2017年九年级数学上册全一册教案（打包74套）（新版）沪科版

21．4　二次函数的应用
第1课时　二次函数在面积最值问题中的应用
1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系；(重点)
2．会运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
二、合作探究
探究点：利用二次函数求最大面积
【类型一】
利用二次函数求最大面积
小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x，则另一边长为，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．
解：(1)根据题意，得S＝·x＝
－x2＋30x.自变量x的取值范围是0＜x＜30；
(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，因为a＝－1＜0，所以S有最大值，即当x＝15(米)时，S最大值是225(平方米)．
方法总结：二次函数与日常生活中的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．
【类型二】
利用二次函数判断面积取值成立的条件
用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断．
解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；
(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，
解得x1＝10，x2＝6.
所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；
(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．
方法二：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，配方，得(x－8)2＝－6，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．
方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．
【类型三】
利用二次函数确定最大面积的条件
现有一块矩形场地，如图所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．
(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？
解析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值．
解：(1)由题意知，B场地宽为(30－x)m，∴y＝x(30－x)＝－x2＋30x，自变量x的取值范围为0＜x＜30；
(2)y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，当x＝15m时，种植菊花的面积最大，最大面积为225m2.
【类型四】
最大面积方案设计
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示)．
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数关系式；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
解：(1)M(12，0)，P(6，6)；
(2)设这条抛物线的函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，因为抛物线过O(0，0)，
所以a(0－6)2＋6＝0，解得a＝－，
所以这条抛物线的函数关系式为y＝－(x－6)2＋6，即y＝－x2＋2x；
(3)设OB＝m，
则点A的坐标为(m，－m2＋2m)，
所以AB＝DC＝－m2＋2m.
根据抛物线的轴对称，可得OB＝CM＝m，
所以BC＝12－2m，即AD＝12－2m，
所以l＝AB＋AD＋DC
＝－m2＋2m＋12－2m－m2＋2m
＝－m2＋2m＋12＝－(m－3)2＋15.
所以当m＝3，即OB＝3米时，三根木杆长度之和l的最大值为15米．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决实际问题．2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第3课时
二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
教学目标：
1．使学生理解函数y=a(x+h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2．会确定函数y=a(x+h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历函数+h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x+h)2＋k的性质。
重点难点：
重点：确定函数y=a(x+h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x+h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x+h)2＋k的性质是教学的重点。
难点：正确理解函数y=a(x+h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x+h)2＋k的性质是教学的难点。
教学过程：
一、提出问题
1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系
(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)
2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系
3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系 函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质
二、试一试
你能填写下表吗
y=2x2　
向右平移的图象　1个单位
y=2(x－1)2
向上平移1个单位
y=2(x－1)2＋1的图象
开口方向
向上
对称轴
y轴
顶
点
(0，0)
问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗
问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质
对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；
函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。
当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。
三、做一做
问题4：在图3中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗
问题5：你能说出函数y=－(x－1)2＋2的图象与函数y=－x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗
(函数y＝－(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)
四、课堂练习：
练习1、2、3、4。
练习第4题提示：将－3x2－6x＋8配方，即
y=－3x2－6x＋8
=－3(x2＋2x)＋8
=－3(x＋1)2＋11
五、小结
1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑
六、作业：
1．已知函数y＝6x2、y＝6(x－3)2＋3和y＝6(x＋3)2－3。
(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝6x2得到抛物线y＝6(x－3)2＋3和抛物线y＝6(x＋3)2－3；
(4)试讨沦函数y＝6(x＋3)2－3的性质；
3．不画图象，直接说出函数y＝－2x2－5x＋7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
4．函数y＝2(x－1)2＋k的图象与函数y＝2x2的图象有什么关系
教后反思：二次函数与反比例函数
21.1
二次函数
教学思路（纠错栏）教学思路（纠错栏）
教学目标：
1．能探索和表示实际问题中的二次函数关系；2．知道什么是二次函数；3．能根据实际问题确定自变量的取值范围．教学重点：二次函数的概念.预设难点：由实际问题确定函数解析式和自变量的取值范围．
☆
预习导航
☆一、链接1.矩形周长为40m，长为xm，则矩形的面积=________.2.出售成本为10元的某种文具盒，若每个售价x元，一天可出售（6-x）个，那么一天的利润y=__________.3.上面变量的关系是函数关系吗？二、导读1.
上面列出的函数关系式有什么特点？2.
一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________．3.如果不考虑实际问题中的特殊情况，二次函数自变量的取值范围是__________.
☆
合作探究
☆
1．函数y＝(m+2)x2＋(m－2)x－3（m为常数）．
（1）当m__________时，该函数为二次函数；（2）当m__________时，该函数为一次函数．2．一块长工100m、宽80m的矩形草地，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，这时草地面积为y(m2)，求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围。☆
归纳反思
☆1.二次函数的解析式y=ax2+bx+c(a≠0)有哪些特点？2.上述概念中的a为什么不能是0？3．对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b=0,则y=__________;若c=0,则y=__________;若b=0,c=0,则y=_____________.☆
达标检测
☆
1.下列函数中哪些是二次函数？（1）y=10r2
(2)s=3-2t2
y=(x+3)2-x2
y=(x-1)2-22．如果函数y=kx2+kx+1是二次函数,则k的取值范围______3．已知一个直角三角形的两直角边的和是10cm。若设其中一条直角边长为xcm。，则面积s关于x的函数关系式是
。4.
某商场今年一月份销售额为50万元，二、三月份平均每月销售增长率为x,求三月份销售额y与x之间的函数表达式。第4课时　相似三角形的判定定理3
1．掌握相似三角形的判定定理3；(重点)
2．能熟练地运用相似三角形的判定定理3.(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
可否用类似于判定三角形全等的方法(SSS)，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？
二、合作探究
探究点：三边对应成比例的两个三角形相似
【类型一】
利用三边长来判定三角形相似
如图所示，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由．
解：∠B＝∠AED.
理由：由题意得
AB＝AD＋BD＝3＋15＝18，
AC＝AE＋CE＝6＋3＝9，
＝＝3，＝＝3，＝＝3，
所以＝＝，故△ABC∽△AED，
所以∠B＝∠AED.
方法总结：要说明∠B＝∠AED，只需要得到△ABC∽△AED，根据三边对应成比例的两个三角形相似可证得△ABC∽△AED.
【类型二】
网格中相似三角形的判定
如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是哪一个图形？
解：由甲图可知AC＝＝，BC＝2，AB＝＝.
同理，图①中，三角形的三边长分别为1，，2；
同理，图②中，三角形的三边长分别为1，，；
同理，图③中，三角形的三边长分别为，，3；
同理，图④中，三角形的三边长分别为2，，.
∵＝＝＝，
∴图②中的三角形与△ABC相似．
方法总结：(1)各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否对应成比例来判断两个三角形是否相似；(2)判定三边是否对应成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似．
三、板书设计
相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似
从学生已掌握的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问题的能力．感受两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定方法(SSS)的区别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识．第2课时　相似三角形的判定定理1
1．能正确地理解相似三角形的判定定理1；(重点)
2．能熟练地运用相似三角形的判定定理1.(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
根据相似三角形的定义，三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．那么，两个三角形至少要满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形全等的条件寻找判定两个三角形相似的条件呢？
二、合作探究
探究点一：相似三角形的判定定理1
在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝80°，∠B＝70°，∠C′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由．
解：△ABC∽△A′B′C′.
理由：由三角形的内角和是180°，
得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°，
所以∠A＝∠A′，∠C＝∠C′.
故△ABC∽△A′B′C′(两角分别相等的两个三角形相似)．
方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可．一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角(或等角)的余角”等隐含条件．
探究点二：相似三角形的判定定理1的应用
【类型一】
由三角形相似计算对应边的长
如图所示，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长．
解：解法一：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，所以△ADE∽△ABC，
所以＝，即＝，
所以BC＝15cm.
又因为DF∥AC，
所以四边形DFCE是平行四边形，
即FC＝DE＝5cm，
所以BF＝BC－FC＝15－5＝10(cm)．
解法二：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B.
又因为DF∥AC，所以∠A＝∠BDF，
所以△ADE∽△DBF，
所以＝，即＝，
所以BF＝10cm.
方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到．
【类型二】
由相似三角形确定对应边的比例关系
已知：如图，△ABC的高AD、BE相交于点F，求证：＝.
证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AEF＝∠BDF＝90°.
又∵∠AFE＝∠BFD，
∴△AFE∽△BFD，∴＝.
方法总结：要证明＝，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论．
三、板书设计
在探索活动中，要增强学生发现问题、解决问题的意识和养成合作交流的习惯．进一步培养学生合情推理能力和初步逻辑推理意识．23.2
解直角三角形及其应用
第3课时
方向角问题
【教学目标】
使学生理解方位角概念的意义，并能适当的选择锐角三角函数关系式去解决有关直角三角
形实际问题；
培养学生将实际问题抽象为数学问题(形)的能力
【教学重点】用三角函数有关知识解决方位角的实际问题;
【教学难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.
在平面上，过观测点作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.
例如，图4中“北偏东”是一个方向角，又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线，此时的方向角为“北偏西”.
例（内蒙古呼和浩特市）如图5，、是两座现代城市，是一个古城遗址，城在城的北偏东，在城的北偏西，且城与城相距千米.
城在城的正东方向.
以为圆心，以千米为半径的圆形区域内有古迹和地下文物现要在、两城市间修建一条笔直的高速公路.
（1）请你计算公路的长（结果保留根号）.
（2）请你分析这条公路有没有可能对文物古迹造成损毁.
分析：解本题的关键是根据题意构造直角三角形，只要过作于，就得到两个直角三角形.
这样就把问题转化为直角三角形问题来解决.
解：（1）过作于，在中，∵，
∴，.
在中，∵.
∴.
∴公路长（千米）.
（2）∵
（千米）
（千米），∴此条公路不会对文物造成损毁.
达标检测
1、在南北海岸线有A、B两港口，相距(120-120)海里，一船从A港出发，沿北偏东60°方向航行，当船到达C处时，从B港测得此时船在B港的南偏东45°处，求这时C处到海岸线AB的距离。
2、一轮船在海面上A处，沿着南偏东75°方向以每小时24海里的速度航行，为了确定船的位置，船在A处测得灯塔B在北偏东45°的方向上，船按原来航向和航行速度继续航行40分钟到达C处，测得灯塔B恰好在正北方向，求此时船与灯塔的距离(精确到0.1海里)sin75°=0.9659,cos75°=0.2588,
tan75°=3.7321,cot75°=0.2679
一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？
课后小结23.2
解直角三角形及其应用
第2课时
仰角与俯角问题
教学目标
【知识与技能】
使学生掌握仰角、俯角的概念,并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题.
【过程与方法】
让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途.
【情感、态度与价值】
使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.
重点难点
【重点】
将实际问题转化为解直角三角形问题.
【难点】
将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解.
教学过程
一、创设情境,导入新知
教师多媒体课件出示:
南浦大桥建桥时为世界第三大斜拉桥,桥全长8346米,6车道,主塔高154米,塔柱中间,由两根高8米、宽7米的上下拱梁牢牢地连接着,呈“H”型.南浦大桥于1991年12月1日建成通车.南浦大桥横卧在黄浦江上,它使上海人圆了“一桥飞架黄浦江”的梦想.
问题:南浦大桥主塔高154米,最高的一根钢索与桥面的夹角为30°,问最高的钢索有多长
追问:第二根钢索与桥面的夹角为35°,如何求第二根钢索的长呢
教师带领学生看题目.
二、共同探究
师:请同学们思考这个问题.这是一个实际问题,我们将它转换为数学模型后是不是很简单了 你能求出最高的钢索长度吗
生:能.
教师找一生回答.
量:你能求出第二根钢索的长吗
生:能,与最长的一根钢索长的求法一样.
教师多媒体课件出示:
操场上有一根旗杆,老师让小明去测量旗杆的高度,小明站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34°,并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了.
师:请同学们思考这个问题,想想他是如何计算的.
学生思考,讨论.
师:如果我们把已知的条件转化为三角形的一些元素,你能不能算出
生:能.
师:很好!现在请同学们想想已知了或容易算出哪些量,需要求的是什么量
生:已知了一个直角梯形的一条底边,一条腰长,并且容易算出它的一个内角,求它的另一底.
师:对,那你知道小明是怎么算的吗
学生思考,交流.
生:先把各个顶点用字母标出,然后作辅助线,构造直角三角形.
教师找一生板演,并让他解释自己的思路.
三、继续探究,层层推进
1.讲解.
师:在实际生活中,解直角三角形有着广泛的应用,例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形.
教师在黑板上作图.
师:当我们测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角;在水平线以下的角叫做俯角.
注意:(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角,而不是与铅垂线所夹的角;
(2)仰角和俯角都是锐角.
师:我们自己测量角时用什么工具啊
生:量角器.
量:测量仰角、俯角也有专门的工具,是测角仪.
2.练习新知.
教师多媒体课件出示:
(1)如图,∠C=∠DEB=90°,FB∥AC,从A看D的仰角是　　　　;从B看D的俯角是　　　　;从A看B的　　　　角是　　　　;从D看B的　　　　是　　　　;从B看A的　　　角是　　　　.
师:你能根据仰角和俯角的概念回答这些问题吗
生:能.
教师找一生回答,然后集体订正得到:
从A看D的仰角是∠2,从B看D的俯角是∠FBD,从A看B的仰角是∠BAC,从D看B的仰角是∠3,从B看A的俯角是∠1.
教师多媒体课件出示:
(2)如图,线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°,测得乙楼底部D的俯角β=60°.已知甲楼的高AB=24米,求乙楼的高CD.
学生看题思考.
师:这道题也需要我们把它转化为解直角三角形来解决,但现在还没有直角三角形呢,你怎样求
生:因为AB⊥BD,CD⊥BD,所以过A作AE∥BD,即有AE⊥BD,得到
Rt△ACE和Rt△ADE,确定仰角和俯角.已知AB=24米,可知DE=24米,可求出AE,进而求出CE.
教师作图.
师:然后怎样做呢
老师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
解:在Rt△AEC中,
∠AEC=90°
∠EAC=α=30°.
∵tanα==,
∴CE=8tanα=8×tan30°=8×=8(米).
∴CD=CE+DE=24+8=32(米).
四、例题讲解
【例1】　如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8
m的E处,测得树顶的仰角∠ACD=52°.已知测角器的架高CE=1.6
m,问树高AB为多少米 (精确到0.1
m)
解:在Rt△ACD中,∠ACD=52°,CD=EB=8
m.
由tan∠ACD=,得
AD=CD·tan∠ACD=8×tan52°=8×1.2799≈10.2(m).
由DB=CE=16
m得
AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8(m).
答:树高AB为11.8
m.
【例2】　解决本章引言所提问题.如图,某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB,因为不能直接到达塔底B处,他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C、D两处地面上,用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°,同时量得CD为50
m,已知测角器高为1
m,问电视塔的高度为多少米 (精确到1
m)
解:设AB1=x
m.
在Rt△AC1B1中,由∠AC1B1=45°,
得C1B1=AB1.
在Rt△AD1B1中,由∠AD1B1=30°,得
tan∠AD1B1==,
即　=.
解方程,得x=25(+1)≈68.
∴AB=AB1+B1B≈68+1=69(m).
答:电视塔的高度为69m.
五、巩固提高
师:同学们,刚才的讲解你们都听明白了吗 还有什么不懂的地方可以在下课后问我,现在让我们一起来解决几个关于直角三角形应用的问题.
老师多媒体课件出示题目:
1.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500
m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB长是(　　)
A.250
m
B.250
m
C.
m
D.250
m
【答案】A
2.王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°,已知水平距离BD=10
m,楼高AB=24
m,则树CD的高度为(　　)
A.(24-)m　　　B.(24-10)m
C.(24-5)m
D.9
m
【答案】B
3.升国旗时,某同学站在距离旗杆底部24米处行注目礼,当国旗升到主旗杆顶端时,该同学视线的仰角恰为30°.若该同学的双眼距离地面1.5米,则旗杆的高度大约为　　　.(精确到0.1米)
【答案】15.4米
4.如图,某飞机在空中A处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B的俯角为α,若测得飞机与目标B之
间的距离AB大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度.
【答案】1248米
5.如图,为测量某塔AB的高度,在距离该塔底部20米的C处目测塔的顶端A,仰角为60°.已知目高为1.5米,求该塔的高度.(≈1.7)
【答案】35.5米
六、课堂小结
师:本节课,我们学习了什么内容
学生回答.
师:你还有什么不懂的地方吗
学生提问,教师解答.
教学反思
多媒体课件简洁生动,通过图片形象地向学生展示出所提出的问题,吸引学生的注意,使学生解决问题的同时,吸收了数学中的转化思想、建模思想、方程思想,即把现实问题通过建立数学模型转化成数学问题,并运用构建方程的思想达到数与形的结合.
解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一,使学生对所学知识有了更好的巩固,同时让学生体会到数学与实际的联系.例题设置具有一定坡度,由浅入深,步步深入.22.2
相似三角形的判定
第3课时
相似三角形的判定定理2
教学思路（纠错栏）教学思路（纠错栏）
教学目标：
1、掌握并会推导相似三角形的判定定理2.2、会用相似三角形的判定定理2进行一些简单的判断、证明和计算.教学重点：灵活运用相似三角形的判定定理2证明和解决有关问题．预设难点：相似三角形的判定定理2的推导和应用.☆
预习导航
☆一、链接1、
三角形一边的直线与其他两边（或
）相交，截得的三角形与原三角形
.2、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角
，那么这两个三角形相似（可简单说成：
）.3、如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边
，并且夹角
，那么这两个三角形全等（可简单说成：
）.二、导读结合课本写一写相似三角形的判定定理2的证明过程.☆
合作探究
☆1、如图，在四边形ABCD中，∠A
=
∠CBD，AB
=
15cm，AD
=
20cm，BD
=
18cm，BC
=
24cm,求CD的长.2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形.（1）当AC、CD、BD满足什么数量关系时，△ACP∽△PDB
（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数.☆
归纳反思
☆本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？☆
达标检测
☆1、如图，D是△ABC一边BC上的一点，△ABC∽△DBA的条件是(
)A.
B.
C.AB2＝CD·BC
D.＝BD·2、已知：如图，D是△ABC边AB上的一点，且AC2
=AD·AB.求证：∠ADC=∠ACB.22.2
相似三角形的判定
第4课时
相似三角形的判定定理3
教学思路（纠错栏）教学思路（纠错栏）
教学目标：
1、掌握并会推导相似三角形的判定定理3.2、会用相似三角形的判定定理1、2、3进行一些简单的判断、证明和计算.教学重点：灵活运用相似三角形的判定定理3证明和解决有关问题．预设难点：相似三角形的判定定理3的推导和应用.☆
预习导航
☆一、链接1、回忆相似三角形的判定定理1、2的内容.定理1可简单说成：
.定理2可简单说成：
.2、简单说一说相似三角形的判定定理1、2的证明过程.二、导读结合课本和相似三角形的判定定理1、2的证明过程写一写相似三角形的判定定理3的证明过程.☆
合作探究
☆1、根据下列条件，判断
ABC与 A1B1C1是否相似，并说明理由：（1）∠A＝1200，AB=7，AC=14，∠A1＝1200，A1B1=
3，A1C1=6。（2）∠A＝380，∠C＝970
,∠A1＝380，∠B1＝450(3)
2、如图，在正方形网格上有两个三角形和，求证：△∽△
☆
归纳反思
☆本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？☆
达标检测
☆
1、如图，要使△ADE∽△ABC，只给出一个条件
即可.
