陕西省黄陵中学高新部2016-2017学年高二下学期第三学月考试数学（文）试题

高新部第三学月考试高二
文科数学
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列有关坐标系的说法，错误的是(　　)
A．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆
B．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小
C．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程
D．同一条曲线可以有不同的参数方程
2．把函数y＝sin2x的图象经过________变化，可以得到函数y＝sinx的图象．(　　)
A．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍
B．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍
C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标缩短为原来的倍
D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的
3．极坐标方程ρ＝2sin的图形是(　　)
4．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为(　　)
A．y＝x－2　　　　　　
B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3)
D．y＝x＋2(0≤y≤1)
5．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin(ρ∈R)关于(　　)
A．直线θ＝成轴对称
B．直线θ＝成轴对称
C．点成中心对称
D．极点成中心对称
6．椭圆(θ为参数)的离心率是(　　)
A.
B.
C.
D.
7．已知圆M：x2＋y2－2x－4y＝10，则圆心M到直线(t为参数)的距离为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
8．若直线(t为参数)与圆
(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为(　　)
A.或
B.或
C.或
D．－或－
9．若直线y＝x－b与曲线θ∈
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．(2－，2＋)
10．实数x，y满足3x2＋2y2＝6x，则x2＋y2的最大值是(　　)
A．2
B．4
C.
D．5
11．参数方程(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是(　　)
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分，且过点
D．抛物线的一部分，且过点
12．已知直线l：(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2，则点A(0,2)到P1，P2两点距离之和是(　　)
A．4＋
B．2(2＋)
C．4(2＋)
D．8＋
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2016·深圳调研)在极坐标系中，经过点作圆ρ＝4sin
θ的切线，则切线的极坐标方程为________．
14．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos
θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.
15．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos
θ＋sin
θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.
16．直线2ρcos
θ＝1与圆ρ＝2cos
θ相交的弦长为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知⊙C：ρ＝cos
θ＋sin
θ，
直线l：ρ＝.求⊙C上点到直线l距离的最小值．
18．(本小题满分12分)已知直线的极坐标方程ρsin＝，求极点到直线的距离．
19．(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C的方程；
(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转得到圆D，求圆D的方程．
20．已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
21．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程：(t为参数)和圆C的极坐标方程：ρ＝2sin
(1)将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)判断直线l和圆C的位置关系．
22．(本小题满分12分)已知曲线C1：(θ为参数)，曲线C2：(t为参数)．
(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C′1，C′2.
写出C′1，C′2的参数方程．C′1与C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数
是否相同？说明你的理由．
参考答案
1.解析：　直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中，伸缩变形可以改变图形的形状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆；而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方程的，同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．
答案：　C
2.解析：　本题主要考查直角坐标系的伸缩变换，根据变换的方法和步骤可知，把函数y＝sin2x的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y＝sinx的图象，再把纵坐标缩短为原来的，得到y＝sinx的图象．
答案：　D
3.解析：　∵ρ＝2sin＝2sinθ·cos＋2cosθ·sin＝(sinθ＋cosθ)，
∴ρ2＝ρsinθ＋ρcosθ，
∴x2＋y2＝x＋y，
∴2＋2＝1，
∴圆心.
结合题中四个图形，可知选C项．
答案：　C
4.解析：　由知x＝2＋y(2≤x≤3)
所以y＝x－2　(2≤x≤3)．
答案：　C
5.解析：　将原方程变形为ρ＝4cos，
即ρ＝4cos，该方程表示以为圆心，以2为半径的圆，所以曲线关于直线θ＝成轴对称．
答案：　B
6.【解析】　椭圆的标准方程为＋＝1，∴e＝.故选A.
【答案】　A
7.【解析】　由题意易知圆的圆心M(1,2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x－4y－5＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝2.
【答案】　B
8.【解析】　直线的普通方程为y＝tan
α·x，圆的普通方程为(x－4)2＋y2＝4，由于直线与圆相切，则＝2.
∴tan
α＝±，∴α＝或.故选A.
