22.1
一元二次方程
【学习目标】
理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
会依据简单的实际问题列一元二次方程并将其转化为一般形式。
【学习重点】一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。
【学习难点】理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
【课标要求】能鸲根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型
【温故知新】1、观察方程：2x=1；3x+2=x-4;2(x+2)-3(x-1)=0它们都含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的整式方程叫做一元一次方程。
2、下列方程是一元一次方程的是（ ）
（1）５ｘ＋３＝０，（２）２ｘ＋ｙ＝３，（３），
（４） ； （５）ｘ2－２ｘ＋１＝０
【自主学习】
自学课本Ｐ18---P19思考下列问题：
在教材中两个问题得出的两个方程有什么共同点？未知数的个数和最高次数各是多少？
什么叫一元二次方程？类比一元一次方程的概念，一元二次方程概念中的关键词是什么？举例说明。
一元二次方程的一般形式是什么？为什么规定a≠0？对b、ｃ有什么要求吗？
对一个一元二次方程是怎样转化成它的一般形式的？并说出它的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数？
５、若方程ax2+bx+c=0中a＝０、ｂ≠0，则它是你学过的哪一类方程？
【例题学习】
例１将方程３ｘ（ｘ－１）＝５（ｘ＋２）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。
例２、若关于ｘ的方程（ｋ＋３）ｘ2－ｋｘ＋１＝０是一元二次方程，求ｋ的取值范围。
【课堂练习】
1、判断下列方程，哪些是一元二次方程（
）
（1）x3－２ｘ2＋５＝０； （２）ｘ2＝１； （３）；
（４）２（ｘ＋１）2＝３（ｘ＋１）；（５）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１；（６）ax2＋bx＋c＝０
2、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。
（1）（2）（3）（4）
3、根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式。
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x。
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x。
（3）把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长。
（4）一个直角三角形的面积为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x。
【总结反思】
【堂清】
１、下列方程中不含一次项的是（
）
（A）、（B）、（C）、（D）、
2、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值是（
）
（A）、1
（B）、-1
（C）、±1
（D）、±2
3、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项。
（１） （２）
解：
解：
（３）
解：
【作业】
１、下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
Ａ、ax2＋bx＋c＝０ Ｂ、５ｘ2－６ｙ－１＝０
Ｃ、ax2－ｘ－２＝０ Ｄ、（ａ2＋１）x2＋ｂｘ＋ｃ＝０
２、（中考题）若方程（ｍ＋２）ｘ︱m︱＋３ｍｘ＋１＝０是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的值为（ ）
Aｍ＝±２ B、ｍ＝２ Ｃ、ｍ＝－２ Ｄ、ｍ≠±２
３、已知关于ｘ的方程（２ｍ－１）x2－ｍｘ＋（ｍ＋２）＝０
（１）当ｍ为何值时，此方程是一元一次方程？
（２）当ｍ为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
4、根据下列问题列方程，并将其化成一般形式。
（１）一个圆的面积是6.28m2，求半径（∏≈3.14）
解：
（２）一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm2，求较长的直角边的长。
解：
5、若３ｘ2m-1＋10ｘ－１＝０是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的值应为（ ）
Ａ、ｍ＝２ Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、无法确定22.1
一元二次方程
课前知识管理
1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．理解一元二次方程的概念时应注意：形如的方程不一定是一元二次方程.当时，是一元二次方程；当，且时，是一元一次方程.注意一元二次方程应满足的条件：（1）是整式方程，即方程两边都是关于未知数的整式；（2）只含有一个未知数（即一种未知数）；（3）未知数的最高次数是2（即未知数的指数最高是2）.
2．要判定一个整式方程是不是一元二次方程，一般需要将这个整式方程变形成为的形式.变形时，允许去分母、去括号、移项、合并同类项.在变形之后的形式中，若，则原来的方程便是一元二次方程；否则就不是一元二次方程.如：，所以它是一元二次方程；而，它不是一元二次方程.
