22.1 直线和圆的位置关系
预习案
一、预习目标及范围：
1.通过学习，理解直线和圆的位置关系。（重点）
2.能够掌握利用数量关系确定直线与圆的位置关系。（难点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、预习要点
1.直线和圆的位置关系有几种？
2.如何利用数量关系确定直线与圆的位置关系？
三、预习检测
1.如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，OD⊥BC于点D，以点O为圆心，OD长为半径作圆，则AB与⊙O的位置关系是（ ）
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
2.已知圆O的半径为3cm，点P是直线l上的一点，且OP=3cm，则直线l与圆O的位置关系为（ ）
A.相切
B.相交
C.相离
D.不能确定
3.在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心、3为半径的圆，一定（ ）
A.与x轴相切，与y轴相切
B.与x轴相切，与y轴相交
C.与x轴相交，与y轴相切
D.与x轴相交，与y轴相交
4.若⊙O的直径为20cm，点O到直线l的距离为10cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
探究案
一、合作探究
活动1：小组合作
当一条直线与一个圆没有公共点时，我们称这条直线和这个圆 。
当一条直线与一个圆有唯一公共点时，我们称这条直线和这个圆 。
当一条直线与一个圆有两个公共点时，我们称这条直线和这个圆 。
（2）2.用圆心O到直线l的距离d与圆的半径r之间的数量关系 ，描述直线和圆的位置关系。
当 时，直线和圆相离。
当 时，直线和圆相切。
当 时，直线和圆相切。
活动内容2：典例精析
例题1、在△ABC中， ∠C=90°，AC =3cm，BC = 4cm，以C为圆心，r为半径画圆。（1）r = 1.8cm，（2）r =1.8cm，（3）r = 2.6cm 时， ⊙C与AB所在直线具有怎样的位置关系？为什么？
分析：过点C作CD⊥AB于D。
∵ ∠ACB=90° ，AC=3，BC=4，
∴ AB=AC2+BC2 =32+42= 5
∵S△ACB=（1/2）AB CD= （1/2）BC AC，
∴CD=（ BC AC ）/AB=4 3/5=2.4
即圆心C到AB的距离CD的长为2.4cm。
（1）当r =1.8cm时，CD＞r，因此⊙C与AB相离；
（2）当r =2.4cm时，CD=r，因此⊙C与AB相切；
（3）当r =2.6cm时，CD＜r，因此⊙C与AB相交。
二、随堂检测
1.在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，以点A为圆心，r=4cm作圆，则直线BC与⊙A的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
2.已知⊙O的直径为13cm，如果直线和圆心的距离为7.5cm，那么直线和圆的公共点的个数为( )
A. 1 B. 3
C. 2 D. 0
3.在平面直角坐标系xOy中，以M（3，4）为圆心，半径为5的圆与x轴的位置关系是( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
4.已知⊙O的直径为8cm，圆心O到直线l的距离为4cm，则直线l和⊙O的位置关系是( )
A.相交
B.相离
C.相切
D.不能确定
5.在平面直角坐标系中，半径为3的圆的圆心在（4，3），则这个圆与x轴的位置关系是（ ）
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
6.正三角形ABC的内切圆半径为1，则△ABC的边长是 。
7.若直角三角形的两直角边长分别为5、12，则它的内切圆的半径为为 。
8.已知⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB、BC、CA于点D、E、F；则△DEF一定（ ）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
参考答案
预习检测：
1. B
2. D
3. B
4. B
随堂检测
1. C
2. D
3. B
4. C
5. C
6.2
7.2
8. A
22.1 直线和圆的位置关系
一、教学目标
1.通过学习，理解直线和圆的位置关系。（重点）
2.能够掌握利用数量关系确定直线与圆的位置关系。（难点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、课时安排
1课时
三、教学重点
能够掌握直线和圆的位置关系。
四、教学难点
通过探索，熟练掌握利用数量关系确定直线与圆的位置关系。
五、教学过程
（一）导入新课
“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，依据下面的图片，大家能说出直线和圆有哪些关系？
（二）讲授新课
活动1：小组合作
当一条直线与一个圆没有公共点时，我们称这条直线和这个圆相分离。
当一条直线与一个圆有唯一公共点时，我们称这条直线和这个圆相切。
当一条直线与一个圆有两个公共点时，我们称这条直线和这个圆相交。
（2）2.用圆心O到直线l的距离d与圆的半径r之间的数量关系 ，描述直线和圆的位置关系。
当d＞r时，直线和圆相离。
当d=r时，直线和圆相切。
当d＜r时，直线和圆相切。
（三）重难点精讲
例题1、在△ABC中， ∠C=90°，AC =3cm，BC = 4cm，以C为圆心，r为半径画圆。（1）r = 1.8cm，（2）r =1.8cm，（3）r = 2.6cm 时， ⊙C与AB所在直线具有怎样的位置关系？为什么？
分析：过点C作CD⊥AB于D。
∵ ∠ACB=90° ，AC=3，BC=4，
∴ AB=AC2+BC2 =32+42= 5
∵S△ACB=（1/2）AB CD= （1/2）BC AC，
∴CD=（ BC AC ）/AB=4 3/5=2.4
即圆心C到AB的距离CD的长为2.4cm。
（1）当r =1.8cm时，CD＞r，因此⊙C与AB相离；
（2）当r =2.4cm时，CD=r，因此⊙C与AB相切；
（3）当r =2.6cm时，CD＜r，因此⊙C与AB相交。
（四）归纳小结
1.直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点。
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线。
2.判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。
①直线l和⊙O相交?d＜r
②直线l和⊙O相切?d=r
③直线l和⊙O相离?d＞r。
（五）随堂检测
1.在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，以点A为圆心，r=4cm作圆，则直线BC与⊙A的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
2.已知⊙O的直径为13cm，如果直线和圆心的距离为7.5cm，那么直线和圆的公共点的个数为( )
A. 1 B. 3
C. 2 D. 0
3.在平面直角坐标系xOy中，以M（3，4）为圆心，半径为5的圆与x轴的位置关系是( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
4.已知⊙O的直径为8cm，圆心O到直线l的距离为4cm，则直线l和⊙O的位置关系是( )
A.相交
B.相离
C.相切
D.不能确定
5.在平面直角坐标系中，半径为3的圆的圆心在（4，3），则这个圆与x轴的位置关系是（ ）
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
6.正三角形ABC的内切圆半径为1，则△ABC的边长是 。
7.若直角三角形的两直角边长分别为5、12，则它的内切圆的半径为为 。
8.已知⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB、BC、CA于点D、E、F；则△DEF一定（ ）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
【答案】
1. C
2. D
3. B
4. C
5. C
6.2
7.2
8. A
六、板书设计
22.1直线和圆的位置关系
探究1： 例题1：
1.直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点。
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线。
2.判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。
①直线l和⊙O相交?d＜r
②直线l和⊙O相切?d=r
③直线l和⊙O相离?d＞r。
七、布置作业
课本P140习题
练习册相关练习
八、教学反思
根据《数学课程标准》学习对生活有用的数学、学习对终身发展有用的数学的基本理念，本节课引导学生从了解直线和圆的位置关系出发，利用已有的知识和能力，通过探究、小组合作学习等多种方式，对利用数量关系确定直线与圆的位置关系进行分析，并结合习题巩固知识。培养学生联系实际，发现数学问题、分析问题、解决问题的能力。
课件22张PPT。九年级上册22.1 直线和圆的位置关系情境导入 “大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，依据下面的图片，大家能说出直线和圆有哪些关系？本节目标1.通过学习，理解圆和直线的位置关系。（重点）
2.能够掌握利用数量关系确定直线与圆的位置关系。（难点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。1.如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，OD⊥BC于点D，以点O为圆心，OD长为半径作圆，则AB与⊙O的位置关系是（ ） A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定B预习反馈预习反馈2.已知圆O的半径为3cm，点P是直线l上的一点，且OP=3cm，则直线l与圆O的位置关系为（ ）
A.相切
B.相交
C.相离
D.不能确定D3.在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心、3为半径的圆，一定（ ）
A.与x轴相切，与y轴相切
B.与x轴相切，与y轴相交
C.与x轴相交，与y轴相切
D.与x轴相交，与y轴相交B预习反馈4.若⊙O的直径为20cm，点O到直线l的距离为10cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定B预习反馈1.直线与圆的关系有哪些？
2.如何判断圆与直线的关系？课堂探究课堂探究相离相切相交当一条直线与一个圆没有公共点时，我们称这条直线和这个圆相分离。
当一条直线与一个圆有唯一公共点时，我们称这条直线和这个圆相切。
当一条直线与一个圆有两个公共点时，我们称这条直线和这个圆相交。课堂探究2.用圆心O到直线l的距离d与圆的半径r之间的数量关系 ，描述直线和圆的位置关系。当d＞r时，直线和圆相离。当d=r时，直线和圆相切。当d＜r时，直线和圆相切。例1、在△ABC中， ∠C=90°，AC =3cm，BC = 4cm，以C为圆心，r为半径画圆。（1）r = 1.8cm，（2）r =1.8cm，
（3）r = 2.6cm 时， ⊙C与AB所在直线具有怎样的位置关系？为什么？典例精析典例精析?典例精析分析：
（1）当r =1.8cm时，CD＞r，因此⊙C与AB相离；
（2）当r =2.4cm时，CD=r，因此⊙C与AB相切；
（3）当r =2.6cm时，CD＜r，因此⊙C与AB相交。
本课小结（1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点。 ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。 ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线。 本课小结（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。 ①直线l和⊙O相交?d＜r ②直线l和⊙O相切?d=r ③直线l和⊙O相离?d＞r。1.在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，以点A为圆心，r=4cm作圆，则直线BC与⊙A的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法判断C随堂检测2.已知⊙O的直径为13cm，如果直线和圆心的距离为7.5cm，那么直线和圆的公共点的个数为( )