【答案】　A
9.【解析】　由消去θ，得
(x－2)2＋y2＝1.(
)
将y＝x－b代入(
)，化简得
2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，
依题意，Δ＝2－4×2(b2＋3)>0，
解得2－【答案】　D
10.【解析】　由3x2＋2y2＝6x，得3(x－1)2＋2y2＝3，
令x＝1＋cos
θ，y＝sin
θ，代入x2＋y2，得
x2＋y2＝(1＋cos
θ)2＋sin2θ＝－(cos
θ－2)2＋，∴当cos
θ＝1时，(x2＋y2)max＝4.
【答案】　B
11.【解析】　由y＝cos2
＝＝，
可得sin
θ＝2y－1，
由x＝
得x2－1＝sin
θ，
∴参数方程可化为普通方程x2＝2y.
又x＝∈，故选D.
【答案】　D
12.【解析】　将直线l参数方程化为(t′为参数)，代入y2＝2x，得t′2＋4(2＋)t′＋16＝0，设其两根为t1′、t2′，则t1′＋t2′＝－4(2＋)，
t1′t2′＝16>0.
由此知在l上两点P1，
P2都在A(0,2)的下方，则|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋)．
【答案】　C
13.【解析】　圆ρ＝4sin
θ的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，化成标准方程得x2＋(y－2)2＝4，表示以点(0,2)为圆心，以2为半径长的圆，点的直角坐标为(2,2)，由于22＋(2－2)2＝4，即点(2,2)在圆上，故过点且与圆相切的直线的方程为x＝2，其极坐标方程为ρcos
θ＝2.
【答案】　ρcos
θ＝2
14.【解析】　由ρ＝4cos
θ可得x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，因此圆心C的直角坐标为(2,0)．又点P的直角坐标为(2,2)，因此|CP|＝2.
【答案】　2
15.【解析】　ρ(cos
θ＋sin
θ)＝1，即ρcos
θ＋ρsin
θ＝1对应的直角坐标方程为x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.将代入x2＋y2＝a2得a＝.
【答案】　
16.【解析】　直线2ρcos
θ＝1可化为2x＝1，即x＝，圆ρ＝2cos
θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos
θ，化为直角坐标方程是x2＋y2＝2x，
即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1,0)，半径为1，
∴弦长为2×
＝.
【答案】　
17.【解】　⊙C的直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，
即＋＝.
又直线l的极坐标方程为ρ(cos
θ－sin
θ)＝4，
所以直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.
设M为⊙C上任意一点，M点到直线l的距离
d＝
＝，
当θ＝时，dmin＝＝.
18.【解】　∵ρsin＝，∴ρsin
θ＋ρcos
θ＝1，
即直角坐标方程为x＋y＝1.
又极点的直角坐标为(0,0)，
∴极点到直线的距离d＝＝.
19.【解】　(1)设M(ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C过极点O，∠COM＝θ－1，
作CK⊥OM于K，则ρ＝|OM|＝2|OK|＝2cos(θ－1)，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．
(2)将圆C：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转得到圆D：ρ＝2cos，
即ρ＝－2sin(1－θ)．
20.【解】　(1)依题意有P(2cos
α，2sin
α)，
Q(2cos
2α，2sin
2α)，
因此M(cos
α＋cos
2α，sin
α＋sin
2α)．
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M点到坐标原点的距离
d＝＝(0＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
21．解析：(1)l：y＝2x＋1，
由ρ＝2sin ρ＝2
ρ＝2sin
θ＋2cos
θ ρ2＝2ρsin
θ＋2ρcos
θ
x2＋y2＝2x＋2y
即(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)圆心(1,1)到直线l的距离为d＝<
故直线l和圆C相交．
22解　(1)C1是圆，C2是直线．
C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心C1(0，0)，半径r＝1.
C2的普通方程为x－y＋＝0.
因为圆心C1到直线x－y＋＝0的距离为1，
所以C2与C1只有一个公共点．
(2)压缩后的参数方程分别为C′1：
(θ为参数)，C′2：(t为参数)，
化为普通方程为C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝x＋，
联立消元得2x2＋2x＋1＝0，
其判别式Δ＝(2)2－4×2×1＝0，
所以压缩后的直线C′2与椭圆C′1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的
个数相同．