2、已知Δ与ΔDEF相似,AB=,AC=,BC=2,DE=1,DF=,求EF的长.（注意多种情况）3、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.（1）请写出图中相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP:PQ:QR
.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．会用描点法画出y＝ax2＋k的图象；
2．掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用；(重点)
3．理解二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k之间的联系．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
边长为15cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
【类型一】
确定y＝ax2＋k的图象与坐标轴的交点
抛物线y＝x2－4与x轴的交点坐标是________．
解析：因为抛物线y＝x2－4与x轴的交点纵坐标是0，即y＝0，此时x2－4＝0，解得x＝±2，所以抛物线y＝x2－4与x轴的交点坐标是(2，0)与(－2，0)．
方法总结：求抛物线与x轴交点坐标时，可利用交点纵坐标为0构造关于x的方程来求抛物线的横坐标．
【类型二】
二次函数y＝ax2＋k增减性判断
已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(　　)
A．若y1＝y2，则x1＝x2
B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2
D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1＝－x2，所以选项A是错误的；选项B：若x1＝－x2，则y1＝y2，所以选项B是错误的；选项C：若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2，所以选项C是错误的；选项D：若x1＜x2＜0，则在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，所以选项D是正确的．故选D.
【类型三】
二次函数y＝ax2＋k的图象与性质的综合
若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是(　　)
A．a＝2
B．当x＜0，y随x的增大而减小
C．顶点坐标为(2，0)
D．图象有最低点
解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得10＝4a＋2，所以a＝2，抛物线开口向上，有最低点，当x＜0，y随x的增大而减小，所以A、B、D均正确，顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.
方法总结：抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点为(0，k)．
【类型四】
在同一坐标系中确定y＝ax2＋k的图象与一次函数的图象
在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为(　　)
解析：当a＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升；当a＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A，C，D，故选B.
探究点二：二次函数y＝ax2＋k的平移
【类型一】
利用平移确定y＝ax2＋k的解析式
已知抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位后，所得抛物线为y＝－3x2＋2.那么抛物线的解析式为____________．
解析：因为抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位后，所得抛物线为y＝－3x2＋2.所以a＝－3，c－2＝2，所以c＝4，所以抛物线的解析式为y＝－3x2＋4.
【类型二】
确定y＝ax2与y＝ax2＋k的关系
抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？
解：抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5.
又∵其顶点坐标为(0，3)，
∴c＝3.
∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线y＝－5x2向上平移3个单位得到的．
方法总结：对于二次函数y＝ax2的图象来说，向上平移|c|个单位，就在ax2后面加|c|，向下平移|c|个单位，就在ax2后面减|c|.
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．第2课时　二次函数y＝a(x＋h)2的图象和性质
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．会用描点法画出y＝a(x＋h)2的图象；
2．掌握形如y＝a(x＋h)2的二次函数图象的性质，并会应用；(重点)
3．理解二次函数y＝a(x＋h)2与y＝ax2之间的联系．(难点)
一、情境导入
涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．如图建立直角坐标系，你能得到函数图象解析式吗？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝a(x＋h)2的图象与性质
【类型一】
y＝a(x＋h)2的顶点坐标
已知抛物线y＝a(x＋h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值．
解：∵抛物线y＝a(x＋h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h＝2.又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)，∴a(－4＋2)2＝2.∴a＝.
方法总结：二次函数y＝a(x＋h)2的顶点坐标为(－h，0)．
【类型二】
二次函数y＝a(x＋h)2图象的形状
顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y＝－x2的图象相同的抛物线的解析式为(　　)
A．y＝(x－2)2
B．y＝(x＋2)2
C．y＝－(x＋2)2
D．y＝－(x－2)2
解析：因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a(x＋h)2(a≠0)，而二次函数y＝a(x＋h)2(a≠0)与y＝－x2的图象相同，所以a＝－.而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h＝2.把a＝－，h＝2代入y＝a(x＋h)2得y＝－(x＋2)2.故选C.
方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．
【类型三】
二次函数y＝a(x＋h)2的增减性及最值
对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是(　　)
A．y随x的增大而增大
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当x＝－1时，y有最小值0
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
解析：因为a＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h＝－1，顶点坐标为(1，0)，所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故选D.
探究点二：二次函数y＝a(x＋h)2图象的平移
【类型一】
利用平移确定y＝a(x＋h)2的解析式
抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解析：y＝ax2向右平移3个单位后的关系式可表示为y＝a(x－3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a的值．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a＝，∴平移后二次函数关系式为y＝(x－3)2.
方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
【类型二】
确定y＝a(x＋h)2与y＝ax2的关系
向左或向右平移函数y＝－x2的图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
解：能，理由如下：
设平移后的函数为y＝－(x＋h)2，
将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－(－9＋h)2，
所以h＝5或h＝13，
所以平移后的函数为y＝－(x＋5)2或y＝－(x＋13)2.
即抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以应向左平移5或13个单位．
【类型三】
二次函数y＝a(x＋h)2图象的平移与几何图形的综合
把函数y＝x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积．
解析：利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式，确定C点坐标，再解由所得到的二次函数解析式与y＝x组成的方程组，确定A、B两点坐标，最后求△ABC的面积．
解：平移后的函数为y＝(x－4)2，顶点C的坐标为(4，0)，
解方程组得或
∵点A在点B的左边，∴A(2，2)，B(8，8)，∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝OC×8－OC×2＝12.
方法总结：两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x＋h)2的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．22.2
相似三角形的判定
第5课时
判定两个直角三角形相似
教学目标
【知识与技能】
使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用.
【过程与方法】
1.类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.
2.通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力.
【情感、态度与价值观】
通过学习培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点.
重点难点
【重点】
直角三角形相似定理的应用.
【难点】
了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路.
教学过程
一、复习引入
师:我们学习了几种判定三角形相似的方法
学生回答:5种.
师:哪5种
教师找一名学生回答,另一名或两名学生补充完善.
师:其中判定定理1、2、3的证明思路是什么
生:作相似证全等或作全等证相似.
师:同学们还记得什么是“勾股定理”吗
生:记得.
师:请你叙述一下.
学生回答.
二、共同探究,获取新知
1.推理证明.
师:判定两个直角三角形是否全等时,除了用那些一般的方法外还可以用“HL”的方法,那么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢
教师多媒体课件出示:
如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,=,判断Rt△ABC与Rt△A'B'C'是否相似,为什么
师:已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例,你能判断这两个直角三角形是否相似吗
学生思考、讨论后回答.
师:我们知道了哪些条件
生甲:两个直角对应相等.
生乙:两边对应成比例.
师:你再添加什么条件就能证出这两个三角形相似呢
生:还有剩下的一边也是对应成比例的.
师:为什么要这样添加呢
生:因为添加了这个条件,就可以根据三边对应成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似了.
师:那么你怎么证明它们也是对应成比例的呢
学生思考.
生:设==k,则AB=kA'B'.AC=kA'C'.根据勾股定理BC可以用含AB、AC的式子表示,进而可以用含A'B'的式子表示,再用勾股定理就得到BC=kB'C',所以就得到了三边对应成比例,这两个三角形相似.
师:你回答得太好了!现在请同学们写出具体的步骤,然后与课本上的对照,将不完善的地方改正.
学生证明并修改.
证明:设==k,则AB=kA'B',AC=kA'C'.
∵BC===k=kB'C',
∴===k,
∴△ABC∽△A'B'C'.
师:所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理:
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
2.例题.
教师多媒体课件出示:
【例】　如图,∠ABC=∠CDB=90°,CB=a,AC=b.问当BD与a、b之间满足怎样的函数表达式时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似
解:∵∠ABC=∠CDB=90°,
当=时,△ABC∽△CDB.
即=,BD=.
又当=时,△ABC∽△BDC,
即=,CD=.
BD2=a2-()2,BD=.
答:当BD=或BD=时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似.
三、练习新知
师:请同学们看课本84页练习1后回答.
生甲:△ABF和△ACE.
生乙:△EDB和△FDC.
师:下面请同学们完成第2题.
证明:(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形.
∴∠A+∠ACD=90°,∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠A=∠BCD(同角的余角相等),
又∠ADC=∠CDB=90°,
∴△ADC∽△CDB(两角对应相等的两个三角形相似).
∴=(相似三角形的对应边成比例).
∵CD2=AD·BD(比例的基本性质).
(2)∴∠B=∠B(公共角),
∠ACB=∠CDB,
∴△ABC∽△CBD(两角对应相等的两个三角形相似).
∴=(相似三角形的对应边成比例).
∵BC2=AB·BD(比例的基本性质).
∴∠A=∠A(公共角).
∠ACB=∠ADC,
∴△ABC∽△ACD(两角对应相等的两个三角形相似).
∴=(相似三角形的对应边成比例).
∴AC2=AB·AD(比例的基本性质).
师:很好!现在请同学们看第3题.
学生计算后回答,然后集体订正得到:
解:(1)相似.证明如下:
∵BC===6,
∴==,==,
∴=,
∴这两个直角三角形相似.
(2)相似.证明如下:
∵A'B'===15,
∴==,==,
∴=,
∴这两个直角三角形相似.
四、巩固提高
师:经过刚才的了解,同学们掌握得怎么样呢 让我出几道题目来考考大家.
1.小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练,在用枪瞄准点B时要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A'.若OA=0.2m,OB=40
m,AA'=0.0015m,则小明射击到的点B'偏离目标点B的长度BB'约为(　　)
A.3m
B.0.3m
C.0.03m
D.0.2m
【答案】B
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一点,DE⊥AB于E点,且CD=2,DE=1,则BC的长为(　　)
A.2
B.
C.2
D.4
【答案】B
3.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件不能判断它们相似的是(　　)
A.∠A=∠B'
B.AC=BC,A'C'=B'C'
C.AB=3BC,A'B'=3B'C'
D.△ABC中有两边长为3、4,△A'B'C'中有两边长为6、8
【答案】D
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AC的中点,且AB=5,AC=4,过点E作EF⊥AB于点F,则AF=　　　　.
【答案】
第4题图
第5题图
5.如图,正方形ABCD的边长为4,AE=MN=2,那么当CM=　　　　时,Rt△ADE与Rt△MNC相似.(M为BC边上的动点,N为CD边上的动点)
【答案】或
　　6.如图,长梯AB靠在墙壁上,梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,量得BD的长为55cm,请你求出梯子的长.
【答案】设梯子的长AB为xcm,由Rt△ADE∽Rt△ABC,得=,∴=,解得x=440.∴梯子的长是440cm.
五、课堂小结
师:直角三角形相似的判定除了本节定理外,前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用,所以在证明两个直角三角形相似时不要忘了用证任意三角形相似的方法,在做题时要灵活选用合适的方法.在证明四条线段之间的关系时我们可以考虑证它们所在的两个三角形相似.
教学反思
教师在讲解例题时,应指出要使△ABC∽△CDB,应有点A与C,B与D,C与B成对应点,对应边分别是斜边和一条直角边,还可提问:
(1)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC∽△BDC
(答案:当=时△ABC∽△BDC,即=,BD=.因此,当BD=时,△ABC∽△BDC)
(2)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC与△BDC相似(不指明对应关系)
(答案:当BD=时,△ABC∽△CDB;当BD=时,△ABC∽△BDC)
探索性题目是已知命题的结论,寻找使结论成立的题设,是探索充分条件,所以有一定难度,教材中为了降低难度,在例4中给了探索方向,即“当BD与a、b满足怎样的关系式时”,这种题目体现分析问题的思维方法,对培养学生研究问题的习惯有好处,教师要给予足够重视,但由于有一定的难度,只要求学生了解这类问题的思考方法,不应提高要求或增加难度.2．30°，45°，60°角的三角函数值
第1课时　30°，45°，60°角的三角函数值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．运用三角函数的概念，自主探索，求出30°、45°、60°角的三角函数值；(重点)
2．熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用．(难点)
一、情境导入
我们天天与三角板打交道，知道三角板有两大类型．如图，有30°角的三角板和45°角的三角板，但你是否留意，每副三角板中两直角边的比值是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、合作探究
探究点一：30°、45°、60°角的三角函数值
计算：
(1)sin60°×cos45°；
(2)tan230°＋cos230°－sin245°tan45°.
解析：把30°，45°，60°角的三角函数值代入上式进行计算，注意tan230°表示tan30°·tan30°.
解：(1)sin60°×cos45°＝×××＝；
(2)tan230°＋cos230°－sin245°tan45°＝()2＋()2－()2×1＝＋－＝.
方法总结：这类问题一般分两步完成，第一步把值准确地代入；第二步就是根据实数的混合运算顺序及法则进行计算．
探究点二：由特殊三角函数值确定锐角的度数
在Rt△ABC中，若sinA＝，则cos＝________．
解析：由sinA＝，得∠A＝60°，所以cos＝cos30°＝.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin(90°－∠A)＝，则∠A＝________．
解析：因为sin45°＝，所以90°－∠A＝45°，所以∠A＝45°.
方法总结：熟练掌握特殊角的三角函数值，并能够由特殊的三角函数值来确定特殊角的度数．
三、板书设计
函数值　函数
角　　　
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，让学生感受数学思考过程的合理性，逐步培养学生观察、分析、概括的思维能力．21.3
二次函数与一元二次方程
第1课时
二次函数与一元二次方程
教学目标
【知识与技能】
掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.
【过程与方法】
经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.
【情感、态度与价值观】
进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.
重点难点
【重点】
用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.
【难点】
用数形结合的思想解方程及不等式.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点
生甲:一个.
生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.
生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.
师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗 比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少
学生计算后回答.
二、共同探究,获取新知
师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点 我们可以借助什么来研究
学生思考.
生:借助二次函数的图象.
师:对.
教师多媒体课件出示:
二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:
1.它与x轴有公共点吗 如果有,公共点的横坐标是多少
2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少
3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗
4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系
师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题.
学生作图,教师巡视指导.
教师出示图象:
学生观察图象后回答.
生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.
师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗 交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢
学生思考,交流讨论.
生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.
师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢
生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.
三、例题讲解
【例】　用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).
解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.
由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.
先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下表:
x
…
-2.5
-2.4
…
y
…
0.25
-0.04
…
　　观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.
同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.
方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.
如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.
四、练习新知
师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.
1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是　　　　.
【答案】x1=1,x2=-5
2.判断下列二次函数的图象与x轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由.
(1)y=2x2-5x+3;　　(2)y=x2+3x+5;
(3)y=3x2-7x+8;
(4)y=x2+x-12.
【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);
(2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;
(3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;
(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).
3.已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.
【答案】根据题意,得
解得k>-且k≠0.
五、继续探究,层层推进
师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第30页的图21~20.
学生看图.
师:我们可以清楚地看到二次函数y=x2+3x+2的图象被x轴分成三部分:一部分与x轴相交,一部分在x轴上方,一部分在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么
生1:在x轴上方时,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2>0的解集.
生2:在x轴下方时,y<0,也就是x2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2<0的解集.
师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.
学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.
六、课堂小结
师:本节课你学习了什么内容 有什么收获
学生回答.
师:你还有什么不明白的地方吗
学生提问,教师解答.
教学反思
学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性南去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学好数学的重要意义.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时
二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
教学目标：
1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x+h)2的图象。
2．让学生经历二次函数y＝a(x+h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(x+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。
重点难点：
重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x+h)2的图象，理解二次函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(x+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是教学的难点。
教学过程：
一、提出问题
1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1的图象，并回答：
(1)两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标。
(2)说出它们所具有的公共性质。
2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗 这两个函数的图象之间有什么关系
二、分析问题，解决问题
问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题
(画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察)
问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗
2．让学生在直角坐标系中画出图来：
3．教师巡视、指导。
问题3：现在你能回答前面提出的问题吗
2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。
问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗
三、做一做
问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗
教学要点
1．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)。
问题6；你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x＋1)2的性质吗
教学要点
让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x＜－1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝一1时，函数取得最小值，最小值y＝0。
问题7：在同一直角坐标系中，函数y＝－(x＋2)2图象与函数y＝－x2的图象有何关系
(函数y＝－(x＋2)2的图象可以看作是将函数y＝－x2的图象向左平移2个单位得到的。)
问题8：你能说出函数y＝－(x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗
(函数y＝－(x十2)2的图象开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，0))。
问题9：你能得到函数y＝(x＋2)2的性质吗
教学要点：让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞－2时，函数值y随工的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0。
四、课堂练习：　练习1、2、3。
五、小结：
1．在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别
2．你能说出函数y＝a(x－h)2图象的性质吗
六、作业
1．习题
1(2)。第3课时　比例的性质与黄金分割
1．掌握比例的基本性质、合比性质与等比性质；(重点)
2．会运用比例的性质进行简单的比例变形，并解决有关问题；(难点)
3．了解黄金分割的概念，会根据黄金分割的定义求线段的比值．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度．
若有含糖a千克的糖水b千克，含糖c千克的糖水d千克，含糖e千克的糖水f千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变．可表示为＝.
二、合作探究
探究点一：比例的性质
【类型一】
比例的基本性质
已知＝，求的值．
解：解法一：由比例的基本性质，
得2(a＋3b)＝7×2b.
∴a＝4b，∴＝4.
解法二：由＝，得＝7，
∴＋＝＋3＝7，∴＝4.
方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法．
【类型二】
合比性质
如图，已知＝.
求证：(1)＝；(2)＝.
解析：我们可以运用证明合比性质的方法，在已知等式的两边同时减去1，便可证明(1)成立；先运用合比性质，然后用比例的基本性质把等式变形，即可证明(2)成立．
证明：(1)∵＝，∴＝，即＝；
(2)∵＝，∴＝.∴＝(合比性质)．∴＝，即＝.
方法总结：本题主要运用合比性质进行证明，理解比例的性质是解决问题的关键．
【类型三】
等比性质
已知正数a、b、c，且＝＝＝k，则下列四个点中，在正比例函数y＝kx图象上的点是(　　)
A．(1，)
B．(1，2)
C．(1，－)
D．(1，－1)
解析：求出k的值是关键．∵a、b、c为正数，∴a＋b＋c≠0.由等比性质，得＝k，即k＝，∴y＝x.当x＝1时，y＝×1＝，∴点(1，)在正比例函数y＝kx的图象上．故选A.
方法总结：当已知条件中有连等式时，可考虑运用等比性质，前提条件是分母之和不为0.在解题时需注意这一点．
探究点二：黄金分割
【类型一】
利用黄金分割进行计算
如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，BC＝mAB，求m的值．
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，∴＝＝.又∵BC＝mAB，∴AC＝(1－m)AB，∴＝，即1－m＝，∴m＝.
