21.1.1 圆的有关概念
预习案
一、预习目标及范围：
1.通过学习，了解圆的相关概念。(难点）
2.能够掌握解点与圆的位置关系。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、预习要点
1.圆的大小与什么有关？
2. 点与圆有什么位置关系？
三、预习检测
1.若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点O为坐标原点，则点O的位置为( )
A.在⊙A内
B.在⊙A外
C.在⊙A上
D.不能确定
2.已知点P到圆上的最远距离是5cm，最近距离是1cm，则此圆的半径是( )
A. 3cm
B. 2cm
C. 3cm或2cm
D. 6cm或4cm
3.已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A. A在⊙O内
B. A在⊙O上
C. A在⊙O外
D. A在⊙O外
4.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P在( ）
A.圆内
B.圆上
C.圆外
D.不能确定
探究案
一、合作探究
活动1：小组合作
（1）平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做 。圆的位置由 决定，圆的大小与 有关。
（2）点与圆的位置关系有3种。设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外?d r
②点P在圆上?d r
①点P在圆内?d r。
活动内容2：典例精析
例题1、例题1、在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，以点C为圆心，以r为半径作圆，按下列条件分别判断A，B两点和⊙C的位置关系：
（1）r=2.4； （2）r=4。
分析：∵ ∠C=90°， AC=4，AB=5，
∴BC=AB2-AC2=3。
（1）当r=2.4时，
∵BC=3＞r，AC=4＞r，
∴A，B两点都在⊙C外。
（2）当r=4时，
∵BC=3＜r，AC=4=r，
∴点B在⊙C内， 点A在⊙C上。
例题2、已知四边形ABCD为矩形。判断A，B，C，D四个点是否在同一个圆上，并说明理由。
分析：A，B，C，D四个点在同一个圆上。
连接AC，BD，AC与BD相交于点O。
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC=(1/2)AC，OB=OD=(1/2)BD。
又∵AC=BD。
∴OA=OC=OB=OD。
∴A，B，C，D四个点在以O为圆心，OA为半径的圆上。
二、随堂检测
1.若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点O为坐标原点，则点O的位置为( )
A.在⊙A内
B.在⊙A外
C.在⊙A上
D.不能确定
2.已知点P到圆上的最远距离是5cm，最近距离是1cm，则此圆的半径是( )
A. 3cm
B. 2cm
C. 3cm或2cm
D. 6cm或4cm
3.已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A. A在⊙O内
B. A在⊙O上
C. A在⊙O外
D. A在⊙O外
4.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P在( ）
A.圆内
B.圆上
C.圆外
D.不能确定
5.已知点A的坐标为A（3，4），⊙A的半径为5，则原点O与⊙A的位置关系是（ ）
A.点O在⊙A内
B.点O在⊙A上
C.点O在⊙A外
D.不能确定
6.已知点P是⊙O所在平面内的一点，P与圆上所有点的距离中，最长距离是9cm，最短距离是4cm，则⊙O的直径 。
7.在平面直角坐标系中，若⊙O的半径是5，圆心O的坐标是（0，0），点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系 。
8.半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（-3，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A.在⊙O内
B.在⊙O上
C.在⊙O外
D.不能确定
参考答案
预习检测：
1. C
2. C
3. A
4. A
随堂检测
1.C
2.C
3.A
4.A
5.B
6.5cm或13cm
7.点P在⊙O上
8.B
21.1.1 圆的有关概念
一、教学目标
1.通过学习，了解圆的相关概念。(难点）
2.能够掌握解点与圆的位置关系。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、课时安排
1课时
三、教学重点
能够掌握点与圆的位置关系。
四、教学难点
通过探索，掌握圆的相关概念。
五、教学过程
（一）导入新课
一石激起千层浪，奥运五环，福建的土楼，人力车的车轮，这些是我们生活中熟悉的事物，它们有什么共同的特征？
（二）讲授新课
活动1：小组合作
1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 。圆的位置由圆心决定，圆的大小与半径有关。
2.点与圆的位置关系有3种。设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外?d＞r
②点P在圆上?d=r
①点P在圆内?d＜r。
（三）重难点精讲
例题1、在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，以点C为圆心，以r为半径作圆，按下列条件分别判断A，B两点和⊙C的位置关系：
（1）r=2.4； （2）r=4。
分析：∵ ∠C=90°， AC=4，AB=5，
∴BC=AB2-AC2=3。
（1）当r=2.4时，
∵BC=3＞r，AC=4＞r，
∴A，B两点都在⊙C外。
（2）当r=4时，
∵BC=3＜r，AC=4=r，
∴点B在⊙C内， 点A在⊙C上。
例题2、已知四边形ABCD为矩形。判断A，B，C，D四个点是否在同一个圆上，并说明理由。
分析：A，B，C，D四个点在同一个圆上。
连接AC，BD，AC与BD相交于点O。
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC=(1/2)AC，OB=OD=(1/2)BD。
又∵AC=BD。
∴OA=OC=OB=OD。
∴A，B，C，D四个点在以O为圆心，OA为半径的圆上。
（四）归纳小结
1.在平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
2.到定点的距离等于定长的点都在圆上
3.圆的内部可以看做是到定点的距离小于定长的点的集合。
4.圆的外部可以看做是到定点的距离大于定长的点的集合 。
（五）随堂检测
1.若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点O为坐标原点，则点O的位置为( )
A.在⊙A内
B.在⊙A外
C.在⊙A上
D.不能确定
2.已知点P到圆上的最远距离是5cm，最近距离是1cm，则此圆的半径是( )
A. 3cm
B. 2cm
C. 3cm或2cm
D. 6cm或4cm
3.已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A. A在⊙O内
B. A在⊙O上
C. A在⊙O外
D. A在⊙O外
4.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P在( ）
A.圆内
B.圆上
C.圆外
D.不能确定
5.已知点A的坐标为A（3，4），⊙A的半径为5，则原点O与⊙A的位置关系是（ ）
A.点O在⊙A内
B.点O在⊙A上
C.点O在⊙A外
D.不能确定
6.已知点P是⊙O所在平面内的一点，P与圆上所有点的距离中，最长距离是9cm，最短距离是4cm，则⊙O的直径 。
7.在平面直角坐标系中，若⊙O的半径是5，圆心O的坐标是（0，0），点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系 。
8.半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（-3，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A.在⊙O内
B.在⊙O上
C.在⊙O外
D.不能确定
【答案】
1.C
2.C
3.A
4.A
5.B
6.5cm或13cm
7.点P在⊙O上
8.B
六、板书设计
21.1圆的有关概念（1）
探究1： 例题1： 例题2：
1.在平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
2.到定点的距离等于定长的点都在圆上
3.圆的内部可以看做是到定点的距离小于定长的点的集合。
4.圆的外部可以看做是到定点的距离大于定长的点的集合 。
课本P108习题
练习册相关练习
八、教学反思
根据《数学课程标准》学习对生活有用的数学、学习对终身发展有用的数学的基本理念，本节课引导学生从了解圆的概念出发，利用已有的知识和能力，通过探究、小组合作学习等多种方式，对点与圆的位置关系进行分析，并结合习题巩固知识。培养学生联系实际，发现数学问题、分析问题、解决问题的能力。
课件21张PPT。九年级上册21.1 .1 圆的有关概念情境导入 生活中的剪影本节目标1.通过学习，了解圆的相关概念。(难点）
2.能够掌握解点与圆的位置关系。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。预习反馈1.如图，以Rt△ABC的顶点A为圆心，斜边AB的长为半径作⊙A，则点C与⊙A的位置关系是（ ）
A.点C在⊙A内 B.点C在⊙A上
C.点C在⊙A外 D.不能确定A2.已知⊙O的半径是6cm，P是⊙O外一点，则OP的长可能是（ ）。
A.4cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 7cmD预习反馈3.已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP=7cm时，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A.点A在⊙O内
B.点A在⊙O上
C.点A在⊙O外
D.不能确定A预习反馈4.在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2。下列说法中不正确的是（ ）
A.当a=-1时，点B在圆A上
B.当a＜1时，点B在圆A内
C.当a＜-1时，点B在圆A外
D.当-1＜a＜3时，点B在圆A内B预习反馈1.什么是圆？圆的大小由什么决定的？
2.点与圆的位置关系有哪些？课堂探究1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 。圆的位置由圆心决定，圆的大小与半径有关。
2.点与圆的位置关系有3种。设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： ??? ①点P在圆外?d＞r ??? ②点P在圆上?d=r ??? ③点P在圆内?d＜r。课堂探究例1、在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，以点C为圆心，以r为半径作圆，按下列条件分别判断A，B两点和⊙C的位置关系：
（1）r=2.4； （2）r=4。典例精析典例精析?例2、已知四边形ABCD为矩形。判断A，B，C，D四个点是否在同一个圆上，并说明理由。典例精析典例精析分析：A，B，C，D四个点在同一个圆上。
连接AC，BD，AC与BD相交于点O。
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC=(1/2)AC，OB=OD=(1/2)BD。
又∵AC=BD。
∴OA=OC=OB=OD。
∴A，B，C，D四个点在以O为圆心，OA为半径的圆上。
本课小结1.在平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
2.到定点的距离等于定长的点都在圆上
3.圆的内部可以看做是到定点的距离小于定长的点的集合。
4.圆的外部可以看做是到定点的距离大于定长的点的集合 。1.若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点O为坐标原点，则点O的位置为( )
A.在⊙A内
B.在⊙A外
C.在⊙A上
D.不能确定C随堂检测2.已知点P到圆上的最远距离是5cm，最近距离是1cm，则此圆的半径是( )
A. 3cm
B. 2cm
C. 3cm或2cm
D. 6cm或4cmC随堂检测3.已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A. A在⊙O内
B. A在⊙O上
C. A在⊙O外
D. A在⊙O外A随堂检测4.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P在( ）
A.圆内
B.圆上
C.圆外
D.不能确定A随堂检测随堂检测5.已知点A的坐标为A（3，4），⊙A的半径为5，则原点O与⊙A的位置关系是（ ）
A.点O在⊙A内
B.点O在⊙A上
C.点O在⊙A外
D.不能确定B6.已知点P是⊙O所在平面内的一点，P与圆上所有点的距离中，最长距离是9cm，最短距离是4cm，则⊙O的直径是 .5cm或13cm点P在⊙O上随堂检测7.在平面直角坐标系中，若⊙O的半径是5，圆心O的坐标是（0，0），点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是 .8.半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（-3，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A.在⊙O内
B.在⊙O上
C.在⊙O外
D.不能确定B随堂检测21.1.1 圆的有关概念
一、夯实基础
1. ⊙O的半径r=5cm，圆心到直线l的距离OM=4cm，在直线l上有一点P，且PM=3cm，则点P（ ）。
A. 在⊙O内
B. 在⊙O上
C.在⊙O外
D. 可能在⊙O上或在⊙O内
2. 一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是( )
A. 5cm或11cm
B. 2.5cm
C. 5.5cm
D. 2.5cm或5.5cm
3. ⊙O的半径为1，同一平面内，若点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系（ ）
A. 点P在⊙O外
B. 点P在⊙O上
C. 点P在⊙O内
D. 无法确定
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是边AC上任意一点，以点O为圆心，以OC为半径作圆，则点B与⊙O的位置关系（ ）。
A. 点B在⊙O外
B. 点B在⊙O上
C. 点B在⊙O内
D. 与点O在边AC上的位置有关
5. 已知AB为⊙O的直径P为⊙O上任意一点，则点关于AB的对称点P′与⊙O的位置为（ ）
A. 在⊙O内
B. 在⊙O外
C. 在⊙O上
D.不能确定
6. 若⊙O的半径为6cm，OA=5cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）。
A. 点A在圆外
B. 点A在圆上
C. 点A在圆内
D. 不能确定
二、能力提升
7. 已知平面上有一点P和半径为r的⊙O，OP=d，d与r是关于x的方程x2-7x+12=0的两根，则点P与⊙O的位置关系是( )
A. 点P在圆外
B. 点P在圆内
C. 点P不在圆上
D. 点P在圆外或点P在圆内
8. 一个点与定圆上最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则此圆的半径为( )
A. 2.5cm
B. 6.5cm
C. 13cm或5cm
D. 2.5cm或6.5cm
9. 已知⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点A在⊙O内
B. 点A在⊙O上
C. 点A在⊙O外
D. 不能确定
10. △ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以A为圆心，以3为半径，则点C与⊙A的位置关系为( )
A. 点C在⊙A内
B. 点C在⊙A上
C. 点C在⊙A外
D.点C在⊙A上或点C在⊙A外
11. 已知⊙O的半径为4，A为线段PO的中点，当OP=10时，点A与⊙O的位置关系为 。
三、课外拓展
12. 如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD．若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2.4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系。
13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=4cm，以A为圆心，3cm为半径作圆。试判断：
（1）点C与⊙A的位置关系；
（2）点B与⊙A的位置关系；
（3）AB的中点D与⊙A的位置关系。
四、中考链接
1．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）
A．E、F、G
B．F、G、H
C．G、H、E
D．H、E、F
2．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上
B．点A在圆内
C．点A在圆外
D．无法确定
3．（贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
参考答案
一、夯实基础
1.B
2.D
3.B
4.A
5.C
6.C
二、能力提升
7.D
8.D
9.A
10.B
11. 在圆外
三、课外拓展
12.解析：作CD⊥AB于D。
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得AB=5，则
CD=ACBC/AB=2.4
①当r1=2cm，2.4＞2，点D在圆外；
②当r2=2.4cm=d，点D在圆上；
③当r3=3cm时，2.4＜3，点D在圆内。
13.解析：∵∠C=90°，AB=5cm，BC=4cm，
∴AC=3cm，BA=5cm，DA=2.5cm，
（1）∵AC=r=3cm，∴点C在⊙A上；
（2）∵BA=5cm＞3cm，∴BA＞r，∴点B在⊙A外；
（3）∵DA=2.5cm＜3cm，∴DA＜r，∴点D在⊙A内。
中考链接：
1. 解：∵OA=12+22=
∴OE=2＜OA，所以点E在⊙O内，
OF=2＜OA，所以点F在⊙O内，
OG=1＜OA，所以点G在⊙O内，
OH=22+22=2＞OA，所以点H在⊙O外，
故选A。
2. 解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内。
故选B。
3. 解：设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，
∵OP=4，ON=2，
∴N是OP的中点，
∵M为PQ的中点，
∴MN为△POQ的中位线，
∴MN=（1/2）OQ=（1/2）2=1
∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，
当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，
∴线段OM的最小值为1。
故选B。
21.1.2 圆的有关概念
预习案
一、预习目标及范围：
1.通过学习，了解同心圆和等圆。(难点）
2.能够掌握弧、弦、圆心角及扇形的相关问题。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
