课件27张PPT。课件19张PPT。24.1 一元二次方程第二十四章 解一元二次方程 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.了解一元二次方程的相关概念.
2.了解一元二次方程解的含义并会运用其解题. (重点)
3.能够根据实际问题列出一元二次方程.（难点）导入新课1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？
2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
一般形式：ax+b=0 (a≠0)
3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?
◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.回顾与思考讲授新课 问题1 列表填空：4x2-3x=0x2-2x-8=0x2-x-64-301-2-81-1-6请观察下面两个方程并回答问题：
x2+2x-1=0 x2-36x+35=0
（1）它们是一元一次方程吗？
（2）与一元一次方程有何异同？
（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？ 特点：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根). 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？想一想 a x 2 + b x + c = 0(a ≠ 0)二次项系数一次项系数常数项（4）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合理的名字吗？ 通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二次方程的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？（1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时必须把方程化为一般形式才能进行.（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号.（3）二次项系数a≠0.拓广探索 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根). 问题1 判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根. x= -1,x=2是方程的根. 问题2 判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：x2-3x+2=0 (x1=1 x2=2 x3=3) 问题3 构造一个一元二次方程，要求：
（1）常数项为零；（2）有一根为2.x2-2x=0 （答案不唯一）.x1=1 x2=2是方程的根； x3=3不是方程的根.典例精析已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.解：由题意得
把x=3代入方程x2+ax+a=0得，32+3a+a=09+4a=04a=-9问题1 某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划2007年无公害蔬菜的产量比2005年翻一番，要实现这一目标，2006年和2007年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
思考：
1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？方程2.如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,2005年的产量为a，那么2006年无公害蔬菜产量为 ，2007年无公害蔬菜产量为 . a+ax=a(1+x)a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)23.你能根据题意，列出方程吗？a(1+x)2=2a把以上方程整理得： .x2+2x-1=0
典例精析 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
1.若设小路的宽是xm，那么横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2.32x2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？整理以上方程可得：思考：2×20x32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=5702x2x2-36x＋35=0 还有其他的列法吗？试说明原因.(20-x)(32-2x)=57032-2x20-x拓广探索当堂练习 1.下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由？x+2=5x-3x2=42x2-4=(x+2)22.方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？不是，最高项系数为1是是不是，是分式方程解：∵方程式是一元二次方程，∴2a-4≠0，∴a≠2. 3. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗? 解：由题意得∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1.拓广探索 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗? 课堂小结 1. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 2.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).3.列一元二次方程的解题步骤:（1）审：审题要弄清已知量、未知量及问题中的等量关系；（2）设：设未知数；（3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的相等关系，列代数式表示等量关系中的各个量，即列出方程.课件26张PPT。课件32张PPT。课件20张PPT。课件14张PPT。24.2 解一元二次方程第二十四章 解一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 配方法1.学会用直接开平方法解简单的一元二次方程.
2.通过直接开平方法的学习，了解配方法解一元二次方程的解题步骤. (重点) 一元二次方程的一般式是怎样的？你知道求一元二次方程的解的方法有哪些吗？ 导入新课（a≠0） 回顾与思考讲授新课 一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得 , 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 方程 的根是
方程 的根是
方程 的根是 x1=0.5, x2=－0.5x1＝3， x2＝－3x1＝2， x2＝－1问题 这种方程怎样解？变形为的形式．（a为非负常数）变形为x2－4x＋1＝0（x－2）2=3 像这种先对原一元二次方程配方,使它一边出现含未知数的一次式的平方后, 再用直接开平方法求解的方法叫做配方法.(1)x2＋8x＋ =(x＋4)2
(2)x2－4x＋ =(x－ )2
(3)x2－___x＋ 9 =(x－ )2 配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.166342探究归纳例 用配方法解下列方程:
(1)x2-4x-1=0;
(2)2x2-3x-1=0.典例精析 在运用配方法时，化二次项系数为1的目的是为了便于配方（此时方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可），配方的目的是将原方程化为（x+m）2=n（n≥0）的形式，进而直接开平方求解.当堂练习1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2；解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.2.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？?解：设道路的宽为xm, 根据题意得（35-x)(26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.答：道路的宽为1m.能力提升
配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.课堂小结 1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得 ，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 2.像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平方式后, 再用直接开平方法求解的方法叫做配方法. 注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.用配方法解一元二次方程的步骤:移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.课件17张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第二十四章 解一元二次方程24.2 解一元二次方程第2课时 公式法1.学会推导一元二次方程根的判别式和求根公式.