方法总结：运用黄金分割的概念，得出线段AC，BC，AB之间的表达式，再利用BC＝mAB变形，求出m的值．
【类型二】
黄金分割的实际应用
如图所示，乐器上有一根弦AB，两个端点A、B固定在乐器的面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，若DC的长度为d，试求这根弦AB的长度．
解：根据黄金分割的定义，可知＝＝，∴AC＝BD＝AB，∴AD＝AB－BD＝AB－AB.
∴CD＝AC－AD＝AB－(AB－AB)＝(－2)AB＝d.
∴AB＝d＝(＋2)d.
三、板书设计
经历探究比例的性质和黄金分割的过程，体会类比的思想，提高学生探究、归纳的能力．通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增强学习数学的兴趣．22.4
图形的位似变换
第1课时
位似图形
教学目标
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
重点、难点
1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．
2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．
一.创设情境
活动1
教师活动：提出问题：
生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.
观察图27.3-2图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？
图27.3-2
学生活动：学生通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形.
这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为相似比.（位似中心可在形上、形外、形内.)
每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．
二、利用位似，可以将一个图形放大或缩小
活动2
教师活动：提出问题：
把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．
分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2
．
作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．
问：此题目还可以如何画出图形？
作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，
OB，
OC，OD；
（3）分别在射线OA，
OB，
OC，
OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．
作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．
（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）
三、课堂练习
1下列图中的两个图形不是位似图形的是（　
　）
A．
B．
C．
D．
2下列四图中的两个三角形是位似三角形的是（　
　）
图（3）、图（4）
B．图（2）、图（3）、图（4）
C．图（2）、图（3）
D．图（1）、图（2）
3．如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（　
　）
A．0对
B．1对
C．2对
D．3对
小结：谈谈你这节课学习的收获．第5课时　判定两个直角三角形相似
1．使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用；(重点)
2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解；
3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力；(难点)
4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
1．到目前为止我们总共学过几种判定两个三角形相似的方法？
答：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似．
2．判定两个直角三角形相似有几种方法？
答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例．
还有没有其他的方法证明直角三角形相似？
二、合作探究
探究点一：判定两个直角三角形相似
【类型一】
判定两个直角三角形相似的特殊方法
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5.在Rt△A′B′C′中，∠A′C′B′＝90°，A′C′＝6，A′B′＝10.求证：△ABC∽△B′C′A′.
解析：先求两直角三角形的斜边AC和A′B′的比，再求两直角边BC和A′C′的比．
证明：在Rt△ABC中，BC＝＝＝3，∴＝＝.∵＝＝，∴＝.又∵∠ABC＝∠A′C′B′＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△B′C′A′.
【类型二】
网格图中的直角三角形相似
如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是
(
)
解析：根据网格的特点，利用勾股定理求出△ABC各边的长度，求出三边的比，然后结合四个选项即可得解．设网格的边长是1，则AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2，∴AB∶AC∶BC＝∶2∶＝1∶2∶，∴△ABC是直角三角形．∵选项A、D中的三角形不是直角三角形，∴排除A、D选项；∵AB∶BC＝1∶2，B选项中的三角形的两直角边的边长比为1∶2，C选项中的三角形的两直角边的边长比为3∶2，∴选项B正确．
方法总结：以网格图考查的题目，要应用勾股定理分别求出各图形的三角形的三边之比，这是解题的关键．
探究点二：直角三角形相似的计算
如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当t为何值时，△CPQ与△CBA相似？
解析：分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
解：当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以＝，即＝，解得t＝4.8；当CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以＝，即＝，解得t＝.综上所述，当t＝4.8或时，△CPQ与△CBA相似．
方法总结：本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论．
三、板书设计
1．如何判定两个直角三角形相似呢？
一个锐角对应相等或两边对应成比例的两个直角三角形相似．
2．直角三角形相似的判定定理的简单应用．
由于直角三角形是特殊的三角形，因而它具备一般三角形所没有的特殊性质．通过本节课的学习，要求理解已经学过的判定相似三角形的三种方法均可以用来判定两个直角三角形相似，同时通过探索得出“有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形相似”这一重要而又特殊的判定方法，并能熟练地利用这些方法判定两个直角三角形相似．在研究的过程中，注意渗透由一般到特殊的数学思想方法．为了实现教学目标，本节课改变了教材的情境设置，择取了一个更便于学生理解、更能激发学生兴趣的实例，使学生能在生活中找到数学原型，在思考中找到解决问题的办法．教学中鼓励学生大胆猜想，大胆辩驳，教师始终是一位引导者、组织者，学生的积极性得到充分发挥，取得了很好的教育效果．第2课时　图形在平面直角坐标系中的位似变换
1．理解位似图形的坐标变化规律；(难点)
2．在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形．(重点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？
二、合作探究
探究点一：位似图形的坐标变化规律
在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是(　　)
A．(2，－1)
B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4)
D．(－2，1)或(2，－1)
解析：根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可．
如图，△E′F′O与△E″F″O即为所求的位似图形，可求得点E的对应点的坐标为(－2，1)或(2，－1)．故选D.
方法总结：位似图形与位似中心有两种情况．(1)位似图形在位似中心两侧；(2)位似图形在位似中心同侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解．
探究点二：在平面直角坐标系中画位似图形
如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(2，4)，C(4，5)，D(3，1)围成四边形ABCD，做出一个四边形ABCD的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2∶1，位似中心是坐标原点．
解：以坐标原点O为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标乘以2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标乘以－2，此题做出一个即可．如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A′(2，4)，B′(4，8)，C′(8，10)，D′(6，2)，顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，则四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD的一个位似图形．
方法总结：画以原点为位似中心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k(或除以±k)，可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可．
如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2.
解析：(1)根据网格找到点A，B，C关于y轴的对称点A1，B1，C1的位置，然后顺次连接；
(2)连接A1O并延长至A2，使A2O＝2A1O.连接B1O并延长至B2，使B2O＝2B1O.连接C1O并延长至C2，使C2O＝2C1O，然后顺次连接即可．
解：(1)△A1B1C1如图所示；
(2)△A2B2C2如图所示．
三、板书设计
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，他们的相似比为|k|.
位似变换是特殊的相似变换．以学生的自主探究为主，培养学生的探索精神和合作意识．注重数形思想的渗透，通过坐标变换，在平面坐标系中，让学生画图、观察、归纳、交流，得出结论．在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律．通过学生之间的交流合作，使学生体验成功的喜悦，树立学好数学的自信心．21．5　反比例函数
第1课时　反比例函数
1．领会反比例函数的意义，理解并掌握反比例函数的概念；(重点)
2．会判断一个函数是否是反比例函数；(重点)
3．会求反比例函数的表达式．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
你吃过拉面吗？有人能拉到细如发丝，同时还能做到丝丝分明．实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识．
一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与面条的粗细之间有什么关系呢？
二、合作探究
探究点一：反比例函数的概念
【类型一】
辨别反比例函数
在下列反比例函数表达式中，哪些函数表示y是x的反比例函数？
(1)y＝；　(2)y＝；　(3)y＝；
(4)xy＝；　(5)y＝；　(6)y＝－；
(7)y＝2x－1；　(8)y＝(a≠5，a是常数)．
解析：根据反比例函数的概念，必须是形如y＝(k是常数，k≠0)的函数，才是反比例函数．如(2)(3)(6)(8)均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数．但还要注意y＝(k是常数，k≠0)的一些常见的变化形式，如xy＝k，y＝kx－1等，所以(4)(7)也是反比例函数．在(5)中，y是(x－1)的反比例函数，而不是x的反比例函数．(1)中的y是x的正比例函数．故(2)(3)(4)(6)(7)(8)表示y是x的反比例函数．
方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，关键看它能否写成y＝(k是常数，k≠0)或xy＝k(k≠0)及y＝kx－1(k≠0)的形式，即两个变量的积是不是一个非零常数．如果两个变量的积是一个不为0的常数，则这两个变量就是反比例关系；否则便不成反比例关系．
【类型二】
根据反比例函数的概念求值
若y＝(k2＋k)xk2－2k－1是反比例函数，试求(k－3)2015的值．
解：根据反比例函数的概念，得
所以
即k＝2.
因此
(k－3)2015＝(2－3)2015＝－1.
易错提醒：反比例函数表达式的一般形式y＝(k是常数，k≠0)也可以写成y＝kx－1(k≠0)，利用反比例函数的定义求字母参数的值时，一定要注意y＝中k≠0这一条件，不能忽略，否则易造成错误．
探究点二：确定反比例函数的表达式
【类型一】
利用待定系数法求反比例函数的表达式
已知y是x的反比例函数，当x＝－4时，y＝3.
(1)写出y与x的函数表达式；
(2)当x＝－2时，求y的值；
(3)当y＝12时，求x的值．
解：(1)设y＝(k≠0)，∵当x＝－4时，y＝3，∴3＝，解得k＝－12.因此，y与x的函数表达式为y＝－；
(2)把x＝－2代入y＝－，得y＝－＝6；
(3)把y＝12代入y＝－，得12＝－，x＝－1.
方法总结：(1)求反比例函数表达式时常用待定系数法，先设其表达式为y＝(k≠0)，然后再求出k值；(2)当反比例函数的表达式y＝(k≠0)确定以后，已知x(或y)的值，将其代入表达式中即可求得相应的y(或x)的值．
【类型二】
利用待定系数法求组合型函数的表达式
已知y＝y1＋y2，其中y1与x成正比例关系，y2与x成反比例关系，并且当x＝2时，y＝－4；当x＝－1时，y＝5.求y与x的函数表达式．
解：∵y1与x成正比例关系，∴设y1＝k1x(k1≠0)．
∵y2与x成反比例关系，∴设y2＝(k2≠0)．∴y＝k1x＋.
把x＝2，y＝－4及x＝－1，y＝5代入y＝k1x＋，得解得
∴y＝－x－.
易错提醒：当一个函数的表达式由若干个常见的函数(正比例函数、反比例函数等)组成时，它们各自有待定系数，不能一律为k.本题易出现设y1＝kx(k≠0)，y2＝(k≠0)的形式，导致两个待定系数都是k的错误．
探究点三：列反比例函数关系式
如图所示，某学校广场有一段25米长的旧围栏(图中用线段AB表示)．现打算利用该围栏的一部分(或全部)为一边建成一块面积为100平方米的矩形草坪(图中的矩形CDEF，CD(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若利用旧围栏12米，则计划修建费用应为多少元？
解析：可先利用面积把长与宽表示出来，求出y与x之间的关系，再利用x＝12求出y的值．
解：(1)∵S矩形CDEF＝100，CF＝x，∴CD＝，∴y＝1.75x＋4.5(x＋)＝6.25x＋(10(2)由(1)知y＝6.25x＋(10方法总结：解此类题型，首先要理解题意，然后根据已知条件选择合适的数学模型，最后根据实际情况确定自变量的取值范围．
三、板书设计
反比例函数
结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象．利用多媒体创设大量生活情境，让学生体验数学来源于生活实际，并为生活实际服务，从而培养学生学习数学的兴趣．22．3　相似三角形的性质
第1课时　相似三角形的性质定理1、2及应用
1．明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；(重点)
2．理解并掌握相似三角形的周长比等于相似比；(重点)
3．运用相似三角形的性质1、2解决实际问题．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例．那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质．
二、合作探究
探究点一：相似三角形性质定理1
【类型一】
相似三角形对应高的比
如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE＝10，BC＝15，AG＝12.求GH的长．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
又∵AH⊥BC，DE∥BC，
∴AH⊥DE.
∴＝，即＝.
∴AH＝18.
∴GH＝AH－AG＝18－12＝6.
方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比；将所求线段转化为求对应高的差．
【类型二】
相似三角形对应角平分线的比
两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：(方法一)设其中较短的角平分线的长为xcm，则另一条角平分线的长为(42－x)cm.
根据题意，得＝.解得x＝18.
所以42－x＝42－18＝24(cm)．
(方法二)设较短的角平分线长为xcm，则由相似性质有＝.解得x＝18.较长的角平分线长为24cm.
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比．列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形．
【类型三】
相似三角形对应中线的比
已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4cm，求A′B′边上的中线C′D′的长．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，
∴＝＝，
又∵CD＝4cm，
∴C′D′＝＝×4＝6(cm)．
即A′B′边上的中线C′D′的长是6cm.
方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比．
探究点二：相似三角形性质定理1的应用
如图所示，路边有两根电线杆，分别在高为3m的A处和6m的C处用铁丝将两电线杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M距地面的高．
解析：如图所示，过点M作MH⊥BD于点H.由题意得AB∥MH∥CD，故△ABM∽△DCM，△BMH∽△BCD，故＝＝，＝，故MH可求．
解：过点M作MH⊥BD于点H，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥MH∥CD，∴△ABM∽△DCM，△BMH∽△BCD.∴＝＝＝，∴＝.又∵＝，∴＝，∴MH＝CD＝×6＝2(m)，即点M距地面的高为2m.
探究点三：相似三角形的周长比
已知△ABC∽△A′B′C′，AD是△ABC的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若＝，且△A′B′C′的周长为20cm，求△ABC的周长．
解：因为△ABC∽△A′B′C′，所以它们周长的比等于它们的相似比，对应边中线的比等于相似比，即相似比k＝＝，＝.
已知△A′B′C′的周长为20cm，所以△ABC的周长为10cm.
易错提醒：在相似表达式△ABC∽△A′B′C′及对应中线比＝中，都是△ABC在前，△A′B′C′在后，而在解题时，△A′B′C′在前，△ABC在后，顺序已经不同了，所以相似比要随之调整或者直接把相关量代入关系式中求解．
三、板书设计
1．相似三角形中的对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
2．相似三角形的周长之比等于相似比．
通过探索相似三角形中对应线段和周长的比与相似比的关系，经历“观察－猜想－论证－归纳”的过程，渗透逻辑推理的方法，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力．23．1　锐角的三角函数
1．锐角的三角函数
第1课时　正切
1．理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；(重点)
2．能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；(重点)
3．了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题．(重点)
一、情境导入
如图，这种方法可以用来测量物体的高度．
由图我们想到在直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本章的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关问题．
二、合作探究
探究点一：正切的定义
【类型一】
根据已知条件求锐角的正切值
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝7(AC>BC)，AB＝5，求tanB的值．
解析：要求tanB的值，根据锐角三角函数的定义，则需要求出对边AC和邻边BC的长．已知斜边AB＝5，且AC＋BC＝7，所以可以根据勾股定理进行计算．
解：设AC＝x，则BC＝7－x.
根据勾股定理，得x2＋(7－x)2＝52，解得x＝3或4.
∵AC>BC，∴AC＝4，BC＝3.∴tanB＝＝.
方法总结：本题的解题思路是根据已知条件确定∠B的对边和邻边的长，采用了一般的解题方法，并体现了方程思想在求三角函数值中的应用．实际上，根据以往做题的经验，不通过计算，直接观察就可以解决．因为斜边是5，且两条直角边的和为7，所以两条直角边的长分别是4和3.
【类型二】
已知锐角的正切值求解其他问题
在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝0.75，△ABC的周长为24.求△ABC的面积．
解析：因为△ABC为直角三角形，所以要求它的面积可求两直角边AC和BC的长．又tanA＝＝，AC＋BC＋AB＝24，且AB2＝AC2＋BC2，故可求AC和BC的长，从而可求面积．
解：∵∠C＝90°，tanA＝0.75，∴tanA＝＝.
设BC＝3k，则AC＝4k，∴AB＝＝＝5k.
∵AC＋BC＋AB＝24，∴4k＋3k＋5k＝24，∴k＝2.
∴AC＝8，BC＝6.∴S△ABC＝AC·BC＝×8×6＝24.
方法总结：题目中已知锐角的正切值，通常利用正切的概念将其转化为边的比值，再根据周长求出各边的长度．这里采用了设参数(k)的方法．
探究点二：坡度、坡角
如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　)
A．2米
B．2米
C．4米
D．6米
解析：先由i＝＝，BC＝2米，求出AC，再利用勾股定理求出AB的长．∵∠ACB＝90°，i＝1∶3，∴i＝＝.∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．∴AB＝＝＝2(米)．故选B.
方法总结：理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键．
三、板书设计
正切
注重学生对锐角的正切概念的理解，引导学生积极主动地参与正切概念的探索过程．加强学生对数学思想方法的理解和应用，注意数形结合思想的应用．培养学生熟练运用方程思想求直角三角形中的某些未知元素的能力，并注意联系实际，提高运用数学知识解决实际问题的能力．第4课时　坡度问题
1．理解并掌握坡度、坡比的定义；
2．学会用坡度、坡比解决实际问题．(重点、难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量．从F处进行测量和从A处进行测量的数据如图所示．
你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？
二、合作探究
探究点：与坡度或坡角有关的实际问题
一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s，车速是2m/s，汽车行驶的水平距离是40m，则这个斜坡的坡度是________．
解析：坡面距离为30×2＝60m，水平距离为40m，∴铅直高度为＝20(m)，∴坡度i＝20∶40＝∶2.
方法总结：根据坡度的定义i＝，解题时需先求得水平距离l和铅直高度h.
如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为(　　)
A．5m
B．6m
C．7m
D．8m
解析：由题知，水平距离l＝4m，i＝0.75，∴铅直高度h＝l·i＝4×0.75＝3(m)，∴坡面距离为＝5(m)．故选A.
方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离．
如图所示，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需多少元？
解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，地毯的总长度为BC与AC的和，而由坡度的定义知＝，所以AC可求．
解：∵＝，∴AC＝1.5BC＝1.5×3＝4.5(米)．
∴AC＋BC＝4.5＋3＝7.5(米)．
∴地毯的总面积为1.5×7.5＝11.25(平方米)．
∴需要的钱数为8×11.25＝90(元)．
答：铺完整个楼梯共需90元．
三、板书设计
坡度(坡比)的问题：
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tanα，坡面与水平面的夹角α叫坡角．
本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义．22.1
比例线段
第3课时
比例的性质与黄金分割
教学目标
【知识与技能】
1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.
2.会辨认比例式中的“项”.
3.会求常见图形中的线段比.
4.会进行黄金分割的有关计算.
【过程与方法】
1.经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.
2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.
3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感.
【情感、态度与价值观】
在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣.
重点难点
【重点】
比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算.
【难点】
比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算.
教学过程
一、复习回顾,引入新课
师:在上一节,我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗
学生作图后测量并求出比值.
师:用同一个单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度,我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或a∶b.在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段a、b的比,等于另外两条线段c、d的比,即=(或a∶b=c∶d),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
二、探究新知
师:两条线段的比是它们长度的比,也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.如果=,你能把这个式子改写成乘积的形式吗
生:两边同乘以bd,得到ad=bc.
师:反之,如果ad=bc(b、d≠0)我们是否能得到=呢
生:能,两边同除以bd.
师:比例的这个性质叫做比例的基本性质.
教师多媒体课件出示:
师:现在请同学们看这三个图形.图形(1)和图形(2)对应边是成比例的,图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长,图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽,你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗
学生思考,讨论.
师:你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢
生:计算3.6∶2和2.7∶1.5是否相等.
师:现在就请同学们算一下是否相等.
学生计算后回答:相等.
师:所以我们有=.对于式子=,能否得到=呢
学生思考,讨论.
生:在=的两边都加上1,然后通分就得到了=.