A. 1
B. 3
C. 2
D. 0D随堂检测3.在平面直角坐标系xOy中，以M（3，4）为圆心，半径为5的圆与x轴的位置关系是( )
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定B随堂检测4.已知⊙O的直径为8cm，圆心O到直线l的距离为4cm，则直线l和⊙O的位置关系是( )
A.相交
B.相离
C.相切
D.不能确定C随堂检测随堂检测5.在平面直角坐标系中，半径为3的圆的圆心在（4，3），则这个圆与x轴的位置关系是（ ）
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定C6.正三角形ABC的内切圆半径为1，则△ABC的边长是 .?随堂检测7.若直角三角形的两直角边长分别为5、12，则它的内切圆的半径为为 .28.已知⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB、BC、CA于点D、E、F；则△DEF一定（ ） A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定A随堂检测直线和圆的位置关系课后作业
一. 选择题
1. ⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 不能确定
2. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ）
A. 2cm
B. 2.4cm
C. 3cm
D. 4cm
3. 如图，直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 内含
4. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=x-与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相离
B. 相切
C. 相交
D. 以上三种情况都有可能
5. 在矩阵ABCD中，AB=8cm，CD=6cm，以点A为圆心，r=4cm作圆，则直线BC与⊙A的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 无法判断
二. 填空题
6. 在Rt△ABC中，∠A=30°，直角边AC=6cm，以C为圆心，3cm为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 ．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm，以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 ．
8. 如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC的中点，以D为圆心，2.5 为半径作圆，则⊙D与直线AC的位置关系是 ．
9. OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，那么⊙P与OB的位置关系是 ．
10. 已知⊙O是以坐标原点为圆心，半径为1，函数y=x与⊙O交于点A、B，点P（x，0）在x轴上运动，过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点，则x的范围是 ．
三. 解答题
11. 如图，已知△ABC，且∠ACB=90°．
（1）请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）：
①以点A为圆心，BC边的长为半径作⊙A；
②以点B为顶点，在AB边的下方作∠ABD=∠BAC．
（2）请判断直线BD与⊙A的位置关系（不必证明）．
12. 已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P．
（1）若r=12cm，试判断⊙P与OB位置关系；
（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．
直线和圆的位置关系课后作业
参考答案
1. 答案：B
解析：∵⊙O的半径为8，圆心O到直线L的距离为4，
∵8＞4，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选：B．
2. 答案：C
解析：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm；
由勾股定理，得：AB2=32+42=25，
∴AB=5；
又∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∴CD=r；
∵S△ABC=AC?BC=AB?r；
∴r=2.4cm，
故选B．
3. 答案：C
解析：观察图形知，直线与圆没有交点，故直线与圆相离，故选C．
4. 答案：B
解析：∵令x=0，则y=-；令y=0，则x=，
∴A（0，-），B（，），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=2，
过点O作OD⊥AB，则OD=BD=AB=×2=1，
∴直线y=x-与⊙O相切．
故选B．
5. 答案：C
解析：∵矩形ABCD中，AB=8cm，CD=6cm，
∴点A到BC的距离为8cm，
∵r=4cm作圆，
∴d＞r，
∴直线BC与⊙A的位置关系是相离，
故选C．
6. 答案：相切
解析：根据题意画出图形，如图所示：
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
在Rt△ACD中，AC=6cm，∠A=30°，
∴CD=AC=3cm，
又∵圆C的半径为3，
则⊙C与AB的位置关系是相切．
故答案为：相切
7. 答案：相交
解析：过C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵BC=4cm，
∴CD=2cm，
∵2＜3，
∴⊙C与直线AB相交．
故答案为：相交．
8. 答案：相交.
解析：连结AD，过D点作DE⊥AC于E．
∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC的中点，
∴CD=3，
∴AD=4，
∴DE=4×3÷5=2.4，
∵2.5＞2.4，
∴⊙D与直线AC的位置关系是相交．
故答案为：相交．
9. 答案：相离．
解析：∵OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外）
∴点P到∠BOC两边OB、OC的距离相等．
∵⊙P与OC相离
∴点P到OC的距离＞⊙P的半径
同理，点P到OB的距离＞⊙P的半径
∴⊙P与OB相离．
故答案为相离．
10. 答案：-≤x≤
解析：∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，
∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D，
∴OD=DP′=1，
OP′=，
∴0＜x≤，
同理可得，当OP与x轴负半轴相交时，
-≤x＜0，
∴-≤x≤．
故答案为：-≤x≤
11. 解析：（1）如图所示；
（2）直线BD与⊙A相切．
∵∠ABD=∠BAC，
∴AC∥BD，
∵∠ACB=90°，⊙A的半径等于BC，
∴点A到直线BD的距离等于BC，
∴直线BD与⊙A相切．
12. 解析：过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP=90°．
∵∠AOB=30°，OP=24cm，
∴PC=OP=12cm．
（1）当r=12cm时，r=PC，
∴⊙P与OB相切，
即⊙P与OB位置关系是相切．
（2）当⊙P与OB相离时，r＜PC，
∴r需满足的条件是：0cm＜r＜12cm．
22.2.1 圆的切线
预习案
一、预习目标及范围：
1.通过学习，理解圆的切线的概念。（重点）
2.能够掌握圆的切线的性质。（难点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、预习要点
1.什么是圆的切线？
2.圆的切线有什么性质？
三、预习检测
1.如图，A、B是圆O1和圆O2的公共点，AC是圆O1的切线，AD是圆O2的切线。若BC=4，AB=6，则BD的长为（ ）
A.8 B.9
C.10 D.12
2.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠CAB=27°，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，则∠ADC的度数为（ ）
A. 54° B. 42°
C. 36° D. 27°
3.已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A，B），过点P作半圆O的切线分别交过A，B两点的切线于D，C，AC、BD相交于N点，连接ON、NP。下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP；③DP?PC为定值；④PA为∠NPD的平分线。其中一定成立的是（ ）
A. ①② B. ②④ C. ①③④ D. ②③④
4.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD是⊙O的切线，D为切点，若∠A=25°，则∠C=（ ）
A. 25° B. 35°
C. 40° D. 50°
探究案
一、合作探究
活动1：小组合作
（1）如图，连接OA，过点A画半径OA的垂线AB，那么直线AB与圆有什么关系？
圆心O到AB的距离等于 ，即AB为⊙O的 。也就是说，经过半径的外端，并且 于这条半径的直线是圆的 。
（2）如图，直线AB与⊙O相切与点A。判断直线AB与半径OA是否垂直，为什么？
判断AB与OA垂直，理由如下：
假设AB与OA不垂直，过点O作OC⊥AB，垂足为C，如图所示，根据 的性质，可知OC＜OA。这就是说，圆心O到直线AB的距离 半径，那么有AB与⊙O相交，这与“直线AB与相切”的已知条件相矛盾。因此，AB与半径OA 。
由此可得圆的切线的性质：圆的切线 于过切点的半径。
活动内容2：典例精析
例题1、已知：如图所示，AB为⊙O的直径，AB=1cm，BC=2cm。判断直线AC与⊙O是否相切，并说明理由。
分析：过点C作CD⊥AB于D。
直线AC与⊙O相切。
理由如下：
∵AB=1，BC=2，AC=1，
∴AB2+AC2=BC2。
∴△ABC为直角三角形， ∠BAC=90°。
∵AB为⊙O的直径，
∴直线AC经过⊙O半径的外端A。
∴直线AC与⊙O相切，A为切点。
例题2、已知：AB为半圆O的直径，CD为半圆O的一条切线，C为切点，AD⊥CD，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。
分析：连接OC，
∵CD是⊙ O的切线，切点为C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD， ∴OC//AD。
∴ ∠ 2= ∠ 3。
∵OA=OC，
∴ ∠ 1= ∠ 3， ∴ ∠ 1= ∠ 2。
即AC平分 ∠ DAB。
二、随堂检测
1.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为( )
A. 2cm B. 4cm
C. 8cm D. 16cm
2.如图，C是⊙O的直径AB延长线上一点，CD是⊙O的切线，D是切点．已知AB=2，∠BAD=30°，那么BC=( )
A. 2 B.
C. 1 D. /2
3.两个同心圆，PA切小圆于点A，PB切大圆于B，PA=3cm，PB=2cm，则两圆所围成的圆环面积是( )
A. 1cm2 B. 5cm2
C. πcm2 D. 5πcm2
4.如图，BC是以AD为直径的⊙O的切线，AB⊥BC，DC⊥BC．在下列哪种情况下，四边形ABCD的面积是整数( )
A. AB=9，CD=4 B. AB=7，CD=3
C. AB=5，CD=2 D. AB=3，CD=1
5.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A.13 B.