2.能够用公式法解一元二次方程.(重点、难点)导入新课问题1 用配方法解下面这个一元二次方程：
问题2 你还会其他的解法吗？回顾与思考讲授新课一起用配方法解下面这个一元二次方程吧两边同除以a移项两边同时加上整理开方解得步骤 一般地，对于一元二次方程
如果 ，那么方程的两个根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式；1.从两根的代数式结构上有什么特点？2.根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？拓广探索问题1 用公式法解下列一元二次方程：解：（1）问题2 用公式法解下列一元二次方程：解：将原方程化为一般形式，得（2）先将原方程化为一般形式，确定a，b，c的值.（3）代入公式计算前，一般先计算b2-4ac的值，若b2-4ac≥0，把b2-4ac的值直接代入求根公式求方程的根；若b2-4ac<0，直接说明此方程无实数解.典例精析例 用公式法解下列一元二次方程：当堂练习1.用公式法解方程 ，得到（ ） AA.C.D.B.（3）方程4x2－4x+1=0中，a= ，b= ， c= ；
b2－4ac= .2.先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出一般形式的a、b、c：（1）方程2x2+x-6=0中，a= ，b= ， c= ； b2－4ac= .（2）方程5x2－4x=12中，a= ，b= ， c= ；b2－4ac= .21-6495-4-122564-401参考答案:3.解下列方程:
(1) x2-2x－8＝0；
(2) 9x2＋6x＝8；
(3) (2x-1)(x-2) =-1; 4.不解方程，判别方程5y2+1=8y的根的情况.解：化为一般形式为：5y2-8y+1=0.所以Δ=b2－4ac=（5）2-4×（-8）×1=57>0.所以方程5y2+1=8y的有两个不相等的实数根.这里a=5,b=-8,c=1，能力提升：
在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.所以b=-10或b=2.将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）；所以△ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.课堂小结运用公式法解一元二次方程的解题步骤： （1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值； 课件13张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第二十四章 解一元二次方程24.2 解一元二次方程第3课时 因式分解法1.回顾因式分解的相关知识.
2.学会用因式分解法解一元二次方程. (重点、难点)问题 导入新课观察与思考 一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一元二次方程的解的方法有哪些？ （a≠0） 主要方法: (1)配方法
(2)公式法问题1 讲授新课因式分解:
把一个多项式化成几个整式的积的形式.什么是因式分解？ 在学习因式分解时，我们已经知道，可以利用因式分解求出某些一元二次方程的解.问题2 解下列方程：（1）x2－3x＝0; (2) 25x2=16解：（1）将原方程的左边分解因式，
得x（x-3）＝0;
则x=0,或x-3=0,解得x1=0，x2=3. (2)同上可得x1=0.8，x2=-0.8. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 因式分解法的基本步骤是：
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
将方程的左边分解因式；
根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.典例精析 例1 解方程：x2-5x+6=0
解: 把方程左边分解因式，得
（x-2）（x-3）=0
因此x-2 =0或x-3=0.
∴x1=2，x2=3 例2 解方程：（x+4）（x-1）=6
解 把原方程化为一般形式，得
x2+3x-10=0
把方程左边分解因式，得
（x-2）（x+5）=0.
因此x-2 =0或x+5=0.
∴x1=2，x2=-5.当堂练习
① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ；
③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ；
⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8；
⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0；
⑨ (x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法 . 1.填空⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨2.解下列一元二次方程：
（1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.解： (1) 化简方程，得 3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0,
∴x=0 或3x－17=0
解得 x1=0, x2=(2) (3x－4)2=(4x－3)2.
(2)移项，得 （3x－4)2－(4x－3)2=0.
将方程的左边分解因式，得
〔 (3x－4)+(4x－3)〕〔 (3x－4) －(4x－3)〕=0,
即 (7x－7) (-x－1)=0.
∴7x－7=0,或 -x－1=0.
