课件24张PPT。正弦定理
（一）一、情景导入：
问题1：如图，河流两岸有A、B两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A、B两地的距离(假设你现在的位置是A点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。问题2：此类问题可以归纳为在三角形中，已知某些边与角，求其他的边与角的问题，此类问题在数学里称为___________问题.解三角形C1、测出角A、C的大小2、量出AC的长度ABBC的长度与角A的大小有关吗?三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系?问题3：在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:
不难得到:在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?可分为锐角三角形，钝角三角形三种情况分析. 当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义, CABDabc同理，做BC边上的高可得
CD=asinB=bsinA,则E所以，AE=bsinC=csinB即：对=斜sinθ(θ为锐角) 当△ABC是钝角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义, 同理，做BC边上的高可得
CD=asinB=bsinA,则所以，ＡＢＣＤacbEAE=bsin∠ACE=bsinC=csinB即：在一个三角形中,各边和它所对角的
正弦的比相等.即正弦定理证法1:平面几何法证明：作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,证法2:构造圆法AcbCBDa利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.证法3:向量法证明：∵
而∴同理∴ha证法4:面积法正弦定理可以解决三角形中哪类问题：① 已知两角和一边，求其他角和边. ②
已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角，进而可求其他的边和角.定理的应用例 1在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b (精确到0.01）.解：已知两角和任意边，
求其他两边和一角a定理的应用在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°，c=
求a ， b.在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12
求a ， c.练习例 2 已知a=16， b= ， A=30° .
求角B，C和边c已知两边和其中一边
的对角,求其他边和角解：由正弦定理所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°C=90°C=30°当Ｂ＝120°时变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
由于154.30 +300>1800故B只有一解 （如图）C=124.30,变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
所以Ｂ＝25.70,C=124.30,∵a > b ∴ A > B ,三角形中大边对大角已知两边和其中一边的对角,求其他边和角1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°.(2) b=40，c=20，C=45°.练习注：三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解无解（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：① 已知两角和任意边，求其他两边和一角 ②
已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角。(注意解的情况)正弦定理：课堂小结已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?课后思考ACabab 一解判断满足下列的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o
(2)c=54, b=39, C=120o
(3)b=26, c=15, C=30o
(4)a=2,b=6,A=30o两解一解两解无解练习：课件31张PPT。正弦定理
（二）在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
即正弦定理变式:答案： C答案： A解：代入已知条件，得：即
3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若b＝acos C，试判断△ABC的形状．
解析： ∵b＝acos C，
由正弦定理得：sin B＝sin A·sin C.
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin(A＋C)＝sin A·cos C.
即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C，
∴cos Asin C＝0， 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断△ABC的形状．正弦定理的综合应用实际问题例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在
同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。图中给出了怎样的一个
几何图形？已知什么，
求什么？想一想实例讲解分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。答：烟囱的高为 29.9m.A 解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象
出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，
从而得到实际问题的解。 在这个过程中，贯穿了数学建模的思想。这种思想即是从实际
问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，
然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。本节小结:
