二次根式的乘除法
第一课时
教学内容
·＝（a≥0，b≥0），反之=·（a≥0，b≥0）及其运用．
教学目标
理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
由具体数据，发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．
教学重难点关键
重点：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它们的运用．
难点：发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）．
关键：要讲清（a<0,b<0）=，如=或==×．
教学方法
三疑三探
教学过程
一、设疑自探——解疑合探
自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题．
1．填空
（1）×=_______，=______；
（2）×=_______，=________．
（3）×=________，=_______．
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
×_____，×_____，×________
2．利用计算器计算填空
（1）×______，（2）×______，
（3）×______，（4）×______，
（5）×______．
（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．
老师点评：（1）被开方数都是正数；
（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．
一般地，对二次根式的乘法规定为
·＝．（a≥0，b≥0）
反过来:
=·（a≥0，b≥0）
合探1.
计算
（1）×
（2）×
（3）×
（4）×
分析：直接利用·＝（a≥0，b≥0）计算即可．
合探2
化简
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
分析：利用=·（a≥0，b≥0）直接化简即可．
二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！
三、应用拓展
判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2）×=4××=4×=4=8
四、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）
①
×
②3×2
③·
(2)
化简:
;
;
;
;
五、归纳小结（师生共同归纳）
本节课应掌握：（1）·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及其运用．
六、作业设计
一、选择题
1．若直角三角形两条直角边的长分别为cm和cm，那么此直角三角形的面积是（
）．
A．3cm
B．3cm
C．6cm
D．6cm
2．化简a的结果是（
）．
A．
B．
C．-
D．-
3．等式成立的条件是（
）
A．x≥1
B．x≥-1
C．-1≤x≤1
D．x≥1或x≤-1
4．下列各等式成立的是（
）．
A．4×2=8
B．5×4=20
C．4×3=7
D．5×4=20
二、综合提高题
探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）2=
验证：2=×==
==
（2）3=
验证：3=×==
==
同理可得：4
5，……
通过上述探究你能猜测出：
a=_______（a>0）,并验证你的结论．
教后反思：(共15张PPT)
21.2.3二次根式的除法
易错专攻
运用商的算术平方根性
质
进行化简,忽视
“a≥0,b>0”这一条件
○例2)化简
63
学生解答:原式=/63=√63
25
自鱼预习
梳理要点
次根式的除法
商的算术平方根的性质
最简二次根式应满足的条件
被开方数
分母
被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都
4.化简。的结果是
随堂过关
夯尖基
(大理下关四
列根式中,不是最简二次根式的是
A
C
中期末)等
成立的条件
列计算正确的
A
C
,则a的取值范围是0
知矩形的面积为
长是
i形的宽为
计算
斛:原
解:原
列二次根式化为最简二次根
解:原
解:原
解:原
国强化
升触力
列二次根式是最简二次根式的
9.下列计算错误的
10.(城固一中模拟)如果ab>0,a+b<0,那么下面各
ABC
C=90°,A
C
斜边AB上的
13.把以下二次根式化成最简二次根
解:原
(3)
b
(a>0)
解:原式
a
b
14.计算
解:原
解:原式
解:原
35)÷(
,公
数
数
知数a、b满足√4a
屏:/a-b
b-4a-3=0
原
拓展创新
尖子生挑战
知
x为偶数,求(1+x)
解:由题惫,得9-x≥0,x
丈∵x为偶数
原式=(1+x)
(x-1)(x-4)
(x-1)(x+1)
(1+x)/x-4
6(共12张PPT)
数
学
新课标（HS）
九年级上册
新知梳理
新知梳理
重难互动探究
重难互动探究
21.3 二次根式的加减法
新
知
梳
理
知识点一
同类二次根式的概念
21.3
二次根式的加减法
概念：几个二次根式化为
，如果
，那么这几个根式叫同类二次根式．
最简二次根式后
被开方数相同
知识点二
二次根式的加减法法则
21.3
二次根式的加减法
法则：同类二次根式合并，只要把根号外的式子相加减，不是同类二次根式的不能合并．
知识点三
二次根式的混合运算
21.3
二次根式的加减法
二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，实质上就是实数的混合运算和代数式的混合运算．
重难互动探究
探究问题一 同类二次根式
21.3
二次根式的加减法
B
21.3
二次根式的加减法
[归纳总结]
判断同类二次根式的方法：
(1)首先将不是最简二次根式的化为最简二次根式，再看被开方数是否相同；
(2)几个二次根式是否是同类二次根式只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关．
21.3
二次根式的加减法
21.3
二次根式的加减法
探究问题二 二次根式的加减
[解析]
先去括号，再化简，最后合并．
21.3
二次根式的加减法
[归纳总结]
二次根式的加减运算实质就是合并同类二次根式，一般的步骤：(1)化成最简二次根式；
(2)将同类二次根式合并．
21.3
二次根式的加减法
探究问题三 二次根式的混合运算
21.3
二次根式的加减法
[归纳总结]
(1)二次根式的混合运算顺序与实数、整式、分式混合运算的运算顺序一样，先乘方(开方)，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
(2)实数运算中的运算律，在二次根式的运算中仍然成立．
(3)运算的结果可能仍然是二次根式，也可能是有理数，如果结果是二次根式，要化为最简二次根式．(共7张PPT)
数
学
新课标（HS）
九年级上册
2.积的算术平方根
新知梳理
新知梳理
重难互动探究
重难互动探究
21.2 二次根式的乘除法
新
知
梳
理
知识点
积的算术平方根
2.积的算术平方根
等于各因式算术平方根的积
重难互动探究
探究问题 积的算术平方根
2.积的算术平方根
2.积的算术平方根
[解析]
首先将被开方数进行因式分解，化为乘积的形式，如果根号内有开得尽方的因式就移到根号外面来，用它的算术平方根来代替，达到化简的目的．
2.积的算术平方根
2.积的算术平方根
备选探究问题 二次根式的化简
教与当数
品新
QUANPIN
XIN
JIAO
AN
匡全
口口
书21.2
二次根式的乘除法
第三课时
一、教学目标
1．使学生知道什么是最简二次根式，遇到实际式子能够判断是不是最简二次根式．
2．使学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法．
3．使学生了解把二次根式化简成最简二次根式在实际问题中的应用．
二、教学重点和难点
1．重点：能够把所给的二次根式，化成最简二次根式．
2．难点：正确运用化一个二次根式成为最简二次根式的方法．
教学过程:
一、知识回顾：
1、二次根式的乘法运算法则是
用文字语言表达
？
积的算术平方根的公式是
2、二次根式的除法运算法则
用文字语言怎么表达
？
商的算术平方根的公式是
3、化简
（1）
=
=
=
=
（2）=
=
=
=
二、探究问题：
1化简时必须化到最简形式，那么什么样的二次根式是“最简二次根式”呢？
2、观察两组题目的化简结果，看看被开放数达到了哪些的要求才算最简？
归纳：最简二次根式要求满足以下两条：
(1)被开方数中的不含
(2)被开方数中不含
我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
2、举出两个最简二次根式
3、判断下列各式是否为最简二次根式？
（1）；（2）；（3）；
（4）x；
（5）4；（6）5m；（7）
三、试一试：
例1：把下列各式化成最简二次根式：
（1）
（2）
解（1）=
（2）=
方法总结：化简时，往往需要把被开方数分解因式或分解因数，把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外。
练一练：（1）；
（2）2。
例2
把下列各式化成最简二次根式：
（1）4；
（2）x
（3）
解：
方法总结：（1）把被开方数中的带分数化成
（2）化去根号下的
（3）化去分母中的根号。
练一练
：（1）；
（2）；
（3）；
（4）x。
例3
把下列各式化成最简二次根式
（1）；（2）；
解：
方法总结：化简时，当被开方数是和的形式时先将它化为
四、课堂小结：
本节课学习了哪些知识？
如何辨析最简二次根式？如何化简二次根式
当
堂
检
测
一、判断下列各等式是否成立，若不成立请说出理由
（1）=4＋3；（2）=；
（3）=2；
（4）
2=
二、选择
（1）、下列各根式中，属最简二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
(2)、如果，把化成最简二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
三
解答题
1、把下列各式化为最简二次根式：
⑴
⑵
（3）
2、计算：
（1）
（2）
15
÷2
当
堂
检
测
答案：
一、判断下列各等式是否成立，若不成立请说出理由
（1）=4＋3；不成立.等式的左边的被开方数是两个数的和，不是两数的积.