师:对!所以我们得到了这个结论:如果=,那么=(b、d≠0).这叫做比例的合比性质.如果=,b1+b2≠0,你能否证明=呢
教师提示:我们可以倒着推:
要证=,可先证(a1+a2)×b1=(b1+b2)×a1,即a1b1+a2b1=b1a1+b2a1,两边都减去a1b1,两边都减去a1b1,得a2b1=b2a1,你能证明a2b1=b2a1吗
学生思考后回答:能.
师:怎么证明
生:因为=,两边同乘以b1b2,就证出来了.
师:现在你知道怎么证明=了吗
生:知道了.
师:请同学们想想有没有其他的证法
学生思考.
教师提示:的值与的值相等,我们要证的是的值也与的值相等,如果我现在设==k,你能否证出=k呢
学生思考,讨论.
师:a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示
生:能.
师:怎样表示
生:a1=b1k,a2=b2k.
师:你知道怎样证明了吗
生:知道,将a1=b1k,a2=b2k代入中.
师:我们有了两种证法,哪两位同学愿意上来写出证明过程
学生举手,教师从举手的同学中找两生板演.
生1板书:
证明:∵=(已知),
两边同乘以得
=.
∴=(合比性质).
两边同乘以得
=.
两边取倒数,得=,
即=.
生2板书:设==k,得
a1=b1k,a2=b2k,代入得
===k=.
师:你能总结一下以上两种方法吗
生:第一种方法是先倒推,再证明;第二种方法是设定值.
师:同学们总结得很好!再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法,其中设定值的方法一般适用于设比值为定值.如果我把这个式子推广,===…=成立,且b1+b2+b3+…+bn≠0,你能否推出所有分子之和与所有分母之和的比是等于呢
生:能.
教师找一生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导.
师:所以我们得到比例的又一性质:如果==…=,且b1+b2+b3+…+bn≠0,那么=.
三、例题讲解
【例1】　已知:如图,在△ABC中,=.
师:请同学们看这道题.
学生读题思考.
师:哪位同学能证明这道题,跟大家说说你的思路.
学生举手.
教师找一生回答第(1)题.
生:因为=,由合比性质得=,即=.
教师找另一生回答第(2)题.
师:你是怎样考虑的呢
生:AB可以写成AD+DB,AC可以写成AE+EC.因为合比性质是分子加分母,要证明=,可先证=,然后两边取倒数,就得到要证的结果了.
师:很好!现在请你把证明步骤写在黑板上,其余同学在下面做.
学生证明后集体订正.
教师多媒体课件出示:
【例2】　在地图或工程图纸上,都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长度的比.现在一张比例尺为1∶5
000的图纸上,量得一个△ABC的三边:AC=3
cm,BC=4
cm,AB=5
cm.问这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少
解:根据题意,得===.
即=.
又∵AB+BC+AC=5+4+3=12(cm),
∴A'B'+B'C'+A'C'
=12×5
000=60
000(cm)
=600(m).
答:实际△A'B'C'的周长是600
m.
【例3】　如图所示,已知线段AB长度为a,点P是AB上一点,且使AB∶AP=AP∶PB.求线段AP的长和的值.
解:设AP=x,那么PB=a-x.根据题意,得a∶x=x∶(a-x),
即x2+ax-a2=0.
解方程,得x=a.
因为线段长度不能是负值,所以取x=a.
即AP=a.
于是==≈0.618.
把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.
四、巩固练习
1.若6x=5y,则x∶y=　　　　.
【答案】
2.已知ab=cd,则=　　　　.
【答案】
3.若==,则=　　　　.
【答案】
4.已知x===,则x的值是　　　　.
解析:∵x===,
∴a2+ab=bc+c2.　①
b2+bc=a2+ac.　②
ac+c2=ab+b2　③
将③式减去②式得
ab-bc=c2-a2.　④
将②式减去①式得
ac-ab=b2-c2.　⑤
将③式减去①式得
b2-a2=ac-bc.　⑥
由④⑤⑥式都可得出
a+b+c=0.
∴a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b.
∴x====-1.
【答案】-1
5.点P在线段AB上,AP2=AB·PB.若PB=4,则AP的长为　　　　.
解析:设AP=x,
∴x2=(x+4)×4,
x2-4x-16=0.
∴x=2±2.
又∵x>0,
∴AP长取2+2.
【答案】2+2
6.已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的是(　　)
A.AM∶BM=AB∶AM　　　B.AM=AB
C.BM=AB
D.AM≈0.618AB
【答案】C
7.已知x∶y=3∶5,y∶z=4∶7,求x∶y∶z.
【答案】∵x∶y=3∶5,∴x=y.
又∵y∶z=4∶7,∴z=y.
∴x∶y∶z=y∶y∶y=12∶20∶35.
五、课堂小结
师:本节课你学习了什么内容 有什么收获
学生回答,教师点评.
教学反思
首先,从回顾上节已学的比例知识入手,运用类比的方法得到实数范围的比和比例,再类比得到比例线段的概念,这样会比较直观、易学.其次,尽可能体现数学与生活的紧密联系,如课题的引出及知识的应用,尽可能让学生感悟到数学源于实际,并且数学知识和方法能很好地解决实际生活中的问题,激起学生学习数学的欲望.总的来说,本节课是在轻松愉快的氛围中完成的,学生的热情也比较高涨,由于所涉及的问题是每个学生触手可及的,因而学生在活跃的课堂气氛中也各有所获.23.2
解直角三角形及其应用
第1课时
解直角三角形
教学目标
【知识与技能】
在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上,会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
【过程与方法】
通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
在探究学习的过程中,培养学生合作交流的意识,使学生认识到数与形相结合的意义与作用,体会到学好数学知识的作用,并提高学生将数学知识应用于实际的意识,从而体验“从实践中来,到实践中去”的辩证唯物主义思想,激发学生学习数学的兴趣.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦,产生后继学习激情,增强学好数学的信心.
重点难点
【重点】
直角三角形的解法.
【难点】
灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
、教学过程
一、复习回顾
师:你还记得勾股定理的内容吗
生:记得.
学生叙述勾股定理的内容.
师:直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢
生:两锐角互余.
师:直角三角形中,30°的角所对的直角边与斜边有什么关系
生:30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
师:很好!
二、共同探究,获取新知
1.概念.
师:由sinA=,你能得到哪些公式
生甲:a=c·sinA.
生乙:c=.
师:我们还学习了余弦函数和正切函数,也能得到这些式子的变形.这些公式有一个共同的特点,就是式子的右端至少有一条边,为什么会是这样的呢
学生思考.
生:因为左边的也是边,根据右边边与角的关系计算出来的应是长度.
师:对!解三角形就是由已知的一些边或角求另一些边和角,我们现在看看解直角三角形的概念.
教师板书:
在直角三角形中,由已知的边角关系,求出未知的边与角,叫做解直角三角形.
2.练习
教师多媒体课件出示:
(1)如图(1)和(2),根据图中的数据解直角三角形;
师:图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型,你怎样解决这个问题呢
生1:根据cos60°=,得到AB=,然后把AC边的长和60°角的余弦值代入,求出AB边的长,再用勾股定理求出BC边的长,∠B的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到.
生2:先用直角三角形两锐角互余得到∠B为30°,然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半,求出AB的值,再由sin60°=得到BC=AB·sin60°,从而得到BC边的长.
师:你们回答得都对!还有没有其他的方法了
生3:可以求出AB后用AB的值和∠B的余弦求BC的长.
生4:可以在求出AB后不用三角函数,用勾股定理求出BC.
师:同学们说出这几种做法都是对的.下面请同学们看图(2),并解这个直角三角形.
学生思考,计算.
师:这两个题目中已经给出了图形,现在我们再看几道题.
教师多媒体课件出示:
【例1】　在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=42°6',c=287.4,解这个直角三角形.
师:你怎样解答这道题呢 先做什么
生:先画出图形.
师:很好!现在请同学们画出大致图形.
学生画图.
教师找一生说说解这个直角三角形的思路,然后让同学们自己做,最后集体订下.
解:
∠A=90°-42°6'=47°54'.
由cosB=,得
a=ccosB=287.4×0.7420≈213.3.
由sinB=得
b=csinB=287.4×0.6704≈192.7.
教师多媒体课件出示:
【例2】　在△ABC中,∠A=55°,b=20
cm,c=30
cm.求△ABC的面积S△ABC.(精确到0.1
cm2)
师:这道题是已知了三角形的两条边和一个角,求三角形的面积.要先怎样
学生思考.
生:先画出图形.
师:对,题中没有已知图形时,一般都要自己画出图形.然后呢 你能给出解这道题的思路吗
生1:先计算AB边上的高,以AB为底,AB边上的高为三角形的高,根据三角形的面积公式,就能计算出这个三角形的面积了.
生2:还可以先计算AC边上的高,然后用三角形的面积公式计算这个三角形的面积.
师:很好!我们现在讨论以AB为底时求三角形面积的方法,怎样求AB边上的高呢
教师找一生回答,然后集体订正.
解:如图,作AB上的高CD.
在Rt△ACD中,CD=AC·sinA=bsinA,
∴S△ABC=AB·CD=bcsinA.
当∠A=55°,b=20
cm,c=30
cm时,有
S△ABC=bcsinA=×20×30sin55°
=×20×30×0.8192
≈245.8(cm2).
教师多媒体课件出示:
【例3】　如图,东西两炮台A、B相距2
000米,同时发现入侵敌舰C,炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向,炮台B测得敌舰C在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米)
师:这是一个与解直角三角形有关的实际问题,你能将它转化为数学模型吗
学生思考后回答:会.
师:这相当于已知了哪些条件,让你求什么量
生:已知直角三角形的一个锐角和一条直角边,求它的斜边和另一直角边.
师:你回答得很好!现在请同学们计算一下.
学生计算,教师巡视指导,最后集体订正.
解:在Rt△ABC中,
∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,=tan∠CAB,
∴BC=AB·tan∠CAB=2
000×tan50°≈2
384(米)
又∵=cos50°,
∴AC==≈3
111(米).
答:敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3
111米和2
384米.
三、练习新知
师:现在请同学们看课本第125页练习1的第(1)、(2)题.
教师找两生各板演1题,其余同学在下面做,然后集体订正.
解:(1)
∠A=90°-80°=10°,
AB=≈≈172.81,
AC=≈≈170.16,
(2)
BC===≈7.42.
cosA===0.375,
∠A≈67.976°≈67°58'32″,
∠B=90°-∠A=22°1'28″.
教师找一生板演课本第125页练习的第3题,其余同学在下面做,然后集体订正.
解:
过点A向DC作垂线,与DC交于一点E.
AE=ADsin43°
=6×sin43°
≈6×0.682
=4.092.
S=(AB+DC)×AE
=(4+8)×4.092
≈24.55.
答:梯形的面积为24.55.
四、巩固提高
师:同学们,通过刚才的学习,相信大家都掌握了一定的解直角三角形及其应用题的方法,现在我出几道习题来检测下大家学得怎么样!
教师多媒体课件出示习题:
1.在△ABC中,∠C=90°,下列各式中不正确的是(　　)
A.b=a·tanB　　　　B.a=b·cosA
C.c=
D.c=
【答案】B
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=35,b=28,则tanA=　　　,tanB=　　　.
【答案】　
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,c=10,b=5,则∠A=　　　,S△ABC=　　　.
【答案】30°　
4.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,a=104,b=20.49,求∠A和∠B.(可利用计算器进行运算,精确到1°)
【答案】∠A=79°,∠B=11°
5.如图,在Rt△ABC中,BC=7.85,AB=11.40,解这个直角三角形.(边长保留三个有效数字,角度精确到1°)
【答案】AC=8.27,∠A=44°,∠B=46°
五、课堂小结
师:本节课,我们学习了什么内容
学生回答.
师:你还有什么不懂的地方吗
学生提问,教师解答.
教学反思
本节课在教学过程中,能灵活处理教材,敢于放手让学生通过自主学习、合作探究,达到理解并掌握知识的目的,并能运用知识解决问题.在本章开头,我带领学生复习了与解直角三角形有关的知识点,使学生在解决问题时能想到并能熟练运用.在解有特殊角的三角形时有不止一种解法,我鼓励学生勇于发言,给了他们展示自我的机会,锻炼他们表达自己想法的能力,并且增强了他们的自信心.2.30°，45°，60°角的三角函数值
第1课时
30°，45°，60°角的三角函数值
教学目标
【知识与技能】
1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【过程与方法】
1.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
2.培养学生观察、比较、分析、概括的能力.
【情感、态度与价值观】
经历观察、操作、归纳等学习数学的过程,感受数学思考过程的合理性,感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性,养成科学、严谨的学习态度.
重点难点
【重点】
30°、45°、60°角的三角函数值.
【难点】
与特殊角的三角函数值有关的计算.
教学进程
一、复习巩固
教师多媒体课件出示:
如图所示:在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)a、b、c三者之间的关系是　　　　;
(2)sinA=　　　　,cosA=　　　　,
tanA=　　　　;
sinB=　　　　,cosB=　　　　,
tanB=　　　　.
(3)若∠A=30°,则=　　　　.
学生回答.
二、共同探究,获取新知
1.引出新知
教师多媒体课件出示问题:
为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:(1)含30°和60°两个锐角的三角尺;(2)皮尺.请你设计一个测量方案,测出一棵大树的高度.
学生讨论,交流想法.
生:我们组设计的方案如下:
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处,这位同学拿起三角尺,使她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点,30°角的邻边和水平方向平行,用卷尺测出AB的长度、BE的长度,因为DE=AB,所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
师:在Rt△ACD中,∠CAD=30°,AD=BE,BE是已知的,设BE=a米,则AD=a米,如何求CD呢
生:含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质:30°的角所对的直角边等于斜边的一半,即AC=2CD,根据勾股定理,得(2CD)2=CD2+a2.
解得,CD=a.
则树的高度即可求出.
师:我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定,如果能求出30°角的正切值,在上图中,tan30°==,则CD=atan30°,岂不简单!你能求出30°角的三个三角函数值吗
2.讲授新课.
(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.
师:观察一副三角尺,其中有几个锐角 它们分别等于多少度
生:一副三角尺中有四个锐角,它们分别是30°、60°、45°、45°.
师:sin30°等于多少呢 你是怎样得到的 与同伴交流.
生:sin30°=.sin30°表示在直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值,与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边长为a(如图所示),根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质,则斜边长等于2a.根据勾股定理,可知30°角的邻边长为a,所以sin30°==.
师:cos30°等于多少 tan30°呢
生:cos30°==.tan30°===.
师:我们求出了30°角的三个三角函数值,还有两个特殊角——45°、60°,它们的三角函数值分别是多少 你是如何得到的
生:求60°角的三角函数值可以利用求30°角的三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图,很容易求得sin60°==,cos60°==,tan60°==.
师生共同分析:我们一起来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.如图,设其中一条直角边为a,则另一条直角边也为a,斜边为a.由此可求得
sin45°===,
cos45°===,
tan45°==1.
教师多媒体课件出示:
　　　三角函数角度α　　　
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
　　师:这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需要熟记.另一方面,要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小.
为了帮助大家记忆,我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值,你能发现什么规律呢
生:30°、45°、60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为、、,随着角度的增大,正弦值在逐渐增大.
师:再来看第二列的函数值,有何特点呢
生:第二列是30°、45°、60角的余弦值,它们的分母也都是2,而分子从小到大分别为、、,余弦值随角度的增大而减小.
师:第三列呢
生:第三列是30°、45°、60°角的正切值,首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角,所以tan45°=1比较特殊.
师:很好!掌握了上述规律,记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定会做得很棒!
(2)进一步探究锐角的三角函数值.
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
∵sinA=,cosA=,
sinB=,cosB=,
∴sinA=cosB,cosA=sinB.
∵∠A+∠B=90°,
∴∠B=90-∠A,
即　sinA=cosB=cos(90°-∠A),
cosA=sinB=sin(90°-∠A).
任意一个锐角的正(余)弦值,等于它的余角的余(正)弦值.
三、例题讲解,巩固新知
【例1】　计算:
(1)sin30°+cos45°;
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
分析:本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值,今后若无特别说明,用特殊角的三角函数值进行计算时,一般不取近似值,另外sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2;
教师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正得到:
解:(1)sin30°+cos45°=+=;
(2)sin260°+cos260°-tan45°
=()2+()2-1
=+-1
=0.
【例2】　在Rt△ABC中,∠C=90°,且sinA=,求cosB的值.
解:∵∠A+∠B=90°,∴cosB=cos(90°-∠A)
=sinA=.
【例3】　一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5
m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01
m)
分析:引导学生自己根据题意画出示意图,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
解:根据题意(如图)可知,
∠BOD=60°,
OB=OA=OD=2.5
m,
∠AOD=×60°=30°,
∴OC=OD·cos30°
=2.5×≈2.165(m).
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
所以,最高位置与最低位置的高度差约为0.34
m.
四、随堂练习
师:同学们,刚才学习了那么多,现在让我来检测一下你们学得怎么样了.
教师多媒体课件出示:
1.sin30°的值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【答案】C
2.计算4sin60°-3tan30°的值为(　　)
A.
B.2
C.3
D.0
【答案】A
3.计算sin245°+cos245°的值为(　　)
A.2
B.1
C.0
D.3
【答案】B
4.计算的值为(　　)
A.1-
B.-1
C.-1
D.1-
【答案】A
5.下列各式中,正确的是(　　)
A.sin20°+sin55°=sin75°
B.tan80°-tan50°=tan30°
C.2cos60°=1
D.cos60°-cos30°=cos30°
【答案】C
6.计算:
(1)sin60°-tan45°;
(2)cos60°+tan60°;
(3)sin45°+sin60°-2cos45°.
【答案】(1)原式=-1=;
(2)原式=+=;
(3)原式=×+-2×=.
7.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°,高为7
m.扶梯的长度是多少
【答案】扶梯的长度为==14(m),
所以扶梯的长度为14
m.
五、课堂小结
本节课总结如下:
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
sin30°=,sin45°=,sin60°=;
cos30°=,cos45°=,cos60°=;
tan30°=,tan45°=1,tan60°=.
2.能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应锐角的大小.
教学反思
本节课的教学中,课堂环节设置齐全,能很好地贯彻执行理解教育,对理解教育的教育模式把控较好;课堂中学生分组很好,能给学生构建一个宽松、和谐的学习环境和氛围;课件制作很好,能很好的配合指导自学书的使用,提高了课堂的效率;学生积极参与,学习积极性较高;课堂习题的设置有梯度,题目能面向全体学生.第2课时　二次函数与一元二次不等式
1．通过探索，理解二次函数与一元二次不等式之间的联系；(重点)
2．会用二次函数的图象求出一元二次不等式的解集．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集吗？请你直接写出来．
二、合作探究
探究点一：二次函数与一元二次不等式的关系
【类型一】
利用抛物线解一元二次不等式
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　)
A．x＜2
B．x＞－3
C．－3＜x＜1
D．x＜－3或x＞1
解析：观察图象，可知当x<－3或x>1时，抛物线在x轴上方，此时y＞0，即ax2＋bx＋c＞0，∴关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x<－3或x>1.故选D.
