学业分层测评(十九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题1．给出下面四个推导过程：
①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2＝2；
②因为x，y∈(0，＋∞)，
所以lg
x＋lg
y≥2
；
③因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4；
④因为x，y∈R，xy<0，所以＋
＝－≤－2＝－2.
其中正确的推导过程为
．
【解析】 ②③错误，①④正确，对于②，lg
x，lg
y不一定为正数；对于③，a∈R，也失去了应用基本不等式的前提．
【答案】 ①④
2．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝
.
【解析】 ∵x>0，∴f(x)＝4x＋≥2＝4.
当且仅当4x＝，即x＝时等号成立．
由题意可知＝3，即a＝36.
【答案】 36
3．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是
．
(1)a2＋b2>2ab；(2)a＋b≥2；(3)＋>；(4)＋≥2.
【解析】 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴(1)错误．对于(2)(3)，当a<0，b<0时，明显错误．对于(4)，∵ab>0，
∴＋≥2＝2.
【答案】 (4)
4．已知函数y＝2＋3x2＋，当x＝
时，函数有最
值，为
．
【解析】 ∵x2>0，
∴y＝2＋3x2＋≥2＋2＝14，
当且仅当3x2＝，即x＝±时，取等号．
【答案】 ± 小 14
5．下列函数中最小值为4的是
．
①y＝x＋；②y＝sin
x＋(0
x＋4logx
10.
【解析】 对于③，y＝3x＋4·3－x≥2＝4，当且仅当3x＝2时取等号．
【答案】 ③
6．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是
．
【解析】 ∵a＋b＝3，
∴2a＋2b≥2＝2＝4.
当且仅当2a＝2b，即a＝b＝时等号成立．
【答案】 4
7．已知m＝a＋(a＞2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是
．
【解析】 m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，“＝”成立，故m∈[4，＋∞)，由b≠0，得b2≠0，
∴2－b2＜2，∴22－b2＜4，即n∈(0,4)，综上易得m＞n.【答案】 m＞n
8．若a>b>1，P＝，Q＝(lg
a＋lg
b)，R＝lg，则P，Q，R的大小关系为
．
【解析】 ∵a>b>1，∴lg
a>lg
b>0，
∴<(lg
a＋lg
b)，即P又>，∴lg>lg＝(lg
a＋lg
b)，
∴R>Q，即R>Q>P.
【答案】 R>Q>P
二、解答题
9．已知a，b是正数，试比较与的大小．
【解】 ∵a>0，b>0，∴＋≥2>0，
∴≤＝，即≤.
10．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
【证明】 (1)＋＋＝＋＋＝2.
∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
(2)法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，同理，1＋＝2＋，
∴＝·
＝5＋2≥5＋4＝9，
∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
法二 ＝1＋＋＋.
由(1)知，＋＋≥8，
故＝1＋＋＋≥9.
[能力提升]
1．若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是
.
(1)≤；(2)＋≥1；(3)≥2；
(4)≥1.
【解析】 若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，
∴＋＝(x＋y)
＝≥(2＋2)＝1，
当且仅当x＝y＝2时，等号成立．
【答案】 (2)
2．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是
．
【解析】 x2－ax＋1≥0，x∈(0,1]恒成立 ax≤x2＋1，x∈(0,1]恒成立 a≤x＋，x∈(0,1]恒成立．∵x∈(0,1]，x＋≥2，∴a≤2.
【答案】 (－∞，2]
3．设0．
【解析】 ∵0∴logab<0，logba<0，－logab>0，
∴(－logab)＋(－logba)
＝(－logab)＋≥2，
∴logab＋logba≤－2.
【答案】 －2
4．已知x>y>0，xy＝1，求的最小值．
【解】 ∵xy＝1，
∴＝
＝＝(x－y)＋≥
2＝2.
当且仅当
即时取等号．学业分层测评(二十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．设0．
【解析】 ∵00，
∴y＝x(3－2x)＝2·x
≤2＝，当且仅当x＝－x，即x＝时，取“＝”，
∴函数y＝x(3－2x)的最大值为.
【答案】
2．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是
.
