2017-2018学年高一数学北师大版必修4学业分层测评：第2章 §1　从位移、速度、力到向量

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若向量a与向量b不相等，则a与b一定(　　)
A．不共线 B．长度不相等
C．不都是单位向量 D．不都是零向量
【解析】　若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同．所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，所以A，B，C都是错误的．但是a与b一定不都是零向量．【答案】　D
2．如图2-1-4所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　)
图2-1-4
A．＝ B．||＝||
C．＞ D．＜
【解析】　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
【答案】　B
3．如图2-1-5，?ABCD中，相等的向量是(　　)
图2-1-5
A．与 B．与
C．与 D．与
【解析】　与方向相同且长度相等．
【答案】　D
4．下列说法中正确的个数是(　　)
(1)单位向量都平行；
(2)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；
(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
(4)有相同起点的两个非零向量不平行；
(5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】　(1)错误．因为单位向量的方向可以既不相同又不相反．
(2)错误．因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反．
(3)正确．因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
(4)错误．有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量．
(5)正确．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．
【答案】　A
5．设四边形ABCD中，有＝，且||＝||，则这个四边形是(　　)
A．正方形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
【解析】　由＝可知四边形ABCD为平行四边形，又＝||，该四边形为菱形．
【答案】　D
二、填空题
6．设数轴上有四个点A，B，C，D，其中A，C对应的实数分别是1和－3，且＝，为单位向量，则点B对应的实数为 ；点D对应的实数为 ；||＝ .21世纪教育网版权所有

【解析】　由题意知点C是线段AB的中点，所以点B对应的实数为－7.为单位向量，所以点D对应的实数为－4或－2，||＝－3－(－7)＝4.
【答案】　－7　－4或－2　4
7.如图2-1-6所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
图2-1-6(1)有两个向量的模相等，这两个向量是 ，它们的模都等于 ．21教育网
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是 ，它们的模的和等于 ．
【解析】　(1)模相等的两个向量是，，||＝||＝＝.
(2)共线的向量是，，且||＋||＝2＋3＝5.
【答案】　(1)，　　(2)，　5
8．给出下列几种叙述：
(1)两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同；
(2)若|a|＝|b|，则a＝b；
(3)若＝，则ABCD是平行四边形；
(4)平行四边形ABCD中，一定有＝；
(5)若a∥b，b∥c，则a∥C．
其中正确的有 ．(填所有正确说法的序号)
【解析】　(1)错误．两个向量相等，它们的始点和终点都不一定相同．
(2)错误．若|a|＝|b|，则a与b方向未必相同，故a与b不一定相等．
(3)错误．若＝，则A，B，C，D四个点有可能在同一条直线上，所以ABCD不一定是平行四边形．
(4)正确．平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC且有向线段与方向相同，所以＝.
(5)错误．若a∥b，b∥c，b＝0，则a与c不一定平行．
【答案】　(4)
三、解答题
9．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与相等的向量；
(2)与长度相等的向量；
(3)与共线的向量．
【解】　(1)由图可知，BC＝AD，所以与相等的向量为.
(2)由O是正方形ABCD对角线的交点，可知OB＝OD＝OA＝OC，所以与长度相等的向量有，，，，，，.21cnjy.com
(3)与共线的向量有，，.
10．如图2-1-7所示，四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.
图2-1-7
求证：＝.

【证明】　∵＝，∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，∴＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴＝.
∵||＝||，||＝||，∴||＝||，
又∵与的方向相同，∴＝.
[能力提升]
1．把平面内所有长度不小于1且不大于2的向量的起点平移到同一点O，则这些向量的终点所构成的图形的面积为(　　)21·cn·jy·com
A．4π B．π
C．2π D．3π
【解析】　所构成的图形是半径分别为1和2的同心圆环，故其面积为π(22－12)＝3π.
【答案】　D
2．在四边形ABCD中，∥且||≠||，则四边形ABCD的形状是 .

【解析】　∵∥且||≠||，
∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四边形ABCD是梯形．
【答案】　梯形
3．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝ .
【解析】　易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，www.21-cn-jy.com
∴||＝2||＝2.
【答案】　2
4.如图2-1-9所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．2·1·c·n·j·y
图2-1-9
【解】　由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．【来源：21·世纪·教育·网】