方法总结：抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集，所以利用二次函数的图象，可以直观地求得一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0的解集．
【类型二】
确定抛物线相应位置的自变量的取值范围
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数值y在x轴下方时，x的取值范围是(　　)
A．x＜－1
B．x＞3
C．－1＜x＜3
D．x＜－1或x＞3
解析：由二次函数图象可知，当－1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方．故选C.
方法总结：利用数形结合思想来求解．当y＝0时，对应x的值为x1＝－1，x2＝3，当y＞0时，看抛物线在x轴上方的部分，x的取值范围是x＜－1或x＞3；当y＜0时，看抛物线在x轴下方的部分，x的取值范围是－1＜x＜3.
已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)．
(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的关系式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
解析：用待定系数法将已知两点的坐标代入二次函数关系式，即可求出b，c的值，然后通过解一元二次方程求抛物线与x轴的另一个交点坐标，由图象法求得函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
解：(1)由题意得
解得
故所求关系式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)．
∴由图象可知函数值y为正数时，自变量x的取值范围是－1＜x＜3.
探究点二：抛物线y＝ax2＋bx＋c的位置与b2－4ac的关系
求证：无论a是什么实数，二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象都与x轴有两个不同的交点．
解析：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，于是问题就转化成证明Δ>0的问题．
证明：由题意知Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4.∵无论a取什么实数，(a－2)2≥0，∴(a－2)2＋4>0，即Δ>0.∴无论a是什么实数，二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象都与x轴有两个不同的交点．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学会利用图象的直观性和性质来解决问题，体会数形结合思想．3．一般锐角的三角函数值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．会使用科学计算器求锐角的三角函数值；(重点)
2．会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小；(重点)
3．熟练掌握计算器的按键顺序．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
如图，有一个斜坡，现在要在斜坡OC上植树造林，要保持两棵树水平间的距离为2米，那么应沿斜坡方向每隔几米挖坑(已知坡面的倾斜角为16°18′，即图中的∠COD)？你能求出两坑的距离吗？
二、合作探究
探究点一：用计算器求一个锐角的三角函数值
求sin63°52′41″的值．(精确到0.0001)
解析：按照计算器的说明操作．
解：按下列顺序依次按键：.显示结果为0.897859012.所以sin63°52′41″≈0.8979.
计算sin20°－cos20°的值约为(保留4个有效数字)(　　)
A．－0.5976
B．0.5976
C．－0.5977
D．0.5977
解析：本题是一道运用计算器进行计算的题目，运用计算器可知其结果是－0.5977.故选C.
方法总结：利用计算器求锐角的三角函数值时要注意：(1)参照计算器的说明书，掌握正确的按键顺序；(2)按键时要细心，不能输入错误的数据．
探究点二：用计算器完成已知三角函数值求锐角
已知sinα＝0.2，cosβ＝0.8，则α＋β≈________．(精确到1′)
解析：已知一个角的三角函数值，求这个锐角，先按，然后选择有关三角函数的键，输入sin－1或cos－1后，再输入数字，得到这个锐角的度数．此题应填48°24′.
探究点三：三角函数大小的比较
(1)锐角的正弦值和余弦值随着锐角的变化而变化．试探索：随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
(2)根据你探索到的规律，试比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小关系和余弦值的大小关系；
(3)比较大小：若α＝45°，则sinα________cosα；若α<45°，则sinα________cosα；若α>45°，则sinα________cosα(填“<”“>”或“＝”)；
(4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°、cos30°、sin50°、cos70°.
解：(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小；
(2)sin18°cos88°(3)当α＝45°时，sinα＝cosα；当α<45°时，sinα45°时，sinα>cosα；
(4)∵cos70°＝sin20°，cos30°＝sin60°，∴sin10°三、板书设计
本节重点在于掌握用计算器求三角函数值和根据三角函数值求锐角，让学生了解计算器的众多功能．第2课时　互余两角的三角函数值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系；(重点)
2．会利用互余的角进行正、余弦函数的互换，进行简单地三角变换或相应的计算．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
1．在△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝36°，则∠B＝________；若∠B＝53°28′，则∠A＝________．
2．sin30°＝cos60°＝________，sin60°＝cos30°＝________，sin45°＝cos45°＝________．
完成上面两题我们不难发现，30°、45°、60°这三个角的正(余)弦的值，分别等于它们余角的余(正)弦的值．这个规律，是否适合任意一个锐角呢？
二、合作探究
探究点：互余的两个锐角三角函数间的关系
【类型一】
互余两角的正弦、余弦值的关系
在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则cosA的值为(　　)
A.
B.
C．1
D.
解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立．故选A.
已知cosα＝，α＋β＝90°，则cosβ＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：∵cosα＝，α＋β＝90°，∴sinβ＝cosα＝.设β是一个直角三角形中的锐角，且sinβ＝＝，设b＝3k，c＝5k，则另一直角边的长度为a＝4k，∴cosβ＝＝＝.故选C.
方法总结：利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系．将角放到直角三角形中，画出图形，根据图形设出比例式，表示出各边．
【类型二】
互余两个锐角的正切值的关系
在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tanA，tanB是方程3x2－tx＋3＝0的两个根，则∠C＝________．
解析：∵tanA，tanB为方程3x2－tx＋3＝0的两根，∠A，∠B是锐角．∴tanA·tanB＝＝1，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.
方法总结：利用tanA·tan(90°－∠A)＝1，可得∠A与∠B之间的关系，从而求出∠C的大小．
三、板书设计
互为余角的正弦与余弦函数值之间的关系是锐角三角函数的重要关系之一．掌握这一关系，对学生全面系统了解锐角三角函数以及后继的学习与应用都是十分重要的．22.1
比例线段
第2课时
比例线段
教学目标
【知识与技能】
从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段,理解成比例线段的概念.
【过程与方法】
在成比例线段的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题.
【情感、态度与价值观】
在探究成比例线段的过程中,培养学生与他人交流、合作的意识.
重点难点
【重点】
认识成比例的线段.
【难点】
理解成比例线段的概念.
教学过程
一、复习回顾,引入新课
师:同学们还记得我们上节课学习了什么知识吗
生:学习了相似多边形.
师:是的,你能说说什么是相似多边形吗
生:一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.
师:很好!由于多边形的边是线段,所以在研究图形相似之前,这节课我们先要学习成比例线段的有关知识.
二、讲授新课
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成=.其中,线段AB、CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k,那么=k,或AB=k·CD,两条线段的比实际上就是两个数的比.
活动:如果把老师手中的教鞭与铅笔分别看成是两条线段AB和CD,那么这两条线段的长度比是多少
师生活动.
教师出示图片,提出问题.
学生考虑如何求得这两条线段的比.
学生求出的值不唯一,只要方法恰当,教师都要给予肯定.
1.两条线段的比,就是两条线段长度的比.
2.成比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.这时,线段a、b、c、d叫做组成比例的项,线段a、d叫做比例外项,线段b、c叫做比例内项.
注意:(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系,但在计算时要注意统一单位;
(2)线段的比是一个没有单位的正数;
(3)四条线段a、b、c、d成比例,记作=或a∶b=c∶d;
(4)若四条线段满足=,则有ad=bc;
(5)如果ad=bc(a、b、c、d都不等于0),那么=.
三、例题讲解
【例1】　如图,下面右边的四个图形中,与左边的图形形状相同的是(　　)
解:C
【例2】　一张桌面长a=1.25
m,宽b=0.75
m,那么长与宽的比是多少
解:=
小结:上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位,求得的的值是相等的,所以说,两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求此时两条线段的长度单位必须一致.
【例3】　已知:一张地图的比例尺是1∶32
000
000,量得北京到上海的图上距离大约为3.5
cm,北京到上海的实际距离大约是多少km
分析:根据比例尺=,可求出北京到上海的实际距离.
解:设北京到上海的实际距离大约是x
cm.
则=,得x=112
000
000(cm).
又112
000
000
cm=1
120
km.
答:北京到上海的实际距离大约是1
120
km.
【例4】　如图,一块矩形绸布的长AB=a
m,宽AD=1
m,按照图中所示的方式将它裁成相同的一面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,即=,那么a的值应当是多少
解:根据题意可知,AB=a
m,AE=a
m,AD=1
m.
由=,得
=,
即a2=1,
∴a2=3.
开平方,得a=(a=-舍去).
四、课堂小结
本节课主要学习了:
成比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.这时,线段a、b、c、d叫做组成比例的项,线段a、d叫做比例外项,线段b、c叫做比例内项.
教学反思
本节课是在上节课的基础上认识成比例线段,理解成比例线段的概念.在相似图形的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题,让学生经历探究过程.以学生的自主探究为主线,让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识.教师只在关键处进行点拨,不足处进行补充.鼓励学生大胆猜测、大胆验证,让学生在研究过程中渗透数学思想,有意识地培养学生的解题能力.第22章
相似形
22.1
比例线段
第1课时
相似图形
教学目标
【知识与技能】
知道相似图形的两个特征:对应边成比例,对应角相等.掌握判断两个多边形是否相似的方法——“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等,那么这两个多边形相似”.
【过程与方法】
经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程,体会由特殊到一般的思想方法,感受图形世界的丰富多彩.
【情感、态度与价值观】
在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质.
重点难点
【重点】
知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等.
【难点】
能运用相似图形的性质解决问题.
教学过程
一、问题引入
活动1:观察图片,体会开关相同的图形.(多媒体出示)
师:同学们,请观察下列几幅图片,你能发现什么 你能对观察到图片特点进行归纳吗
生:这些图形的开关相同,而大小不同.
二、新课教授
活动2:思考:如图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像,它们的形状相同吗
生:形状不同.
师生活动.
教师出示图片,提出问题.
学生细心观察,认真思考,小组讨论后回答问题.
教师对学生的回答进行评价,总结:哈哈镜里看到的不同镜像,它们的形状不同,它们的形状发生了改变.
形状相同而大小不同的两个平面图形,较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的,较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中,两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”,因此,对于形状相同而大小不同的两个图形,我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.
活动3:探究.
如图(1)的两个正方形,应有
∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;
=====.
如图(2)的两个等边三角形,应有
∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1;
====.
(1)
(2)
一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.
师生总结:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
(1)如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似;
(2)相似多边形的对应边的比称为相似比;
(3)当相似比为1时,两个多边形全等.
三、例题讲解
【例1】　如图所示,四边形ABCD和四边形EFGH相似,求角α和β的大小以及EH的长度x.
师生活动.
教师出示例题,提出问题.
学生通过运用相似多边形的性质正确解答出角α和β的大小以及EH的长度x.
解:四边形ABCD和四边形EFGH相似,它们的对应角相等.由此可得
∠α=∠C=83°,∠A=∠E=118°,
在四边形ABCD中,
∠β=360°-(78°+83°+118°)=81°.
四边形ABCD和四边形EFGH相似它们的对应边成比例.由此可得
=,即=.
解得:x=28(cm).
【例2】　已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,且A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1=7∶8∶11∶14.若四边形ABCD的周长为40,求四边形ABCD各边的长.
分析:因为两个四边形相似,因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题.
解:∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,
∴AB∶BC∶CD∶DA=A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1.
∵A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1=7∶8∶11∶14,
∴AB∶BC∶CD∶DA=7∶8∶11∶14.
设AB=7m,则BC=8m,CD=11m,DA=14m.
∵四边形ABCD的周长为40,
∴7m+8m+11m+14m=40,
∴m=1,
∴AB=7,则BC=8,CD=11,DA=14.
四、巩固练习
1.在比例尺为1∶10
000
000的地图上,量得甲、乙两地的距离是30
cm,求两地的实际距离,
【答案】3
000
km
2.如图所示的两个直角三角形相似吗 为什么
【答案】相似,因为它们的对应角相等,对应边的比相等.
3.如图所示的两个五边形相似,求求知边a、b、c、d的长度.
【答案】a=3,b=,c=4,d=6.
五、课堂小结
本节课主要学习了以下内容:
1.相似多边形的定义:如果两个多边形的对应角相等、对应边的比相等,那么这两个多边形相似.
2.相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
教学反思
本节课主要教学对相似图形的认识.在相似图形的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题,让学生经历探究过程.以学生的自主探究为主线,让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识.教师只在关键处进行点拨,不足处进行补充.鼓励学生大胆猜测、大胆验证.让学生在研究过程中渗透教学思想,有意识地培养学生的解题能力.22.3
相似三角形的性质
第1课时
相似三角形性质定理1、2及其应用
教学目标
【知识与技能】
理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系,理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比,掌握定理的证明方法,并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质,提高分析和推理能力.
【过程与方法】
在对性质定理的探究中,学生经历“观察—猜想—论证—归纳”的过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度,并在其中体会类比的数学思想,培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质,提高分析问题和解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
1.在学习和探讨的过程中,体验特殊到一般的认识规律.
2.通过学生之间的合作交流使学生体验到成功的喜悦,树立学好数学的自信心.
重点难点
【重点】
相似三角形性质定理的探究及应用.
【难点】
综合应用相似三角形的性质与判定定理探索相似三角形中对应线段之间的关系,理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比.
教学过程
一、复习回顾
师:相似三角形的判定方法有哪些
学生回答:
师:相似三角形有哪些性质
生:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
师:三角形有哪些相关的线段
生:中线、高和角平分线.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体课件出示:
已知:如图,△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'是对应高.求证:==k.
师:这个题目中已知了哪些条件
生:△ABC和△A'B'C'相似,这两个三角形的相似比是k,AD、A'D'分别是它们的高.
师:我们要证明的是什么
生:它们的高的比等于它们对应边的比,等于这两个三角形的相似比.
师:你是怎样证明的呢
学生思考,交流.
生:证明△ABD和△A'B'D'相似,然后由相似三角形的对应边成比例得到=.
师:你怎样证明△ABD和△A'B'D'相似呢
学生思考后回答:因为△ABC和△A'B'C'相似,由相似三角形的对应角相等,所以∠B=∠B',∠ADB=∠A'D'B'=90°.根据两角对应相等的两个三角形相似得到△ABD和△A'B'D'相似.
师:很好!现在请大家写出证明过程,然后与课本上的对照,加以修正.
学生写出证明过程.
证明:∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B'.
∵∠BDA=∠B'D'A'=90°,
∴Rt△ABD∽Rt△A'B'D',
∴==k.
师:现在我请两位同学分别板演下面的两道练习题,其余同学在下面做.
1.已知:如图,△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'是对应的中线.
求证:==k.
证明:∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B',==k.
又∵AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,
∴BD=BC,B'D'=B'C',
===k,
∴△ABD和△A'B'D'相似(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似),
∴==k.
2.已知:如图,△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线.
求证:==k.
证明:∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B',∠A=∠A'.
又∵AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线,
∴∠BAD=∠BAC,
∠B'A'D'=∠B'A'C',
∠BAD=∠B'A'D',
∴△BAD∽△B'A'D'(两角对应相等的两个三角形相似),
∴==k.
师:于是我们就得到了相似三角形的一个性质定理.
教师板书:
定理　相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
探究:如果两个三角形相似,它们的周长之间是什么关系 如果是两个相似多边形呢
学生小组自由讨论、交流,达成共识.
让学生回答结果,给出评价.
设△ABC∽△A1B1C1,相似比为k,
那么===k
AB=kA1B1,BC=kB1C1,CA=kC1A1

==k.
由此我们可以得到:
相似三角形的性质2:相似三角形周长的比等于相似比.
用类似的方法,还可以得出:
相似多边形的性质:相似多边形周长的比等于相似比.
三、例题讲解,应用新知
【例1】　如图,AD是△ABC的高,AD=h,点R在AC边上,点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.
当SR=BC时,求DE的长.如果SR=BC呢
解:∵SR⊥AD,BC⊥AD,
∴SR∥BC,
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C,
∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似),
∴=(相似三角形对应高的比等于相似比),
即=.
当SR=BC时,得=,解得DE=h.
当SR=BC时,得=,解得DE=h.
【例2】　如图,一块铁皮呈锐角三角形,它的边BC=80cm,高AD=60cm.要把它加工成矩形零件使矩形的长、宽之比为2∶1,并且矩形长的一边位于边BC上,另外两个顶点分别在边AB、AC上.求这个矩形零件的长与宽.
师:请同学们思考一下这个问题.
学生思考,计算,交流.
师:我们要怎样用辅助线呢
教师找一生回答.
生:加工成的矩形边SR在BC上,顶点P、Q分别在AB、AC上,把△ABC的高AD与PQ的交点记为E.
教师作图.
师:作出了辅助线后该怎么做呢 我们都已知了哪些条件
生:BC的长、AD的长和矩形零件的长、宽比.
师:你打算怎样由这些条件求出这个零件的长和宽呢
生:因为PQ∥BC,所以△APQ和△ABC相似,然后根据相似三角形的对应边成正比例得到一个等量关系,设矩形零件的宽为xcm,长就为2xcm,代入那个等量关系式,就得到了关于x的一个方程,解方程即可求出x的值,即矩形的宽,然后根据长宽的比求出零件的长.
师:很好!你的思路很清晰.现在请同学们写出求解过程.
解:如图,矩形PQRS为加工后的矩形零件,边SR在边BC上,顶点P、Q分别在边AB、AC上,△ABC的高AD交PQ于点E.设PS为xcm,则PQ为2xcm.
∵PQ∥BC.
∴∠APQ=∠ABC,∠AQP=∠ACB,
∴△APQ∽△ABC.
∴=,
即=.
解方程,得x=24,2x=48.
答:这个矩形零件的边长分别是48cm和24cm.
例3
如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,△ABC的周长是24,求△DEF的周长.
解:△ABC和△DEF中,
∵AB=2DE,AC=2DF,
∴==.
又∠A=∠D,
∴△ABC∽△DEF,相似比为.
∴△DEF的周长=×24=12,
四、课堂小结
师:今天你又学习了什么内容
学生回答.
教学反思
在本节课的教学过程中,我先让学生回顾了相似三角形的性质即对应角相等,对应边成比例,相似三角形周长的比等于相似比为后面的证明做了铺垫.在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知,让学生充分体会数学知识之间的内在联系,以此激发学生的学习兴趣,能够使整个课堂气氛由沉闷变得活跃,尤其是我让学生板演使学生有机会展示他们的学习所得,做到了将课堂回归给学生,学生的主体地位得到了很好的体现.此外,教师的肯定、赞扬和鼓励会使学生保持高昂的学习热情,使学生在探究性学习、创造性劳动中获得成功的体验.第3课时　二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．会用描点法画出y＝a(x＋h)2＋k的图象；
2．掌握形如y＝a(x＋h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用；(重点)
3．理解二次函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2之间的联系．(难点)
一、情境导入
前面我们是如何研究二次函数y＝ax2、y＝ax2＋k、y＝a(x＋h)2的图象与性质的？如何画出y＝(x－2)2＋1的图象？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象与性质
【类型一】
抛物线y＝a(x＋h)2＋k的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性
对于抛物线y＝3(x－3)2＋6，下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x＝3；③顶点坐标为(3，6)；④x>0时，y随x的增大而增大．其中正确结论的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：根据二次函数的性质对各小题分析判断即可．①∵a＝3>0，∴抛物线的开口向上，正确；②对称轴为直线x＝3，正确；③顶点坐标为(3，6)，正确；④∵x>3时，y随x的增大而增大，即x>0时，图象的增减性不同．故选C.