3．一元二次方程的一般形式是（是已知数，）．它的特征是：等式左边是一个关于未知数的二次三项式，右边是零，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项.任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为一般形式，在理解一元二次方程的一般形式时，要注意以下几点：①在求一元二次方程各项的系数时，首先必须把一元二次方程化成一般形式；②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的.
4．一元二次方程的根：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
名师导学互动
典例精析
1．一元二次方程的识别
【例1】下列方程中,关于x的一元二次方程是(
)
A.3(x+1)2=2(x+1)
B.=0
C.ax2+bx+c=0
D.x2+2x=x2－1
【解题思路】因B中的分母含有未知数,所以它不是一元二次方程.C中字母a没有强调不为0,若a=0,则C中未知数的最高次数低于2,因此,不能肯定C中的方程是否是一元二次方程.D中方程化简后是一元一次方程.只有A中的方程符合一元二次方程的三个条件.
【解】选A．
【方法归纳】(1)判断一个方程是否是一元二次方程,应以化简后的结果为准.如化简前含有未知数是2次的项,但是化简后未知数最高次数是1,那它就不是一元二次方程；(2)当方程中含有字母系数(又叫参数)时,应区分未知数和字母.如“关于x的方程……”,则表明x是未知数,而方程中其它字母均是常数；(3)“×元×次方程”中的“元”指未知数,“次”指未知数的最高次数.
2．确定方程中未知字母的值
【例2】方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则(
)
A.m=±2
B.m=2
C.m=－2
D.m≠±2
【解题思路】由于一元二次方程中未知数的最高次数是2,所以|m|=2,即m=±2.但当m=－2时,原方程变为－6x+1=0,它是一元一次方程,不合题意,舍去.当m=2时,原方程变为4x2+6x+1=0,它是一元二次方程．
【解】选B．
【方法归纳】二次项系数不为0是一元二次方程的前提条件，未知数指数含字母常常出现讨论不全面而造成漏解或增解．
3.确定一元二次方程
【例3】设是二次项的系数，是一次项的系数，是常数项，且满足，求满足条件的一元二次方程为
.
【解题思路】由，得，解得.
∵是二次项的系数，是一次项的系数，是常数项，∴所求的方程为.
【解】.
【方法归纳】此题关键是理解算术平方根、完全平方数和绝对值的非负性，即.求解时主要应用性质：有且只有使各项为0时，几个非负数的和才为0.无论题中的非负数是哪种形式，都可以应用此结论列方程组求出多个未知数的值.
4、一元二次方程的根
【例4】已知2是关于的方程的一个根，则的值为（
）
A、2
B、
C、3
D、－
【解题思路】利用方程根的定义，可以先将关于的方程转化为关于的方程，从而求出的值.因为2是关于的方程的一个根，所以，解得.
【解】选A.
【方法归纳】由本题分析，我们可得以下发现：①涉及基本概念的问题应充分利用基本概念；②代解、求解是解决与方程有关的问题的两个基本方法.
易错警示
【例5】如果关于的方程是一元二次方程，则的值是（
）
A、2
B、－2
C、2或－2
D、0
【错解】由，得，故选C.
【错因分析】一元二次方程中隐含着一个相等关系和一个不等关系，相等关系是未知数的最高指数等于2；不等关系是二次项系数，错解正是忽视了这个不等关系造成的.
【正解】由，得，由得，故只能是，选B.
课堂练习评测
知识点1：列一元二次方程
1．（2010贵州毕节）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入3
000万元，预计2010年投入5
000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
知识点2：一元二次方程的识别
2．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（
）
（A）x2+－2=0
（B）ax2+bx+c=0
（C）（n2+1）x2+n=0
（D）mx2+3x=n
3．有下列方程：①
2x2－3=0；②
=1；③
；④
ay2+2y+c=0(其中a为常数)；⑤
(x+1)(x－3)=x2+5；⑥
x－x2=0
.其中是整式方程的有
，是一元二次方程的有
.(只需填写序号)
知识点3：确定一元二次方程
4．（2010年福建德化）已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：
．
5．若方程(a－1)+5x=4
是一元二次方程，则a=
6．关于x的方程(m2－16)x2+(m+4)x+2m+3=0.当m_________时,是一元一次方程；当m_________时,是一元二次方程.