C.3 D.2
6.圆O外一点P与圆心O的距离为4，从P点向圆作切线，若切线长与半径长之差为2，则P点到圆O的最短距离是 。
7.已知线段PA、PB分别切⊙O于A、B两点，AB的度数为120°，⊙O的半径为4，线段AB的为 。
8.如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=70°，则∠P=（ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
参考答案
预习检测：
1. B
2. C
3. C
4. C
随堂检测
1. D
2. C
3. D
4. A
5. B
6.5 -
7. 4
8. B
22.2.1 圆的切线
一、教学目标
1.通过学习，理解圆的切线的概念。（重点）
2.能够掌握圆的切线的性质。（难点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、课时安排
1课时
三、教学重点
能够掌握圆的切线的概念。
四、教学难点
通过探索，熟练掌握圆的切线的性质。
五、教学过程
（一）导入新课
如图所示，AB是圆O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠α，当l绕点A顺时针旋转时，圆心O到直线l的距离d如何变化？你有什么发现？
（二）讲授新课
活动1：小组合作
（1）如图，连接OA，过点A画半径OA的垂线AB，那么直线AB与圆有什么关系？
圆心O到AB的距离等于半径，即AB为⊙O的切线。也就是说，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）如图，直线AB与⊙O相切与点A。判断直线AB与半径OA是否垂直，为什么？
判断AB与OA垂直，理由如下：
假设AB与OA不垂直，过点O作OC⊥AB，垂足为C，如图所示，根据“垂线段最短”的性质，可知OC＜OA。这就是说，圆心O到直线AB的距离小于半径，那么有AB与⊙O相交，这与“直线AB与相切”的已知条件相矛盾。因此，AB与半径OA垂直。
由此可得圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
（三）重难点精讲
例题1、已知：如图所示，AB为⊙O的直径，AB=1cm，BC=2cm。判断直线AC与⊙O是否相切，并说明理由。
分析：过点C作CD⊥AB于D。
直线AC与⊙O相切。
理由如下：
∵AB=1，BC=2，AC=1，
∴AB2+AC2=BC2。
∴△ABC为直角三角形， ∠BAC=90°。
∵AB为⊙O的直径，
∴直线AC经过⊙O半径的外端A。
∴直线AC与⊙O相切，A为切点。
例题2、已知：AB为半圆O的直径，CD为半圆O的一条切线，C为切点，AD⊥CD，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。
分析：连接OC，
∵CD是⊙ O的切线，切点为C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD， ∴OC//AD。
∴ ∠ 2= ∠ 3。
∵OA=OC，
∴ ∠ 1= ∠ 3， ∴ ∠ 1= ∠ 2。
即AC平分 ∠ DAB。
（四）归纳小结
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径。
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直。
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系。简记作：见切点，连半径，见垂直。
（五）随堂检测
1.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为( )
A. 2cm
B. 4cm
C. 8cm
D. 16cm
2.如图，C是⊙O的直径AB延长线上一点，CD是⊙O的切线，D是切点．已知AB=2，∠BAD=30°，那么BC=( )
A. 2
B.
C. 1
D. /2
3.两个同心圆，PA切小圆于点A，PB切大圆于B，PA=3cm，PB=2cm，则两圆所围成的圆环面积是( )
A. 1cm2
B. 5cm2
C. πcm2
D. 5πcm2
4.如图，BC是以AD为直径的⊙O的切线，AB⊥BC，DC⊥BC．在下列哪种情况下，四边形ABCD的面积是整数( )
A. AB=9，CD=4
B. AB=7，CD=3
C. AB=5，CD=2
D. AB=3，CD=1
5.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A.13
B.
C.3
D.2
6.圆O外一点P与圆心O的距离为4，从P点向圆作切线，若切线长与半径长之差为2，则P点到圆O的最短距离是 。
7.已知线段PA、PB分别切⊙O于A、B两点，AB的度数为120°，⊙O的半径为4，线段AB的为 。
8.如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=70°，则∠P=（ ）
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
【答案】
1. D
2. C
3. D
4. A
5. B
6.5 -
7. 4
8. B
六、板书设计
22.2圆的切线
探究1： 例题1： 例题2：
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径。
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直。
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系。简记作：见切点，连半径，见垂直。
七、布置作业
课本P142习题
练习册相关练习
八、教学反思
根据《数学课程标准》学习对生活有用的数学、学习对终身发展有用的数学的基本理念，本节课引导学生从了解圆的切线的概念出发，利用已有的知识和能力，通过探究、小组合作学习等多种方式，对圆的切线的性质进行分析，并结合习题巩固知识。培养学生联系实际，发现数学问题、分析问题、解决问题的能力。
课件24张PPT。九年级上册22.2 .1 圆的切线情境导入 如图所示，AB是圆O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠α，当l绕点A顺时针旋转时，圆心O到直线l的距离d如何变化？你有什么发现？本节目标1.通过学习，理解圆的切线的概念。（重点）
2.能够掌握圆的切线的性质。（难点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。1.如图，A、B是圆O1和圆O2的公共点，AC是圆O1的切线，AD是圆O2的切线。若BC=4，AB=6，则BD的长为（ ） A.8 B.9
C.10 D.12B预习反馈预习反馈2.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠CAB=27°，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，则∠ADC的度数为（ ）
A. 54° B. 42° C. 36° D. 27°C3.已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A，B），过点P作半圆O的切线分别交过A，B两点的切线于D，C，AC、BD相交于N点，连接ON、NP。下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP；③DP?PC为定值；④PA为∠NPD的平分线。其中一定成立的是（ ）
A. ①② B. ②④ C. ①③④ D. ②③④C预习反馈4.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD是⊙O的切线，D为切点，若∠A=25°，则∠C=（ ）
A. 25° B. 35° C. 40° D. 50°C预习反馈1.什么是圆的切线？
2.圆的切线有什么性质？课堂探究课堂探究如图，连接OA，过点A画半径OA的垂线AB，那么直线AB与圆有什么关系？圆心O到AB的距离等于半径，即AB为⊙O的切线。也就是说，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。课堂探究2.如图，直线AB与⊙O相切与点A。判断直线AB与半径OA是否垂直，为什么？课堂探究判断AB与OA垂直，理由如下：
假设AB与OA不垂直，过点O作OC⊥AB，垂足为C，如图所示，根据“垂线段最短”的性质，可知OC＜OA。这就是说，圆心O到直线AB的距离小于半径，那么有AB与⊙O相交，这与“直线AB与相切”的已知条件相矛盾。因此，AB与半径 OA垂直。
由此可得圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。?典例精析典例精析?例2、已知：AB为半圆O的直径，CD为半圆O的一条切线，C为切点，AD⊥CD，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。典例精析典例精析分析：连接OC，
∵CD是⊙ O的切线，切点为C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD， ∴OC//AD。
∴ ∠ 2= ∠ 3。
∵OA=OC，
∴ ∠ 1= ∠ 3， ∴ ∠ 1= ∠ 2。
即AC平分 ∠ DAB。
本课小结（1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径。 ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直。本课小结（3）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系。简记作：见切点，连半径，见垂直。1.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为( )
A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 16cmD随堂检测?C随堂检测3.两个同心圆，PA切小圆于点A，PB切大圆于B，PA=3cm，PB=2cm，则两圆所围成的圆环面积是( )
A. 1cm2 B. 5cm2 C. πcm2 D. 5πcm2D随堂检测4.如图，BC是以AD为直径的⊙O的切线，AB⊥BC，DC⊥BC．在下列哪种情况下，四边形ABCD的面积是整数( )
A. AB=9，CD=4 B. AB=7，CD=3 C. AB=5，CD=2 D. AB=3，CD=1A随堂检测随堂检测?B6.圆O外一点P与圆心O的距离为4，从P点向圆作切线，若切线长与半径长之差为2，则P点到圆O的最短距离是 .?随堂检测7.已知线段PA、PB分别切⊙O于A、B两点，AB的度数为120°，⊙O的半径为4，线段AB的为 .?8.如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=70°，则∠P=（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°B随堂检测22.2.1 圆的切线
一、夯实基础
1. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C=70°，则∠AOD的度数为（ ）
A. 70°
B. 35°
C. 20°
D. 40°
2. 如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB=60°，则∠A的大小为( )
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
3. 如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D=40°，则∠A的度数为（ ）
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 40°
4. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为（ ）
A. 40°
B. 50°
C. 55°
D. 60°
5. 如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是优弧AC上一点，∠CDA=27°，则∠B的大小是（ ）
A. 27°
B. 34°
C. 36°
D. 54°
6. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（-3，0）、B（0，4）的直线上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ的最小值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 2.4
D. 119/5
二、能力提升
7. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，DC与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：∠BDC=∠A；AB=2BC；AD2=3BC2；其中正确结论的个数是（ ）
A. 2
B. 1
C. 0
D. 3
8. 如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是 ( )
A. 3
B. 4
C. 25/9
D. 25/8
9. 如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC的大小是( )
A. 70°
B. 20°
C. 40°
D. 50°