（2）=；成立.
根据
（3）=2；不成立.
，应为
（4）
2=；不成立.
应为.
二、选择
（1）B；(2)
B.
三
解答题
1、把下列各式化为最简二次根式：
⑴；
⑵；（3）
2、计算：
（1）3
；（2）
.(共12张PPT)
数
学
新课标（HS）
九年级上册
3.二次根式的除法
新知梳理
新知梳理
重难互动探究
重难互动探究
21.2 二次根式的乘除法
新
知
梳
理
知识点一
二次根式的除法法则
3.二次根式的除法
知识点二
商的算术平方根
3.二次根式的除法
算术平方根的商
知识点三
最简二次根式
3.二次根式的除法
如果二次根式有如下两个特点：
(1)被开方数不含____；
(2)被开方数中不含能开得尽方的____
．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
分母
因数或因式
重难互动探究
探究问题一 二次根式的除法
3.二次根式的除法
[解析]
两个二次根式相除，可采用根号前系数与系数对应相除，再乘根号内被开方数对应相除后的开方式．
3.二次根式的除法
3.二次根式的除法
[归纳总结]
除法法则 商的算术平方根
注意：(1)二次根式的除法法则成立的前提条件：
a≥0，b>0；
(2)要特别注意到分母b不能为0，即b＞0，不要与乘法法则的前提条件混淆．
3.二次根式的除法
探究问题二 最简二次根式
[解析]
二次根式乘、除法混合运算的顺序仍是按从左到右的顺序，如果有括号，先算括号里的．
3.二次根式的除法
[归纳总结]
混合运算要注意运算顺序和确定符号．
3.二次根式的除法
探究问题三 分母有理化
3.二次根式的除法(共9张PPT)
数
学
新课标（HS）
九年级上册
1.二次根式的乘法
新知梳理
新知梳理
重难互动探究
重难互动探究
21.2 二次根式的乘除法
新
知
梳
理
知识点
二次根式的乘法
1.二次根式的乘法
相乘
不变
重难互动探究
探究问题 二次根式的乘法
1.二次根式的乘法
[归纳总结]
两个二次根式相乘，结果仍是二次根式，只需把被开方数分别相乘，根指数不变．
1.二次根式的乘法
1.二次根式的乘法
备选探究问题 二次根式乘法法则的应用
[解析]
已知直角三角形的两边长求面积，有两种可能：一种是已知两条边长都是直角边长，另一种是已知一条直角边长和一条斜边长．
1.二次根式的乘法
1.二次根式的乘法
1.二次根式的乘法
[归纳总结]
(1)当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式法则．
(2)二次根式相乘的结果应尽量化简．
教与当数
品新
QUANPIN
XIN
JIAO
AN
匡全
口口
书(共11张PPT)
数
学
新课标（HS）
九年级上册
新知梳理
新知梳理
重难互动探究
重难互动探究
21.1 二次根式
新
知
梳
理
知识点一
二次根式的概念
21.1
二次根式
定义：形如_____________的式子叫做二次根式．
知识点二
二次根式的基本性质
21.1
二次根式
≥
a
21.1
二次根式
|a|
重难互动探究
探究问题一 二次根式有意义的条件
21.1
二次根式
[解析]
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，对于含有多个式子的，需要每个式子都有意义．
21.1
二次根式
21.1
二次根式
21.1
二次根式
探究问题二 二次根式的基本性质
[解析]
(1)(2)由二次根式的基本性质()2＝a(a≥0)及积的乘方运算来求解．(3)～(6)要注意底数是非负数还是负数，这将影响计算的结果．
21.1
二次根式
21.1
二次根式
教与当数
品新
QUANPIN
XIN
JIAO
AN
匡全
口口
书
形式上必须是a的形式
次根式的判别
被开方数a必须是非负数21.3
二次根式的加减法
第二课时
学习目标：
1、理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则
2、会进行简单的二次根式的加减运算
3、经历同类二次根式概念及加减法法则的发现过程，体验类比、猜想的思想方法。
重点难点：
1．重点：二次根式化简为最简根式．
2．难点：会判定是否是最简二次根式．
教学过程：
一、忆一忆
计算下列各式．
（1）2x+3x；
（2）2x2-3x2+5x2；
（3）x+2x+3y；
（4）3a2-2a2+a3
二、试一试
计算下列各式．（先自主学习，然后小组合作交流）
（1）；（2）．
概括：
与整式中同类项的意义相类似，我们把像与，、与这样的几个二次根式，称为
．
归纳：
是同类二次根式
二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是
．
三．学一学。
计算：
四．议一议（独立完成后小组合作交流并纠错）
计算：
归纳二次根式的加减法则：
五．练一练。
（1）；（2）．
六．学一学
计算：
（1）；
（2）
七．谈一谈
谈一谈本节课的收获和体会
八．比一比（独立完成后组长批阅并指导纠错）
当堂小测验
1．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？
（1），；
（2），；
；
（3）；
（4）．
（5），；
（6），．
3．计算：
（1）；
（2）．
（3）；
（4）；
（5）．
4．计算：
（1）；
（2）．
5．（选做题）已知二次根式与是同类二次根式，试写出三个a的可能取值．21.2二次根式的乘除法
第二课时
教学目标
1、理解二次根式的除法公式及其逆用，并能利用他们进行计算
理解最简二次根式的概念并运用它进行化简。
2、培养学生归纳总结能力，应用数学知识解决实际问题的能力
3、培养学生团结合作互助的精神，激发学习数学的学习兴趣。
重难点：理解二次根式除法法则，最简二次根式的运用。
教学过程：
一、做一做
计算下列各题，观察计算结果：
（1）
（2）
（3）
（4）
二、想一想：
两个二次根式相除，怎样进行呢？商的算术平方根又等于什么？试参考前两小节的研究，和同伴讨论，提出你的见解．
三、概括
一般地，有
________（a≥0，b＞0）．
文字语言叙述：两个二次根式相除，___________________________．
四、用一用
（1）；
（2）．
解
（1）；
（2）；
小题（2）还有别的解法吗？
五、知识拓展
上面得到的等式，也可以写成
______（a≥0，b＞0）．
文字叙述：商的算术平方根，等于__________________．
利用这个性质可以进行二次根式的化简．
六、用一用
化简．（要求分母中不含二次根式，并且二次根式中不含分母）
解
．
思考
：1、二次根式的被开方数中含有分母，怎样把它开方出来？
2、二次根式的除法，还可以采用是么方法来进行？
．
七、练一练
1．化简：
（1）
（2）
（3）
（4）．
2．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
课堂小结：
１、通过今天的学习你有什么收获？
２、化简二次根式的方法以及公式的准确运用。
当
堂
检
测
1．化简：
（1）
（2）
（3）
（4）．
2．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）．
当
堂
检
测
答案:
1．化简：
（1）;
（2）;
（3）;
（4）．
2．计算：
（1）
（2）
（3）
;
（4）;
（5）;
（6）．21.3
二次根式的加减法
第二课时
教学内容
利用二次根式化简的数学思想解应用题．
教学目标
运用二次根式、化简解应用题．
重难点关键
讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．
教学方法
三疑三探
教学过程
一、设疑自探——解疑合探
上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．
自探1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
（分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出x的值．
解：设x
后△PBQ的面积为35平方厘米．
则有PB=x，BQ=2x
依题意，得：x·2x=35
x2=35
x=
所以秒后△PBQ的面积为35平方厘米．
PQ==5
答：秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米．）
自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
（分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度．
解：由勾股定理，得
AB==2
BC==
所需钢材长度为
AB+BC+AC+BD
=2++5+2
=3+7≈3×2.24+7≈13.7（m）
答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．）
三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！
四、应用拓展
若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．
解：首先把根式化为最简二次根式：
==|b|·
由题意得
∴
∴a=1，b=1
五、归纳小结（师生共同归纳）
本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．
六、作业设计
一、选择题
1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（
）．（结果用最简二次根式）
A．5
B．
C．2
D．以上都不对
2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（
）米．（结果同最简二次根式表示）
A．13
B．
C．10
D．5
二、填空题
1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）