方法总结：对于抛物线y＝a(x＋h)2＋k，其对称轴为x＝－h，顶点坐标为(－h，k)．当a>0时，对称轴左边的图象，y随x的增大而减小，对称轴右边的图象，y随x的增大而增大，当a<0时，反之．
【类型二】
利用顶点确定y＝a(x＋h)2＋k的解析式
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为__________________．
解析：由题意可设抛物线的表达式为y＝a(x＋2)2＋3，把x＝－1，y＝5代入得5＝a(－1＋2)2＋3，所以a＝2，所以抛物线的表达式为y＝2(x＋2)2＋3.
【类型三】
利用y＝a(x＋h)2＋k的图象解决问题
如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为－3，则点D的横坐标最大值为(　　)
A．－3
B．1
C．5
D．8
解析：C、D两点是抛物线与x轴的交点，当C的横坐标取得最小值时，抛物线的顶点在A处，把C(－3，0)，A(1，4)代入解析式，可得0＝a(－3－1)2＋4，求得a＝－，当抛物线的顶点在B处时，D的横坐标取得最大值，其解析式y＝－(x－4)2＋4，易得最大值为8.故选D.
探究点二：二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象的平移
将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是(　　)
A．y＝(x－2)2－1
B．y＝(x－2)2＋1
C．y＝(x＋2)2＋1
D．y＝(x＋2)2－1
解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝(x－2)2－1.故选A.
探究点三：二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象与几何图形的综合
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x－h)2＋k.所得抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D.
(1)求h，k的值；
(2)判断△ACD的形状，并说明理由．
解析：(1)按照图象平移规律“左加右减，上加下减”可得到平移后的二次函数的解析式；
(2)分别过点D作x轴和y轴的垂线段DE，DF，再利用勾股定理，可说明△ACD是直角三角形．
解：(1)∵将抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x＋1)2－4，∴h＝－1，k＝－4；
(2)△ACD为直角三角形．理由如下：由(1)得y＝(x＋1)2－4.当y＝0时，(x＋1)2－4＝0，x＝－3或x＝1.∴A(－3，0)，B(1，0)．当x＝0时，y＝(x＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3，∴C点坐标为(0，－3)．顶点坐标为D(－1，－4)．作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，如图所示．在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20；在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18；在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2.∵AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．第2课时　反比例函数的图象和性质
1．会用描点法画出反比例函数的图象，并掌握反比例函数图象的特征；(重点)
2．理解并掌握反比例函数的性质．(重点)
一、情境导入
已知某面粉厂加工出4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市．
所需要的时间t(天)和每天运出的面粉总重量m(吨)之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中形象地画出这个函数关系的图象吗？
二、合作探究
探究点一：反比例函数的图象和性质
【类型一】
反比例函数图象的画法
在同一平面直角坐标系中画出反比例函数y＝和y＝－的图象．
解：(1)列表：
x
…
－3
－2
－1
1
2
3
…
y＝
…
－
－
－5
5
…
y＝－
…
5
－5
－
－
…
(2)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．
(3)连线：在各象限内，分别用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数y＝和y＝－的图象，如图．
【类型二】
反比例函数的性质
在反比例函数y＝－的图象上有三点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是(　　)
A．y3＞y1＞y2
B．y3＞y2＞y1
C．y1＞y2＞y3
D．y1＞y3＞y2.
解析：本题方法较多，一是根据x1，x2，x3的大小即可比较；二是画出草图，根据反比例函数的性质比较；三是利用特值法．
(方法一)比较法：由题意，得y1＝－，y2＝－，y3＝－，因为x1＞x2＞0＞x3，所以y3＞y1＞y2.
(方法二)图象法：
如图，在直角坐标系中做出y＝－的草图，描出符合条件的三个点，观察图象直接得到y3＞y1＞y2.
(方法三)特殊值法：设x1＝2，x2＝1，x3＝－1，则y1＝－，y2＝－1，y3＝1，所以y3＞y1＞y2.故选A.
方法总结：此题的三种解法中，图象法直观明了，具有一般性；特殊值法最简单，这种方法对于解答选择题很有效，要注意学会使用．
探究点二：反比例函数与一次函数的综合
【类型一】
反比例函数与一次函数图象的综合
在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝(k≠0)的图象大致是(　　)
解析：在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝(k≠0)的图象只有两种情况，当k>0时，y＝分布在第一、三象限，此时y＝kx－k经过第一、三、四象限；当k<0时，y＝分布在第二、四象限，此时y＝kx－k经过第一、二、四象限．故选D.
方法总结：判断函数图象分布是否正确，主要通过假设条件，根据函数的图象及性质判断，若与选项一致则正确；若相矛盾，则错误．
【类型二】
反比例函数与一次函数图象与性质的综合
如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于M、N两点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
解析：(1)把点N(－1，－4)代入y＝即可求出反比例函数解析式，进而求出点M，再把M、N代入一次函数即可求出一次函数的解析式；
(2)由图象可知当反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围是x<－1或0解：(1)由反比例函数定义可知k＝(－1)×(－4)＝4.
∴y＝，而M(2，m)在反比例函数图象上．
∴m＝＝2，∴M(2，2)．
将M、N两点坐标代入一次函数解析式得解得
∴y＝2x－2；
(2)由图中观察可知，x的取值范围为x<－1或0方法总结：分别利用反比例函数和一次函数的定义求出其解析式，根据图象形态和性质判断，在解题过程中要考虑全面，不要漏解．
探究点三：反比例函数y＝(k≠0)中k的几何意义
如图所示，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为________．
解析：根据反比例函数y＝(k≠0)系数k的几何意义得S△POA＝×4＝2，S△AOB＝×2＝1，∴S△POB＝S△POA－S△AOB＝2－1＝1.
方法总结：本题考查了反比例函数y＝(k≠0)系数k的几何意义，从反比例函数y＝(k≠0)图象上任取一点P向x轴(或y轴)作垂线，垂线与坐标轴交点、点P与原点的连线段围成的直角三角形的面积都是.
三、板书设计
反比例函数的图象和性质
通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力．理解函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合．通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，概括反比例函数的有关性质．让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲．2.30°，45°，60°角的三角函数值
第2课时
互余两角的三角函数值
教学思路（纠错栏）
教学思路（纠错栏）
教学目标：1.知道一个锐角的正弦和余角的余弦之间的关系.2.会把互余两角的正、余弦互化.教学重点：正弦与其余角的余弦之间的关系.教学难点：正弦与其余角的余弦之间的关系.☆
预习导航
☆一、链接：1.在△ABC中，∠C=90°，则2.（1）sinA
=
,
∠A
=
；
（2）cosA
=
，
∠A
=
______；
（3）sinA
=
,
∠A
=
；
（4）cosA
=
,
∠A
=
______；(5)
sinA
=
，
∠A
=
；
(6)cosA
=
,
∠A
=
______。二、导读：仔细观察上面的结果并完成以下问题：（1）正弦值随角度的增大而_________
,（2）余弦值随角度的增大而_________
,（3）正切值随角度的增大而_________
.总结：角大正弦大，角大余弦大，角大正切大。你能由
sin30°=cos
=
sin45°=cos
=
sin60°=cos
=
.总结：一个锐角的正弦等于它的余角的余弦。
利用这个结论可以把互余两角的正、余弦互化。☆
合作探究
☆1
.在Rt△ABC中，∠C
=
900，sinA
=
，则cosA
=
.2.比较sin40°、cos40°与tan40°的大小..2.在Rt△ABC中，∠C=90°，求证：（1）
；（2）4.在Rt△ABC中，∠C=90°，求证：.☆
归纳反思
☆☆
达标检测
☆1.
在Rt△ABC中，∠C
=
900，sinA=，则cosB=
.cosA
=
.2.
已知a为锐角，sina=cos400则a等于
（
）.A
、20°
B
、30°
C、
40°
D、
50°3.（1）已知∠A为锐角，证明tanA·tan（900–A）=
1.（2）利用上面结论计算tan1°tan2°…tan88°tan89°.21.3
二次函数与一元二次方程
第2课时
二次函数与一元二次不等式
教学思路（纠错栏）教学思路（纠错栏）
教学目标：1.会利用二次函数与一元二次方程的关系综合解题．2.根据二次函数图象认识一元二次不等式的解集，体会数形结合的思想.教学重点：利用二次函数与一元二次方程的知识综合解题．预设难点：用图象法求一元二次不等式的解集．☆
预习导航
☆一、链接：画出一次函数的图象，利用图象：（1）当x为何值时,y=0 （2）当x为何值时,y<0 （3）当x为何值时,y>0 二、导读抛物线与x轴有两个交点（7，0）、（-3，0），则方程的解是
．如果a>0，你能求出不等式ax2+bx+c>0的解集吗？
☆
合作探究
☆1、画出函数的图象，并根据图象解决下列问题（1）写出抛物线的顶点坐标、对称轴和抛物线与x轴、y轴的交点坐标（2）当x在什么范围内时y随x的增大而减小？（3）当x在什么范围内时,y>0 当x在什么范围内时，y<0
2、如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为A（）、B（），且，．（1）求此抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积．☆
归纳反思
☆对照教学目标谈谈这节课你们有什么收获，还有什么疑惑？☆
达标检测
☆1.抛物线的部分图象如图所示，若y>0，则x
的取值范围是(
)A．-4B．
-31
D．x<-3或x>12.
不等式2x2-5x+2>0的解集是
.3、如图给出二次函数的图象，对于这个函数有下列五个结论，其中正确的有
.
（1）<0；
（2）；（3）>
0
；
（4）
；（5）当y
=
2时，x只能等于0.
–1
1
3
O第2课时　建立二次函数模型解决实际问题
1．能运用二次函数的知识分析解决相关实际问题；(重点、难点)
2．经历探索解决实际问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学建模的思想和数学的应用价值．
一、情境导入
跳绳是同学们非常喜欢的一种体育活动，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，设拿绳的手此时距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？
要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？
二、合作探究
探究点一：二次函数在建筑问题中的应用
如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．
解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y＝ax2，把点(2，－2)代入，得－2＝a×22，a＝－，∴y＝－x2，当y＝－3时，－x2＝－3，x＝±.故答案为2.
方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数解析式解决实际问题．
探究点二：二次函数在体育活动中的应用
【类型一】
运动轨迹问题
某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的关键就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x＝1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小．
解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A(0，)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．
设二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－(x－4)2＋4.
将点C的坐标代入上式，得左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中；
(2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
【类型二】
落点问题
如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米(取4＝7)
(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米(取2＝5)
解析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点A和顶点M的坐标，因为OA＝1，OB＝6，BM＝4，所以点A的坐标为(0，1)，顶点M的坐标是(6，4)．根据顶点式可求得抛物线关系式．因为点C在x轴上，所以要求OC的长，只要把点C的纵坐标y＝0代入函数关系式，通过解方程求得OC的长．要计算运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米，实际就是求DB的长．求解的方法有多种．
解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋4，
由已知：当x＝0时，y＝1，即1＝36a＋4，所以a＝－.
所以函数表达式为y＝－(x－6)2＋4或y＝－x2＋x＋1；
(2)令y＝0，则－(x－6)2＋4＝0，
所以(x－6)2＝48，所以x1＝4＋6≈13，x2＝－4＋6<0(舍去)．
所以足球第一次落地距守门员约13米；
(3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD，根据题意：CD＝EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位)．
所以2＝－(x－6)2＋4，解得x1＝6－2，x2＝6＋2，
所以CD＝|x1－x2|＝4≈10.
所以BD＝13－6＋10＝17(米)．
方法总结：解决此类问题的关键是先进行数学建模，将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件．常有两个步骤：(1)根据题意得出二次函数的关系式，将实际问题转化为纯数学问题；(2)应用有关函数的性质作答．
三、板书设计
建立二次函数模型
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决实际问题．一般锐角的三角函数值
教学目标
学会计算器求任意角的三角函数值。
教学重难点
重点：用计算器求任意角的三角函数值。
难点：实际运用。
教学过程
拿出计算器，熟悉计算器的用法。
下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角.
求已知锐角的三角函数值.
求sin63゜52′41″的值.（精确到0.0001）
解　先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
显示
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.897
859
012.
所以　　　sin63゜52′41″≈0.8979
例3　求cot70゜45′的值.（精确到0.0001）
解　在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：
显示结果为0.349
215
633.
所以　　　　　　cot70゜45′≈0.3492.
由锐角三角函数值求锐角
例4　已知tan
x=0.7410,求锐角x.（精确到1′）
解　在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：
显示结果为36.538
445
77.
　　再按键：
显示结果为36゜32′18.4.
所以，x≈36゜32′.
已知cot
x=0.1950,求锐角x.（精确到1′）
分析　根据tan
x＝，可以求出tan
x的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x的值.
四、课堂练习
使用计算器求下列三角函数值.（精确到0.0001）
sin24゜,cos51゜42′20″,tan70゜21′,cot70゜.
已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a.（精确到1′）
（1）sin
a=0.2476;
（2）cos
a=0.4174;
（3）tan
a=0.1890;
（4）cot
a=1.3773.
五、学习小结
内容总结
不同计算器操作不同，按键定义也不一样。
同一锐角的正切值与余切值互为倒数。
在生活中运用计算器一定要注意计算器说明书的保管与使用。
方法归纳
在解决直角三角形的相关问题时，常常使用计算器帮助我们处理比较复杂的计算。1.锐角的三角函数
第2课时
正弦和余弦
教学思路（纠错栏）
教学思路（纠错栏）
教学目标：
1.理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。2.能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。教学重点：正弦、余弦的概念.教学难点：准确运用正弦、余弦表示直角三角形中两条边的比.☆
预习导航
☆一、链接：如图，在Rt△ABC中，tanA
=
（
）,tanB=（
）.
二、导读：（用边的比表示）请同学们仔细阅读课本第115页内容后，再思考下列问题：1.如图，在Rt△ABC中，_______________________________叫做∠A的正弦，记作sinA,即
sinA
=2、如上图，在Rt△ABC中，_________________________叫做∠A的余弦.记作cosA,即
cosA
=☆
合作探究
☆1.已知：如图，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.（1）sinA=（2）（3）
（4）2.
在△ABC中，∠C
=
90°，sinA
=
,求则cosA=
3.请你分别求出图中∠A和∠B的各个三角函数值。☆
归纳反思
☆☆
达标检测
☆1.中，∠C=90°，AC=4，BC=3，的值为（
）.
A、
B、
C、
D、
2.如果把的三边同时扩大到原来的倍，则的值（
）A、不变
B、扩大到原来的倍
C、缩小到原来的　
D、不确定3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=______.4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AB＝10，求BC和cosB。5.在平面直角坐标系内有一点P（2，5），连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角a
的各个三角函数值.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时
二次函数y=ax2+k的图象和性质
教学目标：
1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
重点难点：
会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。
正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。
教学过程：
一、提出问题
1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。
2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同
二、分析问题，解决问题
问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究
(画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较)
问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗
解：(1)列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
18
8
2
0
2
8
18
…
y＝x2＋1
…
19
9
3
l
3
9
19
…
(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。
问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系 反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系
教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。
教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。
问题4：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系
由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。
问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗
让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。
问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗
完成填空：
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．
以上就是函数y＝2x2＋1的性质。
三、做一做
问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别
教学要点
让学生发表意见，归纳为：函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数y＝2x2－2的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向下平移两个单位得到的。　
问题8：你能说出函数y＝2x2－2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗
教学要点
1．让学生口答，函数y＝2x2－2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，－2)；
2．分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最小值，最小值y＝－2。
问题9：在同一直角坐标系中。函数y＝－x2＋2图象与函数y＝－x2的图象有什么关系
要求学生能够画出函数y＝－x2与函数y＝－x2＋2的草图，由草图观察得出结论：函数y＝－1/3x2＋2的图象与函数y＝－x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝－x2＋2的图象可以看成将函数y＝－x2的图象向上平移两个单位得到的。
问题10：你能说出函数y＝－x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗
[函数y＝－x2＋2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，2)]
问题11：这个函数图象有哪些性质
让学生观察函数y＝－x2＋2的图象得出性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取得最大值，最大值y＝2。
四、练习：　练习1、2、3。
五、小结
1．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系
2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质
六、作业：1．习题1．(1)
　　　　
教后反思：第3课时　二次函数的综合应用
1．掌握如何将实际问题转化为数学问题，进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；(重点、难点)
2．进一步体会数形结合的数学思想方法．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种变化方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？
二、合作探究
探究点一：利用二次函数进行决策和判断
某杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图所示．
(1)求演员运动过程中距离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC＝3.4m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4m，问这次表演能否成功？请说明理由．
解析：(1)转化为求二次函数y＝－x2＋3x＋1的最大值问题；(2)求x＝4时对应的y值，然后与BC比较，若等于3.4，即表演成功，否则就不成功．
解：(1)y＝－x2＋3x＋1＝－(x－)2＋.∵a＝－<0，∴函数有最大值为.∴演员运动过程中距离地面的最大高度是m；
(2)将x＝4代入函数关系式中得y＝3.4.∵BC＝3.4m，∴这次表演能成功．
方法总结：将生活中的问题转化为二次函数问题求解，要把握函数的相关性质与生活中实际问题的对应关系．
探究点二：二次函数的综合运用
如图，矩形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)和(2，0)，且BC＝2.直线AC与直线x＝4交于点E.求以直线x＝4为对称轴，且过点C与原点O的抛物线对应的函数表达式，并说明此抛物线一定过点E.
解析：以x＝4为对称轴的抛物线，我们一般可以设其对应的函数表达式为y＝a(x－4)2＋m，然后再根据抛物线经过点O与点C求出a与m的值．
解：由已知得点C的坐标为(2，2)．
设抛物线所对应的函数表达式为y＝a(x－4)2＋m，∵该抛物线过点O(0，0)，C(2，2)，
∴解得
∴所求抛物线对应的函数关系式为y＝－(x－4)2＋.
设直线AC对应的函数表达式为y＝kx＋b，则解得
∴直线AC对应的函数表达式为y＝x＋，∴点E的坐标为(4，)．
当x＝4时，y＝－(x－4)2＋＝，∴抛物线一定过点E.
跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．已知正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，手到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋0.9.
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)如果小刚站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时恰好通过他的头顶，请你计算出小刚的身高；
(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过他的头顶，请结合图象，写出t的取值范围．
解析：对于第(1)问，由题意可知E点的坐标为(1，1.4)，B点的坐标为(6，0.9)，将这两点的坐标代入y＝ax2＋bx＋0.9，可以求出抛物线对应的函数表达式；对于第(2)问，实质是求当x＝3时的函数值；对于第(3)问，
结合图象，并根据轴对称性求t的取值范围．
解：(1)由题意得点E(1，1.4)、B(6，0.9)在抛物线上，将它们代入y＝ax2＋bx＋0.9，得
解得
∴所求抛物线对应的函数表达式是y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9；
(2)当x＝3时，y＝－0.1×32＋0.6×3＋0.9＝1.8.∴小刚的身高是1.8米；
(3)由抛物线的轴对称性可知1三、板书设计
二次函数的综合应用
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计、建立二次函数的数学模型，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况．第2课时　比例线段
1．知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；(重点)
2．理解成比例线段的概念；(重点)
3．掌握成比例线段的判定方法．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？
这些例子都是形状相同、大小不同的图形．它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同．
二、合作探究
探究点一：线段的比
【类型一】
根据线段的比求长度
如图所示，已知M为线段AB上一点，AM∶MB＝3∶5，且AB＝16cm，求线段AM、BM的长度．
解：线段AM与MB的比反映了这两条线段在全线段AB中所占的份数，由AM∶MB＝3∶5可知AM＝AB，MB＝AB.
∵AB＝16cm，∴AM＝×16＝6(cm)，MB＝×16＝10(cm)．
方法总结：本题也可设AM＝3k，MB＝5k，利用3k＋5k＝16求解更简便，这也是解这类题常用的方法．
【类型二】
比例尺
在比例尺为1∶50
000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是________m.
解析：根据“比例尺＝”可求解．设甲、乙两地的实际距离为xcm，则有1∶50
000＝3∶x，解得x＝150
000cm＝1500m.
方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化．
探究点二：成比例线段
【类型一】
判断线段成比例
下列四组线段中，是成比例线段的是(　　)
A．3cm，4cm，5cm，6cm
B．4cm，8cm，3cm，5cm
C．5cm，15cm，2cm，6cm
D．8cm，4cm，1cm，3cm
解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例．四个选项中，只有C项排列后有＝.故选C.
方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：
(1)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等作出判断；
(2)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断．
【类型二】
由线段成比例求线段的长
已知三条线段的长分别为1cm，cm，2cm，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式．
解：因为本题中没有明确告知是求1，，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论．设要求的线段长为x，若x∶1＝∶2，则x＝；若1∶x＝∶2，则x＝；若1∶＝x∶2，则x＝；若1∶＝2∶x，则x＝2.
所以所添加的数有三种可能，可以是，，或2.
方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积．
三、板书设计
从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括．在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识．并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力．21．3　二次函数与一元二次方程
第1课时　二次函数与一元二次方程
1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)
2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？
二、合作探究
探究点一：判断二次函数图象与x轴交点个数
【类型一】
二次函数图象与x轴交点情况判断
下列函数的图象与x轴只有一个交点的是(　　)
A．y＝x2＋2x－3
B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝x2－2x＋3
D．y＝x2－2x＋1
解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点．故选D.
【类型二】
利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴
如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．
解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，∴其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2.
方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．
【类型三】
利用抛物线与x轴交点情况确定字母取值(范围)
若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为(　　)
A．0
B．0或2
C．2或－2
D．0，2或－2
解析：若m≠0，根据二次函数与x轴只有一个交点，利用一元二次方程根的判别式为零来求解；若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点．当m≠0时，Δ＝(m＋2)2－4m(m＋1)＝0，解得m＝2或－2；当m＝0时，原函数是一次函数，图象与x轴只有一个交点，所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点．故选D.
方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点，当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点，当b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点．
探究点二：二次函数图象与x轴的交点坐标与一元二次方程根的关系
已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为________．
解析：因为抛物线经过点(3，0)，所以x＝3，y＝0是该函数的一组对应值．将x＝3，y＝0代入函数表达式，得0＝－32＋2×3＋m，解得m＝3.所以一元二次方程为－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
方法总结：本题先求出m的值，从而写出一元二次方程，然后解这个一元二次方程得出其解．也可以由图象得抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点为(3，0)．根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)，则(3，0)和(－1，0)两点的横坐标就是所求方程的根，即x1＝－1，x2＝3.
探究点三：利用二次函数求一元二次方程的近似解
利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根(精确到0.1)．
解析：对于y＝－x2＋2x－3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．
解：在平面直角坐标系内作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图．由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．
(1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索：
x
－1.1
－1.2
－1.3
－1.4
－1.5
y
－6.41
－6.84
－7.29
－7.76
－8.25
因此x≈－1.4是方程的一个实数根；
(2)另一个根可以类似地求出：
x
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
y
－6.41
－6.84
－7.29
－7.76
－8.25
　　x≈3.4是方程的另一个实数根．
方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y＝h的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系．22．2　相似三角形的判定
第1课时　平行线与相似三角形
1．理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；(重点)
2．会用“平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似”进行计算和简单地证明．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？
二、合作探究
探究点一：相似三角形
【类型一】
利用定义判定相似三角形
△ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由．
解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°.
因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°.
所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E.
又因为＝，＝，＝＝，
所以＝＝.所以△ABC∽△DFE.
方法总结：判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上．
【类型二】
相似三角形的性质
如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝58cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，求：
(1)∠AED和∠ADE的度数；
(2)DE的长．
解：(1)∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED＝∠ACB＝40°.
在△ADE中，∠ADE＝180°－40°－45°＝95°；
(2)∵△ABC∽△ADE，∴＝，即＝.∴DE＝＝36.25(cm)．
方法总结：当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段．
探究点二：平行线与相似三角形
如图，已知在?ABCD中，E为AB延长线上一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F.请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED，
∴△BEF∽△CDF∽△AED.
故当△BEF∽△CDF时，相似比为BE∶CD＝BE∶AB＝1∶3；
当△BEF∽△AED时，相似比为BE∶AE＝1∶4；
当△CDF∽△AED时，相似比为CD∶AE＝3∶4.
已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N与窗户的距离NC.
解：∵AM∥BN，∴△NBC∽△MAC，∴＝，即＝，∴NC＝m.
三、板书设计
感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力．22.2
相似三角形的判定
第1课时
平行线与相似三角形
教学思路（纠错栏）教学思路（纠错栏）
教学目标：
1、经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程．2、会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题教学重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．预设难点：三角形相似的预备定理的应用.☆
预习导航
☆一、链接1、（1）相似多边形的主要特征是什么？ 2、 平行线分线段成比例定理及其推论的内容是什么？二、导读阅读课本回答下列问题：1、若△ABC∽△DFE，则，∠A=
，∠B=
，∠C=
.2、写一写定理“平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似”的证明过程.☆
合作探究
☆1、如图，梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC与BD交于点O，若△OAB∽△OCD（1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角； （3）若AB=10,OB=8,
OA=9,
CD=6．求OD、OC的长2、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，
AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
☆
归纳反思
☆本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？☆达标检测
☆
1、
△ABC∽△DEF的相似比是m，△DEF∽△ABC的相似比是n，则mn
=
.
2、如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，则图中共有相似三角形
对，请写出来.3、如图，DC∥AB，EF∥OB.求证：△OCD∽△FAE.第4课时　平行线分线段成比例及其推论
1．了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；(重点)
2．会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
梯子是我们生活中常见的工具．
如图是一个梯子的简图，经测量，AB＝BC，AD∥BE∥CF…，那么DE和EF相等吗？
二、合作探究
探究点一：平行线分线段成比例的基本事实
如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交这三条直线于点A，B，C，直线DF分别交这三条直线于点D，E，F，若AB＝3，DE＝，EF＝4，求BC的长．
解：∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝3，DE＝，EF＝4，
∴根据平行线分线段成比例可得＝，
即BC＝·AB＝×3＝.
方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长．
探究点二：平行线分线段成比例基本事实的推论
如图所示，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于(　　)
A．3
B．4
C．6
D．8
解析：由DE∥BC可得＝，即＝，∴AC＝8.故选D.
易错提醒：在由平行线推出成比例的线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上．
探究点三：运用平行线分线段成比例基本事实作图
如图，已知线段AB，求作线段AB的四等分点．
解析：这里的四等分点的作法，不是用刻度尺去量取，而是采用尺规作图的方法，所以可考虑平行线等分线段定理去作图．
解：作法：(1)作射线AC；(2)在射线AC上顺次截取AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝任意长；(3)连接A4B；(4)过点A1、A2、A3分别作A4B的平行线，交AB于点B1、B2、B3，点B1、B2、B3即为所求的四等分点．
三、板书设计
通过教学，培养学生的观察、分析和概括能力，了解特殊与一般的辩证关系．再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，锻炼识图能力和推理论证能力．在探索过程中，体验探索结论的方法和过程，发展学生的推理能力和有条理的说理表达能力．第2课时　相似三角形的性质定理3及应用
1．理解并初步掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方；(重点)
2．相似三角形的面积比在实际中的应用．(难点)
一、情境导入
如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与AB平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△CDE的面积为10平方米，CE长为4m，AE长为6m.根据所测得的数据，请你计算出整个花坛△ABC的面积．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、合作探究
探究点一：相似三角形的面积比
如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
解：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，∴CF是△ACD的中线，F是AD的中点．∵点E是AB的中点，∴EF∥BD，且＝.∴△AEF∽△ABD.∴＝()2＝.∵S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，∴＝，∴S△ABD＝8，即△ABD的面积为8.
易错提醒：在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比．在本题中不要犯由EF∶BD＝1∶2得S△AEF∶S△ABD＝1∶2，或S△AEF∶S四边形BDFE＝1∶2的错误．
探究点二：相似三角形性质定理的应用
某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底长分别为10m，20m的梯形空地上种植花木．
(1)他们在△AMD和△CMB地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后，共花了160元，请计算种满△CMB地带所需的费用；
(2)若其余地带有玫瑰和茉莉两种花可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，则应选择种哪种花可以刚好用完所筹集的资金？
解：(1)∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴△AMD∽△CMB.∴＝()2＝＝.∵种植△AMD地带花了160元，∴S△AMD＝160÷8＝20(m2)．∴S△CMB＝20×4＝80(m2)．∴种满△CMB地带所需的费用为80×8＝640(元)；
(2)设△AMD的高为h1，△CMB的高为h2，梯形的高为h.∵S△AMD＝×10h1＝20，∴h1＝4(m)．∵＝，∴h2＝8(m)．∴h＝h1＋h2＝4＋8＝12(m)．∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)·h＝×30×12＝180(m2)．∴S△AMB＋S△DMC＝180－20－80＝80(m2)．若种植玫瑰，共需花费160＋640＋80×12＝1760(元)；若种植茉莉，共需花费160＋640＋80×10＝1600(元)．∴选择种植茉莉可以刚好用完所筹集的资金．
方法总结：(1)要求种满△CMB地带的费用，只要求出△AMD与△CMB的面积之比，然后根据相似三角形来求解即可；(2)关键是要求出梯形ABCD的面积，由(1)可求出△AMD的面积，则可求△AMD的边AD上的高，由△AMD∽△CMB可求出△CMB的边BC上的高，而梯形ABCD的高即为△AMD与△CMB的高之和，故梯形的面积可求．
三、板书设计
相似三角形的面积之比：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力．学生通过交流、归纳，总结相似三角形的面积比与相似比的关系，体验化归思想，体会知识迁移、温故知新的好处．运用相似多边形的面积比解决实际问题，训练学生的运用能力，增强学生对知识的应用意识．第3课时　反比例函数的应用
1．会根据实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型；(重点)
2．能利用反比例函数解决实际问题．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
我们都知道，气球内可以充满一定质量的气体．
如果在温度不变的情况下，气球内气体的气压p(kPa)与气体体积V(m3)之间有怎样的关系？你想知道气球在什么条件下会爆炸吗？
二、合作探究
探究点一：生活中的反比例函数
做拉面的过程中，渗透着反比例函数的知识．将一定体积的面团做成拉面，苗条的总长度y(m)是面条粗细(横截面积)S(mm2)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)写出y与S之间的函数表达式；
(2)当面条的横截面积为1.6mm2时，面条的总长度是多少米？
(3)要使面条的横截面积不多于1.28mm2，面条的总长度至少是多少米？
解：(1)由题意可设y与S之间的函数关系式为y＝.∵点P(4，32)在图象上，
∴32＝，∴k＝128.
∴y与S之间的函数表达式为y＝(S>0)；
(2)把S＝1.6mm2代入y＝中，得y＝＝80.
∴当面条的横截面积为1.6mm2时，面条的总长度是80m；
(3)把S＝1.28mm2代入y＝中，得y＝100.
由图象可知，要使面条的横截面积不多于1.28mm2，面条的总长度至少应为100m.
方法总结：解决实际问题的关键是认真阅读，理解题意，明确基本数量关系(即题中的变量与常量之间的关系)，抽象出实际问题中的反比例函数模型，由此建立反比例函数，再利用反比例函数的图象与性质解决问题．
探究点二：物理学科中的反比例函数
某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干木板，构筑成一条临时通道．木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)请直接写出这一函数表达式和自变量的取值范围；
(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？
解：(1)设木板对地面的压强p(Pa)与木板面积S(m2)的反比例函数关系式为p＝(S>0)．
因为反比例函数的图象经过点A(1.5，400)，所以k＝600.
所以反比例函数的关系式为p＝(S>0)；
(2)当S＝0.2时，p＝＝3000，即压强是3000Pa；
(3)由题意知≤6000，所以S≥0.1，即木板面积至少要有0.1m2.
方法总结：本题渗透了物理学中压强、压力与受力面积之间的关系p＝，当压力一定时，p与S成反比例．另外利用反比例函数的知识解决实际问题，要善于发现实际问题中变量之间的关系，从而进一步建立反比例函数模型．
三、板书设计
经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题，提高运用代数方法解决问题的能力，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识．通过反比例函数在其他学科中的运用，体验学科整合思想．3.二次函数表达式的确定
教学目标：
1．能根据实际问题列出函数关系式、
2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。
3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。
重点难点：
根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是教学的重点又是难点。
教学过程：
一、复习旧知
1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y＝6x2＋12x；
(2)y＝－4x2＋8x－10
2.
以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值 说出两个函数的最大值、最小值分别是多少
二、范例
有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决第2页提出的两个实际问题；
例1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大
解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞O，所以O＜x＜1O。
围成的花圃面积y与x的函数关系式是
y＝x(20－2x)
即y＝－2x2＋20x
配方得y＝－2(x－5)2＋50
所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50。
因为x＝5时，满足O＜x＜1O，这时20－2x＝10。
所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。
例2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大
教学要点
(1)学生阅读第2页问题2分析，
(2)请同学们完成本题的解答；
(3)教师巡视、指导；
(4)教师给出解答过程：
解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。
商品每天的利润y与x的函数关系式是：
y＝(10－x－8)(100＋1OOx)
即y＝－1OOx2＋1OOx＋200
配方得y＝－100(x－)2＋225
因为x＝时，满足0≤x≤2。
所以当x＝时，函数取得最大值，最大值y＝225。
所以将这种商品的售价降低÷元时，能使销售利润最大。
例3。用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大 最大透光面积是多少
先思考解决以下问题：
(1)若设做成的窗框的宽为xm，则长为多少m
(m)
(2)根据实际情况，x有没有限制 若有跟制，请指出它的取值范围，并说明理由。
让学生讨论、交流，达成共识：根据实际情况，应有x＞0，且＞0，即解不等式组，解这个不等式组，得到不等式组的解集为O＜x＜2，所以x的取值范围应该是0＜x＜2。
(3)你能说出面积y与x的函数关系式吗
(y＝x·，即y＝－x2＋3x)
详细解答课本。
小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
(2)研究自变量的取值范围；
(3)研究所得的函数；
(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值：
(5)解决提出的实际问题。
三、课堂练习：
练习第1、2、3题。
四、小结：　
1．通过本节课的学习，你学到了什么知识 存在哪些困惑
2．谈谈你的收获和体会。
五、作业：
教后反思：第2课时　仰角与俯角问题
1．巩固解直角三角形有关知识；
2．能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角的问题．(重点、难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
秋千是我们生活中常见的娱乐器材，如图所示是秋千的简图，秋千拉绳(OA)的长为3m，静止时秋千踏板(B，大小忽略不计)距离地面(BE)的距离0.5m，秋千向两边摆动时，若最大的摆角(摆角是指秋千拉绳与铅垂线的夹角∠AOB或∠COB)约为52°.
你能否通过所学知识求出秋千踏板与地面的最大距离约为多少？
二、合作探究
探究点：仰角、俯角问题
【类型一】
仰角问题
如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°，求山高．(结果保留根号)
解析：要求AC，无论是在Rt△ACD中，还是在Rt△ABC中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC看成已知，用含AC的代数式表示BC和DC，由BD＝1000m建立关于AC的方程，从而求得AC.
解：在Rt△ABC中，＝tanB＝tan30°＝，∴BC＝AC.在Rt△ACD中，＝tan∠ADC＝tan45°＝1，∴DC＝AC.∴BD＝BC－DC＝AC－AC＝(－1)AC＝1000，∴AC＝＝500(＋1)(m)．
答：山高为500(＋1)m.
方法总结：在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解．
【类型二】
俯角问题
如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是________．
解析：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，∴BC＝＝＝1000(m)，故填1000m.
方法总结：解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形．
如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB，已知观察点C到旗杆的距离(CE的长度)为8m，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底边的俯角∠ECB为45°，那么，旗杆AB的高度是(　　)
A．(8＋8)m
B．(8＋8)m
C．(8＋)m
D．(8＋)m
解析：由题意可知：在Rt△BCE中，∵CE＝8m，∠ECB＝45°，∠ACE＝30°，∴BE＝CE＝8(m)，AE＝EC·tan∠ACE＝8×tan30°＝(m)，∴AB＝AE＋BE＝(8＋)m.故选D.
方法总结：解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形．
三、板书设计
本次教学过程中涉及实际应用问题，在合作探究环节可引导学生探究几个具有代表性的数学模型，从这些数学模型中总结规律并积累解题技巧，培养学生的创新意识和逻辑思维能力．22．1　比例线段
第1课时　相似图形
1．了解相似图形和相似比的概念；
2．会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形；(重点)
3．掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算．(难点)
一、情境导入
观察以下三组图形：
每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？
二、合作探究
探究点一：相似图形
如下图所示的四组图形，相似的有(　　)
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
解析：由相似图形的概念可知，只有(1)(3)(4)形状相同．①形状相同是指一模一样，没有一点不同之处，(2)中的图形虽然都是圆柱，但是形状不相同，所以不是相似图形；②只要形状相同，即使位置不同，也应看成是相似图形，如(4)组就是这样．故选C.
易错提醒：看图形是否相似，要紧扣定义“形状相同，大小可以不同”，但大小相同也是相似的一种情形．
探究点二：相似多边形与相似比
【类型一】
相似多边形
下列图形都相似吗？为什么？
(1)所有正方形；(2)所有矩形；(3)所有菱形；(4)所有等边三角形；(5)所有等腰梯形；(6)所有等腰三角形；(7)所有等腰直角三角形；(8)所有正五边形．
解：(1)相似，因为正方形每个角都等于90°，所以对应角相等，而每个正方形的四条边长都相等，所以对应边长度的比相等；
(2)不一定，虽然矩形的每个角都等于90°，对应角相等，但是对应边长度的比不一定相等，如图①；
(3)不一定，每个菱形的四条边长都相等，所以两菱形的对应边长度的比相等，但是它们的对应角不一定相等，如图②，显然两个菱形的对应角是不相等的；
(4)相似，因为每个等边三角形的三条边都相等，所以两个等边三角形的对应边长度的比相等，并且对应角都等于60°；
(5)不一定，如图③，对应边长度的比不相等，对应角不相等；
(6)不一定，如图④，对应边长度的比不相等，对应角不相等；
(7)相似，因为等腰直角三角形的三个角分别是45°，45°，90°，所以对应角相等，而且每一个三角形的三边的比都是1∶1∶，所以对应边长度的比相等；
(8)相似，因为正五边形的各角都等于108°，所以对应角相等，而且正五边形的各边都相等，所以对应边长度的比相等．
方法总结：相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法，在判定两个多边形相似时，必须同时具备两点：对应角相等，对应边长度的比相等．
【类型二】
相似比
已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，试根据图中所给出的数据求出四边形EFGH和四边形ABCD的相似比．
解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，且∠A＝∠E＝80°，∠B＝∠F＝75°，
∴AB与EF是对应边．
∵＝＝，
∴四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为.
