湖南省宁远县第一中学2016-2017学年高一下学期比赛考试（6月月考）数学试题 Word版含答案

2017年上期宁远一中高一比赛考试数学试题
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．sin330°的值为(　　)
A．　　
　B．
C．－
D．－
2.
＋－＋
化简后等于(　　)
A．3　　
B.
　　　　C.
D.
3.
2017是等差数列4，7，10，13，…的第几项（　　）
A．669
B．670
C．671
D．672
4.
的值为（　　）
A．0
B．
C．
D．
5.如果a＞b＞0，那么下面一定成立的是（　　）
A．a－b＜0
B．ac＞bc
C．
D．a3＜b3
6.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N＋)，则a4的值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
7.已知△ABC的三个内角满足：sinA＝sinC·cosB，则△ABC的形状为（
）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
8.
为得到函数的图象，只需将函数的图象（
）
A．向左平移个长度单位
B．向左平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
9.
函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
10.
已知
且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
11.
已知的三个顶点及所在平面内一点G，若，且实数满足，则（
）
A．
B．3
C．-1
D．2
已知数列满足，设，用表示不超过的最大整数，则的值为（
）

B．
C．

D．
二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.若sin(α－)＝，则cos(α＋)＝________.
14.
如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，D是BC边上一点，且＝2，则·
的值为________．
15.
在平行四边形ABCD
中，，边AB、AD长分别为2、1，若E、F分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是
16.已知，若存在，满足，则称是的一个“友好”三角形，若等腰存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为
________．
三.解答题：(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.
（本小题满分10分）
已知数列{}中，已知，，.
求的值；
证明：数列是等比数列．
18.
（本小题满分12分）
已知向量
（1）若，求；
（2）设函数，求的最小正周期及单调递减区间。
19.
（本小题满分12分）
已知函数
求：
（1）函数的定义域和值域；
（2）若，其中，求的值。
20.
（本题满分12分）
已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)
求数列{bn}的通项公式；
(2)
令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
21.（本题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b=5，c=，且4sin2﹣cos2C=．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．
22.
（本小题满分12分）
已知数列的各项均为正数，设其前项和为，且.
（1）求数列的通项公式.
（2）若数列，设为数列的前项的和，若对一切恒成立，求实数的最小值．
(答案)
2017年上期宁远一中高一比赛试题
选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．sin330°的值为(　C　)
A．　　
　B．
C．－
D．-
2.
＋－＋
化简后等于(　C　)
A．3　　
B.
　　　　C.
D.
3.
2017是等差数列4，7，10，13，…的第几项（　D　）
A．669
B．670
C．671
D．672
4.
的值为（　B　）
A．0
B．
C．
D．
5.如果a＞b＞0，那么下面一定成立的是（　C　）
A．a－b＜0
B．ac＞bc
C．
D．a3＜b3
6.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N＋)，则a4的值为（
D
）
A．5
B．6
C．7
D．8
7.已知△ABC的三个内角满足：sinA＝sinC·cosB，则△ABC的形状为（
B
）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
8.
为得到函数的图象，只需将函数的图象（
c
）
A．向左平移个长度单位
B．向左平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
9.
函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（
B
）
A．
B．
C．
D．
10.
已知
且，则的值为（
C
）
A．
B．
C．
D．
11.
已知的三个顶点及所在平面内一点G，若，且实数满足，则（
B
）
A．
B．3
C．-1
D．2
已知数列满足，设，用表示不超过的最大整数，则的值为（
B
）

B．
C．

D．
二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.若sin(α－)＝，则cos(α＋)＝________.答案]　－
14.
如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，D是BC边上一点，且＝2，则·
的值为________．－2
15.
在平行四边形ABCD
中，，边AB、AD长分别为2、1，若E、F分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是
16.已知，若存在，满足，则称是的一个“友好”三角形，若等腰存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为
________．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
D
B
C
D
B
C
B
C
B
B
三.解答题：(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.
（本小题满分10分）
已知数列{}中，已知，，.
求的值；
证明：数列是等比数列．
解:(1)
是以为首项为公比的等比数列
18.
（本小题满分12分）
已知向量
（1）若，求；
（2）设函数，求的最小正周期及单调递减区间。
解：（1）
（2）
,
T=
]
19.
（本小题满分12分）
已知函数求
（1）函数的定义域和值域；
（2）若，其中，求的值。
解：
（2）
20.
（本题满分12分）
已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)
求数列{bn}的通项公式；
(2)
令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(1)
由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5；当n＝1时，a1＝S1＝11，也符合上式，所以an＝6n＋5.
……………
2分
设数列{bn}的公差为d.由
即解得
所以bn＝3n＋1.
……………4
分
(2)
由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.
……………
6分
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
两式作差，得
－Tn＝3×2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
＝3×4＋－(n＋1)×2n＋2]＝－3n·2n＋2，
所以Tn＝3n·2n＋2.
……………
10分
……………
12分
21.（本题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b=5，c=，且4sin2﹣cos2C=．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．
解：（1）∵A+B+C=180°，
∴=90°﹣，
由得：，
∴，
整理得：4cos2C﹣4cosC+1=0，
解得：，
∵0°＜C＜180°，
∴C=60°；
（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，
∴7=（a+b）2﹣3ab=25﹣3ab ab=6，
∴
22.
（本小题满分12分）
已知数列的各项均为正数，设其前项和为，且.
（1）求数列的通项公式.
（2）若数列，设为数列的前项的和，若对一切恒成立，求实数的最小值．
22.解：法一：（1）∵正数列的前项和为，且，
∴当时，∴
因为∴，∵，解得，
∴，∴，所以.
（2），∴，
∴，
因为对一切恒成立，
∴，∴
因为，当且仅当时取等号，所以，
故实数的最小值为
法二：（1）①时，②
①-②整理得：
∵，解得是以1为首项，2为公差的等差数列
所以
（2）同法一。