2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）
三、综合提高题
1．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：
（-1）2=（）2-2·1·+12=2-2+1=3-2
反之，3-2=2-2+1=（-1）2
∴3-2=（-1）2
∴=-1
求：（1）；
（2）；（3）你会算吗？
（4）若=，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
教后反思：21．1
二次根式
第一课时
教学内容
二次根式的概念及其运用
教学目标
理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
教学重难点关键
1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．
教学方法
三疑三探
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：
问题1：已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________．
问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．
问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．
老师点评：
问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=，所以所求点的坐标（，）．
问题2：由勾股定理得AB=
问题3：由方差的概念得S=
.
二、设疑自探——解疑合探
自探1.你能通过上面的数据归纳出二次根式的概念吗？
很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
（学生活动）议一议：
1．-1有算术平方根吗？
2．0的算术平方根是多少？
3．当a<0，有意义吗？
老师点评:（略）
自探2.
下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．
自探3.
当x是多少时，在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．
解：由3x-1≥0，得：x≥
当x≥时，在实数范围内有意义．
三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！
四、应用拓展
1．当x是多少时，+在实数范围内有意义？
分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．
解：依题意，得
由①得：x≥-
由②得：x≠-1
当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．
2.(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)
(2)若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:)
五、归纳小结（学生活动，老师点评）
本节课要掌握：
1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
六、作业设计
一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（
）
A．-
B．
C．
D．x
2．下列式子中，不是二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（
）
A．5
B．
C．
D．以上皆不对
二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面积为a的正方形的边长为________．
3．负数________平方根．
三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？
3．若+有意义，则=_______．
4.使式子有意义的未知数x有（
）个．
A．0
B．1
C．2
D．无数
5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．
教后反思
_
B
_
A
_
C(共43张PPT)
21.2二次根式的乘
21.2
次根式的乘法
21.2.2积的算术平方根
易错专攻
忽视积的算术平方根的
性质√b=·中“a≥0,b
≥0”的条件
)例2)计算:
(-49)×(-36)
学生解答:42
自预习
梳理要点
b
即:两个算术平方根的积,等于它们被开方
数的积的算术平方根
b
即:积的算术平方根,等于各因式算术平
随堂过关
夯实基期
(内江二中模拟)计算
的结果
A
C
算√(
A
C
A
C
模)计算
6.比较
的大
解
32×2
计算
解:原
0
原
(3)√(-16)×(-25)
解:原
解:原式
0
□明個强化
中一模)已知
有
A
,则化简√一ab的结果是
b,用含a,b的式子表
4,下列表
确的是
C.
gab
成立的条件是
≤x≤
12.把下列各式中根号外面的因式进行适当变形后移
到根号内
13.计算
(1)(-5√45)×(-4√48);
解:原式=24015
(2)8×(√2
解:原式=√16-4
4-2
解:原
√(40+24)(40-24)
(4)
C
解:原
ry·(
xy)·3
14.王老师想设讠
长方形的实验
便
进行实地考察,为了考查
学们的数学应用能
他把长方形的基地设计成长为80√20米,宽为
45米,让同学们算出这块实验基地的面积
解:这崁实验基地的面积为80
(九江五中
火箭
船要冲破地球万
力的東缚,围绕地球旋转
速度都必须
超过一定的数值,这个速度称之为第一宇宙速
速度的公式
为重
加速度
取9.8m/s2,R为地球的半径,约为
70km.试计算第一宇宙速度
角形的路标如图所示,若它的边长为
求这个路标的面积
解:过A作AD⊥BC于点D
角形
DC
B
t△ADC中
D
ABC
BC·AD
2√3
所以这个路标的面积为2√3
级展创新
火子生挑战
知直角三角形的两边分别为43和
直角三角形的面积
(1)当4
为两直角边时
分别为一直角边与斜边时
(1)如图①所示,在Rt
C中
C
C
A
(2)如图②所示,在Rt△ABC中
B=43,BC
所y
BO21.3
二次根式的加减法
第三课时
教学内容
含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．
教学目标
含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
重难点关键
重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；
难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
教学方法
三疑三探
教学过程
一、设疑自探——解疑合探
自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题:
1．计算
（1）（2x+y）·zx
（2）（2x2y+3xy2）÷xy
2．计算
（1）（2x+3y）（2x-3y）
（2）（2x+1）2+（2x-1）2
老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．
整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
自探2.计算:
（1）（+）×
（2）（4-3）÷2
分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．
自探3.
计算:
（1）（+6）（3-）
（2）（+）（-）
分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！
四、应用拓展
已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，
化简+，并求值．
分析：由于（+）（-）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．
解：原式=+
=+
=（x+1）+x-2+x+2
=4x+2
∵=2-
∴b（x-b）=2ab-a（x-a）
∴bx-b2=2ab-ax+a2
∴（a+b）x=a2+2ab+b2
∴（a+b）x=（a+b）2
∵a+b≠0
∴x=a+b
∴原式=4x+2=4（a+b）+2
五、归纳小结（师生共同归纳）
本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．
六、作业设计
一、选择题
1．（-3+2）×的值是（
）．
A．-3
B．3-
C．2-
D．-
2．计算（+）（-）的值是（
）．
A．2
B．3
C．4
D．1
二、填空题
1．（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________．
2．（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
3．若x=-1，则x2+2x+1=________．
4．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_________．
三、综合提高题
1．化简
2．当x=时，求+的值．（结果用最简二次根式表示）
教后反思：21.2
二次根式的乘除法
第四课时
课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）
1、二次根式乘法法则：两个二次根式相等，把被开方数相乘，根指数不变.用字母表示为：.注意：①对于多个二次根式相乘也适用，即；②法则中可以是数也可以是代数式，只要满足成立条件即可；③根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内.