∴x1=1, x2=-1.3.填空：
（1）方程x2+x=0的根是 _________________；（2）x2－25=0的根是________________. x1=0, x2=-1x1=5, x2=-5课堂小结注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便. 因式分解法解一元二次方程的基本步骤（1）将方程变形，使方程的右边为零；（2）将方程的左边因式分解；（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程；课件29张PPT。课件16张PPT。24.3 一元二次方程根与系数的关系*导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第二十四章 解一元二次方程 1.复习一元二次方程的根的判别式和求根公式.
2.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系. (重点)
3.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决问题.（难点）问题1 导入新课求根公式是什么？根的个数怎么确定的？一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？知识回顾问题2 讲授新课 问题1：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2与x1 ? x2系数有什么规律？2 132-1 3 2-31 4 54-2问题2 x1+ x2，x1?x2与系数有什么规律? 猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1, x2.
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1、x2，则：
x1+x2和x1.x2与系数a，b，c 的关系.拓广探索韦达定理的两个重要推论：推论1：如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1·x2=q.推论2：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（x1+x2）·x+x1·x2=0类型一 直接运用根与系数的关系例1 不解方程，求下列方程两根的和与积.典例精析在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用x1+x2=－ 时，注意“－ ”不要漏写.类型二 求关于两根的对称式或代数式的值典例精析例2 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解：根据根与系数的关系可知： 类型三 求方程中字母系数的值例3 已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.典例精析当堂练习 1.方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围.解:由已知, Δ=即m>0；
m-1<0.∴0 （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.解：（1）根据根与系数的关系
所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得：k=-7；
（2）因为k=-7,所以
则：课堂小结任何一个一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,那么x1 + x2= , x1 ·x2= -一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0课件12张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学上（JJ）
教学课件第二十四章 解一元二次方程 第1课时 面积问题24.4 一元二次方程的应用1.复习一元二次方程的解法。
2.学会用一元二次方程解决几何图形问题。 (重点)导入新课 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
问题2 解方程：
(80－2x)(60－2x)＝1500.
问题1 解一元二次方程有哪些方法？观察与思考解：(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式
x2－70x＋825＝0．
(2)确认a，b，c的值 a＝1，b＝－70，c＝825
(3)判断b2－4ac的值
b2－4ac＝702－4×1×825＝1600＞0，
(4)代入求根公式得x1＝55，x2＝15 (80－2x)(60－2x)＝1500问题3 列一元一次方程解应用题的步骤？
①审题，
②找等量关系
③列方程，
④解方程，
⑤答.
那么列二元一次方程解应用题的步骤呢？你知道吗？讲授新课典例精析 例1 如图所示，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长. (80－2x)(60－2x)＝1500得x1＝55，x2＝15解：设截去的小正方形的边长xcm.则长和宽分别为（80-2x）cm、（60-2x）cm.检验：当x1＝55时 长为80－2x＝-30cm
宽为60－2x＝-50cm． 想想，这符合题意吗？不符合． 舍去． 当x2＝15时 长为80－2x＝50cm
宽为60－2x＝30cm． 符合题意 所以只能取x＝15． 答：截取的小正方形的边长是15cm 1.常见的几何图形有三角形、长方形、正方形、梯形、圆等，若是不规则几何图形，则需要将图形分割或组成规则图形.2.把分散的图形拼接成一个完整的、规则的图形是解决图形问题中的常用方法，也是较为简便有效的方法.当堂练习1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0B2. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽. 解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，列方程得（20-x)(32-x)=540，整理得 x2-52x+100=0，解得 x1=50(舍去），x2=2.答：道路宽为2米.课堂小结1.用一元二次方程解决面积问题
规律：（1）基本图形的面积公式.
（2）解决面积问题的一般方法：将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各个部分面积间的关系，运用面积公式列出方程求解.课件17张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第二十四章 解一元二次方程 第2课时 百分率问题24.4 一元二次方程的应用情境引入1.能够列一元二次方程解决增长率问题.
2.能够列一元二次方程解决利润率问题.