预习要点
1.同心圆和等圆有什么区别？
2.在实际生活中如何求扇形的面积？
三、预习检测
1.如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（ ）
A. C1＞C2 B. C1＜C2
C. C1=C2 D.不能确定
2.如图，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，则圆中弦的条数是（ ）。
A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条
3.用同样长的三根铁丝分别围成长方形、正方形、圆，其中面积最大的图形是（ ）
A.长方形
B.正方形
C.圆
D.由于不知道铁丝的长度而无法确定
4.下列说法正确的是（ ）
A.直径是弦，弦是直径
B.过圆心的线段是直径
C.圆中最长的弦是直径
D.直径只有二条
探究案
一、合作探究
活动1：小组合作
（1） 是指圆心相同，半径不相等的两个圆， 是指能够重合的两个圆，等圆的半径相等。
（2）连接圆上任意两点的线段叫 ，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称 ，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做 ，小于半圆的弧叫做 。
（3）一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做 。圆的半径也就是扇形的半径。
如图，将整个圆分成360等份，我们把1份的弧称为 ，由此可知弧的度数等于它所对应的圆心角的度数。
在下图中，如果∠AOB的度数为n，那么∠AOB所对的弧AB的度数就为 ，也就是说，弧AB是 的弧。
因为360度的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR，所以1度的圆心角所对的弧长是 ，即πR/180。于是可得，在半径R的圆中，n度的圆心角所对的弧长L的计算公式：L= 。
活动内容2：典例精析
例题1、现有一把折扇和一把圆扇。已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，圆扇的直径为a,折扇的扇面宽是骨柄长的三分之二，折扇张开的角度是120度，通过计算说明哪把扇子的扇面面积大。
分析：由折扇的骨柄长和圆扇的直径都是a，得
S圆扇的扇面=π（a/2）2=（1/4）πa2，
S折扇的扇面=S大扇形-S小扇形
=（120/360） π a2-（120/360） π （a-2a/3）2
=（8/27）πa2
∵（8/27）πa2＞（1/4）πa2
∴折扇的扇面面积大于圆扇的扇面面积。
二、随堂检测
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度。点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是( )
A. S1＜S2 B. S1＞S2 C. S1=S2 D.不确定
2.如图，甲顺着大半圆从A地到B地，乙顺着两个小半圆从A地到B地，设甲、乙走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是( )
A. a=b B. a＜b C. a＞b D.不能确定
3.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ）
A.图（1）需要的材料多
B.图（2）需要的材料多
C.图（1）、图（2）需要的材料一样多
D.无法确定
4.在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n的大小关系是( ）
A. m＞n
B. m＜n
C. m=n
D.不能确定
5.甲、乙、丙三个牧民用同样长为L米的铁丝各围一块草地放牧，甲牧民围面积围S1的圆形草地，乙牧民围成面积为S2的正方形草地，丙牧民围面积为S3的矩形草地．则下面结论正确的是（ ）
A. S1＞S3＞S2
B. S2＞S1＞S3
C. S3＞S1＞S2
D. S1＞S2＞S3
6.直径是弦，弦是直径，弧是半圆，半圆是弧，其中真命题有 个。
7.线段AD过圆心O，交⊙O于点C、D。∠A=24°，AE交⊙O于点B，且CD=2AB，则∠EOD为 。
8.下列说法中正确的个数有（ ）个
①半圆是弧；②弧是半圆；③圆中的弧分为优弧和劣弧。
A.0
B.1
C.2
D.3
参考答案
预习检测：
1. B
2. B
3. C
4. C
随堂检测
1.C
2.A
3.C
4.C
5.D
6.2
7.72°
8.B
21.1.2 圆的有关概念
一、教学目标
1.通过学习，了解同心圆和等圆。(难点）
2.能够掌握弧、弦、圆心角及扇形的相关问题。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、课时安排
1课时
三、教学重点
能够掌握同心圆和等圆的区别。
四、教学难点
通过探索，掌握解圆的相关概念。
五、教学过程
（一）导入新课
同心圆有什么特点？等圆有什么特点？同心圆和等圆有什么区别？这节课我们就来探讨这些问题。
（二）讲授新课
活动1：小组合作
1.同心圆是指圆心相同，半径不相等的两个圆，等圆是指能够重合的两个圆，等圆的半径相等。
2.连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
3.一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。圆的半径也就是扇形的半径。
如图，将整个圆分成360等份，我们把1份的弧称为1°的弧，由此可知弧的度数等于它所对应的圆心角的度数。
在下图中，如果∠AOB的度数为n，那么∠AOB所对的弧AB的度数就为n，也就是说，弧AB是n度的弧。
因为360度的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR，所以1度的圆心角所对的弧长是2πR/360，即πR/180。于是可得，在半径R的圆中，n度的圆心角所对的弧长L的计算公式：L=πr/180。
（三）重难点精讲
例题1、现有一把折扇和一把圆扇。已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，圆扇的直径为a,折扇的扇面宽是骨柄长的三分之二，折扇张开的角度是120度，通过计算说明哪把扇子的扇面面积大。
分析：由折扇的骨柄长和圆扇的直径都是a，得
S圆扇的扇面=π（a/2）2=（1/4）πa2，
S折扇的扇面=S大扇形-S小扇形
=（120/360） π a2-（120/360） π （a-2a/3）2
=（8/27）πa2
∵（8/27）πa2＞（1/4）πa2
∴折扇的扇面面积大于圆扇的扇面面积。
（四）归纳小结
1.圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，能够重合的两个圆是等圆 。
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。小于半圆的弧称为劣弧，大于半圆的弧又称为优弧，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。
3.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，顶点在圆心的角叫做圆心角。
（五）随堂检测
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度。点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是( )
A. S1＜S2 B. S1＞S2 C. S1=S2 D.不确定
2.如图，甲顺着大半圆从A地到B地，乙顺着两个小半圆从A地到B地，设甲、乙走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是( )
A. a=b B. a＜b C. a＞b D.不能确定
3.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ）
A.图（1）需要的材料多
B.图（2）需要的材料多
C.图（1）、图（2）需要的材料一样多
D.无法确定
4.在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n的大小关系是( ）
A. m＞n
B. m＜n
C. m=n
D.不能确定
5.甲、乙、丙三个牧民用同样长为L米的铁丝各围一块草地放牧，甲牧民围面积围S1的圆形草地，乙牧民围成面积为S2的正方形草地，丙牧民围面积为S3的矩形草地．则下面结论正确的是（ ）
A. S1＞S3＞S2
B. S2＞S1＞S3
C. S3＞S1＞S2
D. S1＞S2＞S3
6.直径是弦，弦是直径，弧是半圆，半圆是弧，其中真命题有 个。
7.线段AD过圆心O，交⊙O于点C、D。∠A=24°，AE交⊙O于点B，且CD=2AB，则∠EOD为 。
8.下列说法中正确的个数有（ ）个
①半圆是弧；②弧是半圆；③圆中的弧分为优弧和劣弧。
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】
1.C
2.A
3.C
4.C
5.D
6.2
7.72°
8.B
六、板书设计
21.1圆的有关概念（2）
探究1： 例题1：
1.圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，能够重合的两个圆是等圆 。
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。小于半圆的弧称为劣弧，大于半圆的弧又称为优弧，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。
3.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，顶点在圆心的角叫做圆心角。
课本P111习题
练习册相关练习
八、教学反思
根据《数学课程标准》学习对生活有用的数学、学习对终身发展有用的数学的基本理念，本节课引导学生从了解同心圆和等圆的概念出发，利用已有的知识和能力，通过探究、小组合作学习等多种方式，对解扇形面积的问题进行分析，并结合习题巩固知识。培养学生联系实际，发现数学问题、分析问题、解决问题的能力。
课件21张PPT。九年级上册21.1.2 圆的有关概念情境导入同心圆等圆本节目标1.通过学习，了解同心圆和等圆。(难点）
2.能够掌握弧、弦、圆心角及扇形的相关问题。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。预习反馈1.如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（ ）
A. C1＞C2 B. C1＜C2
C. C1=C2 D.不能确定B2.如图，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，则圆中弦的条数是（ ）。
A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条B预习反馈3.用同样长的三根铁丝分别围成长方形、正方形、圆，其中面积最大的图形是（ ）
A.长方形
B.正方形
C.圆
D.由于不知道铁丝的长度而无法确定C预习反馈4.下列说法正确的是（ ）
A.直径是弦，弦是直径
B.过圆心的线段是直径
C.圆中最长的弦是直径
D.直径只有二条C预习反馈1.同心圆和等圆有什么区别？
2.圆相关的概念包括哪些？
3.什么是扇形？课堂探究1.同心圆是指圆心相同，半径不相等的两个圆，等圆是指能够重合的两个圆，等圆的半径相等。
2.连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
3.一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。圆的半径也就是扇形的半径。课堂探究如图，将整个圆分成360等份，我们把1份的弧称为1°的弧，由此可知弧的度数等于它所对应的圆心角的度数。
在右图中，如果∠AOB的度数为n，那么∠AOB所对的弧AB的度数就为n，也就是说，弧AB是n度的弧。课堂探究因为360度的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR，所以1度的圆心角所对的弧长是2πR/360，即πR/180。于是可得，在半径R的圆中，n度的圆心角所对的弧长L的计算公式：L=πr/180。课堂探究例1、现有一把折扇和一把圆扇。已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，圆扇的直径为a,折扇的扇面宽是骨柄长的三分之二，折扇张开的角度是120度，通过计算说明哪把扇子的扇面面积大。典例精析典例精析?本课小结1.圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，能够重合的两个圆是等圆 。
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
小于半圆的弧称为劣弧，大于半圆的弧又称为优弧，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。
3.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，顶点在圆心的角叫做圆心角。1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度。点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是( )
A. S1＜S2 B. S1＞S2 C. S1=S2 D.不确定C随堂检测2.如图，甲顺着大半圆从A地到B地，乙顺着两个小半圆从A地到B地，设甲、乙走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是( )
A. a=b B. a＜b C. a＞b D.不能确定A随堂检测3.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ）
A.图（1）需要的材料多
B.图（2）需要的材料多
C.图（1）、图（2）需要的材料一样多
D.无法确定C随堂检测4.在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n的大小关系是( ）
A. m＞n
B. m＜n
C. m=n
D.不能确定C随堂检测随堂检测5.甲、乙、丙三个牧民用同样长为L米的铁丝各围一块草地放牧，甲牧民围面积围S1的圆形草地，乙牧民围成面积为S2的正方形草地，丙牧民围面积为S3的矩形草地．则下面结论正确的是（ ）
A. S1＞S3＞S2
B. S2＞S1＞S3
C. S3＞S1＞S2
D. S1＞S2＞S3D6.直径是弦，弦是直径，弧是半圆，半圆是弧，其中真命题有 个.2随堂检测7.线段AD过圆心O，交⊙O于点C、D。∠A=24°，AE交⊙O于点B，且CD=2AB，则∠EOD= .72°8.下列说法中正确的个数有（ ）个 ①半圆是弧；②弧是半圆；③圆中的弧分为优弧和劣弧。 A.0
B.1
C.2
D.3B随堂检测21.1.2 圆的有关概念
一、夯实基础
1. 如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（ ）。
A. a=b
B. a＜b上
C. a＞b
D.不能确定
2. 如图，AB是⊙O的直径，D、C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB=60°，连接AC，则∠DAC等于( )
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
3. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 直径是弦，弦是直径
B. 半圆周是弧
C. 圆上的点到圆心的距离都相等
D. 同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长
4. 如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（ ）。
A. C1＞C2
B. C1＜C2
C. C1=C2
D. 不能确定
5. A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（ ）
A. AB＞0
B. 0＜AB＜5
C. 0＜AB＜10
D.0＜AB≤10
6. 如图，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，则圆中弦的条数是（ ）
A. 2条
B. 3条
C. 4条
D. 5条
二、能力提升
7. 下列说法正确的有( ) 个
①直径不是弦；
②相等的弦所对的弧相等；
③在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长；
④同一条弦所对的两条弧是等弧。
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8. 下列说法正确的有( )
①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；③度数相等的弧叫做等弧；④优弧大于劣弧；⑤直角三角形的外心是其斜边中点。
A. ①②③④⑤
B. ①②⑤
C. ①②③⑤
D. ②④⑤
9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为（ ）
A. 28°
B. 34°
C. 56°
D. 62°
10. 如图所示，MN为⊙0的弦，∠M=40°，∠MON则等于( )
A. 40°
B. 60°
C. 100°
D.120°
11. 中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了 。
三、课外拓展
12. 如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C=∠D=90゜．求证：A、B、C、D四点在同一个圆上。
13. 如图，已知同心圆O，大圆的半径AO、BO分别交小圆于C、D，试判断四边形ABDC的形状。并说明理由。
四、中考链接
1．（永州）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ）
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
2．（赤峰）如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，1/2为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π
B．1/2π
C．1/4π
D．2π
3．（金昌）如图是公园的路线图，⊙O1，⊙O2，⊙O两两相切，点A，B，O分别是切点，甲乙二人骑自行车，同时从点A出发，以相同的速度，甲按照“圆”形线行驶，乙行驶“8字型”线路行驶．若不考虑其他因素，结果先回到出发点的人是（ ）
A．甲
B．乙
C．甲乙同时
D．无法判定
参考答案
一、夯实基础
1.A
2.B
3.A
4.B
5.D
6.B
二、能力提升
7.A
8.B
9.C
10.C
11. 三倍
三、课外拓展
12.解析：取AB的中点O，连接OC，OD。
∵△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C=∠D=90゜
∴DO，CO分别为Rt△ABD和Rt△BCD斜边上的中线，
∴OA=OB=OC=OD。
∴A、B、C、D四点在同一个圆上。
13.解析：∵OA=OB，OC=OD
∴OC/OA=OD/OB，
∴CD∥AB，
∴四边形ABDC是梯形，
∵OA-OC=OB-OD
即：CA=DB
∴四边形ABDC是等腰梯形。
中考链接：
1. 解：A、把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理，正确；