2、二次根式乘法法则的逆用：.注意：①二次根式的乘法法则的逆用实际上就是积的算术平方根，利用它可以进行二次根式的化简；②如果都是负数，，有意义，但在实数范围内无意义，因此应先进行符号运算，如.
3、二次根式除法法则：两个二次根式相除，结果仍为二次根式，只需把被开方数相除.用字母表示为：.
4、二次根式除法法则的逆用：.注意：①二次根式的除法法则的逆用实际上就是商的算术平方根，利用它可以进行二次根式的化简；②如果都是负数，虽然，有意义，但在实数范围内无意义，此时应先进行符号运算，如；③如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如必须先化成，以免出现这样的错误.
5、最简二次根式：我们把满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.它必须满足两个条件：①被开方数不含分母或小数；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.二次根式的计算和化简的结果，一般都要化成最简二次根式.
名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）
典例精析
类型一：二次根式的乘除法
例1、计算：（1）×；
（2）÷.
【解题思路】（1）用二次根式的乘法法则进行计算，运算时应视x+2y为一个整体；（2）直接运用公式÷＝化简.
【解】（1）×＝＝(x+2y)；
（2）÷＝＝＝3.
类型二：逆用二次根式的乘除法法则化简代数式
例2、计算：（1）
（2）
【解题思路】（1）题为具体数字的二次根式的乘、除法运算，要避免出现这样的算法：=.虽然结果是对的，但其计算过程是大错特错，其原因是忽视了公式成立的前提条件；（2）本题为二次根式的字母运算，方法与具体数字的二次根式的运算一样，所不同的是要注意根号下字母的取值范围，此题中的a、b、c均为正数.
【解】（1）=；
（2）原式=.
类型三：将根号外的因式或因数移入根号内
例3、把根号外的因式移入根号内.
【解题思路】根据及把根号外面的非负因式平方后移至根号里面；由被开方数，，又在分母的位置故，只有，所以把移至根号里边时，外面要加负号.
【解】.
【方法归纳】由二次根式的性质，如果被开方数中有的因式能开的尽，那么这些因式可用它们的算术平方根代替而移到根号外面，本题须利用上述开方的逆运算.如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面．
类型四：将根号内的因式或因数移出根号外
例4、计算（1）
（2）
【解题思路】首先中，被开方数是，它们是求差的运算.所以是错误的.对于根号内的被开方数要进行计算或因式分解，特别是根号内的被开方数能因式分解时，比直接计算要容易.
【解】（1）；
（2）
.
例5、化简：（1）
（2）
【解题思路】如果一个二次根式的被开方数中有完全平方形式的因式（或数）则要利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或数）开出来.
解：，.
（2），；
.
【方法归纳】在二次根式的化简与计算中，凡是被开方数是多项式的，必先进行因式分解，再利用根式乘法法则进行计算，如果题目中没有给出字母的取值范围，则需要讨论，如上题。当时，及当，即为讨论.
类型五：综合运用二次根式乘除法法则计算或化简
例6、
化简:（1）；
（2）
【解题思路】运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时,一要注意运算顺序，二要注意整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效果.
【解】（1）原式=
（2）原式=
=
.
类型六：最简二次根式
例7、下列二次根式中，是最简二次根式的是（
）
A、
B、
C、
D、
【解题思路】直接利用最简二次根式的定义来判断：、的被开方数含有能开得尽方的因数或因式，的被开方数中含有分母，均不是最简二次根式，而满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式这两个条件，所以是最简二次根式.
【解】B.
易错警示
1、不管字母正负，滥用积（商）的算术平方根性质而出错
例8、已知求
【错解】原式.
【错因分析】由＞0,知同号;又＜0,＜0.
【正解】原式=
2、化简不彻底，结果不是最简二次根式
例9、化简.
【错解】原式＝
【错因分析】化简二次根式的结果一定是最简二次根式，而.
【正解】原式＝，或原式＝
3、忽视题目中隐含条件而出错
例10、化简
【错解】.
【错因分析】题中只隐含即＞0，＞0，所以与有可能相等.故应分两种情况讨论.
【正解】（1）当时，原式=0；
（2）当时，
4、在化简时，忽视字母的具体取值而导致错误
例11、当时，求的值.
【错解】原式＝＝.
【错因分析】由,得,则＜0,.
【正解】
原式＝＝
5、忽视中的隐含条件≥0
例12、化简.
【错解】原式＝＝＝.
【错因分析】忽略了的隐含条件，即，此时
【正解】由原式＝
6、运算顺序不清导致错误
例13、计算
÷×
【错解】原式＝÷1＝.
【错因分析】忘记乘除是同一级运算，应按从左到右依次计算.
【正解】原式＝.
课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）
知识点一：二次根式的乘除法
1、计算（1）
（2）
知识点二：逆用二次根式乘除法则化简或计算
2、计算：（1）
（2）
知识点三：最简二次根式
3、下列根式:①;②;③;④;⑤;⑥,其中最简二次根式是
(
)
A.①③④⑥
B.③④⑥
C.③④⑤⑥
D.②③⑥
知识点四：将根号外的因数或因式移入根号内
4、若把的根号外的适当变形后移入根号内，得（
）
A．
B．
C．
D．
知识五：综合运用二次根式乘除法法则计算或化简
5、已知求的值.
6、设，试求的值.
7、下面的推理过程错在哪里？并说明理由
∵ ，∴ .
又∵ ，∴－.
课后作业练习
一、选择题：
1、对式子作恒等变形，使根号外不含字母m，正确的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
2、下列各式中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3、能使成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4、下列各式中，一定能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
5、已知，=6，则的值为（
）
A．
B．2
C．
D．
6、下列各式不是最简二次根式的是（
）
A.
B.
C.
D.
7、已知xy＞0，化简二次根式的正确结果为（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：
8、（1）有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？A．
B．
C．
D．
E．.
问题的答案是（只需填字母）：
；（2）如果一个数与相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是
（用代数式）
9、星期天，刘红的妈妈和刘红做了一个小游戏，刘红的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若表示的整数部分，表示它的小数部分，我这个纸包里的钱数是元，你猜一下，这个纸包里的钱数是多少？若猜对了，包里的钱由你支配.”根据上述信息，你知道纸包里钱的数目是
.
10、化简=
11、等式成立的条件是
.
12、已知矩形的长是，宽为，那么与这个矩形面积相等的圆的半径是
.