3.归纳运用一元二次方程解决百分率问题的方法.（难点）导入新课回顾与思考问题1 列一元二次方程解应用题的步骤是哪些？应该注意哪些？问题2 生活中还有哪类问题可以用一元二次方程解决？讲授新课 问题1 思考，并填空： 1．某农户的粮食产量年平均增长率为 x，第一年 的产量为 60 000 kg，第二年的产量为____________ kg， 第三年的产量为______________ kg．问题引导 2．某糖厂 2014年食糖产量为 a 吨，如果在以后两 年平均减产的百分率为 x，那么预计 2015 年的产量将是_________．2016年的产量将是__________．a(1-x) 问题2 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？
两年后：变化后的量 =变化前的量 问题3 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 乙种药品成本的年平均下降额为 (6 000 - 3 600 )÷ 2 = 1 200（元）． 甲种药品成本的年平均下降额为 (5 000 - 3 000) ÷ 2 = 1 000（元）， 解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x. 解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1 的正数，应选 0.225．所以，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%． 解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程 得乙种药品成本年平均下降率为 0.225. 两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况． 解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 问题4 你能概括一下“百分率问题”的基本特征吗？解决“变化率问题”的关键步骤是什么？例：山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100 kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？典例精析解析 (1)设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；
(2)为了让利于顾客因此应降价最多，求出此时的销售单价即可确定按原售价的几折出售．1.商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元(x为整数)．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利________元(用含x的代数式表示)；
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？2x（50－x）当堂作业解：(2)设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到2100元．根据题意，得
(50－x)(30＋2x)＝2 100，
化简，得x2－35x＋300＝0，
解得x1＝15，x2＝20.
答：在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价15元或20元时，商场日盈利可达到2 100元．
2.西藏地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12 100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？解：(1)设捐款增长率为x，则10 000(1＋x)2＝12 100，
解这个方程，得
x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．
答：捐款的增长率为10%；
(2)12 100×(1＋10%)＝13 310(元)．
答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款13 310元．课堂小结1.用一元二次方程解变化率问题
规律：变化前数量×(1±平均变化率)变化次数＝变化后数量．
注意：有关变化率的问题，都可以根据以上规律列方程求解．在实际问题的求解过程中，要注意方程的根与实际问题的合理性检验．2．用一元二次方程解决利润问题
基本关系：(1)利润＝售价－________；
(3)总利润＝____________×销量.进价单个利润课件9张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第二十四章 解一元二次方程 第3课时 其他问题24.4 一元二次方程的应用1.复习并归纳已学习列一元二次方程解决实际问题的方法.
2.进一步学习列一元二次方程解决实际问题的方法. (重点)导入新课回顾与思考问题1 列一元二次方程解应用题的步骤是哪些？解决面积 问题应该注意哪些？问题2 怎样用一元二次方程解决百分率问题？讲授新课问题1：连续三个奇数，若第一个为x，则后2个为_____________。x+2，x+4问题2：连续的五个整数，若中间一个数位n，
其余的为_______________________ 。 n+2，n+1，n-1，n-2问题3：一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，
则这个两位是 。10a+b问题4：一个三位数，百位x，十位y，个位z， 表示为 。100x+10y+z问题引导例：两个连续奇数的积为63，求这两个数.解：设两个奇数为x和x+2x(x+2)=63x1=-9，x2=7x+2=-7，x+2=9答：这两个数为7、9，或者-7、-9典例精析化简得：x2+2x-63=0当堂作业1.三个连续整数，两两之积的和为587，求这三个数.解：设这三个连续整数为x-1，x，x+1，(x-1)x+(x-1)(x+1)+x(x+1)=587x-1 = 13
x+1= 15x-1= -15
x+1= -13 答：这三个数为13,14,15或-13，-14，-15。3x2-588=0x1=14，x2=-142.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，求原数.解：设原数的个位上数字为x,十位上的数字为(5-x),则原数表示为[10(5-x)+x],对调后新数表示为[10x+(5-x)], 根据题意列方程得[10(5-x)+x] [10x+(5-x)]=736.化简整理得x2-5x+6=0，解得x1=3，x2=2.所以这个两位数是32或23.3.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 21次，求参加聚会的人数.解：设参加聚会的人数有x人 解得：x1=7，x2=-6(舍去)答：参加聚会的人数为7人.课堂小结列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特别注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求． 课件25张PPT。课件21张PPT。课件25张PPT。课件21张PPT。知识梳理考点解析复习归纳课后作业第二十四章 解一元二次方程 小结与复习知识梳理知识结构图实际问题 实际问题的答案数学问题
数学问题的解
降
次设未知数，列方程检 验解 方 程配方法公式法分解因式法回顾与思考 问题1 比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数与次数．你能写出各种方程的一般形式吗？所学过的整式方程有：一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程．一元一次方程的未知数的个数为1个，次数为1 ．一元二次方程的未知数的个数为1个，次数为2 ．二元一次方程的未知数的个数为2个，次数为1．一元一次方程的一般形式为： ax + b = 0 ( a≠0 )一元二次方程的一般形式为： ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )二元一次方程的一般形式为： ax + by = 0 ( a≠0, b≠0 ) 问题2 一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下适用？体会降次在解一元二次方程中的作用．配方法、公式法和因式分解法．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程因式分解法适用于某些一元二次方程 总之解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次思 想化为一次方程 得到一元二次方程的解 降次解一元一次方程 问题2求根公式与配方法有什么关系？什么情况下一元二次方程有实数根？ 求根公式是通过配方法得到的，即任何一个一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )，都可以通过配方转化为
当b2－4ac≥0时，一元二次方程 有实数根．ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )考点解析 例1若(a-3) +4x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的值为
( )
A.3 B.-3 C.±3 D.无法确定
【自主解答】选B.因为方程是关于x的一元二次方程,所以a2-7=2且a-3≠0,解得a=-3.典例精析BB
例1 解方程x2-2x-1=0.