B、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理，故错误；
C、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，正确；
D、将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理，正确，
故选B。
2. 解：将下面阴影部分进行对称平移，根据半圆的面积公式列式计算即可求解
π×12×（1/2）
=π×1×（1/2）
=（1/2）π
故选B。
3. 解：设⊙O1的半径是r，则⊙O2的半径是r，⊙O的半径是2r．则延“8字型”线路行驶时：路线长是4πr．同样按“圆”形线行驶的路线长4πr．因而两人同时到达。
故选C 。
21.2.1 过三点的圆
预习案
一、预习目标及范围：
1.通过学习，熟练准确的过不在同一直线上的三点作圆。(难点）
2.能够掌握不在同一直线上三点确定一个圆的结论和作图方法。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、预习要点
1.过一点可以做多少个圆？
2.过三点可以做几个圆？
三、预习检测
1.如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=21，BC=20．若有一半径为10的圆分别与AB、BC相切，则下列何种方法可找到此圆的圆心（ ）
A.∠B的角平分线与AC的交点
B. AB的中垂线与BC中垂线的交点
C. ∠B的角平分线与AB中垂线的交点
D. ∠B的角平分线与BC中垂线的交点
2.下列命题是真命题的是（ ）。
A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B.两边及一边的对角对应相等的两个三角形全等
C.三点确定一个圆
D.若a＞b，c＞0，则ac＞bc
3.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）
A. （2，0） B. （3，0） C. （0，2） D. （0，3）
4.平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上，点P的坐标是（ ）
A. （6，6） B. （4，4） C. （5，5） D. （7，7）
探究案
一、合作探究
活动1：小组合作
活动1：小组合作
（1）过一个点能做 个圆。
（2）过两个点能做 个圆。
过A、B两点圆的圆心轨迹是线段 的垂直平分线。
过同一平面的三个点A、B、C三个点作圆
A、B、C三点在同一条直线上，AB的中垂线与BC的中垂线平行，没有交点，说明圆心不存在，因此，过在同一条直线上的三点 。
活动内容2：典例精析
例题1、不在同一直线上的三点A、B、C，求作⊙O，使它经过点A、B、C。
分析：做AB的垂直平分线FG，AC的垂直平分线DE,
FG与DE相交于点O，那么OA=OB=OC。
以O为圆心，OA为半径作圆，便可得到经过A，B，C三点的圆。
二、随堂检测
1.下列说法中，正确的是( )
A.二点确定一个圆
B.三角形有且只有一个外接圆
C.四边形都有一个外接圆
D.一点确定一个圆
2.如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为( )
A. （6，8）
B. （4，8）
C. （4，31/8）
D. （5，33/8）
3.下列说法错误的是（ ）
A.过一点有无数条直线
B.两点确定一条直线
C.三个点可以确定一个圆
D.不在同一直线上的三点确定一个圆
4.下列条件中，能确定圆的( ）
A.以点O为圆心，4cm为半径
B.经过已知点A，且半径为2cm
C.以1cm长为半径
D.以已知点O为圆心
5.下列命题为真命题的是（ ）
A.如果a＜b，则ac2＜bc2
B.如果两条直线被第三条直线所截，那么所截得的同位角相等
C.五边形的内角和为540°
D.平面内任意三点确定一个圆
6.不在同一直线上的三个点确定一个圆，说法是 的。
7.确定一个圆的两个条件是 和 。
8.过三点可以作（ ）个圆。
A.0
B.1
C.0或1
D.无数
参考答案
预习检测：
1. D
2. D
3. A
4. A
随堂检测
1.B
2.C
3.C
4.A
5.C
6.正确
7.圆心 半径
8.C
21.1.1 过三点的圆
一、教学目标
1.通过学习，熟练准确的过不在同一直线上的三点作圆。(难点）
2.能够掌握不在同一直线上三点确定一个圆的结论和作图方法。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、课时安排
1课时
三、教学重点
能够掌握不在同一直线上三点确定一个圆的结论和作图方法。
四、教学难点
通过探索，熟练准确的过不在同一直线上的三点作圆。
五、教学过程
（一）导入新课
用什么方法破镜重圆？
（二）讲授新课
活动1：小组合作
（1）过一个点能做无数个圆。
（2）过两个点能做无数个圆。
过A、B两点圆的圆心轨迹是线段AB的垂直平分线。
过同一平面的三个点A、B、C三个点作圆。
A、B、C三点在同一条直线上，AB的中垂线与BC的中垂线平行，没有交点，说明圆心不存在，因此，过在同一条直线上的三点不能作圆。
（三）重难点精讲
例题1、不在同一直线上的三点A、B、C，求作⊙O，使它经过点A、B、C。
分析：做AB的垂直平分线FG，AC的垂直平分线DE,
FG与DE相交于点O，那么OA=OB=OC。
以O为圆心，OA为半径作圆，便可得到经过A，B，C三点的圆。
（四）归纳小结
1.经过一点的圆有无数个。
2.经过已知两点的圆有无数个。
3.不在同一条直线上的三个点可以作一个圆，并且只能作一个；过在同一条直线上的三个点不能作圆。
（五）随堂检测
1.下列说法中，正确的是( )
A.二点确定一个圆
B.三角形有且只有一个外接圆
C.四边形都有一个外接圆
D.一点确定一个圆
2.如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为( )
A. （6，8）
B. （4，8）
C. （4，31/8）
D. （5，33/8）
3.下列说法错误的是（ ）
A.过一点有无数条直线
B.两点确定一条直线
C.三个点可以确定一个圆
D.不在同一直线上的三点确定一个圆
4.下列条件中，能确定圆的( ）
A.以点O为圆心，4cm为半径
B.经过已知点A，且半径为2cm
C.以1cm长为半径
D.以已知点O为圆心
5.下列命题为真命题的是（ ）
A.如果a＜b，则ac2＜bc2
B.如果两条直线被第三条直线所截，那么所截得的同位角相等
C.五边形的内角和为540°
D.平面内任意三点确定一个圆
6.不在同一直线上的三个点确定一个圆，说法是 的。
7.确定一个圆的两个条件是 和 。
8.过三点可以作（ ）个圆。
A.0
B.1
C.0或1
D.无数
【答案】
1.B
2.C
3.C
4.A
5.C
6.正确
7.圆心 半径
8.C
六、板书设计
21.2过三点的圆（1）
探究1： 例题1：
1.经过一点的圆有无数个。
2.经过已知两点的圆有无数个。
3.不在同一条直线上的三个点可以作一个圆，并且只能作一个；过在同一条直线上的三个点不能作圆。
七、布置作业
课本P113习题
练习册相关练习
八、教学反思
根据《数学课程标准》学习对生活有用的数学、学习对终身发展有用的数学的基本理念，本节课引导学生从了解过点作圆的个数出发，利用已有的知识和能力，通过探究、小组合作学习等多种方式，对过不在同一直线上的三个点作圆的问题进行分析，并结合习题巩固知识。培养学生联系实际，发现数学问题、分析问题、解决问题的能力。
课件21张PPT。九年级上册21.2 .1 过三点的圆情境导入用什么方法破镜重圆？本节目标1.通过学习，熟练准确的过不在同一直线上的三点作圆。(难点）
2.能够掌握不在同一直线上三点确定一个圆的结论和作图方法。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。预习反馈1.如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=21，BC=20．若有一半径为10的圆分别与AB、BC相切，则下列何种方法可找到此圆的圆心（ ）
A.∠B的角平分线与AC的交点
B. AB的中垂线与BC中垂线的交点
C. ∠B的角平分线与AB中垂线的交点
D. ∠B的角平分线与BC中垂线的交点D2.下列命题是真命题的是（ ）。
A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B.两边及一边的对角对应相等的两个三角形全等
C.三点确定一个圆
D.若a＞b，c＞0，则ac＞bcD预习反馈3.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）
A. （2，0） B. （3，0） C. （0，2） D. （0，3）A预习反馈4.平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上，点P的坐标是（ ）
A. （6，6） B. （4，4） C. （5，5） D. （7，7）A预习反馈1.过一个已知的点可以做几个圆？
2.过两个已知的点可以做几个圆？
3.过同一平面上的三个点可以做几个圆？课堂探究过一个点能做无数个圆课堂探究过两个点能做无数个圆课堂探究过A、B两点圆的圆心轨迹是线段AB的垂直平分线过同一平面的三个点A、B、C三个点作圆课堂探究A、B、C三点在同一条直线上，AB的中垂线与BC的中垂线平行，没有交点，说明圆心不存在，因此，过在同一条直线上的三点不能作圆。例1、不在同一直线上的三点A、B、C，求作⊙O，使它经过点A、B、C。典例精析典例精析分析：做AB的垂直平分线FG，AC的垂直平分线DE,
FG与DE相交于点O，那么OA=OB=OC。
以O为圆心，OA为半径作圆，便可得到经过A，B，C三点的圆。本课小结1.经过一点的圆有无数个。
2. 经过已知两点的圆有无数个。
3.不在同一条直线上的三个点可以作一个圆，并且只能作一个；过在同一条直线上的三个点不能作圆。1.下列说法中，正确的是( )
A.二点确定一个圆
B.三角形有且只有一个外接圆
C.四边形都有一个外接圆
D.一点确定一个圆B随堂检测2.如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为( )
A. （6，8） B. （4，8） C. （4，31/8） D. （5，33/8）C随堂检测3.下列说法错误的是（ ）
A.过一点有无数条直线
B.两点确定一条直线
C.三个点可以确定一个圆
D.不在同一直线上的三点确定一个圆C随堂检测4.下列条件中，能确定圆的( ）
A.以点O为圆心，4cm为半径
B.经过已知点A，且半径为2cm
C.以1cm长为半径
D.以已知点O为圆心A随堂检测随堂检测5.下列命题为真命题的是（ ）
A.如果a＜b，则ac2＜bc2
B.如果两条直线被第三条直线所截，那么所截得的同位角相等
C.五边形的内角和为540°
D.平面内任意三点确定一个圆C6.不在同一直线上的三个点确定一个圆，说法是 的.正确随堂检测7.确定一个圆的两个条件是 和 .圆心半径8.过三点可以作（ ）个圆。 A.0
B.1
C.0或1
D.无数C随堂检测21.2.1 过三点的圆
一、夯实基础
1. 下列说法中，正确的是（ ）。
A. 三点确定一个圆
B. 三角形有且只有一个外接圆
C. 四边形都有一个外接圆
D. 圆有且只有一个内接三角形
2. 如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为( )
A.（6，8）
B. （4，5）
C. （4，31/8）
D. （4，33/8）
3. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 一个点可以确定一条直线
B. 两个点可以确定两条直线
C. 三个点可以确定一个圆
D. 不在同一直线上的三点确定一个圆
4. 平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n个圆，那么n的值不可能为（ ）。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 下列给定的三点能确定一个圆的是（ ）
A. 线段AB的中点C及两个端点
B. 角的顶点及角的边上的两点
C. 三角形的三个顶点
D.矩形的对角线交点及两个顶点
6. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A. 第①块
B. 第②块
C. 第③块
D. 第④块
二、能力提升
7. 下列说法正确的是( )
A. 过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B. 过两点A、B的圆的圆心在一条直线上
C. 过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点
D. 过四点A、B、C、D的圆不存在
8. 根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，可以判断平面直角坐标系内的三个点A（3，0）、B（0，-4）、C（2，-3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）。
9. 过一点可以作 个圆，过两点可以作 圆，过三点可以作 个圆。
10. 若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有 个。
11. 三点定圆”的含义是 的三点确定一个圆。
三、课外拓展
12. 已知A、B、C三点，根据下列条件，说明A、B、C三点能否确定一个圆？若能，请求出其半径；若不能，请说明理由。
（1）AB=（6+4）cm，BC=123cm，AC=（6-4）cm
（2）AB=AC=10cm，BC=12cm。
13. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm。
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径。
四、中考链接
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．平面内任意三点确定一个圆
B．五边形的内角和为540°
C．如果a＞b，则ac2＞bc2
D．如果两条直线被第三条直线所截，那么所截得的同位角相等
2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3）
B．（3，2）
C．（1，3）
D．（3，1）
3．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（-2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（-1，2）
B．（1，-1）
C．（-1，1）
D．（2，1）
参考答案
一、夯实基础
1.B
2.C
3.D
4.B
5.C
6.B
二、能力提升
7.C
8.能
9.无数 无数 0或1
10.2
11. 不在同一直线上
三、课外拓展
12.解析：∵6+4+6-4=12
∴AB+AC=BC
∴A、B、C三点共线，
∴不能确定一个圆；
（2）∵10+10=20＞12，
∴A、B、C三点不共线，
∴能确定一个圆；
过A作AD⊥BC，连接BO，
∵BC=12，
∴DB=6，
∵AB=10，
∴AD=102-62=8，
设OB=x，则DO=8-x，
x2-62=（8-x）2，
解得x=25/4，
∴A、B、C三点能确定一个圆，半径为25/4。
13.解析：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．∴CD∥AB，
（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2=122+（x-8）2，
解得：x=13。
答：圆的半径为13cm。
中考链接：
1. 解：A、平面内不在同一直线上的三点确定一个圆，故本答案错误；
B、五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，故本选项正确；
C、当c=0时，原式不成立，故本答案错误；
D、两直线平行，同位角相等，故本答案错误。
故选B。
2. 解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）。
故选D。
3. 解：如图所示，
∵AW=1，WH=3，
∴AH=12+32=10
∵BQ=3，QH=1，
∴BH=12+32=
∴AH=BH，
同理，AD=BD，
所以GH为线段AB的垂直平分线，
易得EF为线段AC的垂直平分线，
H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，
则BH=AH=HC，
H为圆心。
于是则该圆弧所在圆的圆心坐标是（-1，1）。
故选C。
21.2.2 过三点的圆
预习案
一、预习目标及范围：
1.通过学习，熟练画出三角形的外接圆。(难点）
2.能够掌握三角形的外接圆及外心的概念。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、预习要点
1.什么是三角形的外接圆和外心？
2.三角形与它的外心的位置关系如何？
三、预习检测
1.如图，O为△ABC的外心，△OCP为正三角形，OP与AC相交于D点，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为何？（ ）
A. 85° B. 90° C. 95° D. 110°
2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，CD=3，AB=4，则⊙O的直径等于（ ）。
A.（5/2）2 B.3 2 C. 52 D. 7
3.如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A.AB中点 B. BC中点 C. AC中点 D. ∠C的平分线与AB的交点
4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
探究案
一、合作探究
活动1：小组合作
（1）经过三角形个顶点的圆叫 ；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做 。
（2）画三角形外接圆的关键是：① ，三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；② ，半径是交点到顶点的距离。
（3）锐角三角形的外心在三角形的 ；直角三角形的外心为直角三角形斜边的 ；钝角三角形的外心在三角形的 。
活动内容2：典例精析
例题1、已知：△ABC，求作这个三角形的外接圆。
分析：作线段AC的垂直平分线DE；
作线段AB的垂直平分线FG,交DE于点O；
以点O为圆心，以OB为半径作圆。
所以⊙O就是所求作的△ABC的外接圆。
例题2、已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。求证：EB=EI=EC。
分析：连结BI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠3= ∠4，
∵∠1= ∠2， ∠2= ∠5，
∴ ∠1= ∠5，∴∠1+ ∠3= ∠4+ ∠5
∴∠BIE= ∠IBE，∴EB=EI，
又∵EB=EC，
∴EB=EI=EC。
二、随堂检测
1.已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB=AC=5，BC=6，则⊙O的半径为( )
A.4
B. 3.25
C. 3.125
D. 2.25
2.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为( )
A. B. C. D.2
3.已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，⊙O的半径R=2，sinB=3/4，则弦AC的长为( ）
A.3
B.