10. 如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A为切点，PO与⊙O相交于?B点，已知∠P=28°，C为⊙O上一点，连接CA，CB，则∠C的度数为( )
A. 28°
B. 62°
C. 31°
D. 56°
11. 在直径为8cm的圆外有一点P，点P到圆上的点的最短距离为4cm，则过点P的圆的切线长为 。
三、课外拓展
12. 已知⊙O1和⊙O2外切于A（如图1），BC是它们的一条外公切线，B、C分别为切点，连接AB、AC，
（1）求证：AB⊥AC；
（2）将两圆外公切线BC变为⊙O1的切线，且为⊙O2的割线BCD（如图2），其它条件不变，猜想∠BAC+∠BAD的大小，并加以证明；
（3）将两圆外切变为两圆相交于A、D（如图3），其它条件不变，猜想：∠BAC+∠BDC的大小？并加以证明。
13. 如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且ED是⊙O的切线。
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若∠C=30°，CD=8cm，求⊙O的半径
四、中考链接
1．（2016?海南）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（ ）
A．20°
B．25°
C．40°
D．50°
2．（2016?台州）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（ ）
A．6
B．7
C．9
D．32/2
3．（2016?湖州）如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（ ）
A．25°
B．40°
C．50°
D．65°
参考答案
一、夯实基础
1.D
2.B
3.B
4.C
5.C
6.D
二、能力提升
7.D
8.D
9.B
10.C
11.4cm
三、课外拓展
12.解析：（1）
证明：过A作两圆的内公切线l，交BC于D，则由切线的性质知DB=DA=DC，
则三角形ABC为直角三角形。即AB⊥AC；
（2）
猜想：∠BAC+∠BAD=180°
证明：过点A作两圆的内公切线m，交BC于E，由切线的性质得，
∠BAE=∠ABC，∠EAC=∠ADC
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠ABC+∠ADC
∴∠BAC+∠BAD=∠ABC+∠ADC+∠BAD=180°；
（3）
猜想：∠BAC+∠BDC=180°
证明：连接AD，由于BC是它们的一条外公切线，由切线的性质得，
则∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠DBC+∠DCB
∴∠BAC+∠BDC=∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°
13.解析：（1）证明：连接OD。
∵ED是⊙O的切线，
∴OD⊥DE。
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC。
（2）连接AD
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又BD=CD，
∴AB=AC。
在直角三角形ACD中，∠C=30°，CD=8cm，
∴AC=16/3，
则圆的半径是8/3cm。
中考链接：
1. 解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°。
又∵∠P=40°，
∴∠POA=50°，
∴∠ABC=（1/2）∠POA=25°，
故选B。
2. 解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°，
∵∠OP1B=90°，
∴OP1∥AC，
∵AO=OB，
∴P1C=P1B，
∴OP1=（1/2）AC=4，
∴P1Q1最小值为OP1-OQ1=1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值=5+3=8，
∴PQ长的最大值与最小值的和是9。
故选：C。
3. 解：连接OC，
∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，
∴AB是直径，
∵∠A=25°，
∴∠BOC=2∠A=50°，
∵CD是圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=90°-∠BOC=40°。
故选：B。
22.2.2 圆的切线
预习案
一、预习目标及范围：
1.通过学习，理解圆的切线长的概念。（重点）
2.能够掌握圆的切线长的定理。（难点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、预习要点
1.什么是圆的切线长？
2.圆的切线长定理是什么？
三、预习检测
1.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（ ）
A.14 B.9
C.10 D.12
2.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（ ）
A. 35° B. 45°
C. 60° D. 70°
3.如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于P点．若PC=2，CD=3，DB=6，则△PAB的周长为何（ ）
A. 6 B. 9
C. 12 D. 14
4.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 130° B. 120°
C. 110° D. 100°
探究案
一、合作探究
活动1：小组合作
过⊙O外的一点可以画该圆的几条切线？画出图形并观察，你可以得到哪些结论？
如图所示，过⊙O外的一点P可以画圆的两条切线PA和PB，切点分别为A，B。可以证明△AOP全等于△BOP，因此，PA= ， ∠ APO = 。
经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的 。
从而得到：
切线长定理 从圆外一点引圆的 切线，他们的切线长 ，这点和圆心的连线 两条切线的夹角。
（2）木工师傅要在一块三角形木板上截下一个面积最大的圆形，这个圆有什么特点？
由图可以看出 ，和△ABC三边都相切的圆的面积最大。因为所求做的圆与△ABC的三边都相切，所以这个圆的圆心到三边的距离都 。因此，圆心既要在∠ ABC的平分线上，又要在∠ ACB的平分线上。这两条角平分线的交点即为所求圆的 ，它到三角形一边的距离为所求圆的 。
活动内容2：典例精析
例题1、已知：如图（1）所示，一段圆柱形钢材放在V形支架中，图（2）是它的截面示意图，CA和CB都是⊙O 的切线， ⊙O切点分别是A，B。的半径为23cm，AB=6cm。求∠ ACB的度数。
分析：如图（2）所示，连接OC，交AB于点D。
∵CA，CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B。
∴CA = CB，CO平分∠ ACB。
∴OC⊥AB，BD =（1/2）AB
∵AB=6，∴BD=3。
∵在△OBD中， ∠ODB=90°，OB=23。
∴sin ∠BOD=BD/OB=3/2=/2
∴ ∠BOD=60°，
∵CB是⊙O 的切线，B为切点，
∴OB⊥BC，
∴ ∠ OCB =30°
∴ ∠ ACB= 2∠ OCB = 60°
例题2、如图所示， ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为E，F，C，AB = 9，BC = 13，AC=10。求AE、BF和CG的长。
分析：∵⊙ O是△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，
∴AE=AG，BE=BF，CG=CF
设AE=x，BF=y，CG=z。
∴ x + y =9，y + z = 13，z + x = 10。
解这个方程组，得 x =3，y = 6，z = 7。
∴AE = 3，BF = 6， CG = 7。
二、随堂检测
1.如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为( )
A. 50 B. 52
C. 54 D. 56
2.如图，若△ABC的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为 ( )
A. 5
B.
C. 7.5
D. 4
3.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是( )
A. ∠1=∠2
B. PA=PB
C. AB⊥OP
D. PA2=PC?PO
4.如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC的度数为( )
A. 70°
B. 90°
C. 60°
D. 45°
5.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，如果∠P=60°，PA=2，那么AB的长为（ ）
A.1
B. 4
C.3
D.2
6.已知⊙O的半径是4，P是⊙O外的一点，且PO=8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB长 。
7.⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是 。
8.如图，圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于（ ）
A. 15cm
B. 20cm
C. 30cm
D. 60cm
参考答案
预习检测：
1. A
2. D
3. D
4. C
随堂检测
1. B
2. A
3. D
4. B
5. D
6. 4
7. 2
8. D
22.2.2 圆的切线
一、教学目标
1.通过学习，理解圆的切线长的概念。（重点）
2.能够掌握圆的切线长的定理。（难点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、课时安排
1课时
三、教学重点
能够掌握圆的切线长的概念。
四、教学难点
通过探索，熟练掌握圆的切线长的定理。
五、教学过程
（一）导入新课
如图所示，纸上有一⊙O ，PA为⊙O 的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B。1.OB是⊙O 的一条半径吗？2.PB是⊙O 的切线吗？3.PA、PB有何关系？4. ∠ APO和∠ BPO有何关系？
（二）讲授新课
活动1：小组合作
过⊙O外的一点可以画该圆的几条切线？画出图形并观察，你可以得到哪些结论？
如图所示，过⊙O外的一点P可以画圆的两条切线PA和PB，切点分别为A，B。可以证明△AOP全等于△BOP，因此，PA=PB， ∠ APO = ∠ BPO。
经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
从而得到：
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（2）木工师傅要在一块三角形木板上截下一个面积最大的圆形，这个圆有什么特点？
由图可以看出 ，和△ABC三边都相切的圆的面积最大。因为所求做的圆与△ABC的三边都相切，所以这个圆的圆心到三边的距离都相等。因此，圆心既要在∠ ABC的平分线上，又要在∠ ACB的平分线上。这两条角平分线的交点即为所求圆的圆心，它到三角形一边的距离为所求圆的半径。
（三）重难点精讲
例题1、已知：如图（1）所示，一段圆柱形钢材放在V形支架中，图（2）是它的截面示意图，CA和CB都是⊙O 的切线， ⊙O切点分别是A，B。的半径为23cm，AB=6cm。求∠ ACB的度数。
分析：如图（2）所示，连接OC，交AB于点D。
∵CA，CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B。
∴CA = CB，CO平分∠ ACB。
∴OC⊥AB，BD= （1/2）AB
∵AB=6，∴BD=3。
∵在△OBD中， ∠ODB=90°，OB=23。
∴sin ∠BOD=BD/OB=3/2=/2
∴ ∠BOD=60°，
∵CB是⊙O 的切线，B为切点，
∴OB⊥BC，
∴ ∠ OCB =30°
∴ ∠ ACB= 2∠ OCB = 60°
例题2、如图所示， ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为E，F，C，AB = 9，BC = 13，AC=10。求AE、BF和CG的长。
分析：∵⊙ O是△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，
∴AE=AG，BE=BF，CG=CF
设AE=x，BF=y，CG=z。
∴ x + y =9，y + z = 13，z + x = 10。
解这个方程组，得 x =3，y = 6，z = 7。
∴AE = 3，BF = 6， CG = 7。
（四）归纳小结
（1）经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
（3）切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到。
（五）随堂检测
1.如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为( )
A. 50 B. 52 C. 54 D. 56
2.如图，若△ABC的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为 ( )