【自主解答】移项得:x2-2x=1,配方得:x2-2x+1=2,即(x-1)2=2,
开方得:x-1=± ,
x=1± ,所以x1=1+ , x2=1- .典例精析【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；（a-b)2与（a+b)2 要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯解析 (1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；
（2）先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长．例2 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（ ）
A. (x-1)2=6 B.(x+2)2=9
C. (x+1)2=6 D.(x-2)2=9
(2) (易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．13 B． 15 C．18 D．13或18AA 例1 若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是( )
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法判断【自主解答】选A.Δ=16+4k= (5k+20),
∵5k+20<0,∴Δ<0,∴没有实数根.典例精析A 例2 已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,
②x2-2x-3=0,下列说法正确的是( )
A.①②都有实数解
B.①无实数解,②有实数解
C.①有实数解,②无实数解
D.①②都无实数解【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ= b2-4ac=4-12=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.B 例3 关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是( )
A.1 B.-1 C.1或-1 D.2【解析】选B.由题意:x1+x2= , x1x2= ,因为x1-x1x2+x2=1-a,所以 - =1-a,即 =1-a,解得a1=1,a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根,不合题意,舍去.所以a=-1.B典例精析(1)甲运动4s后的路程是多少?
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?【自主解答】(1)当t=4时,
l= ×42+ ×4=14(cm).
答:甲运动4s后的路程是14cm.
(2)设它们运动了ms后第一次相遇,根据题意,得: +4m=21,
解得m1=3,m2=-14(不合题意,舍去).
答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了3s.(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得:
+4n=21×3,
解得n1=7,n2=-18(不合题意,舍去).
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.一元二次方程解应用题的六个步骤
1.审——审清题意,找出等量关系.
2.设——直接设未知数或间接设未知数.
3.列——根据等量关系列出一元二次方程.
4.解——解方程,得出未知数的值.
5.验——既要检验是否是所列方程的解,又要检验是否符合实际情况.
6.答——完整地写出答案,注意单位.复习归纳实际问题设未知数，列方程数学问题
解方程配方法公式法因式分解法降
次数学问题的解
检 验实际问题的答案(1)直接开平方法x2=b(b 0)(2)因式分解法1、提取公因式法
2、平方差公式
3、完全平方公式(3) 配方法(4)公式法当二次项系数为1的时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方当b2-4ac＜0时，方程没有实数根一元二次方程的解法适应于任何一个一元二次方程
适应于任何一个一元二次方程
适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程
当 时适应于没有一次项的
一元二次方程1.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）=28 B．x（x﹣1）=28
C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=28
2.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（ ）
A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2
C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2
BD课后作业4.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n= . 4105. 2013年，某市某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米3240元．
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，李老师准备购买一套100平方米的住房，他持有现金10万元，可以在银行贷款20万元，李老师的愿望能否实现（房价每平方米按照均价计算）？解：（1）设平均每年下调的百分率为x,根据题意得
4000（1-x)2=3240 解得 x1= 0.1=10%; x2=1.9(舍去）；
（2）购房所需资金=100 ×3240 ×（1-10%）=291600元
=29.16万元<30万元.所以李老师的愿望能实现.课件29张PPT。课件36张PPT。