C.3/2
D.3/4
5.如果点O为△ABC的外心，∠BOC=70°，那么∠BAC等于（ ）
A.35°
B. 110°
C. 145°
D. 35°或145°
6.若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆直径是 。
7.已知O为△ABC的外心，∠A=60°，则∠BOC的度数是 。
8.已知⊙O的半径等于等边△ABC的高，△DEF是⊙O的内接等边三角形，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A.1：2
B. 1：3
C. 3：2
D. 2：3
参考答案
预习检测：
1. A
2. B
3. A
4. B
随堂检测
1.C
2.C
3.B
4.A
5.D
6.10或8
7.120°
8.D
21.1.2 过三点的圆
一、教学目标
1.通过学习，熟练画出三角形的外接圆。(难点）
2.能够掌握三角形的外接圆及外心的概念。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、课时安排
1课时
三、教学重点
能够掌握三角形的外接圆及外心的概念。
四、教学难点
通过探索，熟练画出三角形的外接圆。
五、教学过程
（一）导入新课
书香苑小区有一片空地，空地有三棵古树，物业公司准备在这片空地上建一个圆形广场，为使古树不被破坏，设计时要求古树恰好在圆形广场的边缘上，应该如何画出设计图？
（二）讲授新课
活动1：小组合作
（1）经过三角形个顶点的圆叫三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
（2）画三角形外接圆的关键是：①确定圆心，三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；②确定半径，半径是交点到顶点的距离。
（3）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。
（三）重难点精讲
例题1、已知：△ABC，求作这个三角形的外接圆。
分析：作线段AC的垂直平分线DE；
作线段AB的垂直平分线FG,交DE于点O；
以点O为圆心，以OB为半径作圆。
所以⊙O就是所求作的△ABC的外接圆。
例题2、已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。求证：EB=EI=EC。
分析：连结BI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠3= ∠4，
∵∠1= ∠2， ∠2= ∠5，
∴ ∠1= ∠5，∴∠1+ ∠3= ∠4+ ∠5
∴∠BIE= ∠IBE，∴EB=EI，
又∵EB=EC，
∴EB=EI=EC。
（四）归纳小结
1.经过三角形个顶点的圆叫三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
2.画三角形外接圆的关键是：①确定圆心；②确定半径。
3.锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。
（五）随堂检测
1.已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB=AC=5，BC=6，则⊙O的半径为( )
A.4
B. 3.25
C. 3.125
D. 2.25
2.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为( )
A. B. C. D.2
3.已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，⊙O的半径R=2，sinB=3/4，则弦AC的长为( ）
A.3
B.
C.3/2
D.3/4
5.如果点O为△ABC的外心，∠BOC=70°，那么∠BAC等于（ ）
A.35°
B. 110°
C. 145°
D. 35°或145°
6.若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆直径是 。
7.已知O为△ABC的外心，∠A=60°，则∠BOC的度数是 。
8.已知⊙O的半径等于等边△ABC的高，△DEF是⊙O的内接等边三角形，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A.1：2
B. 1：3
C. 3：2
D. 2：3
【答案】
1.C
2.C
3.B
4.A
5.D
6.10或8
7.120°
8.D
六、板书设计
21.2过三点的圆（2）
探究1： 例题1： 例题2：
1.经过三角形个顶点的圆叫三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
2.画三角形外接圆的关键是：①确定圆心；②确定半径。
3.锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。
七、布置作业
课本P113习题
练习册相关练习
八、教学反思
根据《数学课程标准》学习对生活有用的数学、学习对终身发展有用的数学的基本理念，本节课引导学生从了解三角形的外接圆和外心出发，利用已有的知识和能力，通过探究、小组合作学习等多种方式，对作三角形的外接圆的问题进行分析，并结合习题巩固知识。培养学生联系实际，发现数学问题、分析问题、解决问题的能力。
课件21张PPT。九年级上册21.2 .2 过三点的圆情境导入 书香苑小区有一片空地，空地有三棵古树，物业公司准备在这片空地上建一个圆形广场，为使古树不被破坏，设计时要求古树恰好在圆形广场的边缘上，应该如何画出设计图？本节目标1.通过学习，熟练画出三角形的外接圆。(难点）
2.能够掌握三角形的外接圆及外心的概念。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。预习反馈1.如图，O为△ABC的外心，△OCP为正三角形，OP与AC相交于D点，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为何？（ ）
A. 85° B. 90° C. 95° D. 110°A?B预习反馈3.如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A.AB中点 B. BC中点
C. AC中点 D. ∠C的平分线与AB的交点A预习反馈4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°B预习反馈1.什么是三角形的外接圆和外心？
2.画一个三角形的外接圆的关键是什么？
3.三角形与它的外心的位置关系如何？课堂探究1.经过三角形个顶点的圆叫三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
2.画三角形外接圆的关键是：①确定圆心，三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；②确定半径，半径是交点到顶点的距离。
3.锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。课堂探究例1、已知：△ABC，求作这个三角形的外接圆。典例精析典例精析分析：作线段AC的垂直平分线DE；
作线段AB的垂直平分线FG,交DE于点O；
以点O为圆心，以OB为半径作圆。
所以⊙O就是所求作的△ABC的外接圆。例2、已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。求证：EB=EI=EC。典例精析典例精析分析：连结BI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠3= ∠4，
∵∠1= ∠2， ∠2= ∠5，
∴ ∠1= ∠5，∴∠1+ ∠3= ∠4+ ∠5
∴∠BIE= ∠IBE，∴EB=EI，
又∵EB=EC，
∴EB=EI=EC。本课小结1.经过三角形个顶点的圆叫三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
2.画三角形外接圆的关键是：①确定圆心；②确定半径。
3.锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。1.已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB=AC=5，BC=6，则⊙O的半径为( )
A.4
B. 3.25
C. 3.125
D. 2.25C随堂检测?C随堂检测?B随堂检测?A随堂检测随堂检测5.如果点O为△ABC的外心，∠BOC=70°，那么∠BAC等于（ ）
A.35°
B. 110°
C. 145°
D. 35°或145°D6.若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆直径是是 .10或8随堂检测7.已知O为△ABC的外心，∠A=60°，则∠BOC的度数是 .120°8.已知⊙O的半径等于等边△ABC的高，△DEF是⊙O的内接等边三角形，则△ABC与△DEF的周长比为（ ） A.1：2
B. 1：3
C. 3：2
D. 2：3D随堂检测21.2.2 过三点的圆
一、夯实基础
1. 如图，△ABC内接于圆O，点D在AC边上，AD=2CD，在BC弧上取一点E，使得∠CDE=∠ABC，连接AE，则AE/DE等于（ ）。
A.
B. 3/2
C.
D. 2
2. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是( )
A. （2，3）
B. （3，2）
C. （1，3）
D. （3，1）
3. 已知点O为△ABC的外心，若∠A=40°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 100°
4. 如图，坐标平面上有A（0，a）、B（-9，0）、C（10，0）三点，其中a＞0。若∠BAC=95°，则△ABC的外心在第几象限？（ ）
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
5. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆。例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆。若在△ABC中，AB=AC，BC=6，∠BAC=120°，则△ABC的最小覆盖圆的半径是（ ）
A. 3
B. 2
C. 2
D.3
6. 边长为6的正三角形的外接圆的面积为（ ）
A. 36π
B. 4π
C. 12π
D. 16π
二、能力提升
7. 三角形的外心具有的性质是( )
A. 到三边的距离相等
B. 外心一定在三角形外
C. 到三个顶点的距离相等
D. 外心一定在三角形内
8. 已知一个三角形的三边分别是：6，8，10，则这个三角形的外接圆的直径是( )
A. 5
B. 10
C. 6
D. 8
9. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则这个三角形外接圆的半径为( )
A. 2.5
B. 6
C. 6.5
D. 8.5
10. 下列说法正确的是( )
A. 三点确定一个圆
B. 任意的一个三角形一定有一个外接圆
C. 三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点
D. 任意一个圆有且只有一个内接三角形
11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心到顶点C的距离为 。
三、课外拓展
12. 如图，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，求外接圆的半径。
13. 等腰Rt△ABC中，∠A=90°，点D和E为边BC上的点，且∠DAE=45°，△ADE的外接圆分别交边AB和AC于点P和Q，求证：BP+CQ=PQ．
四、中考链接
1．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
2．如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，∠A=90°，∠ABC=105°．若AB=5，则△ABD外心与△BCD外心的距离为何？（ ）
A．5
B．5
C．10/3
D．（10/3）3
3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE
参考答案
一、夯实基础
1.C
2.D
3.C
4.D
5.A
6.C
二、能力提升
7.C
8.B
9.C
10.B
11. 2.5cm
三、课外拓展
12.解析：设O为△ABC外接圆的圆心，连接AO，且延长AO交BC于D，连接OB、OC，
∵AB=AC，O为△ABC外接圆的圆心，
∴AD⊥BC，BD=DC，
BD=DC=（1/2）BC=5，
设等腰△ABC外接圆的半径为R，
则OA=OB=OC=R，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=12，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，
即R2=（12-R）2+52，
R=169/24。
∴等腰△ABC外接圆的半径为169/24。
13.解析：设O是△ADE外心，则O是PQ中点，PQ是直径。
连接PD、OD、OE，过Q作AC的垂线交BC于点F，连接PE，则四边形PBFQ是梯形，
∵△ABC中是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，∠C=45°，
∴△CQF是等腰直角三角形，
∴CQ=QF，
∵∠DAC与∠DOE分别是同弧DE所对的圆周角与圆心角，且∠DAE=45°，
∴∠DOE=2∠DAE=90°，
∴∠ODE=45°，
∴OD∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴线段OD是梯形PBFQ的中位线，
∴PQ=2OD=BP+QF，
∴BP+CQ=PQ。
中考链接：
1. 解：过点A作BC边上的垂线交BC于点D，过点B作AC边上的垂线交AD于点O，则O为圆心。
设⊙O的半径为R，由等边三角形的性质知：∠OBC=30°，OB=R。
∴BD=cos∠OBC×OB=/2)R，BC=2BD=R。
∵BC=12，
∴R=12/=4
故选B。
2. 解：如图，连接AC，作DF⊥BC于F，AC与BD、DF交于点E、G。
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC垂直平分BD，
∵∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠ABC=105°，
∴∠CBD=60°，∵CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，
∴点E是△BAD的外心，点G是△BCD的外心，
在RT△ABD中，∵AB=AD=5
∴BD=10，
∴BE=DE=5，
在RT△EDG中，∵∠DEG=90°，∠EDG=30°，ED=5，
∴tan30°=EG/ED，
∴EG=5。
∴△ABD外心与△BCD外心的距离为5。
故选A。
3. 解：如图所示：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF。故选：B。
21.3.1 圆的对称性
预习案
一、预习目标及范围：
1.通过学习，熟练运用垂径定理。（难点）
2.能够掌握圆的对称性。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、预习要点
1.圆是什么图形？
2.什么是垂径定理？
三、预习检测
1.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
2.在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
3.如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为A，若⊙O的半径为13，BC=24，则线段OA的长为（ ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
4.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
探究案
一、合作探究
活动1：小组合作
（1）圆是 ，圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线。圆有 条对称轴。
（2）用 的方法证明圆是轴对称图形 。
（3）垂径定理是垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧。
（4）CD是以点O为圆心的圆形纸片的直径，过直径上任意一点E作弦AB⊥CD。将圆形纸片沿着直径CD对折，比较图中的线段和弧，有什么发现？
根据图形的轴对称性，可知AE=BE，弧AD = 弧BD，弧AC = 弧BC，由此可以得出 。
活动内容2：典例精析
例题1、已知：在⊙O 中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE。求证：CD⊥AB，弧AD = 弧BD，弧AC = 弧BC。
分析：连接AO，BO。
∵AO=BO，
∴△AOB为等腰三角形。
∵AE=BE，
∴CD⊥AB，
∵CD为直径，
∴弧AD = 弧BD，弧AC = 弧BC。
例题2、已知：已知A，B，C，D为⊙O上的四个点，AB// CD。判断弧AC与弧BD是否相等，并说明理由。
分析：弧AC与弧BD相等
理由如下：
过点O作直线OE⊥AB于点H，交DC于点G，交⊙O于E，F两点。
∴弧AE = 弧BE，
∵AB//CD，∴OE⊥CD，
∴弧 CE = 弧DE，
∴弧 CE – 弧AE= 弧DE – 弧BE，
即弧AC = 弧BD
二、随堂检测
1.如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且OP=4，则CD的长为( )
A. 3 B. 4
C. 6 D. 8
2.如图，⊙O中，直径CD=10cm，弦AB⊥CD于点M，OM：MD=3：2，则AB的长是( )
A. 4cm B. 5cm
C. 6cm D. 8cm
3.如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=6，BC=16，∠A=∠B=60°，则AB的长为( )
A. 8 B. 10
C. 12 D. 14
4.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是( )
A. ∠A=∠D B. CE=DE
C. ∠ACB=90° D. CE=BD
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（ ）
A.9/5 B. 21/5 C. 18/5 D. 5/2
6.在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为 。
7.CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是 。
8.半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ）
A. 3
B. 4
C.
D.