A. 5 B.
C. 7.5 D. 4
3.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是( )
A. ∠1=∠2 B. PA=PB
C. AB⊥OP D. PA2=PC?PO
4.如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC的度数为( )
A. 70° B. 90°
C. 60° D. 45°
5.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，如果∠P=60°，PA=2，那么AB的长为（ ）
A.1 B. 4
C.3 D.2
6.已知⊙O的半径是4，P是⊙O外的一点，且PO=8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB长 。
7.⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是 。
8.如图，圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于（ ）
A. 15cm B. 20cm
C. 30cm D. 60cm
【答案】
1. B
2. A
3. D
4. B
5. D
6. 4
7. 2
8. D
六、板书设计
22.2圆的切线（2）
探究1： 例题1： 例题2：
（1）经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
（3）切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到。
七、布置作业
课本P146习题
练习册相关练习
八、教学反思
根据《数学课程标准》学习对生活有用的数学、学习对终身发展有用的数学的基本理念，本节课引导学生从了解圆的切线长的概念出发，利用已有的知识和能力，通过探究、小组合作学习等多种方式，对圆的切线长的定理进行分析，并结合习题巩固知识。培养学生联系实际，发现数学问题、分析问题、解决问题的能力。
课件25张PPT。九年级上册22.2 .2 圆的切线情境导入 如图所示，纸上有一⊙O ，PA为⊙O 的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B。1.OB是⊙O 的一条半径吗？2.PB是⊙O 的切线吗？3.PA、PB有何关系？4. ∠ APO和∠ BPO有何关系？本节目标1.通过学习，理解圆的切线长的概念。（重点）
2.能够掌握圆的切线长的定理。（难点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。1.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（ ） A.14 B.9
C.10 D.12A预习反馈预习反馈2.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（ ）
A. 35° B. 45° C. 60° D. 70°D3.如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于P点．若PC=2，CD=3，DB=6，则△PAB的周长为何（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 14D预习反馈4.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°C预习反馈1.什么是圆的切线长？
2.圆的切线长定理是什么？课堂探究课堂探究过⊙O外的一点可以画该圆的几条切线？画出图形并观察，你可以得到哪些结论？如图所示，过⊙O外的一点P可以画圆的两条切线PA和PB，切点分别为A，B。可以证明△AOP全等于△BOP，因此，PA=PB， ∠ APO = ∠ BPO。
课堂探究经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
从而得到：
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。课堂探究2.木工师傅要在一块三角形木板上截下一个面积最大的圆形，这个圆有什么特点？由图可以看出 ，和△ABC三边都相切的圆的面积最大。因为所求做的圆与△ABC的三边都相切，所以这个圆的圆心到三边的距离都相等。因此，圆心既要在∠ ABC的平分线上，又要在∠ ACB的平分线上。这两条角平分线的交点即为所求圆的圆心，它到三角形一边的距离为所求圆的半径。?典例精析典例精析?典例精析?例2、如图所示， ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为E，F，C，AB = 9，BC = 13，AC=10。求AE、BF和CG的长。典例精析典例精析分析：∵⊙ O是△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，
∴AE=AG，BE=BF，CG=CF
设AE=x，BF=y，CG=z。
∴ x + y =9，y + z = 13，z + x = 10。
解这个方程组，得 x =3，y = 6，z = 7。
∴AE = 3，BF = 6， CG = 7。
本课小结（1）经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 （3）切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。本课小结（4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到。1.如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为( )
A. 50 B. 52 C. 54 D. 56B随堂检测?A随堂检测3.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是( )
A. ∠1=∠2 B. PA=PB C. AB⊥OP D. PA2=PC?POD随堂检测4.如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC的度数为( )
A. 70° B. 90° C. 60° D. 45°B随堂检测随堂检测?D6.已知⊙O的半径是4，P是⊙O外的一点，且PO=8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB长 .?随堂检测7. ⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是 .28.如图，圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于（ ） A. 15cm B. 20cm C. 30cm D. 60cmD随堂检测22.2.2 圆的切线
一、夯实基础
1. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD的周长为（ ）
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10
2. 如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，若PA=7，则△PCD的周长为( )
A. 7
B. 14
C. 15
D.10
3. 圆外切等腰梯形一腰长为5cm，则梯形的中位线长为（ ）
A. 10cm
B. 5cm
C. 20cm
D. 15cm
4. 如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1=60°，∠2=65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（ ）
A. AB＞CE＞CD
B. AB=CE＞CD
C. AB＞CD＞CE
D. AB=CD=CE
5. 如图，△MBC中，∠B=90°，∠C=60°，MB=2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（ ）
A.
B.
C. 2
D. 3
6. P是⊙O外一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点C是劣弧AB上任意一点，经过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E．若PA=4，则△PDE的周长是（ ）
A. 4
B. 8
C. 12
D.不能确定
二、能力提升
7. 如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（ ）
A. 50
B. 52
C. 54
D. 56
8. 如图，△ABC中，∠A=60°，BC=6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为 ( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
9. 已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O 的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，连接OC、BP，过点O作OM∥CD分别交BC与BP于点M、N。下列结论①S四边形ABCD= （1/2）AB?CD，②AD=AB；③AD=ON；④AB为过O、C、D三点的圆的切线。其中正确的个数有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10. 如图所示，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，C是弧AB上一动点，过C作⊙O的切线交PA于点M，交PB于点N，已知∠P=56°，则∠MON= ( )
A. 56°
B. 62°
C. 60°
D. 63°
11. 已知⊙O1和⊙O2外切于M，AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，A，B为切点，若MA=4cm，MB=3cm，则M到AB的距离是 。
三、课外拓展
12. 如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆AB和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求∠DEF的度数。
13. 已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长。
四、中考链接
1．（上海）如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（ ）
A．4
B．8
C．4
D．8
2．（台州）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD。
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，AD/BD = 2/3，求BE的长。
3．（永州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE。求证：CE是⊙O的切线。
参考答案
一、夯实基础
1.C
2.B
3.B
4.A
5.C
6.B
二、能力提升
7.B
8.A
9.C
10.B
11.12/5 cm
三、课外拓展
12.解析：过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O。
连接AH和DH，作AM⊥BC，垂足为M。
∵E为切点，∴EH必过圆心，即EH是直径，
∴DH⊥DE，
∵D、E是切点，∴BD=BE，
∵∠B=60°，∴△DBE是正三角形，
∴∠BDE=∠BAC=60°，
∴DE∥AC，DH⊥AC，
由已知得，AM=EH，又AM∥EH，∴四边形AMEH是矩形，
∴AH⊥HE，即AH是切线，
∴AD=AH，AC垂直平分DH，AC必过圆心，
∴AC与EH的交点O是圆心，
∴OE=OF，
∵∠COE=90°-∠C=30°，∴∠OEF=75°，
∵∠DEO=∠EOC=30°
∴∠DEF=30°+75°=105°
13.解析：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，
∴PA=PB=12，
∵过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，
∴EB=EQ，FQ=FA，
∴△PEF的周长是：PE+EF+PF=PE+EQ+FQ+PF，
=PE+EB+PF+FA=PB+PA=12+12=24，
答：△PEF的周长是24。
中考链接：
1. 解：∵PA、PB都是⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵∠P=60°，
∴△PAB是等边三角形，即AB=PA=8，
故选B。
2. 解：连结OD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠BDO，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠CDA=∠ODB，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠CDA=90°，
即∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD
∴△CDA∽△CBD
∴CD/BC=AD/BD，
AD/BD=2/3，BC=6，
∴CD=4，
∵CE，BE是⊙O的切线
∴BE=DE，BE⊥BC
∴BE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE）2
解得：BE=5/2。
3. 解：连接OC，如图所示：
∵BD是⊙O的切线，
∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，
∵E是BD中点，
∴CE=（1/2） BD = BE
∴∠BCE=∠CBE=∠A，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∴∠ACO=∠BCE，
∴∠BCE+∠BCO=90°，
即∠OCE=90°，CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线。
22.3 正多边形的有关计算
预习案
一、预习目标及范围：
1.通过学习，理解正多边形的概念。（重点）
2.能够掌握正多边形的计算。（难点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
预习要点
1.什么是正多边形？
2.正多边形如何计算？
三、预习检测
1.已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A.1 B3 C.2 D. 3
2.如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（ ）
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个
3. 若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
4.如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则EF/GH=（ ）
A. /2 B. C. D. 2
探究案
一、合作探究
活动1：小组合作
各边相等、各角也相等的多边形是 。如果将一个圆分成n等份，那么依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的 。反过来，正n边形的各个顶点都在同一个圆上。这个圆是正n边形的 。
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的 ，外接圆的半径叫做正多边形的半径，中心到园内接正多边形各边的距离叫做正多边形的 。
正多边形各边所对的外接圆的圆心都相等，这个圆心角叫做正多边的 。
活动内容2：典例精析
例题1、已知：⊙O ， 求作：⊙O的内接正方形。
分析：
（1）过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A，C两点；
（2）过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B，D两点；
（3）连接AB，BC，CD，DA。
所以四边形ABCD为所求。
例题2、已知：⊙O ， 求作：⊙O的内接正六边形。
分析：（1）过圆心O作直线AD，与相交A，D两点；
（2）分别以A，D为圆心，以AO为半径画弧，交于B，F，C，E点；
（3）连接AB，BC，CD，DE，EF，FA。
所以六边形ABCDEF为所求。
例题3、已知正三角形ABC的半径R。求它的边长a3，周长p3，和面积S3。
分析：连接OC，过O点作OG⊥BC于点G。
在Rt△OCG中，
∵∠GOC=360°/6=60°，
∴CG=R·sin60°=（3/2）R
∴a3=2CG=3R。∴p3=3a3=33R。
∵r3=R·cos60°=（1/2）R，
∴S3=（1/2） r3·CG·6=（33/4） R2
∴这个三角形的边长a3为3R，周长p3为33R，面积S3为（33/4） R2。
二、随堂检测
1.如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为( )
A.5 B. 6 C. 8 D. 10
2.已知⊙O的半径为r，其内接正六边形，正四边形，正三角形的边长分别为a，b，c，则a：b：c的值为( )
A. 1：2：3 B.3：2：1 C. 1：： D.： ： 1
3.张萌取三个如图所示的面积为4cm2的钝角三角形按如图所示的方式相连接，拼成了一个正六边形，则拼成的正六边形的面积为( )
A. 12cm2 B. 20cm2 C . 24cm2 D. 32cm2
4.如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若D点的坐标为（2，0），则点F的坐标为( )
A. （-1， ） B. （ - ，1 ） C. （ - ， ） D. （-1，1）
5.正六边形的内切圆半径为3，则该正六边形的边长是（ ）
A. 3 B. 3 C.2 D.3
6.用48m长的篱笆在空地上围成一个正六边形绿地，绿地的面积是 。
7.用一枚直径为25mm的硬币完全覆盖一个正六边形，则这个正六边形的最大边长 。
8.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
参考答案
预习检测：
1. B
2. C
3. A
4. C
随堂检测
1. D
2. C
3. C
4. A
5. C
6. 96m2
7. 25/2mm
8. D
22.3 正多边形的有关计算
一、教学目标
1.通过学习，理解正多边形的概念。（重点）
2.能够掌握正多边形的计算。（难点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、课时安排
1课时
三、教学重点
能够掌握正多边形的概念。
四、教学难点
通过探索，熟练掌握正多边形的计算。
五、教学过程
（一）导入新课
什么是正多边形？正六边形内接圆的半径把正六边形分成几个怎样的三角形？每一个等腰三角形被相应的边心距分成一对怎样的三角形？
（二）讲授新课
活动1：小组合作
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。如果将一个圆分成n等份，那么依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。反过来，正n边形的各个顶点都在同一个圆上。这个圆是正n边形的内接圆。
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，中心到园内接正多边形各边的距离叫做正多边形的边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心都相等，这个圆心角叫做正多边的中心角。
（三）重难点精讲
例题1、已知：⊙O ， 求作：⊙O的内接正方形。
分析：
（1）过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A，C两点；
（2）过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B，D两点；
（3）连接AB，BC，CD，DA。
所以四边形ABCD为所求。
例题2、已知：⊙O ， 求作：⊙O的内接正六边形。
分析：（1）过圆心O作直线AD，与相交A，D两点；
（2）分别以A，D为圆心，以AO为半径画弧，交于B，F，C，E点；
（3）连接AB，BC，CD，DE，EF，FA。
所以六边形ABCDEF为所求。
例题3、已知正三角形ABC的半径R。求它的边长a3，周长p3，和面积S3。
分析：连接OC，过O点作OG⊥BC于点G。
在Rt△OCG中，
∵∠GOC=360°/6=60°，
∴CG=R·sin60°=（3/2）R
∴a3=2CG=3R。∴p3=3a3=33R。
∵r3=R·cos60°=（1/2）R，
∴S3=（1/2） r3·CG·6=（33/4） R2
∴这个三角形的边长a3为3R，周长p3为33R，面积S3为（33/4） R2。
（四）归纳小结
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。????
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
（五）随堂检测
1.如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为( )
A.5 B. 6 C. 8 D. 10
2.已知⊙O的半径为r，其内接正六边形，正四边形，正三角形的边长分别为a，b，c，则a：b：c的值为( )
A. 1：2：3 B.3：2：1 C. 1：： D.： ： 1
3.张萌取三个如图所示的面积为4cm2的钝角三角形按如图所示的方式相连接，拼成了一个正六边形，则拼成的正六边形的面积为( )
A. 12cm2 B. 20cm2 C . 24cm2 D. 32cm2
4.如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若D点的坐标为（2，0），则点F的坐标为( )
A. （-1， ） B. （ - ，1 ）
C. （ - ， ） D. （-1，1）
5.正六边形的内切圆半径为3，则该正六边形的边长是（ ）
A. 3 B. 3 C.2 D.3
6.用48m长的篱笆在空地上围成一个正六边形绿地，绿地的面积是 。
7.用一枚直径为25mm的硬币完全覆盖一个正六边形，则这个正六边形的最大边长 。
8.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】
1. D
2. C
3. C
4. A
5. C
6. 96m2
7. 25/2mm
8. D
六、板书设计
22.3正多边形的有关计算
探究1： 例题1： 例题2： 例题3：
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。????
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
课本P153习题
练习册相关练习
八、教学反思
根据《数学课程标准》学习对生活有用的数学、学习对终身发展有用的数学的基本理念，本节课引导学生从了解正多边形的概念出发，利用已有的知识和能力，通过探究、小组合作学习等多种方式，对正多边形的计算进行分析，并结合习题巩固知识。培养学生联系实际，发现数学问题、分析问题、解决问题的能力。
课件24张PPT。九年级上册22.3 正多边形的有关计算情境导入 什么是正多边形？正六边形内接圆的半径把正六边形分成几个怎样的三角形？每一个等腰三角形被相应的边心距分成一对怎样的三角形？本节目标1.通过学习，理解正多边形的概念。（重点）
2.能够掌握正多边形的计算。（难点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。?B预习反馈预习反馈2.如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（ ）
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个C?A预习反馈?C预习反馈1.什么是正多边形？
2.正多边形的有关概念包括什么？课堂探究课堂探究各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。如果将一个圆分成n等份，那么依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。反过来，正n边形的各个顶点都在同一个圆上。这个圆是正n边形的内接圆。课堂探究正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，中心到园内接正多边形各边的距离叫做正多边形的边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心都相等，这个圆心角叫做正多边的中心角。例1、已知：⊙O ， 求作：⊙O的内接正方形。典例精析典例精析分析：（1）过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A，C两点；
（2）过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B，D两点；
（3）连接AB，BC，CD，DA。
所以四边形ABCD为所求。例2、已知：⊙O ， 求作：⊙O的内接正六边形。典例精析典例精析分析：（1）过圆心O作直线AD，与相交A，D两点；
（2）分别以A，D为圆心，以AO为半径画弧，交于B，F，C，E点；
（3）连接AB，BC，CD，DE，EF，FA。
所以六边形ABCDEF为所求。例3、已知正三角形ABC的半径R。求它的边长a3，周长p3，和面积S3典例精析典例精析?本课小结（1）正多边形与圆的关系 ???? 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。 （2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。????