三、解答题：
13、计算下面各题：
（1）、
（2）、
（3）、
（4）、
（5）、
（6）、
14、一个底面为的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形，高为的铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了，求铁桶的底面的边长是多少？
15、站在水平高度为的地方看到可见的水平距离为，它们近似地符合公式.如果某人登山从海拔登上海拔2处，那么他看到的水平距离是原来的多少倍？
16、化简：
解：原式=
①
=
②
=
③
=
④
=
⑤
问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号：
.
（2）错误的原因是
；
（3）本题的正确结论是
.
17、在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝；（一）
＝（二）
＝＝ （三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简：＝（四）
请用不同的方法化简.
参照（三）式得＝______________________________________________；
参照（四）式得＝_________________________________________.
（2）化简：.
课堂作业参考答案：
1、解：（1）.（2）
2、解：（1）.
（2）
3、B
4、A
5、解:由题可知=
6、
7、解：上述推理中是错误的，因为没有意义，在应用公式＝，其中的条件a≥0，b≥0不能忽视，有意义的条件是ab≥0，这里可以a≥0，b≥0，也可能a≤0，b≤0，而＝有意义的条件是与同时有意义，因而必须是a≥0，b≥0.?
课后作业练习答案
1.答案：首先解释恒等变形：指的是m不论取什么样的实数，等号左、右两部分都相等；由.当把根号外的m移到根号内时，应是所以选C.
2.答案：C
3.答案：A
4.答案：A
5.提示：∵，∴（+）2=a+b+2=8，（－）2=a+b－2=4
∴，故选A．
6.答案：D
7.答案：D
8.答案：（1）；（2）设这个数为，则（为有理数），所以（为有理数）．
9.答案：1元
10.答案：
11.答案：
12.答案：
13.解：（1）、30
（2）、
（3）、
（4）、
（5）、
（6）、此题应注意观察：是两数之差与两数之和，若把分解为后，则原式=
.
14.解：设铁桶底面边长是，则：
，所以，所以.
15.答案：
16.答案：
（1）④；（2）错因在由忽略了这一条件，应是；（3）－
17.解：（1），
；
（2）原式=
==．21.3
二次根式的加减法
第一课时
教学内容
二次根式的加减
教学目标
理解和掌握二次根式加减的方法．
重难点关键
1．重点：二次根式化简为最简根式．
2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．
教学方法
三疑三探
教学过程
一、设疑自探——解疑合探
自探（学生活动）：计算下列各式．
（1）2+3
（2）2-3+5
（3）+2+3
（4）3-2+
因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．
（板书）3+=3+2=5
3+=3+3=6
所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合探1．计算
（1）+
（2）+
分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
合探2．计算
（1）3-9+3
（2）（+）+（-）
三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！
四、应用拓展
已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．
分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．
五、归纳小结（师生共同归纳）
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．
六、作业设计
一、选择题
1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（
）．
A．①和②
B．②和③
C．①和④
D．③和④
2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（
）．
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
二、填空题
1．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有________．
2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．
三、综合提高题
1．已知≈2.236，求（-）-（+）的值．（结果精确到0.01）
2．先化简，再求值．
（6x+）-（4x+），其中x=，y=27．
教后反思：21.2
二次根式的乘除法
第一课时
学习目标：
1、掌握二次根式的乘法法则并会应用它进行二次根式的乘法运算
2、会利用公式=·(a0,b0)进行二次根式的化简
3、经历观察，比较，总结和应用等数学活动过程，感受和体验发现的快乐,并提高应用意识。
学习重点:
·=(a0,b0)，
学习难点:
发现规律导出·=(a0,b0)
教学过程：
活动一
一、做一做（独立完成，疑难问题小组合作）
1、计算下列各题，观察计算结果：
（1）=
=
（2）=
=
二、想一想：
1、观察以上计算的结果你发现了怎样的结论？
2、两个二次根式相乘可以怎样计算？
3、对于任意两个二次根式相乘是否都可以这样算？
猜想：
请解释说明你的结论：
三、归纳一下：
（a≥0，b≥0）．
文字语言：两个二次根式相乘，
.
注意，在上式中，a、b都表示非负数．在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数．
四、试一试
1、口答下列各题：
=；
=
=
=
2、
计算：
（1）；
（2）．
（3）··
（4）
２×３
活动二
一、探究一下
公式·=(a0,b0)
可逆用得：
用文字语言叙述公式含义：
积的算术平方根，等于
=
=
二、用一用
利用这个性质可以进行二次根式的化简．
阅读课本例2的化简过程思考问题：
分别说明被开方数变成了哪些因式的积？为什么这样变？
（2）怎样的因式能开方出来？
（3）因式开方出来主要应用了那个公式？应注意什么问题？
三、练一练
（1）化简：
（2）计算下列各式，并将所得的结果化简：
；
．
；
；
课堂小结：
１、通过今天的学习你有什么收获？
２、化简二次根式的方法以及公式的准确运用。
当
堂
检
测
1、判断下列各式是否正确。
①＝
（
）
②=ab
（
）
③×=4
×＝４×３＝１２
（
）
2．化简，使被开方数不含完全平方的因式（或因数）：
；
；
；
3、计算：
（1）；
（2）；
（3）
当
堂
检
测
答案：
1、判断下列各式是否正确。
①×；②√；
③×.
2．化简，使被开方数不含完全平方的因式（或因数）：
；；；.
3、计算：
（1）；
（2）；（3）.二次根式的乘除法
第二课时
教学内容
=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
教学目标
理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．
利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．
教学重难点关键
1．重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．
教学方法
三疑三探
教学过程
一、设疑自探——解疑合探
自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题：
1．填空
（1）=____，=_____；
（2）=_____，=_____；
（3）=_____，=_____；
（4）=________，=________．
规律：____；____；____；___．
2．利用计算器计算填空:
（1）=_____，（2）=_____，（3）=____，（4）=_____．
规律：___；____；___；__。
每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）
刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定：
一般地，对二次根式的除法规定：
=（a≥0，b>0），
反过来，=（a≥0，b>0）
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
合探1．计算：（1）
（2）
（3）
（4）
分析：上面4小题利用=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．
合探2．化简：
（1）
（2）
（3）
（4）
分析：直接利用=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．
三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！
四、应用拓展
已知，且x为偶数，求（1+x）的值．
分析：式子=，只有a≥0，b>0时才能成立．
因此得到9-x≥0且x-6>0，即6五、归纳小结（师生共同归纳）
本节课要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．
六、作业设计
一、选择题
1．计算的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
2．阅读下列运算过程：，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（
）．
A．2
B．6
C．
D．
二、填空题
1．分母有理化:(1)
=_________;(2)
=________;(3)
=______.
2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．
3.