参考答案
预习检测：
1. D
2. D
3. A
4. B
随堂检测
1.C
2.D
3.B
4.D
5.C
6.10或2165
7.2或8
8.C
21.3.1 圆的对称性
一、教学目标
1.通过学习，熟练运用垂径定理。（难点）
2.能够掌握圆的对称性。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、课时安排
1课时
三、教学重点
能够掌握圆的对称性。
四、教学难点
通过探索，熟练运用垂径定理。
五、教学过程
（一）导入新课
两个半径相等的圆，它们能重合吗？如果将其中一个圆旋转任意一个角度，这时两个圆还重合吗？这体现圆的什么性质？
（二）讲授新课
活动1：小组合作
（1）圆是轴对称图形，圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线。圆有无数条对称轴。
（2）用折叠的方法证明圆是轴对称图形 。
（3）垂径定理是垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
（4）CD是以点O为圆心的圆形纸片的直径，过直径上任意一点E作弦AB⊥CD。将圆形纸片沿着直径CD对折，比较图中的线段和弧，有什么发现？
根据图形的轴对称性，可知AE=BE，弧AD = 弧BD，弧AC = 弧BC，由此可以得出垂径定理。
（三）重难点精讲
例题1、已知：在⊙O 中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE。求证：CD⊥AB，弧AD = 弧BD，弧AC = 弧BC。
分析：连接AO，BO。
∵AO=BO，
∴△AOB为等腰三角形。
∵AE=BE，
∴CD⊥AB，
∵CD为直径，
∴弧AD = 弧BD，弧AC = 弧BC。
例题2、已知：已知A，B，C，D为⊙O上的四个点，AB// CD。判断弧AC与弧BD是否相等，并说明理由。
分析：弧AC与弧BD相等
理由如下：
过点O作直线OE⊥AB于点H，交DC于点G，交⊙O于E，F两点。
∴弧AE = 弧BE，
∵AB//CD，∴OE⊥CD，
∴弧 CE = 弧DE，
∴弧 CE – 弧AE= 弧DE – 弧BE，
即弧AC = 弧BD
（四）归纳小结
1.圆是轴对称图形 。
2.圆有无数条对称轴。
3.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。
4.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
（五）随堂检测
1.如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且OP=4，则CD的长为( )
A. 3 B. 4
C. 6 D. 8
2.如图，⊙O中，直径CD=10cm，弦AB⊥CD于点M，OM：MD=3：2，则AB的长是( )
A. 4cm B. 5cm
C. 6cm D. 8cm
3.如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=6，BC=16，∠A=∠B=60°，则AB的长为( )
A. 8 B. 10
C. 12 D. 14
4.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是( )
A. ∠A=∠D B. CE=DE
C. ∠ACB=90° D. CE=BD
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（ ）
A.9/5 B. 21/5
C. 18/5 D. 5/2
6.在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为 。
7.CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是 。
8.半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ）
A. 3
B. 4
C.
D.
【答案】
1.C
2.D
3.B
4.D
5.C
6.10或2165
7.2或8
8.C
六、板书设计
21.3圆的对称性（1）
探究1： 例题1： 例题2：
1.圆是轴对称图形 。
2.圆有无数条对称轴。
3.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。
4.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
七、布置作业
课本P118习题
练习册相关练习
八、教学反思
根据《数学课程标准》学习对生活有用的数学、学习对终身发展有用的数学的基本理念，本节课引导学生从了解圆的对称性出发，利用已有的知识和能力，通过探究、小组合作学习等多种方式，对垂径定理的问题进行分析，并结合习题巩固知识。培养学生联系实际，发现数学问题、分析问题、解决问题的能力。
课件22张PPT。九年级上册21.3.1 圆的对称性情境导入 两个半径相等的圆，它们能重合吗？如果将其中一个圆旋转任意一个角度，这时两个圆还重合吗？这体现圆的什么性质？本节目标1.通过学习，熟练运用垂径定理。（难点）
2.能够掌握圆的对称性。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。1.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ） A. 2 B. 4
C. 6 D. 8D预习反馈预习反馈2.在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（ ）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°D3.如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为A，若⊙O的半径为13，BC=24，则线段OA的长为（ ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8A预习反馈4.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3B预习反馈1.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
2.用什么方法证明圆是轴对称图形？
3.什么是垂径定理？课堂探究1.圆是轴对称图形，圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线。圆有无数条对称轴。
2.用折叠的方法证明圆是轴对称图形 。
3.垂径定理是垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。课堂探究课堂探究 CD是以点O为圆心的圆形纸片的直径，过直径上任意一点E作弦AB⊥CD。将圆形纸片沿着直径CD对折，比较图中的线段和弧，有什么发现？根据图形的轴对称性，可知AE=BE，
由此可以得出：垂径定理。⌒
AD =
⌒
BD ，
⌒
AC =
⌒
BC ，
例1、已知：在⊙O 中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE。求证：CD⊥AB， 。典例精析⌒
AD =
⌒
BD ，
典例精析分析：连接AO，BO。
∵AO=BO，
∴△AOB为等腰三角形。
∵AE=BE，
∴CD⊥AB，
∵CD为直径，
∴例2、已知A，B，C，D为⊙O上的四个点，AB// CD。判断 是否相等，并说明理由。典例精析⌒
AC 与
⌒
BD
典例精析分析： 相等，
理由如下：
过点O作直线OE⊥AB于点H，交DC于点G，交⊙O于E，F两点。
∴
∵AB//CD，∴OE⊥CD，∴
∴
即⌒
AE=
⌒
BE
⌒
CE=
⌒
DE
⌒
CE -
⌒
AE =
⌒
DE -
⌒
BE
⌒
AC =
⌒
BD本课小结1.圆是轴对称图形 。
2.圆有无数条对称轴。
3.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。
4.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。1.如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且OP=4，则CD的长为( )
A. 3 B. 4
C. 6 D. 8C随堂检测2.如图，⊙O中，直径CD=10cm，弦AB⊥CD于点M，OM：MD=3：2，则AB的长是( )
A. 4cm B. 5cm
C. 6cm D. 8cmD随堂检测3.如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=6，BC=16，∠A=∠B=60°，则AB的长为( )
A. 8 B. 10
C. 12 D. 14B随堂检测4.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是( )
A. ∠A=∠D B. CE=DE
C. ∠ACB=90° D. CE=BDD随堂检测随堂检测5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（ ）
A.9/5 B. 21/5
C. 18/5 D. 5/2C6.在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为 .?随堂检测7. CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是 .2或8?C随堂检测21.3.1 圆的对称性
一、夯实基础
1. 如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ）。
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
2. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，CD=6，则圆的半径长为( )
A. 2
B. 2
C. 4
D. 3
3. 如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB=8cm，AC=6cm，则⊙O的半径OA的长为（ ）
A. 7cm
B. 6cm
C. 5cm
D. 4cm
4. 如图，⊙O中，OA⊥BC，AD∥OC，∠AOC=40°，则∠B的度数为（ ）
A. 100°
B. 110°
C. 115°
D. 120°
5. 如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为A，若⊙O的半径为13，BC=24，则线段OA的长为（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D.8
6. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则tan∠COE=（ ）
A. 3/5
B. 4/5
C. 3/4
D. 4/3
二、能力提升
7. 已知⊙O的半径为15，弦AB的长为18，点P在弦AB上且OP=13，则AP的长为( )
A. 4
B. 14
C. 4或14
D. 6或14
8. 如图，⊙O的弦AB=8，OM⊥AB于点M，且OM=3，则⊙O的半径为( )
A. 8
B. 4
C. 10
D. 5
9. 如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，-1），则线段AB的长度为( )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
10. 如图，AB为⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE=8，BE=2，则CD 为( )
A. 6
B. 8
C. 26
D. 4
11. 已知在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的半径是 。
三、课外拓展
12. 已知：等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，AB=AC，点O到BC的距离OD的长等于2cm．求AB的长。
13. 如图所示，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OC∥PE
（1）求证：PC=OC；
（2）若弦CD=12，求tan∠OPD的值。
四、中考链接
1．（牡丹江）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（ ）
A．3
B．2.5
C．4
D．3.5
2．（三明）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．（黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（ ）
A．（5/2）cm
B．3cm
C．3cm
D．6cm
参考答案
一、夯实基础
1.A
2.A
3.C
4.B
5.A
6.D
二、能力提升
7.C
8.D
9.C
10.B
11. 5
三、课外拓展
12.解析：①如图
连接AD，连接OB
∵△ABC是等腰三角形，
∴根据等腰三角形的性质（三线合一定理）得出，AO⊥BC，AO平分BC，
∵OD⊥BC，
∴根据垂直定理得：OD平分BC，
即A、O、D三点共线，
∴AO过D，
∵等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，
∴OA=6cm，BD=DC，AD⊥BC，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD=OB2-OD2 =62-22 = 4 （cm）
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB= AD2+BD2 = （6+2）2 + （4）2 = 4 （cm）
∵AB=AC，O为△ABC外接圆的圆心，
②如图
同法求出BD=4cm，AD=6cm-2cm=4cm，
由勾股定理得：AB=AD2+BD2 = （4）2 + 42 = 4 （cm），
AB的长是4 cm或4 cm。
13.解析：（1）证明：∵PG平分∠EPF，
∴∠CPO=∠APO。
∵OC∥PE，
∴∠COP=∠APO，
∴∠CPO=∠COP，
∴PC=OC
（2）过点O作OH⊥CD于H，如图所示：
根据垂径定理可得CH=DH=（1/2）CD = 6
∴PH=PC+CH=OC+CH=10+6=16。
在Rt△CHO中，OH=OC2- CH2 =102-62 = 8，
∴tan∠OPD= OH/PH = 8/16 =1/2。
中考链接：
1. 解：连接OA，
∵AB⊥OP，
∴AP=（1/2）AB =（1/2） 6= 3，∠APO=90°，又OA=5
∴OP=OA2-AP2 = 52-32 = 4。
故选C。
2. 解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD=（1/2）AB=（1/2） 8=4
在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，
∴OD=OA2-AD2 =3
∴CD=OC-OD=5-3=2。
故选A。
3. 解：连接CB。
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴圆心O到弦CD的距离为OE；
∵∠COB=2∠CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB=30°，
∴∠COB=60°；
在Rt△OCE中，
OC=5cm，OE=OC?cos∠COB，
∴OE=（5/2）cm。
故选：A。
21.3.2 圆的对称性
预习案
一、预习目标及范围：
1.通过学习，理解圆心角的概念。（难点）
2.能够掌握圆心角、弧、和弦之间的相等关系的定理及推论。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、预习要点
1.什么是圆心角？
2. 圆心角、弧、和弦之间的相等关系的定理及推论是什么？
三、预习检测
1.如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A. 4cm B. 3cm
C. 5cm D. 4cm
2.AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD =（ ）
A. 105°
B. 120°
C. 135°
D. 150°
3.半径为6的圆中，圆心角α的余弦值为1/2，则角α所对的弦长等于（ ）
A. 4
B. 10
C. 8
D. 6
4.已知下列四个命题：
①过原点O的直线的解析式为y=kx（k≠0）；
②有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
③有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；
④在同圆或等圆中，若圆周角不等则所对的弦也不等。
其中不正确的命题是（ ）
A.只有①②
B. ①②③
C. ①②④
D. ②③④
探究案
一、合作探究
活动1：小组合作
（1）我们把顶点在圆心的角叫做 。
（2）圆心角、弧、弦三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角 ，②所对的弧 ，③所对的弦 ，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆 。这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形 。
（3）用计算机或图形计算器作⊙O及相等的圆心角∠AOB，∠A’O’B’，连接AB，A’B’，拖动点A在圆上运动，你能发现图中有哪些相等的关系？
当∠AOB与∠A’OB’重合时，△OAB与△OA’B’能够完全重合，可以看到下面的两组量分别相等：AB= ，弧AB = 弧A’B’，由此可以得到：在同圆或等圆中，如果圆心角 ，那么他们所对的弧 ，所对的弦也 。
活动内容2：典例精析
例题1、已知：A，B是⊙O 上的两点，∠AOB=120°，C是弧AB的中点，试判断四边形AOBC的形状，并说明理由。
分析：四边形AOBC为菱形。
理由如下：
连接OC。
∵C是弧AB的中点，
∴弧AC= 弧BC。
∵∠AOB=120°，∴ ∠1= ∠2=（1/2）∠AOB=60°
又∵OA=OC=OB，
∴△AOC，△BOC均为等边三角形。
∴AC=AO=OB=BC，∴四边形AOBC为菱形。
二、随堂检测
1.如图，AB是⊙O的直径，弧 BD = 弧CD，∠BOD=60°，则∠AOC = ( )
A.30° B. 45°
C. 60° D.以上都不正确
2.在同圆中，若AB=2CD，则弧 AB与弧2CD的大小关系是( )
A.AB＞2CD B. AB＜2CD
C. AB=2CD D.不能确定
3.如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交弧BC于E，F两点，则∠EDF的度数为( )
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
4.形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为( )
A.（-1，）
B.（0，）
C.（，0）
D.（1，）
5.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度
A. 40
B. 50
C. 30
D. 60
6.弦AB把圆分成1：3两部分，则AB所对的劣弧等于 度。
7.一条弦把圆分成5：1两部分，若圆的半径为2cm，此弦长为 。
8.一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆心角的度数为（ ）
A. 120°
B. 130°
C. 144°
D. 154°
参考答案
预习检测：
1. A
2. B
3. D
4. C
随堂检测
1.C
2.D
3.C
4.B
5.C
6.90
7.2cm
8.C
21.3.2 圆的对称性
一、教学目标
1.通过学习，理解圆心角的概念。（难点）
2.能够掌握圆心角、弧、和弦之间的相等关系的定理及推论。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、课时安排
1课时
三、教学重点
能够掌握圆心角的概念。
四、教学难点
通过探索，熟练掌握圆心角、弧、和弦之间的相等关系的定理及推论。
五、教学过程
（一）导入新课
在纸上，任意画一个圆，任意画出两条半径，构成顶点在圆上的一个角，像这样的角称为什么？
（二）讲授新课
活动1：小组合作
（1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
（2）圆心角、弧、弦三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合。
（3）用计算机或图形计算器作⊙O及相等的圆心角∠AOB，∠A’O’B’，连接AB，A’B’，拖动点A在圆上运动，你能发现图中有哪些相等的关系？
当∠AOB与∠A’OB’重合时，△OAB与△OA’B’能够完全重合，可以看到下面的两组量分别相等：AB=A’B’，弧AB = 弧A’B’，由此可以得到：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么他们所对的弧相等，所对的弦也相等。
（三）重难点精讲
例题1、已知：A，B是⊙O 上的两点，∠AOB=120°，C是弧AB的中点，试判断四边形AOBC的形状，并说明理由。
分析：四边形AOBC为菱形。
理由如下：
连接OC。
∵C是弧AB的中点，
∴弧AC= 弧BC。
∵∠AOB=120°，∴ ∠1= ∠2=（1/2）∠AOB=60°
又∵OA=OC=OB，
∴△AOC，△BOC均为等边三角形。
∴AC=AO=OB=BC，∴四边形AOBC为菱形。
（四）归纳小结
1.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