知识点4：一元二次方程的根
7.下列各组取值是方程的根的是（
）
A、2或3
B、3或4
C、4或5
D、5或6
课后作业练习
基本能力
1．方程化为形式后，的值为（
）
（A）1，－2，－15
（B）1，－2，－15
（C）1，2，－15
（D）－1，2，－15
2．把方程(1－3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.
3.
（2010大兴安岭）代数式3x2－4x－5的值为7，则x2－
x－5的值为_______________．
4.
方程中，二次项系数、一次项系数与常数项的和为___________
5.在－3，－2，－1，0，1，2，3这七个数中，是方程的根的是
.
拓展能力
6
.（2010年浙江台州）某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程为
．
7.在解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的一元二次方程的一般形式是
.
8.
在下列方程：①
3x2+(1+x)+1=0；②
3x2++1=0；③
4x2=ax
(其中a为常数)；④
2x2+3x；⑤
=2x；⑥
=2x；⑦
｜x2+2x｜=4.
其中是一元二次方程的有
.(只需填写序号)
9.方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__
________，其二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________.
10.
关于的方程，当为何值时该方程是一元一次方程？当为何值时该方程是一元二次方程？
拓展探究
11．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：__________．
12.
方程是关于x的一元二次方程，则的值为
.
13.
若方程是一元二次方程，则下列不可能的是（
）
A.
==2
B.
=2,
=1
C.
=2,
=1
D.
==1
14.
（2010年佛山市）教材或资料出现这样的题目：把方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项.现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：
（1）下面式子中有哪些是方程化为一元二次方程的一般形式？（只填写序号）
①，②，③，④，⑤
（2）方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有上面关系？
课堂作业练习答案
1.答案：A.
2.答案：C
3.答案：①、③、④、⑤、⑥；①、③、⑥
4.答案：先写出一个关于1的平方的等式，然后再用未知数x代替1即可等到符合题意的一元二次方程.答案不惟一，如等.
5.答案：－1
6.答案：4，≠±4
7.答案：C
课后作业答案：
1.答案：C
2.解析：原方程化为一般形式是:5x2+8x－2=0(若写成－5x2－8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).
3.答案：－1
4.答案：－1
5.答案：1，2
6.答案：
7.答案：
8.答案：①、⑤、⑥、⑦.
9.答案：
.
10.解：由一元二次方程和一元一次方程的概念可知，当时，该方程是一元二次方程，而当且时，该方程是一元一次方程．
11.解：答案不唯一，如
，
等.
12.答案：2
13.答案：B
14.解：（1）①②④⑤
；（2）若说它的二次系数为a（a≠0），则一次项系数为－2a、常数项为－2a.(共17张PPT)
22.1
元二次方程
易错专攻
忽视了
次方程二
次项系数a≠0
③例2)关于x的一元二次
方程(a-1)x2+a2-1=0的
个根是0,则a的值为
A
B.1
.1或-1
自预习
梳理要点
含有
未知数,并且未知数的最高次数是
整式方程叫做
方程
次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)
使
方程的左右两边相等的未知数的值叫做
次方程的解
也叫做一元二次方程的根
4.将方程x(
匕为一般形式为
项系数为
随堂过关
夯实基期
下列方程是关于x的一元二次方程的是
将方程3x(
匕为
次方程的一般形式,正确的是
(邵阳实验中学一模)若x
是关于x的一元二次方程
的一个根,则a的值为
或
B.-1或
C.1或-4
D.1或4
方程的一
9=0,其二次项系数是
次项系数
常数
知关于x的方程(n
方
时,它是一元一次方程
列关于
方程化为一般形式,并写出二次项系数、一次项系
数和常数项
解
解:x2
次项系数
次项系薮
次项系数
项系数:-8
常数项
常数项
巩固强化
提升触力
8.若方程(
是关于x的一元二次
方程,则m的取值范围是
A
为任意正实数
知一次函数y=kx+b中k、b分别是一元二次方
程(x+1)(x-2)=1的二次项系数和常数项,则此
数图象一定经过
四象限
象限
象限
象限
关
元二次方程
(a≠0)
个解是
值是(A)
014
1.(西宁五中一模)已知关于x的方程x2+x+2a
的一个根是0,则
时,关于x的方程(k2-1).x
是一元二次方
方程
次方程
根据下列问题列
元二次方程,并将其化成
般形式
QQ群里共有x个好友,每个好友都分别
给群里其他好友发送一条消息,这样共有
