{an}成等差数列，{bn}成等比数列，所以a7＝(a1＋a13)，b7＝，因为a1＝b1，a13＝b13，从而a7＝(a1＋a13)>＝＝b7，
所以到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大．
(2)设一共使用了n天，n天的平均耗资P(n)＝
＝
＝＋＋≥2＋＝(元)，
当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800，即日平均耗资最少时使用了800天．