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。1.如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为( )
A.5 B. 6 C. 8 D. 10D随堂检测?C随堂检测3.张萌取三个如图所示的面积为4cm2的钝角三角形按如图所示的方式相连接，拼成了一个正六边形，则拼成的正六边形的面积为( )
A. 12cm2 B. 20cm2 C . 24cm2 D. 32cm2 C随堂检测?A随堂检测随堂检测?C6.用48m长的篱笆在空地上围成一个正六边形绿地，绿地的面积是 .?随堂检测7.用一枚直径为25mm的硬币完全覆盖一个正六边形，则这个正六边形的最大边长是 .25/2mm8.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7D随堂检测22.3 正多边形的有关计算
一、夯实基础
1. 正六边形的边长为6cm，则内切圆的半径为（ ）
A. 33
B. 6
C. 3
D. 26
2. 已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为 ( )
A. 23
B. 33
C. 43
D. 63
3. 边长为4的正方形的外接圆与内切圆组成的圆环的面积为（ ）
A. 2π
B. 4π
C. 8π
D. 16π
4. 正n边形的一个外角为60°，外接圆半径为4，则它的边长为（ ）
A.4
B. 2
C. 43
D. 23
5. 如图是某商品的商标，由七个形状、大小完全相同的正六边形组成．我们称正六边形的顶点为格点，已知△ABC的顶点都在格点上，且AB边位置如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A. 6个
B. 8个
C. 10个
D. 12个
6. 如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（ ）
A. 20
B. 102
C. 18
D.202
二、能力提升
7. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，连接DM，若⊙O的半径为2，则MD的长度为（ ）
A. 7
B. 5
C. 2
D. 1
8. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则该六边形的面积为 ( )
A. 33
B.7.5
C. 63
D. 10
9. 如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的各顶点称为格点，直角△ABC的顶点均在格点上，则满足条件的点C有( )
A. 3个
B. 8个
C. 10个
D. 11个
10. 正五边形的中心角等于( )
A. 18°
B. 36°
C. 54°
D. 72°
11. 正多边形的一个外角等于30°，则这个多边形的内角和为 。
三、课外拓展
12. 正六边形的中心角∠MON?（=60°）绕中心O旋转．试证：无论中心角旋转到何种位置，阴影部分的面积总等于这个正六边形面积的1/6，
13. 已知：如图，P是⊙0上的一点。
（1）在⊙0上求作一点B，使PB是⊙0的内接正三角形的一边；
（2）在弧BP上求作一点A，使PA是⊙0的内接正方形的一边；
（3）连接0B，求∠A0B的度数；
（4）求作⊙0的内接正十二边形。
四、中考链接
1．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．9
B．3
C．18
D．36
2．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
3．如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且弧BC的长度为4π，则BC的长度为何？（ ）
A．8
B．8
C．16
D．16
参考答案
一、夯实基础
1.A
2.B
3.B
4.A
5.C
6.A
二、能力提升
7.A
8.C
9.C
10.D
11.1800°
三、课外拓展
12.解析：（1）
连接OB、OA，
∵∠AOM+∠AON=60°，∠AON+∠NOB=60°，
∴∠AOM=∠NOB，
∵∠OAM+∠OAB=120°，∠OBA+∠OAB=120°，
∴∠OAM=∠OBN，
∵OA=OB，
∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴S阴影=S△OAB=（1/6）S六边形ABCDEF。
13.解析：（1）以P为圆心、OP为半径在⊙0上依次截取2个点，第二个点为B，则PB即为所求；
（2）作直径PH，过圆心作直径PH的垂线交弧BP于点A，则PA即为所求；
（3）∵PA是⊙0的内接正方形的一边，
∴∠AOP=90°，
∵PB是⊙0的内接正三角形的一边，
∴∠BOP=120°，
∴∠A0B=30°；
（4）以P为圆心、OP为半径在⊙0上依次截取6个点，
则这6个点是圆的6等分点，
作各弧的中点，顺次连接12个点，得到⊙0的内接正十二边形。
中考链接：
1. 解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积=18，
故选C。
2. 解：如图所示：
作AD⊥BC与D，连接OB，
则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD=CD，∠OBD=（1/2）∠ABC=30°，
∴OA=OB=2OD=2，
∴AD=3，BD=，
∴BC=2，
∴△ABC的面积=（1/2）BC?AD=（1/2）2 3=3。
故选：B。
3.解：连接OB，OC，
∵∠B=75°，∠C=60°，
∴∠A=45°，∴∠BOC=90°，
∵弧BC的长度为4π，
∴90πOB/180=4π，
∴OB=8，
∴BC=OB2+OC2 = 82+82 = 8，
故选：B。
第22章 圆（下）
一、知识梳理
1.圆和直线的位置关系
2.利用数量关系确定直线与圆的位置关系
3.圆的切线的概念
4.圆的切线的性质
5.圆的切线长的概念
6.圆的切线长的定理
7.正多边形的概念
8.正多边形相关的概念
二、题型、方法归纳
1. 当一条直线与一个圆没有公共点时，我们称这条直线和这个圆相 。
2. 圆的切线垂直于过切点的 。
3. 经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的 。
4. 正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的 。
5. 已知⊙O的半径为r，其内接正六边形，正四边形，正三角形的边长分别为a，b，c，则a：b：c的值为( )
A. 1：2：3 B.3：2：1 C. 1：： D.： ： 1
归纳小结
1.圆和直线的位置关系
当一条直线与一个圆没有公共点时，我们称这条直线和这个圆相分离。
当一条直线与一个圆有唯一公共点时，我们称这条直线和这个圆相切。
当一条直线与一个圆有两个公共点时，我们称这条直线和这个圆相交。
2.利用数量关系确定直线与圆的位置关系
当d＞r时，直线和圆相离。
当d=r时，直线和圆相切。
当d＜r时，直线和圆相切。
3.圆的切线的概念
圆心O到AB的距离等于半径，即AB为⊙O的切线。也就是说，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
4.圆的切线的性质
如图，直线AB与⊙O相切与点A。判断直线AB与半径OA是否垂直，为什么？
判断AB与OA垂直，理由如下：
假设AB与OA不垂直，过点O作OC⊥AB，垂足为C，如图所示，根据“垂线段最短”的性质，可知OC＜OA。这就是说，圆心O到直线AB的距离小于半径，那么有AB与⊙O相交，这与“直线AB与相切”的已知条件相矛盾。因此，AB与半径 OA垂直。
由此可得圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
5.圆的切线长的概念
经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
6.圆的切线长的定理
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
7.正多边
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。如果将一个圆分成n等份，那么依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。反过来，正n边形的各个顶点都在同一个圆上。这个圆是正n边形的内接圆。
8.正多边形相关的概念
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，中心到园内接正多边形各边的距离叫做正多边形的边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心都相等，这个圆心角叫做正多边的中心角。
参考答案
二、题型、技巧归纳
1．分离
2．半径
3．切线长
4．中心
5．C
第22章 圆（下）
一、复习目标
1.直线和圆的位置关系
2.圆的切线
3.正多边形和圆
二、课时安排
2课时
三、复习重难点
（1）利用数量关系确定直线与圆的位置关系
（2）圆的切线的性质
（3）圆的切线长的定理
四、教学过程
（一）知识梳理
1.圆和直线的位置关系
2.利用数量关系确定直线与圆的位置关系
3.圆的切线的概念
4.圆的切线的性质
5.圆的切线长的概念
6.圆的切线长的定理
7.正多边形的概念
8.正多边形相关的概念
（二）题型、方法归纳
1. 当一条直线与一个圆没有公共点时，我们称这条直线和这个圆相 。
2. 圆的切线垂直于过切点的 。
3. 经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的 。
4. 正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的 。
5. 已知⊙O的半径为r，其内接正六边形，正四边形，正三角形的边长分别为a，b，c，则a：b：c的值为( )
A. 1：2：3 B.3：2：1 C. 1：： D.： ： 1
（三）典例精讲
例1. 在△ABC中， ∠C=90°，AC =3cm，BC = 4cm，以C为圆心，r为半径画圆。（1）r = 1.8cm，（2）r =1.8cm，（3）r = 2.6cm 时， ⊙C与AB所在直线具有怎样的位置关系？为什么？
分析：过点C作CD⊥AB于D。
∵ ∠ACB=90° ，AC=3，BC=4，
∴ AB=AC2+BC2 =32+42= 5
∵S△ACB=（1/2）AB CD= （1/2）BC AC，
∴CD=（ BC AC ）/AB=4 3/5=2.4
即圆心C到AB的距离CD的长为2.4cm。
例2：已知：AB为半圆O的直径，CD为半圆O的一条切线，C为切点，AD⊥CD，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。
分析：连接OC，
∵CD是⊙ O的切线，切点为C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD， ∴OC//AD。
∴ ∠ 2= ∠ 3。
∵OA=OC，
∴ ∠ 1= ∠ 3， ∴ ∠ 1= ∠ 2。
即AC平分 ∠ DAB。
例3：如图所示， ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为E，F，C，AB = 9，BC = 13，AC=10。求AE、BF和CG的长。
分析：∵⊙ O是△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，
∴AE=AG，BE=BF，CG=CF
设AE=x，BF=y，CG=z。
∴ x + y =9，y + z = 13，z + x = 10。
解这个方程组，得 x =3，y = 6，z = 7。
∴AE = 3，BF = 6， CG = 7。
（四）归纳小结
1.圆和直线的位置关系
当一条直线与一个圆没有公共点时，我们称这条直线和这个圆相分离。
当一条直线与一个圆有唯一公共点时，我们称这条直线和这个圆相切。
当一条直线与一个圆有两个公共点时，我们称这条直线和这个圆相交。
2.利用数量关系确定直线与圆的位置关系
当d＞r时，直线和圆相离。
当d=r时，直线和圆相切。
当d＜r时，直线和圆相切。
3.圆的切线的概念
圆心O到AB的距离等于半径，即AB为⊙O的切线。也就是说，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
4.圆的切线的性质
如图，直线AB与⊙O相切与点A。判断直线AB与半径OA是否垂直，为什么？
判断AB与OA垂直，理由如下：
假设AB与OA不垂直，过点O作OC⊥AB，垂足为C，如图所示，根据“垂线段最短”的性质，可知OC＜OA。这就是说，圆心O到直线AB的距离小于半径，那么有AB与⊙O相交，这与“直线AB与相切”的已知条件相矛盾。因此，AB与半径 OA垂直。
由此可得圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
5.圆的切线长的概念
经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
6.圆的切线长的定理
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
7.正多边
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。如果将一个圆分成n等份，那么依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。反过来，正n边形的各个顶点都在同一个圆上。这个圆是正n边形的内接圆。
8.正多边形相关的概念
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，中心到园内接正多边形各边的距离叫做正多边形的边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心都相等，这个圆心角叫做正多边的中心角。
五、板书设计
1.圆和直线的位置关系
2.利用数量关系确定直线与圆的位置关系
3.圆的切线的概念
4.圆的切线的性质
5.圆的切线长的概念
6.圆的切线长的定理
7.正多边形的概念
8.正多边形相关的概念
六、作业布置
完成单元检测
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本章重点内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握这一章节的知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本章重点内容。
课件20张PPT。九年级上册第22章 圆（下）章末复习学习目标1.直线和圆的位置关系
2.圆的切线
3.正多边形和圆知识梳理1.圆和直线的位置关系
2.利用数量关系确定直线与圆的位置关系
3.圆的切线的概念
4.圆的切线的性质
5.圆的切线长的概念
6.圆的切线长的定理
7.正多边形的概念
8.正多边形相关的概念难点突破1.圆和直线的位置关系当一条直线与一个圆没有公共点时，我们称这条直线和这个圆相分离。
当一条直线与一个圆有唯一公共点时，我们称这条直线和这个圆相切。
当一条直线与一个圆有两个公共点时，我们称这条直线和这个圆相交。2.利用数量关系确定直线与圆的位置关系难点突破当d＞r时，直线和圆相离。当d=r时，直线和圆相切。当d＜r时，直线和圆相切。3.圆的切线的概念难点突破圆心O到AB的距离等于半径，即AB为⊙O的切线。也就是说，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。难点突破4.圆的切线的性质如图，直线AB与⊙O相切与点A。判断直线AB与半径OA是否垂直，为什么？判断AB与OA垂直，理由如下：
假设AB与OA不垂直，过点O作OC⊥AB，垂足为C，如图所示，根据“垂线段最短”的性质，可知OC＜OA。这就是说，圆心O到直线AB的距离小于半径，那么有AB与⊙O相交，这与“直线AB与相切”的已知条件相矛盾。因此，AB与半径 OA垂直。
由此可得圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。难点突破5.圆的切线长的概念经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。6.圆的切线长的定理难点突破切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。例1、在△ABC中， ∠C=90°，AC =3cm，BC = 4cm，以C为圆心，r为半径画圆。（1）r = 1.8cm，（2）r =1.8cm，
（3）r = 2.6cm 时， ⊙C与AB所在直线具有怎样的位置关系？为什么？典例精析典例精析?难点突破各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。如果将一个圆分成n等份，那么依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。反过来，正n边形的各个顶点都在同一个圆上。这个圆是正n边形的内接圆。7.正多边形例2、已知：AB为半圆O的直径，CD为半圆O的一条切线，C为切点，AD⊥CD，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。典例精析典例精析分析：连接OC，
∵CD是⊙ O的切线，切点为C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD， ∴OC//AD。
∴ ∠ 2= ∠ 3。
∵OA=OC，
∴ ∠ 1= ∠ 3， ∴ ∠ 1= ∠ 2。
即AC平分 ∠ DAB。难点突破8.正多边形相关的概念正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，中心到园内接正多边形各边的距离叫做正多边形的边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心都相等，这个圆心角叫做正多边的中心角。例3、如图所示， ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为E，F，C，AB = 9，BC = 13，AC=10。求AE、BF和CG的长。典例精析典例精析分析：∵⊙ O是△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，
∴AE=AG，BE=BF，CG=CF
设AE=x，BF=y，CG=z。
∴ x + y =9，y + z = 13，z + x = 10。
解这个方程组，得 x =3，y = 6，z = 7。
∴AE = 3，BF = 6， CG = 7。随堂检测已知：⊙O ， 求作：⊙O的内接正六边形。随堂检测分析：（1）过圆心O作直线AD，与相交A，D两点；
（2）分别以A，D为圆心，以AO为半径画弧，交于B，F，C，E点；
（3）连接AB，BC，CD，DE，EF，FA。
所以六边形ABCDEF为所求。作业布置家庭作业完成本章的同步练习预习作业预习下一章第一节内容第22章 圆（下）
一、夯实基础
1. 一圆的半径为3，圆心到直线的距离为4，则该直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 以上都不对
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以点C为圆心2cm长为半径的圆与AB的位置关系是( )
A. 相切
B. 相离
C. 相交
D. 以上都不对
3. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C=70°，则∠AOD的度数为（ ）
A. 70°
B. 35°
C. 20°
D. 40°
4. 如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB=60°，则∠A的大小为( )
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
5.圆外切等腰梯形一腰长为5cm，则梯形的中位线长为 。
6.边长为4的正方形的外接圆与内切圆组成的圆环的面积为 。
7.正n边形的一个外角为60°，外接圆半径为4，则它的边长为 。
8.正五边形的中心角等于 。
二、能力提升
9. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD的周长为（ ）
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10
10. 如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，若PA=7，则△PCD的周长为( )
A. 7
B. 14
C. 15
D.10
11. 正六边形的边长为6cm，则内切圆的半径为（ ）
A. 33
B. 6
C. 3
D. 26
12. 已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为 ( )
A. 23
B. 33
C. 43
D. 63
13.已知⊙O的直径为8cm，P为直线l上一点，OP=4cm，那么直线l与⊙O的公共点有数是 。
14. 在直径为8cm的圆外有一点P，点P到圆上的点的最短距离为4cm，则过点P的圆的切线长为 。
15.已知⊙O1和⊙O2外切于M，AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，A，B为切点，若MA=4cm，MB=3cm，则M到AB的距离是 。
三、课外拓展
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）用直尺和圆规作图：
①作∠A的平分线交BC于D；
②作⊙O，使得圆心O在AB上且圆经过点A、D。
（2）判定⊙O与BC的位置关系，并证明你结论；
（3）若所作的圆与AB交于点E，AC=3，AE=4，求AD的值。
四、中考链接
17．（海南）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（ ）
A．20°
B．25°
C．40°
D．50°
18．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE。求证：CE是⊙O的切线。
参考答案
一、夯实基础
1.C
2.B
3.D
4.B
5.5cm
6.4π
7. 4
8.72°
二、能力提升
9. C
10. B
11. A
12. B
13. 1个或2个
14. 4cm
15. 12/5 cm
三、课外拓展
16. 解析：（1）如图所示：
作∠BAC角平分线AD，与BC交于点D，则点D为所求；
作AD垂直平分线，与AB交于点O，以OA长为半径画圆，则⊙O为所求。
（2）⊙O与BC相切
连接OD，如图2所示：
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴⊙O与BC相切
（3）连接DE，如图3所示：
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∵∠EAD=∠DAC，∠C=90°，
∴△AED∽△ADC
∴AE/AD = AD/AC，
∵AC=3，AE=4，
∴AD2=3×4=12，则AD=2
中考链接：
17. 解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°。
又∵∠P=40°，
∴∠POA=50°，
∴∠ABC=（1/2）∠POA=25°，
故选B。
18. 解：连接OC，如图所示：
∵BD是⊙O的切线，
∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，
∵E是BD中点，
∴CE=（1/2） BD = BE
∴∠BCE=∠CBE=∠A，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∴∠ACO=∠BCE，
∴∠BCE+∠BCO=90°，
即∠OCE=90°，CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线。
