课件13张PPT。余弦定理（一）一、实际应用问题 隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。BCA二、化为数学问题已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。例：在△ABC中，已知AB=c，AC=b，∠BAC=A
求：a（即BC）三、证明问题向量法：四、余弦定理三角形任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与
它们夹角的余弦的积的两倍。 或
（推论）B转化：在 △ABC中，
求 。BCBA例1：隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。B五、余弦定理基本应用解：∴A=45°思考 在解三角形的过程中，求某一个角有时
既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？在已知三边和一个角的情况下：求另一个角㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取练习1：在△ABC中，已知
解：=31+18=49∴b=7,求b练习2：解：七、作业1.在△ABC中，已知a=7,b= 5,c=3，求A。2.在△ABC中，已知 , , B=45°， 求b和A。3.在△ABC中，已知 , ,
A=45°， 求边长c，角B，角C。课件28张PPT。余弦定理（二）
一、余弦定理
1．三角形任何一边的平方等于①________，即a2＝②________，b2＝③________，c2＝④________.
2．余弦定理的推论：
cosA＝⑤________，cosB＝⑥________，cosC＝⑦________.3．余弦定理与勾股定理
(1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达式中令A＝90°，则a2＝b2＋c2；令B＝90°，则b2＝a2＋c2；令C＝90°，则c2＝a2＋b2.
(2)在△ABC中，若a2b2＋c2，则A为⑩________角，反之亦成立．二、余弦定理的应用
利用余弦定理可以解决两类斜三角形问题：
1．已知三边，求?________.
2．已知两边和它们的夹角，求?________和?________.友情提示：理解应用余弦定理应注意以下四点：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具；
(2)余弦定理是?________的推广，勾股定理是?________的特例；
(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以?________；
(4)运用余弦定理时，因为已知三边求?________，或已知两边及夹角求?________，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．在解三角形时，选择正弦定理和余弦定理的标准是什么？
在没有学习余弦定理之前，还会解三角形，但是学习了余弦定理后，就不会解三角形了，不知是用正弦定理还是用余弦定理．这时要依据正弦定理和余弦定理的适用范围来选择，还要依靠经验的积累．根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此范围内同一个正弦值一般对应两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意．但是在(0，π)内一个余弦值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避免分类讨论.
先用余弦定理求出第三边长，进而用余弦定理或正弦定理求出其他两个角．
[例2] 在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，C＝15°，求角A、B和边c的值．[变式训练2] 如图，已知AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，求AD的长．
分析：由余弦定理可解三角形ABC，求出BC长度；由三角形内角平分线定理可求出BD长，再解△ABD即可求出AD长．解析：在△ABC中，由余弦定理：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝32＋52－2×3×5·cos120°＝49，
∴BC＝7，
设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线定理：
在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理：
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.
[例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确定此三角形的形状．当a＝b时，△ABC为等腰三角形；
当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形．
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定理得
2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A＝sin2B.
又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)，
故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．[变式训练3] (2010·辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
[例4] (数学与日常生活)如图，某市三个新兴工业小区A、B、C决定平均投资共同建一个中心医院O，使得医院到三个小区的距离相等，已知这三个小区之间的距离分别为AB＝4.3 km，BC＝3.7 km，AC＝4.7 km，问该医院应建在何处？(精确到0.1 km或1°)分析：实际问题的解决，应首先根据题意转化为三角形模型，从而运用正、余弦定理解决，要注意题中给出的已知条件．本题实际上是在△ABC中，求△ABC的外接圆的半径OB及OB与边BC的夹角．