条消息
)一矩形面积为
长比宽多
矩形的长与宽
(3)两个连续奇数的平方和
求这两个奇数
(2)设宽为xcm,则长为(x+3)c
有x(x+3)=28,x2+3x-28=0
(3)设这两个连续奇数分别为n、n+2
有
14.已知m是方程x2-x
的一个实数根,求代
数式(
是方程
的一个实数根
原
(银河永宁中学一模)已知(
是关
元二次方程,并
成立,试求k的取位
k
解:由题意,得k
k
以k的取值范围是k
且k
元二次方程ax2+bx+c
根是1,且a
满足等式b=√a
次
方程
方程为2x2-x+c=0
方程为2x2-x22.1一元二次方程
学习目标
1．知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）
2．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
3．正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项.
重点：一元二次方程的一般形式。
难点：正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项。
教学过程：
一、问题导入：
问题一：
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
分析：现设长方形绿地的宽为x米，则长为
米，可列方程
整理得
问题二：
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7．2万册．求这两年的年平均增长率．
分析：
设这两年的年平均增长率为x．
已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是
万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的
万册．可列得方程
整理可得
二、一元一次方程：
问题三：
前面我们已经认识了一元一次方程，那么方程和是一元一次方程吗？答案显而易见，不是。那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
概括：
方程，中都只含有
个未知数，并且未知数的最高次数都是
，这样的整式方程叫做一个一元二次方程．
一元二次方程的一般形式：
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)
其中a叫做二次项系数、b叫一次项系数，c叫常数项.
三、例题讲解
例：把方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数，常数项。
解：原方程可化为：3x2－5x－12＝0
∴二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－12.
四、巩固练习：
1、判断下列方程是否是一元二次方程;
（1）
（
）
（2）
(
)
（3）
（
）
(4)
(
)
说明：由一元二次方程的定义可得（1）是（2）是（3）不一定（4）否
2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2；
（2）7x－3=2x2;
（3）(2x－1)－3x(x－2)=0
（4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.
说明：（1）3；－1；2.（2）2；－7；3.（3）－3；8；－1.（4）2；－5；－11.
3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；
（1）
±1
±2；
（2）
±2，
±4
说明：（1）－1；2.（2）2；－4.
4、已知关于x的方程。
（1）当k为何值时，方程为一元二次方程？
（2）当k为何值时，方程为一元一次方程？
说明：（1）方程整理得，当方程的二次项系数k－3≠0，即k≠3时，方程为一元二次方程.
（2）当方程的二次项系数k－3＝0，即k＝3时，方程为一元一次方程.
五、课堂小结
这节课你学会了什么？
六、作业：习题1、2、3
备课资料：
A组：
1.填空：
⑴下列有8个方程：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
其中是一元二次方程的有
；
⑵将方程化为一元二次方程的一般形式为
；
⑶一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为
.
⑷如果一元二次方程
的系数满足，那么方程必有一个根为
。
2.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）
；
（2）
（3）；
（4）
B组：
1、写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）
（
（2）
（
2、把方程
(化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
3、试判断关于x的方程是不是一元二次方程，如果是，指出其二次项系数、一次项系数及常数项。
4、已知方程
当k为何值时，是一元二次方程？
当k为何值时，是一元一次方程？
5.已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.