自由落体的公式为h=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．
三、综合提高题
4.计算：
（1）·（-）÷（m>0，n>0）
（2）-3÷（）×
（a>0）
教后反思：(共12张PPT)
21.3
次根式的加减
第1课时二次根式的加减法
易错专攻
例2)化简
原式
有自预习
梳丑要点
几个二次根式化成最
根
若被开方数
这几
次根式是同类二次根
根式相加减,先
次根式化简,再将同类二次根式合并
计算
的结果是3
随堂过关一多本然
是同类二次根式的是
C
列计算错误的
各组二次根式中,化简后能合并的
和
和
算:√18
在下列二次根式
(1)与√2能合并的是22
2
能合并的是
6.已知四边形ABCD四条边的长分别为√50
它的周长
算
解:原
解:原
]明固强化
提升触力
8.(资阳一中模拟)估计√8
8的运算结果
应在哪两个连续自然数之
B.6和
8和9
以进行合并,则a的值
4
腰三角形的两边长分别
这个等腰三角形的周长为
A
或
1.已知
的小数部分为a
数
分为b,则a-b
2.若最简二次根式√7a+b,6a-b可以合并,则a
算
模)
解:原
解:原式
解:原式=76
4.若a-b=5√2,ab=√2+1,求代数式(a-1)(
原
拓展创新
火子生挑战
知a+b
6×b
)√ab
(a+b)2-2ab
b
ab
12√2.21.1
二次根式
第一课时
课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）
二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.二次根式的概念主要包括三点内容：①二次根式必须含有二次根号“”；②二次根式是非负数的算术平方根，当时，；当时，.③在二次根式中被开方数可以是数，也可以是代数式，并且被开方数必须是非负的.
名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）
典例精析
类型一：二次根式的识别
例1、小明在作业本上写出了以下几个式子，你认为是二次根式的有
.①；②；③；④；⑤；⑥.（只填序号）
【解题思路】在式子中只有当被开方数是非负数时，才是二次根式，因为，所以、、是二次根式.
【解】①、④、⑤.
【方法归纳】理解二次根式的定义是判断一个式子是否为二次根式的基本前提，一个式子是否为二次根式要有以下两个条件：①被开方数为非负数；②根指数为2，不要误认为只要带有二次根号，就为二次根式.
类型二：确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
例2、函数的自变量的取值范围是
.
【解题思路】二次根式要有意义，被开方数必须大于或等于零；分式要有意义，分母必须为等于零.此函数既含有二次根式又含有分式，必须同时使它们有意义.
【解】，即且.
【方法归纳】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母为能为0；（3）当函数的表达式是二次根式时，被开方的数为非负数.
类型三：二次根式的非负数性的应用
例3、代数式的值等于
.
【解题思路】根据二次根式的意义先求出的值，再对式子化简.
【解】根据二次根式的意义，可知，解得=1，∴=1+3=4.
【方法归纳】主要考查二次根式的意义，二次根式的被开方数为非负数，二次根式才有意义.
例4、当时，=
.
【解题思路】根据已知条件判断出的符号，再根据二次根式的性质、去绝对值的法则解答.
【解】∵，∴.原式==3.
【方法归纳】解答此题，要弄清二次根式的非负性及去绝对值的符号法则。
类型四：实践应用题
例5、生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子最稳定.如图，现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，他的顶端能达到5.6米高的墙头吗？（）
【解题思路】由已知可得当AB=6时，BC=AB=2，由勾股定理求得AC的值即可比较出结果.
【解】能.当BC=AB时，∵AB=6，∴
BC=2.在R△ABC中，由勾股定理得：
AC=（米）.∵5.656＞5.6，∴梯子顶端能到5.6米高的墙头.
易错警示
例6、当为何值时，
有意义？
【错解】
∵,
∴0≤≤2.
【错因分析】这是一道容易混淆的两个概念的例子，解答中≥0是多余的，出现此错误也是混淆了二次根式与三次根式的本质区别.二次根式要求被开方数非负，三次根式对被开方数没有要求.
【正解】由题意得：，∴≤2
且≠-1.
课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）
知识点1：二次根式的概念
1、若是一个二次根式，则（
）
A、
B、
C、
D、
2、在式子中，是二次根式的有
.
知识点2：确定二次根式中被开方数的取值范围
3、如果是二次根式，那么应满足
.
4、若有意义，则能取的最小整数值是（
）
A、
B、1
C、2
D、3
课后作业练习
一、选择题：
1、要使式子
有意义，a的取值范围是（
）
A．a≠0
B．a＞－2且a≠0
C．a＞－2或a≠0
D．a≥－2且a≠0
3、已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（
）.
A．4
B．2
C．
D．
±2
4、若a、b为实数，且满足│a－2│+=0，则b－a的值为（
）
A．2
B．0
C．－2
D．以上都不对
5、下列各式中，计算正确的是（
）
A、
B、
C、
D、
6、对有下面几种说法：①是二次根式；②是非负数的算术平方根；③是非负数；④是非负数的平方根.其中正确的说法有（
）种.
A、2
B、3
C、4
D、以上都不对
7、下列一定是二次根式的是（
）
A、
B、
C、
D、
二、填空题：
8、二次根式有意义的条件是
.
9、若整数满足条件＝且＜，则的值是
．
10、若为实数，且，则的值为___________．
12、已知实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：=
.
三、解答题：
13、已知，想一想代数式的值是多少？
14、先观察下列等式，再回答问题：①；
②；③.
（1）请根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果.
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用（为正整数）表示的等式.
15、计算：（1）；（2）；（3）
17、已知实数满足，试问长度分别为的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求该三角形的面积；如果不能，请说明理由.
课堂作业参考答案：
1、A
2、
3、
4、B
.
课后作业答案：
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.答案：D
5.答案：B
6.答案：D
7.答案：且.
8.【答案】0或－1
9.【答案】1
10.答案：
11.解：因，所以，，，∴，故=0.
12.解：（1）；（2）（为正整数）.
13.答案：（1）；（2）
；（3）
14.解：根据二次根式的意义，得：，解得.所以，根据非负数的意义，得：，解得：.故可组成直角三角形，其面积为6.21.1
二次根式
第二课时
教学内容
（）2=a（a≥0），
＝a（a≥0）
教学目标
理解（）2=a（a≥0）与=a（a≥0），并利用它进行计算和化简．
通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．
教学重难点关键
1．重点：（）2=a（a≥0）与＝a（a≥0）及其运用．
2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a≥0时，＝a才成立．
教学方法
三疑三探
教学过程
一、设疑自探――解疑合探
自探1.做一做：根据算术平方根的意义填空：
（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；
（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．
老师点评：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4．
同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以
（）2=a（a≥0）
自探2(一)计算
1．（）2（x≥0）
2．（）2
3．（）2
4．（）2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）2≥0；
（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．
（二）在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3
（2）x4-4
(3)
2x2-3
分析：(略)
自探3（学生活动）填空：
=_______；=_______；=______；
=________；=________；=_______．
归纳，一般地：=a（a≥0）
自探4
化简
（1）
（2）
（3）
（4）
分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，
（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a≥0）去化简．
二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！
三、应用拓展
1.
填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．
（1）若=a，则a可以是什么数？
（2）若=-a，则a可以是什么数？
（3）>a，则a可以是什么数？
分析：∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（
）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．
2.当x>2，化简-．
分析：(略)
四、归纳小结（师生共同归纳）
本节课应掌握：（）2=a（a≥0）,=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，＝－a的应用拓展．
五、作业设计
一、选择题
1．的值是（
）．
A．0
B．
C．4
D．以上都不对
2．当a≥0时，比较、、-的结果，下面四个选项中正确的是（
）．
A．=≥-
B．>>-
C．<<-
D．->=
二、填空题
1．-=________．
2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
三计算
1．（）2
2．（3）2
3．（）2
4．（）2
2.计算下列各式的值：
（）2
（）2
（）2
（）2
（4）2
四、综合提高题
1．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲、乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）
3.