2.在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（五）随堂检测
1.如图，AB是⊙O的直径，弧 BD = 弧CD，∠BOD=60°，则∠AOC = ( )
A.30°
B. 45°
C. 60°
D.以上都不正确
2.在同圆中，若AB=2CD，则弧 AB与弧2CD的大小关系是( )
A.AB＞2CD
B. AB＜2CD
C. AB=2CD
D.不能确定
3.如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交弧BC于E，F两点，则∠EDF的度数为( )
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
4.形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为( )
A.（-1，）
B.（0，）
C.（，0）
D.（1，）
5.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度
A. 40
B. 50
C. 30
D. 60
6.弦AB把圆分成1：3两部分，则AB所对的劣弧等于 度。
7.一条弦把圆分成5：1两部分，若圆的半径为2cm，此弦长为 。
8.一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆心角的度数为（ ）
A. 120°
B. 130°
C. 144°
D. 154°
【答案】
1.C
2.D
3.C
4.B
5.C
6.90
7.2cm
8.C
六、板书设计
21.3圆的对称性（2）
探究1： 例题1：
1.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
2.在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
七、布置作业
课本P120、121习题
练习册相关练习
八、教学反思
根据《数学课程标准》学习对生活有用的数学、学习对终身发展有用的数学的基本理念，本节课引导学生从了解圆的圆心角出发，利用已有的知识和能力，通过探究、小组合作学习等多种方式，对圆心角、弧、和弦之间的相等关系的定理及推论的问题进行分析，并结合习题巩固知识。培养学生联系实际，发现数学问题、分析问题、解决问题的能力。
课件20张PPT。九年级上册21.3.2 圆的对称性情境导入 在纸上，任意画一个圆，任意画出两条半径，构成顶点在圆上的一个角，像这样的角称为什么？本节目标1.通过学习，理解圆心角的概念。（难点）
2.能够掌握圆心角、弧、和弦之间的相等关系的定理及推论。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。?A预习反馈预习反馈2.AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD =（ ）
A. 105°
B. 120°
C. 135°
D. 150°B3.半径为6的圆中，圆心角α的余弦值为1/2，则角α所对的弦长等于（ ）
A. 4
B. 10
C. 8
D. 6D预习反馈4.已知下列四个命题： ①过原点O的直线的解析式为y=kx（k≠0）； ②有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ③有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； ④在同圆或等圆中，若圆周角不等则所对的弦也不等。 其中不正确的命题是（ ）
A.只有①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④C预习反馈1.什么是圆心角？
2.如何理解圆心角、弧、弦三者之间的关系 ？课堂探究1. 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
2.圆心角、弧、弦三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合。课堂探究课堂探究 用计算机或图形计算器作⊙O及相等的圆心角∠AOB，∠A’O’B’，连接AB，A’B’，拖动点A在圆上运动，你能发现图中有哪些相等的关系？当∠AOB与∠A’OB’重合时，△OAB与△OA’B’能够完全重合，可以看到下面的两组量分别相等：AB=A’B’， ，由此可以得到：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么他们所对的弧相等，所对的弦也相等。例1、已知：A，B是⊙O 上的两点，∠AOB=120°，C 是 的 中点。试判断四边形AOBC的形状，并说明理由。典例精析⌒
AB
典例精析?⌒
AB
本课小结1.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
2.在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。1.如图，AB是⊙O的直径，弧 BD = 弧CD，∠BOD=60°，则∠AOC = ( )
A.30° B. 45°
C. 60° D.以上都不正确C随堂检测2.在同圆中，若AB=2CD，则弧 AB与弧2CD的大小关系是( )
A.AB＞2CD
B. AB＜2CD
C. AB=2CD
D.不能确定D随堂检测3.如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交弧BC于E，F两点，则∠EDF的度数为( )
A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°C随堂检测?B随堂检测随堂检测5.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度
A. 40 B. 50
C. 30 D. 60C6.弦AB把圆分成1：3两部分，则AB所对的劣弧等于 度 .90随堂检测7.一条弦把圆分成5：1两部分，若圆的半径为2cm，此弦长为 .2cm8.一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆心角的度数为（ ） A. 120°
B. 130°
C. 144°
D. 154°C随堂检测21.3.2 圆的对称性
一、夯实基础
1. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度。
A. 30
B. 45
C. 50
D. 60
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为( )
A. 26°
B. 64°
C. 52°
D. 128°
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 等弧所对的圆心角相等
B. 三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C. 经过三点可以作一个圆
D. 相等的圆心角所对的弧相等
4. 已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）
A.（）a
B. 1
C. /2
D. a
5. 在半径为2cm的⊙O中，弦长为2cm的弦所对的圆心角为（ ）
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D.120°
6. 下列命题中，正确的个数是（ ）
①直径是圆中最长的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆周角所对的弧相等；
④圆心角等于圆周角的2倍；⑤圆的内接平行四边形是矩形。
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
二、能力提升
7. 如图，AB是半圆O的直径，点C、D、E、F在半圆上，AC=CD=DE=EF=FB，则∠COF=（ ）
A. 90°
B. 100°
C. 108°
D. 120°
8. 下列命题正确的是( )
A. 相等的圆周角对的弧相等
B. 等弧所对的弦相等
C. 三点确定一个圆
D. 平分弦的直径垂直于弦
9. 同圆中的两条弦长为m1和m2，圆心到两条弦的距离分别为d1和d2，且d1＞d2，那么m1，m2的大小关系是( )
A. m1＞m2
B. m1＜m2
C. m1=m2
D. m1≤m2
10. 若一弦长等于圆的半径，则这弦所对的弧的度数是( )
A. 120°
B. 60°
C. 120°或240°
D. 60°或300°
11. 若圆的一条弦把圆分成度数比例为2：7的两条弧，则弦所对的圆心角等于 。
三、课外拓展
12. 如图，已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB，DC的延长线交圆O于点E，试探究AE的长是否为定值（不随AB长度的变化而变化）？若为定值，求出这个定值；若不为定值，试确定AE与OA长之间的关系。
13. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=135°，以A为圆心，AB为半径作⊙A交AD，BC于E，F两点，并交BA延长线于G。求弧BF的度数。
四、中考链接
1．（兰州）如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC为（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
2．（济宁）如图，在⊙O中，弧 AB= 弧AC，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40°
B．30°
C．20°
D．15°
3．（台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点，若弧ABD = 150°，∠A=65°，∠D=60°，弧BC的度数为何？（ ）
A．25°
B．40°
C．50°
D．55°
参考答案
一、夯实基础
1.A
2.C
3.A
4.B
5.B
6.A
二、能力提升
7.C
8.B
9.B
10.D
11. 80°
三、课外拓展
12.解析：由A、B、D、E四点共圆
∴∠EAB+∠EDB=180°，
∵BC=BD，∠BDC=∠BCD，∠BCD+∠ECB=180°，
∴∠ECB=∠EAB
又∵∠CAB=∠ACB=60°
∴∠ECB-∠ACB=∠EAB-∠CAB，
∴∠ECA=∠EAC，
∴△EAC是等腰三角形，
∵AB=BD，
∴∠DEA=∠DOB，
∵AC=AB，
∴△EAC≌△OAB，
∴AE=OA=1。
13.解析：连接AF，如图所示
∵AD∥BC，∠BAD=135°，
∴∠B+∠BAD=180°，
∴∠B=45°，
∵AF=AB，
∴∠AFB=∠B=45°，
∴∠BAF=180°-45°-45°=90°，
∴弧BF的度数为90°
中考链接：
1. 解：∵∠A=50°，OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=50°，
∴∠AOB=180°-50°-50°=80°，
∵点C是弧AB的中点，
∴∠BOC=（1/2）∠AOB=40°
故选A。
2. 解：连接CO，如图：
∵在⊙O中，弧AB = 弧AC，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=40°，
∴∠AOC=40°，
∴∠ADC=（1/2）∠AOC=20°
故选C。
3. 解：连接OB、OC，
∵OA=OB=OC=OD，
∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，
∵∠A=65°，∠D=60°，
∴∠1=180°-2∠A=180°-2×65°=50°，∠2=180°-2∠D=180°-2×60°=60°，
∵弧ABD = 150°，
∴∠AOD=150°，
∴∠3=∠AOD-∠1-∠2=150°- 50°- 60°=40°，
则弧BC = 40°，
故选：B。
21.4.1 圆周角
预习案
一、预习目标及范围：
1.通过学习，理解圆周角的概念。（难点）
2.能够掌握圆周角的定理。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、预习要点
1.什么是圆周角？
2.圆周角的定理是什么？
三、预习检测
1.如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，CE为100°，则∠AOC的度数为（ ）
A. 30° B. 39°
C. 40° D. 45°
2如图，AB是圆O的直径，点C、点D在圆O上，连结AC、BC、AD、CD，若∠BAC=40°，则∠ADC的度数等于（ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
3.如图，在⊙O的内接六边形ABCDEF中，∠CAE=80°，则∠B+∠F的度数为（ ）
A. 220° B. 240°
C. 280° D. 260°
4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠OAB=40°，则∠ACB的度数为（ ）
A. 45° B. 50°
C. 40° D. 80°
探究案
一、合作探究
活动1：小组合作
（1）我们把顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做 。圆周角必须满足两个条件：①定点 。②角的两条边 ，二者缺一不可。
（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
（3）使用计算机画同一条弧所对的圆心角和圆周角，分别测量这两个角的大小，拖动点C，再次测量两个角的大小，你能得到它们在度数之间有怎样的关系？
测得∠AOB=74°，∠ACB=37°，拖动C点之后，∠AOB=74°，∠ACB=37°。因此可以得出一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。
活动内容2：典例精析
例题1、已知：在⊙O 中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB，求证：∠ACB=（1/2） ∠AOB。
分析：（1）由图（1）可知，圆心O在∠ACB的边上。
∵OC=OB，
∴ ∠C=∠B。
∵∠AOB是△OBC的外角，
∴ ∠AOB=∠C+∠B。
∴∠AOB=2∠C。即∠C=（1/2）∠AOB。
（2）由图（2）可知，圆心O在∠ACB的内部。
作直径CD，利用（1）的结果，有
∠ACD=（1/2）∠AOD，
∠BCD=（1/2）∠BOD，
∴ ∠ACD + ∠BCD = （1/2） （∠AOD+∠BOD)。
即∠ACB=（1/2）∠AOB。
（3）由图（3）可知，圆心O在∠ACB的外部。
作直径CD，利用（1）的结果，有
∠ACD=（1/2）∠AOD，
∠BCD=（1/2）∠BOD，
∴ ∠BCD - ∠ACD = （1/2） （∠BOD - ∠AOD）
∴即∠ACB=（1/2）∠AOB。
例2、已知：CD为⊙O 的直径，AC，AE分别交所⊙O于B，D两点，∠A=23°，∠BED=21°，求∠DCE的度数。
分析：
∵CD为⊙O 的直径，
∴ ∠CED=90°，
∵∠A=23°， ∴∠BCE=67°。
∵∠BCD=∠BED=21°，
∴∠DCE=∠BCE - ∠BCD
=67° - 21°
=46°
二、随堂检测
1.如图，A、B、C、D在⊙O上，BC是⊙O的直径．若∠D=36°，则∠BCA的度数是（ ）
A.72° B. 54°
C. 45° D.36°
2.△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是( )
A. 80°
B. 160°
C. 100°
D. 80°或100°
3.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为( )
A. 1/3 B. 2
C. /4 D. 2/3
4.如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=( )
A. 100° B. 72°
C. 64° D. 36°
5.如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）
A. 12.5 B. 15°
C. 20° D. 22.5°
6.圆的一条弦恰好为半径长，这条弦所对的圆周角为 度。
7.△ABC中，BC=4，∠A=60°，则这个三角形的面积的最大值是 。
8.下列说法中：
①平分弦的直径垂直于弦；②直角所对的弦是直径；③相等的弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤圆周角等于圆心角的一半；⑥x2-5x+7=0两根之和为5。其中正确的命题个数为（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
参考答案
预习检测：
1. C
2. C
3. D
4. B
随堂检测
1.B
2.D
3.C
4.C
5.B
6.30或150
7.4
8.B
21.4.1 圆周角
一、教学目标
1.通过学习，理解圆周角的概念。（难点）
2.能够掌握圆周角的定理。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、课时安排
1课时
三、教学重点
能够掌握圆周角的概念。
四、教学难点
通过探索，熟练掌握圆周角的定理。
五、教学过程
（一）导入新课
足球运动员在下面B、C、D处射门时，在哪个位置最合适呢？
（二）讲授新课
活动1：小组合作
（1）我们把顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角必须满足两个条件：①定点在圆上。②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可。
（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
（3）使用计算机画同一条弧所对的圆心角和圆周角，分别测量这两个角的大小，拖动点C，再次测量两个角的大小，你能得到它们在度数之间有怎样的关系？
测得∠AOB=74°，∠ACB=37°，拖动C点之后，∠AOB=74°，∠ACB=37°。因此可以得出一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（三）重难点精讲
例题1、已知：在⊙O 中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB，求证：∠ACB=（1/2） ∠AOB。
分析：（1）由图（1）可知，圆心O在∠ACB的边上。
∵OC=OB，
∴ ∠C=∠B。
∵∠AOB是△OBC的外角，
∴ ∠AOB=∠C+∠B。
∴∠AOB=2∠C。即∠C=（1/2）∠AOB。
（2）由图（2）可知，圆心O在∠ACB的内部。
作直径CD，利用（1）的结果，有
∠ACD=（1/2）∠AOD，
∠BCD=（1/2）∠BOD，
∴ ∠ACD + ∠BCD = （1/2） （∠AOD+∠BOD)。
即∠ACB=（1/2）∠AOB。
（3）由图（3）可知，圆心O在∠ACB的外部。
作直径CD，利用（1）的结果，有
∠ACD=（1/2）∠AOD，
∠BCD=（1/2）∠BOD，
∴ ∠BCD - ∠ACD = （1/2） （∠BOD - ∠AOD）
∴即∠ACB=（1/2）∠AOB。
例2、已知：CD为⊙O 的直径，AC，AE分别交所⊙O于B，D两点，∠A=23°，∠BED=21°，求∠DCE的度数。
分析：
∵CD为⊙O 的直径，
∴ ∠CED=90°，
∵∠A=23°， ∴∠BCE=67°。
∵∠BCD=∠BED=21°，
∴∠DCE=∠BCE - ∠BCD
=67° - 21°
=46°
（四）归纳小结
1.我们把顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
（五）随堂检测
1.如图，A、B、C、D在⊙O上，BC是⊙O的直径．若∠D=36°，则∠BCA的度数是（ ）
A.72° B. 54°
C. 45° D.36°
2.△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是( )
A. 80°
B. 160°
C. 100°
D. 80°或100°
3.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为( )
A. 1/3 B. 2
C. /4 D. 2/3
4.如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=( )
A. 100° B. 72°
C. 64° D. 36°
5.如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）
A. 12.5 B. 15°
C. 20° D. 22.5°
6.圆的一条弦恰好为半径长，这条弦所对的圆周角为 度。
7.△ABC中，BC=4，∠A=60°，则这个三角形的面积的最大值是 。
8.下列说法中：
①平分弦的直径垂直于弦；②直角所对的弦是直径；③相等的弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤圆周角等于圆心角的一半；⑥x2-5x+7=0两根之和为5。其中正确的命题个数为（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【答案】
1.B
2.D
3.C
4.C
5.B
6.30或150
7.4
8.B
六、板书设计
21.4圆周角（1）
探究1： 例题1：
1.我们把顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
七、布置作业
课本P126习题
练习册相关练习
八、教学反思
根据《数学课程标准》学习对生活有用的数学、学习对终身发展有用的数学的基本理念，本节课引导学生从了解圆的圆周角出发，利用已有的知识和能力，通过探究、小组合作学习等多种方式，对圆周角的定理的问题进行分析，并结合习题巩固知识。培养学生联系实际，发现数学问题、分析问题、解决问题的能力。