【解析】 ∵x2＋y2＋xy＝1，
∴(x＋y)2＝1＋xy≤1－，
∴(x＋y)2≤，∴x＋y≤.
【答案】
3．设x，y满足x＋4y＝40，且x，y∈(0，＋∞)，则lg
x＋lg
y的最大值是
．
【解析】 ∵x＋4y＝40，且x，y∈(0，＋∞)，
∴4xy≤＝(20)2＝400，当且仅当x＝4y时等号成立．
∴lg
x＋lg
y＝lg(xy)＝lg
(x·4y)≤lg
＝2.
【答案】 2
4．已知x≥，则f(x)＝的最小值为
．
【解析】 f(x)＝＝
＝≥1.
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．
【答案】 1
5．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为
．
【解析】 ∵点P(x，y)在直线AB上，
∴x＋2y＝3，
∴2x＋4y≥2＝2
＝4.
【答案】 4
6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两次费用之和最小，仓库应建在离车站
千米处．【解析】 设仓库距离车站为x千米，则y1＝，y2＝k2x.由题意可知，
2＝，8＝k2·10，
∴k1＝20，k2＝，
∴y＝＋x.
∵＋x≥2＝8，
当且仅当＝x，即x＝5时取等号．
∴x＝5千米时，y取得最小值．
【答案】 5
7．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是
.
【解析】 因为x>0，所以x＋≥2，
当且仅当x＝1时取等号，所以有＝≤＝，
即的最大值为，故a≥.
【答案】
8．汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g(即每小时的汽油消耗量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度v(单位：km/h)之间有函数关系：g＝(v－50)2＋5(0(km/h)时，汽油的使用效率最高(即每千米汽油平均消耗量最小，单位：L/km)．
【解析】 设每千米汽油平均消耗量为y，则y＝g·＝
＝
＝v＋－≥2－＝(当且仅当v＝，即v＝50时，取“＝”)．
∴当v＝50
km/h时，汽油的使用效率最高．
【答案】 50
二、解答题
9．设a＋b＝2，b>0，求＋的最小值．
【解】 因为＋＝＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，当且仅当＝，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故＋的最小值是.
10．某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图3 4 1所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3
000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．
图3 4 1
(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)；
(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？
【解】 (1)由已知xy＝3
000,2a＋6＝y，则y＝(6≤x≤500)，
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)·＝(x－5)(y－6)＝3
030－6x－(6≤x≤500)．
(2)S＝3
030－6x－≤3
030－2
＝3
030－2×300＝2
430，
当且仅当6x＝，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50，y＝60，Smax＝2
430.
即设计x＝50米，y＝60米时，运动场地面积最大，最大值为2
430平方米．
[能力提升]
1．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为
．
【解析】 由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2.
所以＝＝≤＝1，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，
此时z＝2y2，max＝1.
＋－＝＋－＝－＋
＝－＋1≤1，当y＝1时，取等号．
【答案】 1
2．若a＞b＞0，则代数式a2＋的最小值为
．
【解析】 依题意得a－b＞0，所以代数式a2＋≥a2＋eq
\f(1,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(b＋ a－b ,2))))＝a2＋≥
2＝4，当且仅当即a＝，
b＝时取等号，因此a2＋的最小值是4.
【答案】 4
3．设a>b>c，且＋≥恒成立，则m的取值范围是
.
【解析】 由a>b>c，知a－b>0，a－c>0，b－c>0，
∴原不等式等价于＋≥m.
要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．
＋＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4.
当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立．
∴m≤4，即m∈(－∞，4]．
【答案】 (－∞，4]
4．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图3 4 2所示，要求∠ACB＝60°，BC长度大于1，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？
图3 4 2
【解】 设BC＝a(a>1)，AC＝b，
则AB＝b－0.5，
∵(b－0.5)2＝b2＋a2－2abcos
60°，
∴－b＋0.25＝a2－ab，
整理得b＝.
令a－1＝t(t>0)，
∴a＝t＋1，
∴b＝＝＝t＋＋2≥2＋2＝2＋
.
综上，当BC＝1＋米时AC最短，为2＋米．