若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。
教后反思：(共14张PPT)
21
根式
21.1三次根式
易错专攻
忽视二次根式a中的a≥
0这一条件
)例2)如果
是二次
根式,那么x应满足的条件是
A.x≠3的实数
B.x<3的实数
C.x>3的实数
).x≥3的实数
自鱼预习
梳理要点
如a(a≥0)的
做二次根式
有意义;当
无意
堂过关
夯实基
列各式中,一定是二次根式的是
A
(合刖
模)使二次根
1有意义的x的取值范围是(
(济南育英中学一模)若
应满足的条件是
A
是二次根
时
无意义
5.计算:(1)-√(-0.01)
0.01
(2)√(3-π)
3
能够说明
的x的值是
与
即可)
为何值时,下列各式有意
x≥0
解:由
0
时
x有惫义
x+1有意义
4
得
时
有惫义
时
有意义
固强化
捉升触力
8.下列各
其中二次根式的个数有
A
4
9.(岳阳九
模)已知实数x、y满足|x
则以x、y的值为两边长的等腰三角形
的周长是
A.20或
C.16
案均不对
实数a在数轴上的位置如图
11)2化简
0
无法确定
11.函数
自变量x的取值范围
r≤
且x≠-2
2.已知x满足
x+4
解:原
2+3+5
解:原
原
原
中小小
4.数
数轴
置如图所示,化
解:由图可
ca
ca
-
实数a、b满
且(a+b-2)
化简,再求值:a
原
限创新
火子生挑战
17.(孝感文昌中学一模)已知△ABC的三边长
满足
试判断△ABC的形
解:根据题惫,得
ABC是直角三角形二次根式的乘除法
第三课时
教学内容
最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．
教学目标
理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．
重难点关键
1．重点：最简二次根式的运用．
2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．
教学方法
三疑三探
教学过程
一、设疑自探——解疑合探
自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）
计算（1），（2），（3）
老师点评：=，=，=
自探2.
观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式：
(1)
;
(2)
;
(3)
合探2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．
AB===6.5（cm）
因此AB的长为6.5cm．
三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！
四、应用拓展
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
==-1，
==-，
同理可得：=-，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（+++……）（+1）的值．
分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．
五、归纳小结（师生共同归纳）
本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．
六、作业设计
一、选择题
1．如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（
）．
A．（y>0）
B．（y>0）
C．（y>0）
D．以上都不对
2．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（
）．
A．
B．
C．-
D．-
3．在下列各式中，化简正确的是（
）
A．=3
B．=±
C．=a2
D．
=x
4．化简的结果是（
）
A．-
B．-
C．-
D．-
二、填空题
1．化简=_________．（x≥0）
2．化简a后的结果是_________．
三、综合提高题
1．已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：
解：-a=a-a·=（a-1）
2．若x、y为实数，且y=，求的值．
教后反思：21.1二次根式
第二课时
学习目标：
1、经历二次根式性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法。
2、了解二次根式的两个性质。
3、会运用两个性质进行有关计算。
重点难点：
重点是理解二次根式的两个性质。
难点是灵活运用两个性质进行有关计算。
学习过程：
想一想
1、回顾绝对值的性质完成以下填空
：
│a
│=
2、回顾平方根的定义完成以下填空
：
你发现什么规律？
二次根式性质1：
二、练一练
二、读一读，说一说
（自学课本第3页，独立完成计算题目然后小组合作交流）
二次根式性质2：│a│=
三、学一学
解：
四、查一查（独立完成后小组讨论并纠错）
五、谈一谈
回顾本节课的学习谈一谈你的收获和体会
六、比一比（完成后组长批阅并指导纠错）
当堂小测验
1、下列等式不成立的是
（
）
A
、
B、
C、
D、
2、，那么x的取值范围是（
）
A、x≤
B、x＜2
C、x≥2
D、x＞2
3、若a＜1，化简＝（
）
A．a﹣2
B．2－a
C．a
D．－a
4、若正比例函数的图象经过第一、三象限，化简的结果为
.
5、计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
6、已知2＜x＜3，化简：．
7、（选做题）长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
8、阅读下面的文字后，回答问题：
甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：，其中.”甲、乙两人的解答不同；
甲的解答是：.
乙的解答是：.
（1）
的解答是错误的.
（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：
.
（3）模仿上题解答，化简并求值：，其中.(共16张PPT)
第2课时二次根式的
易错专攻
用错乘法公式
例2)计算
(1)(√6+2)(6-3);
(2)(23-√2)
学生解答:(1)-6;
(2)14-4√6.
自预习
梳理要点
根式中乘法公式
次根式的混合运算顺序:先算乘方和开方,再算乘除
算水
减,有括号的先算
如果结果为二次根式,必须要化为最简二次根
随过关
计算(
)÷3的结果正确的是
B
C
模)下列各数
的积为有理数的是
B
模)计算
的结果是
4.计算:(1)(5+2)(
若菱形的两对角线分别为
菱形的面积为
算(
算
解:原式=(2+1+2
(4)(
解:原
解:原
明固强化
捉升触力
8.(六安轻工中学一模)(
等
与a-√b互为倒数
中一模)已知
值为
知
知
计算
解:原
(2)(2
)(b√8+./2
解:原式=(6-2)(2+6)
2
3
23+2-1
3
1
53
(3)(盐城市中考)(
解:原
简后求值
知
原
(x+y)
知
求代数式(x+1)2-4(x+1)
3得x
故原式=(
知
n2+4a的值
)(5+2)
级拓展创新
火子生拖战
知
值.(提示:先通分化简,再代入求值)
时,原式21.3二次根式的加减法
第一课时
课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）
1、同类二次根式：如果几个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.注意：同类二次根式与同类项是两个相类似的概念，前者是二次根式之间的关系，后者是单项式之间的关系.判断几个二次根式是不是同类二次根式的关键在于化简，化为最简二次根式后再看被开方数是否相同；而判断几个单项式是不是同类项，则只需看所含字母是否相同，再看相同字母的指数是否也相同.
2、同类二次根式的合并法则：同类二次根式相加减，被开方数不变，把系数（最简二次根式外的因子叫做二次根式的系数）相加减，用字母表示为：.合并时要注意两点：①不是同类二次根式的不能合并.如就不能合并；②系数为1或－1的二次根式，如的系数为1，－的系数为－1，运算时不要漏掉.
3、二次根式的加减法运算法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
4、二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除及乘方这五种运算中含有两种或两种以上的运算，其运算顺序与实数的混合运算顺序、整式的混合运算顺序一样，也是先乘方、再乘除，最后算加减，如果有括号的仍然要先算括号里的（或先去掉括号）.
名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）
典例精析
类型一：同类二次根式
例1、下列二次根式中与是同类二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】解此题首先应将所给的选择项中的二次根式化简，然后再看化简的最简二次根式中哪个被开方数是3．∵，，，∴与是同类二次根式．
【解】选D．
【方法归纳】同类二次根式的判断方法：先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同．
例2、最简根式与是同类根式，求，的值．
【解题思路】本题考查同类二次根式的概念，两个最简根式互为同类根式，说明根指数与被开方数的相同.