课件24张PPT。九年级上册21.4.1 圆周角情境导入足球运动员在下面B、C、D处射门时，在哪个位置最合适呢？本节目标1.通过学习，理解圆周角的概念。（难点）
2.能够掌握圆周角的定理。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。1.如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，CE为100°，则∠AOC的度数为（ ） A. 30° B. 39°
C. 40° D. 45°C预习反馈预习反馈2.如图，AB是圆O的直径，点C、点D在圆O上，连结AC、BC、AD、CD，若∠BAC=40°，则∠ADC的度数等于（ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°C3.如图，在⊙O的内接六边形ABCDEF中，∠CAE=80°，则∠B+∠F的度数为（ ）
A. 220° B. 240°
C. 280° D. 260°D预习反馈4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠OAB=40°，则∠ACB的度数为（ ）
A. 45° B. 50°
C. 40° D. 80°B预习反馈1.什么是圆周角？圆周角必须满足什么条件？
2.圆周角的定理是什么？课堂探究1. 我们把顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角必须满足两个条件：①定点在圆上。②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可。
2.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。课堂探究课堂探究 使用计算机画同一条弧所对的圆心角和圆周角，分别测量这两个角的大小，拖动点C，再次测量两个角的大小，你能得到它们在度数之间有怎样的关系？测得∠AOB=74°，∠ACB=37°，拖动C点之后，∠AOB=74°，∠ACB=37°。因此可以得出一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。?典例精析⌒
AB
（1）（2）（3）典例精析分析：
（1）由图（1）可知，圆心O在∠ACB的边上。
∵OC=OB，
∴ ∠C=∠B。
∵∠AOB是△OBC的外角，
∴ ∠AOB=∠C+∠B。
∴∠AOB=2∠C。即∠C=（1/2）∠AOB。典例精析?典例精析?例2、已知：CD为⊙O 的直径，AC，AE分别交所⊙O于B，D两点，∠A=23°，∠BED=21°，求∠DCE的度数。典例精析典例精析分析：
∵CD为⊙O 的直径，
∴ ∠CED=90°，
∵∠A=23°， ∴∠BCE=67°。
∵∠BCD=∠BED=21°，
∴∠DCE=∠BCE - ∠BCD
=67° - 21°
=46°本课小结1.我们把顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。1.如图，A、B、C、D在⊙O上，BC是⊙O的直径．若∠D=36°，则∠BCA的度数是( )
A.72° B. 54°
C. 45° D.36°B随堂检测2. △ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是( )
A. 80°
B. 160°
C. 100°
D. 80°或100°D随堂检测?C随堂检测4.如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=( )
A. 100° B. 72° C. 64° D. 36° C随堂检测随堂检测5.如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）
A. 12.5 B. 15°
C. 20° D. 22.5°B6.圆的一条弦恰好为半径长，这条弦所对的圆周角为 度 .30或150随堂检测7. △ABC中，BC=4，∠A=60°，则这个三角形的面积的最大值是 .?8.下列说法中： ①平分弦的直径垂直于弦；②直角所对的弦是直径；③相等的弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤圆周角等于圆心角的一半；⑥x2-5x+7=0两根之和为5。其中正确的命题个数为（ ） A. 0 B. 1
C. 2 D. 3B随堂检测21.4.1 圆周角
一、夯实基础
1. 如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B等于（ ）
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 50°
2. 如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
3. 如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点H，E是⊙O上的点，若∠BEC=25°，则∠BAD的度数为（ ）
A. 65°
B. 25°
C. 50°
D. 25°
4. 如图，⊙O的直径BD=6，∠A=60°，则BC的长度为（ ）
A.
B. 3
C.
D.
5. 如图，在⊙O中，弦AC=，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径是（ ）
A. 2
B. 4
C.
D.
6. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠C+∠AOB=60°，则∠AOB的大小为（ ）
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
二、能力提升
7. 在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径，如图，直角角尺，∠AOB=90°，将点O放在圆周上，分别确定OA、OB与圆的交点C、D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为（ ）
A. 17
B. 14
C. 12
D. 10
8. 如图，在⊙O中，O为圆心，点A，B，C在圆上，若OA=AB，则∠ACB= ( )
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
9. 如图，∠C是⊙O的圆周角，∠C=38°，则∠OAB= ( ) 度
A. 52
B. 38
C. 60
D. 76
10. 如图，已知AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D等于( )
A. 65°
B. 25°
C. 15°
D. 35°
11.若圆的一条弦把圆分成度数比为1：4的两段弧，则弦所对的圆周角等于 。
三、课外拓展
12. 如图：已知△ABC的垂心为H。外接圆⊙O，M为AB的中点。连接MH并延长交⊙O于D。求证：HD⊥CD。
13. 如图，AB是⊙O的直径，AB=12m，M是劣弧AC的中点，弦AC与BM交于点D，∠ABC=2∠A。
（1）求证：AD=BD；
（2）求AD、DC的长。
四、中考链接
1．（杭州）如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（ ）
A．DE=EB
B．DE=EB
C．DE=DO
D．DE=OB
2．（张家界）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦。若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（ ）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
3．（娄底）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（ ）
A．20°
B．40°
C．50°
D．70°
参考答案
一、夯实基础
1.C
2.C
3.B
4.C
5.D
6.D
二、能力提升
7.C
8.B
9.A
10.B
11. 36°或144°
三、课外拓展
12.解析：如图：作⊙O直径CE．连接AE、BE、AH、BH。
∵BE⊥BC（直径所对的圆周角是90°），AH⊥BC（H是△ABC的垂心），
∴BE∥AH（垂直于同一条直线的两条直线平行），
同理，EA∥BH，
∴四边形AHBE是平行四边形，
∴EH与AB交点和M重合，
∴E、M、H、D四点共线，
∴∠D等于90°（直径所对角是90°），
即HD⊥CD。
13.解析：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°（直径所对的圆周角是直角）；
∵∠ABC=2∠A，∠ABC+∠A=90°，
∴∠ABC=60°，∠A=30°；
∵M是劣弧AC的中点，
∴∠ABD=∠CBD=30°（等弧所对的圆周角相等），
∴AD=BD（等边对等角）；
（2）在直角三角形ABC中，AB=12m，∠A=30°，
∴AC=AB?cos30°，
∴AC=6m，
在直角三角形ABC中，BCD中，∠CBD=30°，
∴BD=2CD，
∵∠A=∠ABD
∴AD=BD，
∴AD=2CD；
∴CD=（1/3） AC =2m，
AD=（2/3） AC =4m。
中考链接：
1. 解：连接EO
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，
∴∠B+∠D=3∠D，
∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，
∴∠DOE=∠D，
∴ED=EO=OB，
故选D。
2. 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠OBC=60°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°。
故选D。
3. 解：∵∠D=40°，
∴∠B=∠D=40°。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-40°=50°。
故选C。
21.4.2 圆周角
预习案
一、预习目标及范围：
1.通过学习，理解圆内接四边形的性质。（难点）
2.能够掌握圆内接四边形的概念。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、预习要点
1.什么是圆内接四边形？
2.圆内接四边形的性质是什么？
三、预习检测
1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°，则∠C的度数是（ ）
A. 100° B. 110°
C. 120° D. 130°
2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（ ）
A. 110° B. 90°
C. 70° D. 60°
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是（ ）
A. 88° B. 92°
C. 106° D. 136°
4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是（ ）
A. 60° B. 90°
C. 100° D. 120°
探究案
一、合作探究
活动1：小组合作
（1）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的 ，这个圆叫做这个多边形的 。如图，四边形ABCD是⊙O的 ， ⊙O是四边形ABCD的 。
（2）如图：圆内接四边形ABCD中，∵∠A的度数等于弧BCD的一半，∠BCD的一半，∠BCD的度数等于弧BAD的一半，又∵弧BCD+弧BAD的度数为 ，
∴∠A+∠C= 。
同理∠B+∠D= 。
可以得出：圆内接四边形的对角 。
如图：如果延长BC到E，那么
∠DCE+∠BCD= ，
又∵∠A+∠BCD= ，
∴∠A= ，
可以得出：圆内接四边形的任意一个外角等于它的 。
活动内容2：典例精析
例题1、已知：在⊙O 中，直径AB的长为10cm，弦AC的长为6cm，∠ACB的平分线交 ⊙O于点D，求BC，AD和BD的长。
分析：∵AB为直径，
∴ ∠ACB=∠ADB=90°。
在Rt△ACB中，
BC=AB2-AC2=102-62 = 8（cm）
∵CD平分∠ACB，
∴ 弧AD = 弧BD。
∴AD=BD。
在等腰直角三角形ADB中，
AD=BD=AB sin45°
=10 （2/2）
=52（cm）
∴BC=8cm，AD=BD=52cm 。
二、随堂检测
1.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是( )
A.115° B.105°
C.100° D.95°
2.如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为( )
A. 35° B. 40°
C. 50° D. 80°
3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=36°，则∠A的度数为( )
A. 36° B. 56°
C. 72° D. 144°
4.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为( )
A. 140° B. 110°
C. 90° D. 70°
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD（ ）
A. 128° B. 100°
C. 64° D. 32°
6.圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：5，则∠D等于 。
7.圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比为2：3：6，∠D的度数为 。
8. 已知四边形ABCD内接于圆，∠A=2∠C，则∠C等于（ ）
A. 90° B. 60°
C. 45° D. 30°
参考答案
预习检测：
1. B
2. A
3. D
4. D
随堂检测
1.B
2.B
3.D
4.D
5.A
6.120°
7.112.5°
8.B
21.4.2 圆周角
一、教学目标
1.通过学习，理解圆内接四边形的性质。（难点）
2.能够掌握圆内接四边形的概念。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、课时安排
1课时
三、教学重点
能够掌握圆内接四边形的概念。
四、教学难点
通过探索，熟练掌握圆内接四边形的性质。
五、教学过程
（一）导入新课
如图四边形ABCD是圆O内接四边形，∠AOB=130°，你能求出∠ADC和∠ABC的度数吗？
（二）讲授新课
活动1：小组合作
（1）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆。
（2）如图：圆内接四边形ABCD中，∵∠A的度数等于弧BCD的一半，∠BCD的一半，∠BCD的度数等于弧BAD的一半，又∵弧BCD+弧BAD的度数为360°，
∴∠A+∠C=180°。
同理∠B+∠D=180°
可以得出：圆内接四边形的对角互补。
如图：如果延长BC到E，那么
∠DCE+∠BCD=180°，
又∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCE
可以得出：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
（三）重难点精讲
例题1、已知：在⊙O 中，直径AB的长为10cm，弦AC的长为6cm，∠ACB的平分线交 ⊙O于点D，求BC，AD和BD的长。
分析：∵AB为直径，
∴ ∠ACB=∠ADB=90°。
在Rt△ACB中，
BC=AB2-AC2=102-62 = 8（cm）
∵CD平分∠ACB，
∴ 弧AD = 弧BD。
∴AD=BD。
在等腰直角三角形ADB中，
AD=BD=AB sin45°
=10 （2/2）
=52（cm）
∴BC=8cm，AD=BD=52cm 。
（四）归纳小结
1.圆内接四边形的对角互补。
2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
3.圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补。
（五）随堂检测
1.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是( )
A.115° B.105°
C.100° D.95°
2.如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为( )
A. 35° B. 40°
C. 50° D. 80°
3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=36°，则∠A的度数为( )
A. 36° B. 56°
C. 72° D. 144°
4.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为( )
A. 140° B. 110°
C. 90° D. 70°
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD（ ）
A. 128° B. 100°
C. 64° D. 32°
6.圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：5，则∠D等于 。
7.圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比为2：3：6，∠D的度数为 。
8. 已知四边形ABCD内接于圆，∠A=2∠C，则∠C等于（ ）
A. 90° B. 60°
C. 45° D. 30°
【答案】
1.B
2.B
3.D
4.D
5.A
6.120°
7.112.5°
8.B
六、板书设计
21.4圆周角（2）
探究1： 例题1：
1.圆内接四边形的对角互补。
2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
3.圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补。
七、布置作业
课本P127习题
练习册相关练习
八、教学反思
根据《数学课程标准》学习对生活有用的数学、学习对终身发展有用的数学的基本理念，本节课引导学生从了解圆的内接四边形出发，利用已有的知识和能力，通过探究、小组合作学习等多种方式，对圆内接四边形的性质的问题进行分析，并结合习题巩固知识。培养学生联系实际，发现数学问题、分析问题、解决问题的能力。
课件22张PPT。九年级上册21.4.2 圆周角情境导入 如图四边形ABCD是圆O内接四边形，∠AOB=130°，你能求出∠ADC和∠ABC的度数吗？本节目标1.通过学习，理解圆内接四边形的性质。（难点）
2.能够掌握圆内接四边形的概念。（重点）
3.运用所学的知识解决实际的问题。1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°，则∠C的度数是（ ） A. 100° B. 110°
C. 120° D. 130°B预习反馈预习反馈2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（ ）
A. 110° B. 90°
C. 70° D. 60°A3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是（ ）
A. 88° B. 92°
C. 106° D. 136°D预习反馈4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是（ ）
A. 60° B. 90°
C. 100° D. 120°D预习反馈1.什么是圆内接四边形？
2.圆内接四边形的性质是什么？课堂探究1.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆。 课堂探究课堂探究2.如图：圆内接四边形ABCD中，∵∠A的度数等于弧BCD的一半，∠BCD的一半，∠BCD的度数等于弧BAD的一半，又∵弧BCD+弧BAD的度数为360°，
∴∠A+∠C=180°。
同理∠B+∠D=180°
可以得出：圆内接四边形的对角互补。课堂探究如图：如果延长BC到E，那么
∠DCE+∠BCD=180°，
又∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCE
可以得出：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。例1、已知：在⊙O 中，直径AB的长为10cm，弦AC的长为6cm，∠ACB的平分线交 ⊙O于点D，求BC，AD和BD的长。典例精析典例精析?典例精析?本课小结1.圆内接四边形的对角互补。 2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
3.圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补。1.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是( )
A.115° B.105°
C.100° D.95°B随堂检测2.如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为( )
A. 35° B. 40°
C. 50° D. 80°B随堂检测3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=36°，则∠A的度数为( )
A. 36° B. 56° C. 72° D. 144°D随堂检测4.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为( )
A. 140° B. 110° C. 90° D. 70° D随堂检测随堂检测5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD（ ）
A. 128° B. 100°
