2017-2018学年高中数学苏教版必修5学业分层测评：第3章 3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题

学业分层测评(十八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为
.
【解析】　画出可行域(如图所示)．
∵z＝3x＋y，
∴y＝－3x＋z.
∴直线y＝－3x＋z在y轴上截距最大时，即直线过点B时，z取得最大值．
由解得B(1,1)，
∴zmax＝3×1＋1＝4.
【答案】　4
2．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为
．
【解析】　画出可行域，如图所示，
由解得A(－2,2)，
设z＝2x－y，
把z＝2x－y变形为y＝2x－z，
则直线经过点A时z取得最小值，
所以zmin＝2×(－2)－2＝－6.
【答案】　－6
3．给出平面区域如图3 3 8所示，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为
．
图3 3 8
【解析】　由于直线y＝－ax＋z的斜率－a<0，因此，要使z＝ax＋y取最大值的最优解有无穷多个，这些解必在线段AC上．
∴－a＝－，即a＝.
【答案】　
4．若实数x，y满足则的取值范围是
.
【解析】　可看作可行域中的点与原点构成直线的斜率，结合图形可解，≥kOA＝.
【答案】　
5．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1
600元/辆和2
400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为
．
【解析】　
设租A型车x辆，B型车y辆，租金为z，则
画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z＝1
600x＋2
400y在点N(5,12)处取得最小值36
800.
【答案】　36
800
6．设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为
．
【解析】　作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝＝<1，
故最小距离为.
【答案】　
7．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是
．
【解析】　由已知不等式组作可行域，如图阴影部分所示，
令x＋2y＝k，则y＝－x＋，
问题由求k的最小值转化为求直线y＝－x＋的纵截距的最小值．
显然当直线y＝－x＋过原点O时，截距最小，此时kmin＝0，z＝3x＋2y的最小值为1.
【答案】　1
8．设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝
.
【解析】　画出可行域如图．
其中A(2,3)，B(2,0)，C(4,4)．
当k＝0时，显然不符合题意；
当k>0时，最大值在点C处取得，此时12＝4k＋4，即k＝2；
当k<0时，最大值在点A处或C处取得，此时12＝2k＋3或12＝4k＋4，即k＝>0(舍)或k＝2>0(舍)，故k＝2.
【答案】　2
二、解答题
9．已知实数x，y满足约束条件(a∈R)，目标函数z＝x＋3y只有当时取得最大值，求a的取值范围．
【解】　直线x－ay－1＝0过定点(1,0)，画出区域让直线x－ay－1＝0绕着(1,0)旋转得到不等式所表示的平面区域．平移直线x＋3y＝0，观察图象知必须使直线x－ay－1＝0的斜率>0才满足要求，故a>0.
10．某公司计划2015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
【解】　设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，
由题意得
即
目标函数为z＝3
000x＋2
000y.作出可行域如图所示：
作直线l：3
000x＋2
000y＝0，
即3x＋2y＝0.
平移直线l，由图可知当l过点M时，目标函数z取得最大值．
由得M(100,200)．
∴zmax＝3
000×100＋2
000×200＝700
000(元)．
答　该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
[能力提升]
1．已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于
．
【解析】　
由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点A(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝.
【答案】　
2．当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是
.
【解析】　作可行域如图所示，
设z＝ax＋y，若a≤0，平移可知不成立，故a>0，解得B(2,1)，解得A(1,0)，由a×1＋0＝1得a＝1，由a×2＋1＝4得a＝，
∴a∈.
【答案】　
3．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为
．
【解析】　由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z＝·＝x＋y，将其化为y＝－x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点(，2)时，
z最大，将点(，2)代入z＝x＋y得z的最大值为4.
【答案】　4
4．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
【解】　(1)法一　∵＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，
∴解得
即＝(2,2)，故||＝2.
法二　∵＋＋＝0，
则(－)＋(－)＋(－)＝0，
∴＝(＋＋)＝(2,2)，
∴||＝2.
(2)∵＝m＋n，
∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，
∴
两式相减得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.