【解】∵与为同类根式，∴，，解方程组得，当，时，两根式都为，符合题意．
【方法归纳】这种类型的题目，求得字母的值后，要注意检查是否符合题意，这包括是否有意义，是否是最简根式等等．
类型二：同类二次根式的合并
例2、计算：
【解题思路】题中每个二次根式都是最简二次根式，可直接判断同类二次根式再分别合并.
【解】原式.
【方法归纳】二次根式不管是否为同类二次根式都可以相乘除，但只有同类二次根式才能相加减，即二次根式加减法的前提条件是具备同类二次根式，本题中不是同类二次根式，不能再进行加减运算.
类型三：二次根式的加减运算
例3、计算：
【解题思路】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应按“先化简——再判断——最后合并”三步曲进行计算.
【解】原式
.
【方法归纳】二次根式前面的系数要写成假分数的形式，不能写成带分数。本题中的系数不能写成，的系数不能写成.
例4、计算：
【解题思路】二次根式加减运算中如果有括号要先去括号，再按三步曲进行计算.
【解】原式.
【方法归纳】合并同类二次根式时，不可忽视系数为1或的二次根式.本题中的系数不是0，而是，另外，当括号前是“－”，去掉括号时括号内各项要改变符号.
例5、计算：
【解题思路】二次根式内有分式加减运算，要先将根号内分式计算出最后结果，再按三步曲进行解答.
【解】原式
.
【方法归纳】根号内有分式加减运算时，如本题中的，不能错误地化简成，正确的做法是在根号内将分式通分求出结果，再进行二次根式的加减.
类型四：二次根式的混合运算
例6、计算
【解题思路】先用分配律进行二次根式乘法运算，将括号去掉，这时要注意符号的变化，再进行二次根式的加减运算.
【解】.
类型四：阅读理解题
例7、化简，甲、乙两同学的解法如下：
甲：；乙：.对于他们的解法,正确的判断是(
).
（A）
甲、乙的解法都正确
（B）
甲的解法正确，乙的解法不正确
（C）
乙的解法正确，甲的解法不正确
（D）
甲、乙的解法都不正确
【解题思路】化简分母通常有两种方法：一是应用分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以一个恰当的因式（不为零），使这个因式与原分母相乘后得到一个平方差公式，然后再化简；二是把分子进行因式分解，使分子和分母能够约分，把分母中的二次根式约去，然后再化简.本题中甲使用的第一种方法，乙使用的第二种方法，因此计算都正确.
【解】A.
易错警示
1、混淆同类项与同类二次根式
例8、与是同类二次根式吗？为什么？
【错解】因为含字母，而中含字母，所以与不是同类二次根式.
【错因分析】同类二次根式判断标准是化简后被开方数相同，与根号外的因式无关，造成错解的原因显然是混淆同类项判定标准“看字母”
【正解】因为与的被开方数都是2，所以它们是同类二次根式.
2、混淆计算原则
例9、
【错解】.
【错因分析】造成错解的原因是受二次根式乘、除的影响，错误地认为二次根式相加减类似于二次根式的乘除.
【正解】
3、忽视运算过程中分母为0而致错.
例10、化简
【错解】
【错因分析】当时，分子、分母同时乘以相当于分子、分母同时乘以0.造成这种错误的原因是忽视了隐含的.
【正解】
课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）
知识点1：同类二次根式
1、如果最简二次根式与是同类根式，那么使有意义的x取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
2、若和是同类二次根式，则的值分别为
.
3、最简二次根式与能是同类二次根式吗 若能，求出的值，若不能，说明理由．
知识点2：二次根式的加减运算
4、计算：_________.
5、小明的作业本上有以下四题：（1）；（2）；（3）；（4）.其中错误的是（
）
A、（1）
B、（2）
C、（3）
D、（4）
6、计算下面各题：
（1）
、
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
7、因实际需要，用钢材焊制三个面积为的正方形铁框，则需准备的钢材的总长度是多少米？
课后作业练习
一、选择题：
1、下列根式，不能与合并的是（
）
A.
B.
C.
D.
2、的值为(
)
A．2010
B．2011
C．2009
D.2008
3、设则的值为(
)
A．47
B．135
C．141
D.153
4、若x=是方程k（x－2）+12=0的解，则k的值为（
）．
A．2（+2）
B．2（－2）
C．－2（2+）
D．－2（2－）
5、下列各组代数式中，两个式子相乘的积不含根号的是（
）．
A．a+与－a
B．+b与－－b
C．2－与－2
D．与
6、下列各组根式中是同类二次根式的是（
）．
A．与
7、如果（－）的相反数与（+）互为倒数，那么（
）．
A．│a│=│b│
B．a－b=1
C．a－b=－1
D．a、b之中必有一个为0
二、填空题：
8、要焊接如图所示的钢架，大约需要
米钢材（结果保留根号）.
9、化简：
.
10、已知x==________．
11、计算2+－的结果是________．
12、已知，则的值为
.
三、解答题：
13、计算或化简：（1）（－）－（－）；
（2）（5＋－）÷；
（3）＋－4＋2(－1)0；
（4）（－＋2＋）÷．
14、已知直角三角形斜边长为（2＋）cm，一直角边长为（＋2）cm，求这个直角三角形的面积．
15、已知x=+1，求（x2+）2－4（x2+）+4的值．
16、同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（-1）2=（）2-2×1×+12=2-2+1=3-2，反之，3-2=2-2+1=（-1）2，
∴3-2=（-1）2，∴=-1.
求：（1）；
（2）；
（3）你会算吗？
（4）若=，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
21.3二次根式的加减法课后作业参考答案：
1、解析：由同类二次根式的定义，得，即
，即使有意义，需，即，故应选A.
2、
3、解：它们不能是同类二次根式．假设它们是同类二次根式，则有解此方程解得把代入原式得两根式分别为此二次根式无意义，故它们不能是同类二次根式．
4、提示：原式.
5、D
6、答案：（1）0.3
（2）－2
（3）
（4）
（5）
13
（6）
7、解：由题意，得：三个正方形边长分别为，故钢材的总长度为：.
课后作业答案：
1.提示：，又.
故应选B.
2.提示：原式
故B正确．
3.提示：
故C正确．
4.答案：C
5.答案：A
6.D
7.C
提示：由相反数的意义可求得－的相反数为－，再根据互为倒数的两个数的积等于1，可求得a、b的关系．
8.答案：3+7
9.答案：1－
10.答案：－1
11.答案：－
12.答案：5
13.答案：（1）．
（2）【解】原式＝（20＋2－）×＝20×＋2×－×＝20＋2－×＝22－2．
（3）【解】原式＝5＋2(－1)－4×＋2×1＝5＋2－2－2＋2＝5．
（4）【解】原式＝（－＋2＋）·＝·－·＋2·＋·＝－＋2＋＝a2＋a－＋2．
14.答案：在直角三角形中，根据勾股定理，另一条直角边长为：＝3（cm）．
∴ 直角三角形的面积为：S＝×3×（）＝（cm2）
15.解：（x2+）2－4（x2+）+4=（x2+－2）2=（x－）4．
当x=+1时，原式=（+1－）4=（+1－+1）4=24=16．
16.解：（1）==+1
；（2）==+1
（3）==-1
；
（4）
理由：两边平方得a±2=m+n±2
，所以.