C. 64° D. 32°A6.圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：5，则∠D等于 .120°随堂检测7.圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比为2：3：6，∠D的度数为 .112.5°8.已知四边形ABCD内接于圆，∠A=2∠C，则∠C等于（ ） A. 90° B. 60°
C. 45° D. 30°B随堂检测21.4.2 圆周角
一、夯实基础
1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的大小是=（ ）
A. 80°
B.100°
C. 40°
D. 60°
2. 如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 25°
3. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD（ ）
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 70°
4. 在圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=2：3：6，则∠D等于（ ）
A.67.5°
B. 135°
C. 112.5°
D. 45°
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=62°，则∠CAO的度数是（ ）
A. 28°
B. 30°
C. 31°
D. 62°
6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为3/2，AC=2，则sinB的值是（ ）
A. 2/3
B. 3/2
C. 3/4
D. 4/3
二、能力提升
7. 如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相较于点E，F，若∠A=55°，∠E=30°，则∠F=（ ）
A. 30°
B. 25°
C. 60°
D. 40°
8. 如图，AB，CD是⊙O中两条互相垂直的直径，点E在⊙O上，则∠BEC ( )
A. 30°
B. 35°
C. 45°
D. 60°
9. 如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是弧BC上任意一点。若AB=10，BC=6，则AP的长不可能是( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 9
10. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°，则∠AOC的度数为( )
A. 45°
B. 90°
C. 100°
D. 135°
11. 在⊙O中，圆心O到弦AB的距离等于弦AB的一半，则弦AB所对的圆周角的度数是 。
三、课外拓展
12. 如图，设AB为半圆直径，弦AC和BD交于点E，求证：AB2=AE?AC+BE?BD。
13. 已知⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，求证：∠AOD+∠BOC=180°。
四、中考链接
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A．50°
B．45°
C．60°
D．75°
2．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（ ）
A．40°，80°
B．50°，100°
C．50°，80°
D．40°，100°
3．（邵阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）
A．80°
B．60°
C．100°
D．40°
参考答案
一、夯实基础
1.B
2.C
3.A
4.C
5.A
6.A
二、能力提升
7.D
8.C
9.A
10.B
11. 45°或135°
三、课外拓展
12.解析：连接BC，AD，
根据直径所对的圆周角是直角，得∠C=∠D=90°，
根据相交弦定理，得AE?CE=DE?EB
∴AE?AC+BE?BD=AC2-AC?CE+BD2-BD?DE
=AB2-BC2+AB2-AD2-AC?CE-BD?DE
=2AB2-BE2+CE2-AE2+DE2-AC?CE-BD?DE
=2AB2-AE?AC-BE?BD，
∴AE?AC+BE?BD=AB2
13.解析：连接AC，BD，
由圆周角定理得：∠AOD=2∠ABD，∠BOC=2∠CDB，
∵弦AB⊥弦CD
∴∠ABD+∠BDC=90°，
∴∠AOD+∠BOC=2∠ABD+2∠BDC=2（∠ABD+∠CDB）=2×90°=180°
中考链接：
1. 解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC；
∵∠ADC=（1/2）β，∠AOC=α；而α+β=180°，
α+β＝180°，α=（1/2）β；
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故选C。
2. 解：∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∵∠CAB=40°，
∴∠C=50°，
∴∠ABD=∠C=50°，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB=50°，
∴∠AOD=∠ABD+∠ODB=100°，
故选B。
3. 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=180°-140°=40°。
∴∠AOC=2∠ABC=80°。
故选A。
第21章 圆（上）
一、知识梳理
1.圆的概念
2.点与圆的位置关系
3.掌握弧、弦、圆心角及扇形的相关问题
4.掌握不在同一直线上三点确定一个圆的结论
5.画三角形的外接圆的注意事项
6.垂径定理
7.圆的对称性
8.圆心角、弧、弦三者的关系
二、题型、方法归纳
1. 平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做 。
2. 同心圆是指 相同，半径不相等的两个圆，等圆是指能够重合的两个圆，等圆的半径 。
3. 过一个点能做 个圆。
4. 圆是 ，圆的对称轴是 。
5.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
归纳小结
1.圆的概念
平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 。圆的位置由圆心决定，圆的大小与半径有关。
2.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有3种。设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外?d＞r
②点P在圆上?d=r???
③点P在圆内?d＜r。
3.弧、弦、圆心角及扇形的相关问题
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。圆的半径也就是扇形的半径。
4.掌握不在同一直线上三点确定一个圆的结论在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：
这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆。“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆。
5. 画三角形的外接圆的注意事项
画三角形外接圆的关键是：①确定圆心，三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；②确定半径，半径是交点到顶点的距离。
6.垂径定理
垂径定理是垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
7.圆的对称性
圆是轴对称图形，圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线。圆有无数条对称轴。
用折叠的方法证明圆是轴对称图形 。
8.圆心角、弧、弦三者的关系
圆心角、弧、弦三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合。
参考答案
二、题型、技巧归纳
1．圆
2．圆心 相等
3．无数
4．轴对称图形 任意一条经过圆心的直线
5．D
第21章 圆（上）
一、复习目标
1.圆的有关概念
2.圆的性质
二、课时安排
2课时
三、复习重难点
（1）点与圆的位置关系
（2）画三角形的外接圆的注意事项
（3）圆心角、弧、弦三者的关系
四、教学过程
（一）知识梳理
1.圆的概念
2.点与圆的位置关系
3.掌握弧、弦、圆心角及扇形的相关问题
4.掌握不在同一直线上三点确定一个圆的结论
5.画三角形的外接圆的注意事项
6.垂径定理
7.圆的对称性
8.圆心角、弧、弦三者的关系
（二）题型、方法归纳
1. 平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做 。
2. 同心圆是指 相同，半径不相等的两个圆，等圆是指能够重合的两个圆，等圆的半径 。
3. 过一个点能做 个圆。
4. 圆是 ，圆的对称轴是 。
5. 1.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
（三）典例精讲
例1. 在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，以点C为圆心，以r为半径作圆，按下列条件分别判断A，B两点和⊙C的位置关系：
（1）r=2.4； （2）r=4。
分析：∵ ∠C=90°， AC=4，AB=5，
∴BC=AB2-AC2=3。
（1）当r=2.4时，
∵BC=3＞r，AC=4＞r，
∴A，B两点都在⊙C外。
（2）当r=4时，
∵BC=3＜r，AC=4=r，
∴点B在⊙C内， 点A在⊙C上。
例2：现有一把折扇和一把圆扇。已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，圆扇的直径为a,折扇的扇面宽是骨柄长的三分之二，折扇张开的角度是120度，通过计算说明哪把扇子的扇面面积大。
分析：由折扇的骨柄长和圆扇的直径都是a，得
S圆扇的扇面=π（a/2）2=（1/4）πa2，
S折扇的扇面=S大扇形-S小扇形
=（120/360） π a2-（120/360） π （a-2a/3）2
=（8/27）πa2
∵（8/27）πa2＞（1/4）πa2
∴折扇的扇面面积大于圆扇的扇面面积。
例3：已知：A，B是⊙O 上的两点，∠AOB=120°，C是弧AB的中点，试判断四边形AOBC的形状，并说明理由。
分析：四边形AOBC为菱形。
理由如下：
连接OC。
∵C是弧AB的中点，
∴弧AC= 弧BC。
∵∠AOB=120°，∴ ∠1= ∠2=（1/2）∠AOB=60°
又∵OA=OC=OB，
∴△AOC，△BOC均为等边三角形。
∴AC=AO=OB=BC，∴四边形AOBC为菱形。
（四）归纳小结
1.圆的概念
平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 。圆的位置由圆心决定，圆的大小与半径有关。
2.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有3种。设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外?d＞r
②点P在圆上?d=r???
③点P在圆内?d＜r。
3.弧、弦、圆心角及扇形的相关问题
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。圆的半径也就是扇形的半径。
4.掌握不在同一直线上三点确定一个圆的结论在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：
这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆。“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆。
5.画三角形的外接圆的注意事项
画三角形外接圆的关键是：①确定圆心，三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；②确定半径，半径是交点到顶点的距离。
6.垂径定理
垂径定理是垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
7.圆的对称性
圆是轴对称图形，圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线。圆有无数条对称轴。
用折叠的方法证明圆是轴对称图形 。
8.圆心角、弧、弦三者的关系
圆心角、弧、弦三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合。
五、板书设计
1.圆的概念
2.点与圆的位置关系
3.弧、弦、圆心角及扇形的相关问题
4.不在同一直线上三点确定一个圆的结论
5.画三角形的外接圆的注意事项
6.垂径定理
7.圆的对称性
8.圆心角、弧、弦三者的关系
六、作业布置
完成单元检测
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本章重点内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握这一章节的知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本章重点内容。
课件20张PPT。九年级上册第21章 圆（上）章末复习学习目标1.圆的有关概念
2.圆的性质知识梳理1.圆的概念
2.点与圆的位置关系
3.掌握弧、弦、圆心角及扇形的相关问题
4.掌握不在同一直线上三点确定一个圆的结论
5.画出三角形的外接圆的注意事项
6.垂径定理
7.圆的对称性
8.圆心角、弧、弦三者的关系难点突破1.圆的概念平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 。圆的位置由圆心决定，圆的大小与半径有关。2.点与圆的位置关系难点突破点与圆的位置关系有3种。设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： ??? ①点P在圆外?d＞r ??? ②点P在圆上?d=r ??? ③点P在圆内?d＜r。3.弧、弦、圆心角及扇形的相关问题难点突破连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。圆的半径也就是扇形的半径。难点突破4.掌握不在同一直线上三点确定一个圆的结论这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆。“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆。难点突破5.画三角形的外接圆的注意事项画三角形外接圆的关键是：①确定圆心，三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；②确定半径，半径是交点到顶点的距离。6.垂径定理难点突破垂径定理是垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。例1、在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，以点C为圆心，以r为半径作圆，按下列条件分别判断A，B两点和⊙C的位置关系：
（1）r=2.4； （2）r=4。典例精析典例精析?难点突破圆是轴对称图形，圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线。圆有无数条对称轴。
用折叠的方法证明圆是轴对称图形 。7.圆的对称性例2、现有一把折扇和一把圆扇。已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，圆扇的直径为a,折扇的扇面宽是骨柄长的三分之二，折扇张开的角度是120度，通过计算说明哪把扇子的扇面面积大。典例精析典例精析?难点突破8.圆心角、弧、弦三者的关系圆心角、弧、弦三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合。例3、已知：A，B是⊙O 上的两点，∠AOB=120°，C 是 的 中点。试判断四边形AOBC的形状，并说明理由。典例精析⌒
AB
典例精析?⌒
AB
随堂检测已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。
求证：EB=EI=EC。随堂检测分析：连结BI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠3= ∠4，
∵∠1= ∠2， ∠2= ∠5，
∴ ∠1= ∠5，∴∠1+ ∠3= ∠4+ ∠5
∴∠BIE= ∠IBE，∴EB=EI，
又∵EB=EC，
∴EB=EI=EC。作业布置家庭作业完成本章的同步练习预习作业预习下一章第一节内容第21章 圆（上）
一、夯实基础
1. ⊙O的半径r=5cm，圆心到直线l的距离OM=4cm，在直线l上有一点P，且PM=3cm，则点P（ ）。
A. 在⊙O内
B. 在⊙O上
C.在⊙O外
D. 可能在⊙O上或在⊙O内
2. 一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是( )
A. 5cm或11cm
B. 2.5cm
C. 5.5cm
D. 2.5cm或5.5cm
3. 如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（ ）。
A. a=b
B. a＜b上
C. a＞b
D.不能确定
4. 如图，AB是⊙O的直径，D、C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB=60°，连接AC，则∠DAC等于( )
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
5.已知⊙O的半径为4，A为线段PO的中点，当OP=10时，点A与⊙O的位置关系为 。
6.三点定圆”的含义是 的三点确定一个圆。
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心到顶点C的距离为 。
8.中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了 。
二、能力提升
9. 如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ）。
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
10. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，CD=6，则圆的半径长为( )
A. 2
B. 2
C. 4
D. 3
11. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度。
A. 30
B. 45
C. 50
D. 60
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为( )
A. 26°
B. 64°
C. 52°
D. 128°
13.若圆的一条弦把圆分成度数比为1：4的两段弧，则弦所对的圆周角等于 。
14.在⊙O中，圆心O到弦AB的距离等于弦AB的一半，则弦AB所对的圆周角的度数是 。。
15.若圆的一条弦把圆分成度数比例为2：7的两条弧，则弦所对的圆心角等于 。
三、课外拓展
16. 如图所示，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OC∥PE。
（1）求证：PC=OC；
（2）若弦CD=12，求tan∠OPD的值。
四、中考链接
17．（兰州）如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC为（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
18．（张家界）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦。若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（ ）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
参考答案
一、夯实基础
1.B
2.D
3.A
4.B
5.在圆外
6.不在同一直线上
7. 2.5cm
8.三倍
二、能力提升
9. A
10. A
11. A
12. C
13. 36°或144°
14. 45°或135°
15. 80°
三、课外拓展
16. 解析：（1）证明：∵PG平分∠EPF，
∴∠CPO=∠APO。
∵OC∥PE，
∴∠COP=∠APO，
∴∠CPO=∠COP，
∴PC=OC
（2）过点O作OH⊥CD于H，如图所示：
根据垂径定理可得CH=DH=（1/2）CD = 6
∴PH=PC+CH=OC+CH=10+6=16。
在Rt△CHO中，OH=OC2- CH2 =102-62 = 8，
∴tan∠OPD= OH/PH = 8/16 =1/2。
中考链接：
17. 解：∵∠A=50°，OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=50°，
∴∠AOB=180°-50°-50°=80°，
∵点C是弧AB的中点，
∴∠BOC=（1/2）∠AOB=40°
故选A。
18. 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠OBC=60°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°。
故选D。