方法总结：找准相似多边形的对应边是解决此类问题的关键，方法类似于找全等三角形对应边和对应角的方法．
三、板书设计
在探索相似多边形特征的过程中，让学生运用“观察－比较－猜想”分析问题，进一步发展学生观察、分析判断、归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用，培养与他人交流、合作的意识和品质．在解决问题过程中体会学习数学的乐趣．第23章
解直角三角形
23.1
锐角的三角函数
1.锐角的三角函数
第1课时
正切
教学目标:
1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
2、了解计算一个锐角的正切值的方法。
教学重点：
理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
教学难点：
计算一个锐角的正切值的方法。
教学过程：
一、观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？
图（1）
图（2）
[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形
答：图
的台阶更陡，理由
二、探索活动
1、思考与探索一：
除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述
台阶的倾斜程度呢？
可通过测量BC与AC的长度，
再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。
（思考：BC与AC长度的比与台
阶的倾斜程度有何关系？）答：_________________.
讨论：你还可以用其它什么方法？
能说出你的理由吗？答：________________________.
2、思考与探索二：
（1）如图，一般地，如果锐角A的大小已确定，
我们可以作出无数个相似的RtAB1C1，RtAB2C2，
RtAB3C3……，那么有：Rt△AB1C1∽_____∽____……
根据相似三角形的性质，
得：＝_________＝_________＝……
（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的
大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的
邻边的比值也_________。
3、正切的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边。我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A_______，记作______。
即：tanA＝________＝__________
（你能写出∠B的正切表达式吗？）试试看.
4、牛刀小试
根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值。
（通过上述计算，你有什么发现？___________________.）
5、思考与探索三：
怎样计算任意一个锐角的正切值呢？
（1）例如，根据书本P39图7—5，我们可以这样来确定tan65°的近似值：当一个点从点O出发沿着65°线移动到点P时，这个点向右水平方向前进了1个单位，那么在垂直方向上升了约2.14个单位。于是可知，tan65°的近似值为2.14。
（2）请用同样的方法，写出下表中各角正切的近似值。
θ
10°
20°
30°
45°
55°
65°
tanθ
2.14
（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正切值。
（4）思考：当锐角α越来越大时，α的正切值有什么变化？
三、随堂练习
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，
则tanA＝________，tanB＝______。
2、如图，在正方形ABCD中，点E为
AD的中点,连结EB，设∠EBA＝α，则tanα＝_________。
四、请你说说本节课有哪些收获？
五、作业
六、拓宽与提高
1、如图是一个梯形大坝的横断面，
根据图中的尺寸，请你通过计算判断
左右两个坡的倾斜程度更大一些？
2、在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标
分别为A（－4,1），B（－1，3），C（－4,3），
试求tanB的值。
A
C1
C2A
C3
B1
B2
B3
A
对边b
C
对边a
B
斜边c
B
C
A
1
B
A
C
3
5
A
2
C
1
B
A
BA
CBA
DCBA
ECBA
1.2m
2.5m
1m
(单位：米)23．2　解直角三角形及其应用
第1课时　解直角三角形
1．了解并掌握解直角三角形的概念；
2．掌握解直角三角形的依据并能熟练解题．(重点、难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
在直角三角形中，除了直角外，一共有五个元素，即三角形的三条边和两个锐角．
尝试探究已知哪些元素能够求出其他元素．
二、合作探究
探究点一：解直角三角形
【类型一】
已知斜边和一直角边解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2，a＝3，解这个直角三角形．
解析：已知一条斜边和一条直角边，可以先利用勾股定理求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的度数．
解：在Rt△ABC中，b＝＝＝.
∵sinA＝＝＝，∴∠A＝60°.
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
方法总结：在解直角三角形时，可以画一个直角三角形的草图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，进而结合勾股定理、三角形内角和定理、锐角三角函数求解．
【类型二】
已知两直角边解这个直角三角形
已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝－1，b＝3－，解直角三角形．
解析：根据直角三角形中各元素之间的关系，选择合适的式子求解．
解：由tanB＝，得tanB＝＝.
∴∠B＝60°，则∠A＝30°.
由sinA＝，得c＝＝＝2－2.
【类型三】
已知直角三角形一边一锐角解直角三角形
在Rt△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，∠C＝90°，∠B＝60°，a＝4，解这个三角形．
解析：如图所示，本题实际上是要求∠A、b、c的值，可根据直角三角形中各元素之间的关系解决．
解：∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°，∴c＝2a＝2×4＝8.
由tanB＝，知b＝a·tanB＝4·tan60°＝4.(或b＝＝＝4)
方法总结：解直角三角形时，正确选择关系式是关键，选择关系式遵循以下原则：(1)尽量选可以直接应用原始数据的关系式；(2)选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算．
探究点二：解直角三角形的简单应用
【类型一】
利用直角三角形求面积
在△ABC中，∠A＝55°，b＝20cm，c＝30cm，求三角形ABC的面积S△ABC.(精确到0.1cm2)
解析：(1)求三角形面积需要作高；(2)需构造直角三角形．
解：作AB上的高CD，在Rt△ACD中，
∵CD＝AC·sinA＝b·sinA.
∴S△ABC＝AB·CD＝bc·sinA.
∵∠A＝55°，b＝20cm，c＝30cm，
∴S△ABC＝bc·sinA＝×20×30·sin55°
＝×20×30×0.8192＝245.8(cm2)．
方法总结：求三角形面积可先作高构造直角三角形，然后用已知量的三角函数表示出高，代入数据即可求得．
【类型二】
构造直角三角形解决问题
如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将此矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长．
解析：由题意可知A点和C点关于直线EF对称，连接AC，则AC⊥EF，且OA＝OC，于是构造了Rt△AOE，利用解直角三角形的知识求出OE即可．
解：如图，连接AC，则AC⊥EF，OA＝OC，∴∠AOE＝90°.又∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∴OA＝5.在Rt△ADC中，tan∠DAC＝＝＝.在Rt△AOE中，tan∠EAO＝，∴OE＝AO·tan∠EAO＝AO·tan∠DAC＝5×＝.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∴EF＝2OE＝2×＝.
方法总结：折叠后折痕两边的图形成轴对称，从而利用对称性构造直角三角形，并利用解直角三角形求出线段的长．
三、板书设计
教学过程中引导学生对所学理论知识进行系统的复习，归纳整合成一个知识网络，能够清楚认识到各个知识点之间的联系，为接下来综合应用的学习打下基础．教学过程中还应当把握教学进度，确保学生能够牢牢把握基础知识．21.4
二次函数的应用
第2课时
建立二次函数模型解决实际问题
教学思路（纠错栏）教学思路（纠错栏）
教学目标：通过建立数学模型，用二次函数的知识解决有关实际问题．教学重点：根据具体的情境建立适当的平面直角坐标系，将有关线段的长度转化为坐标系中点的坐标,求出函数的解析式，从而解决实际问题。预设难点：建立适当的平面直角坐标系，并用简便的方法求出二次函数解析式。☆
预习导航
☆链接：（1）一抛物线如右图所示，则它的解析式为_________
____________；当x=1时，y=___________.（2）顶点为（－3，4）且过点（2，－1）的抛物线的解析式为
___．（3）当一枚火箭竖直向上发射后，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+150t+10来表示，则当t=_____s时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是__________m.☆
合作探究
☆1、如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高m时，水平距离4m．（1）试求铅球运行高度与水平距离之间的函数关系式；（2）铅球落地点为C，求此次铅球被推出的距离OC．2、某单行隧道横断面由抛物线与矩形ABCD的三边组成，尺寸如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．☆
归纳反思
☆实际问题
建立二次函数模型
求出函数解析式
解决问题☆
达标检测
☆1、某桥的拱桥是抛物线形，建立如图1所示的坐标系，其函数解析式为，当水位在AB位置时，水面宽AB为30m，这时水面离桥顶的高度h是（
）A．5m
B．6m
C．8m
D．9m2、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图2），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（
）A．3.5m
B．4m
C．4.5m
D．4.6m3、一抛物线形桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细)，拱肋的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米．以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）正中间系杆OC的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由．
O
x
y
-1
3
-3
1
D
B
C
A
图1
图2
h
2.5
l
y
x
A
B
E
F
C
O22.3
相似三角形的性质
第2课时
相似三角形的性质定理3及其应用
教学目标
【知识与技能】
理解并掌握相似三角形面积比等于相似比的平方,并能用来解决简单的问题.
【过程与方法】
探索相似多边形面积比等于相似比的平方,体验化归思想.
【情感、态度与价值观】
经历探索相似三角形性质的过程,并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观,体验解决问题策略的多样性.
重点难点
【重点】
理解并掌握相似三角形面积比等于相似比的平方.
【难点】
探索相似多边形面积比等于相似比的平方.
教学过程
一、复习引入
1.回顾相似三角形的概念及判定方法.
2.复习相似多边形的定义及相似多边形的对应边、对应角、周长的性质.
二、新课教授
探究:
(1)如图(1),△ABC∽△A1B1C1,相似比为k1,它们的对应高的比是多少 它们的面积比是多少
通过上节课的学习,我们得到了相似三角形的性质1:相似三角形对应高的比等于相似比.
∴==k1.
由上述结论,我们有:
==.
相似三角形的性质3:相似三角形面积的比等于相似比的平方.
(2)如图(2),四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1,相似比为k2,它们的面积比是多少
分析:∵==,
∴==.
相似多边形的性质2:相似多边形面积的比等于相似比的平方.
三、例题讲解
【例1】　如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,△ABC的,面积是12,求△DEF的面积.
解:△ABC和△DEF中,
∵AB=2DE,AC=2DF,
∴==.
又∠A=∠D,
∴△ABC∽△DEF,相似比为.
∴△DEF的面积=()2×12=3.
【例2】　如图,△ABC的面积为25,直线DE平行于BC分别交AB、AC于点D、E.如果△ADE的面积为9,求的值.
解:∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,
∴△ADE∽△ABC.
∴==.
解方程,得=.
∴=.
【例3】　如图,将△ABC沿BC方向平移,△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半,BC=2,求△ABC平移的距离.
解:根据题意,可知EG∥AB,
∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A,
∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似),
∴=()2=(相似三角形的面积比等于相似比的平方),
即=,
∴EC2=2,
∴EC=,
∴BE=BC-EC=2-,
即△ABC平移的距离为2-.
四、巩固练习
1.填空:
(1)如果两个相似三角形对应边的比为3∶5,那么它们的相似比为　　　　,周长的比为　　　　,面积的比为　　　　;
(2)如果两个相似三角形面积的比为3∶5,那么它们的相似比为　　　　,周长的比为　　　　;
(3)连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于　　　　,面积比等于　　　　;
(4)两个相似三角形对应的中线分别是6cm和18cm,若较大三角形的周长是42cm,面积是12cm2,则较小三角形的周长为　　　　cm,面积为　　　cm2.
【答案】(1)　　　(2)　
(3)　　(4)14　
2.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗 如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.
【答案】相似;面积之比为4∶1.
五、课堂小结
性质
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
即:如果△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,
那么=()2=k2.
相似多边形的性质2:相似多边形面积的比等于相似比的平方.
教学反思
本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形面积比等于相似比的平方.通过探索相似多边形面积的比等于相似比的平方让学生体验化归思想,学会应用面积的比等于相似比的平方来解决简单的问题.因此本课的教学设计突出了“相似比 相似三角形面积的比 相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过程,让学生深刻体验到有限数学归纳法的魅力.23.2
解直角三角形及其应用
第4课时
坡度问题
教学目标
【知识与技能】
会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题.
【过程与方法】
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透数形结合的思想方法
【情感、态度与价值观】
使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.
重点难点
【重点】
解决有关坡度的实际问题.
【难点】
理解坡度的概念和有关术语.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:在现实生活中,经常会有建筑大坝、修地基等,它们的截面上底和下底不是同样宽的,侧面是有斜坡的,且倾斜程度是不一样的,这些在设计图纸上都要注明,以便施工时遵循.
教师多媒体课件出示:
例:如图,一段路基的横断面是梯形,高为4.2米,上底的宽是12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1米)
师:已知一个大坝的横截面是梯形,坝顶宽6
m,坝高23
m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1
m).
学生思考.
二、问题探究
1.回忆旧知识.
师:我们先来回忆一下坡度与坡角的概念.
学生看课本.
老师作图:
师:坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度或坡比,通常用小写字母i表示,坡面与水平面的夹角叫做坡角或倾斜角,一般用α表示.坡度与坡角的关系是:坡度越大,坡角越大.
2.练习.
教师多媒体课件出示:
(1)一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为　　　;
(2)坡度通常写成1∶　　　的形式.如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为　　　;
(3)等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为　　　,坡度为　　　;
(4)堤坝横断面是等腰梯形,(如图所示)
若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i=　　,AD=　　　;
若AB=10,CD=4,i=,则h=　　　.
师:我们再来看几个练习,以加深对坡度和坡角的理解.
教师找学生回答,然后集体订正.
【答案】(1)　(2)m　20°48'　(3)4∶3　5　0.6
三、例题讲解
【例1】　如图,一船以20n
mile/h的速度向东航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上,继续航行1h到达B处,再测得灯塔C在北偏东30°的方向上.已知灯塔C四周10n
mile内有暗礁,问这船继续向东航行是否安全
分析:这船继续向东航行是否安全,取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10n
mile.
解:过点C作CD⊥AB于点D,设CD=x
n
mile.
在Rt△ACD中,AD==.
在Rt△BCD中,BD==.
由AB=AD-BD,得
AB=-=20,
即-=20,
解方程,得x=10>10.
答:这船继续向东航行是安全的.
【例2】　如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC=9.8
m,路基高BE=5.8
m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i'=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1
m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值.
解:过点C作CD⊥AD于点F,得
CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.
∵BE=5.8
m,=,=,
∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m).
∴AD=AE+FE+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).
由tanα=i=,tanβ=i'=,得
α≈32°,β≈21°.
答:铁路路基下底宽为33.6
m,斜坡的坡角分别为32°和21°.
【例3】　已知:在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)
,这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.
求证:tanα==k.
证明:由α是锐角,可知直线y=kx+b是上升的,即函数y=kx+b的值随x值的增大而增大.
如图,设x1在Rt△P2P1R中,tanα===.
∵P1、P2都在直线y=kx+b上,
∴y1=kx1+b,　　　　①
　y2=kx2+b.　　　　②
由②-①,得y2-y1=k(x2-x1),
∴k=.
即tanα==k.
四、巩固练习
1.为抗洪需修筑一坡度为3∶4的大坝,如果此大坝斜坡的坡角为α,那么α的正切值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【答案】D
2.如图,防洪大坝的横断面是梯形,坝高AC为6米,背水坡AB的坡度i=1∶2,则斜坡AB的长为　　　米.
【答案】6
3.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10
m,此时
他与出发地的垂直距离为2
m,则这个坡面的坡度为　　　.
【答案】1∶2
4.如图,斜坡AC的坡度为1∶,AC=10米,坡顶有一旗杆BC,旗杆的顶端点B与点A用一条彩带AB相连,AB=14米,求旗杆BC的高度.
【答案】设旗杆高为x,在Rt△ADC中,CD=AC=5,AD=AC=5,则在△ADB中,AD2+BD2=AB2,即(5)2+(5+x)2=142,解得x=6,所以旗杆高6米.
5.如图,梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图(i=1:是指坡面的铅直高度DE与水平长度CE的比),∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD的面积.(结果保留三个有效数字,参考数据:≈1.732)
【答案】52.0
师:请同学们认真思考上面的问题,然后在草稿纸上完成解答过程.
教师巡视,对有疑问的学生进行指导.
五、课堂小结
师:本节课,我们学习了什么内容
学生回答.
师:你们还有什么不懂的地方吗
学生提问,教师解答.
教学反思
在教学过程中要多给学生提供练习的机会,让学生自己来作辅助线.在解直角三角形时让学生讨论,各抒己见.在有多种方法时,让学生讨论哪一种方法简单.这节课应用了坡比、坡度与解直角三角形的结合,而坡比、坡度的概念有些同学可能忘记了或记得不牢,难于灵活应用,所以在本节课开头我带领学生复习并练习了这些概念,使他们能熟练地在下面的练习中应用.第3课时　相似三角形的判定定理2
1．掌握相似三角形的判定定理2；(重点)
2．能熟练地运用相似三角形的判定定理2.(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，和都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′的大小(或∠C与∠C′的大小)，判断△ABC与△A′B′C′相似吗？
二、合作探究
探究点一：相似三角形的判定定理2
如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是(　　)
A．AB·CD＝BD·BC
B．AC·CB＝CA·CD
C．BC2＝AC·DC
D．BD2＝CD·DA
解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似．本题中，∠C是△ABC和△BDC的公共角，关键是找出∠C的两边对应成比例，即＝或BC2＝AC·DC.故选C.
方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断．
探究点二：相似三角形的判定定理2的应用
如图所示，零件的外径为a，要求它的厚度x，需求出内孔的直径AB，但不能直接量出AB，现用一个交叉长钳(两条尺长AC和BD相等)去量，若OA∶OC＝OB∶OD＝n，且量得CD＝b，求厚度x.
解：因为OA∶OC＝OB∶OD，∠AOB＝∠COD，所以△AOB∽△COD，故＝＝n，可得AB＝bn，所以x＝.
方法总结：欲求厚度x，根据题意较易推出△AOB∽△COD，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于x的比例式，解之即可．
如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，求点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，经过多长时间后△PBQ与△ABC相似？
解：设经过ts后，△PBQ与△ABC相似．
(1)当＝时，
△PBQ∽△ABC.
此时＝，解得t＝4.
即经过4s后△PBQ与△ABC相似；
(2)当＝时，△PBQ∽△CBA.
此时＝，解得t＝1.6.
即经过1.6s后△PBQ与△ABC相似．
综上所述可知，点P，Q同时出发，经过1.6s或4s后△PBQ与△ABC相似．
易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△PBQ的形状也会发生变化，因此既要考虑△PBQ∽△ABC的情况，还要考虑△PBQ∽△CBA的情况．要证明△PBQ与△ABC相似，很显然∠B为公共角，因此可运用两边对应成比例，且夹角相等列方程求解，同时要注意分类讨论．
三、板书设计
相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，进一步发展学生的探究、交流能力．感受两个三角形相似的判定定理2与全等三角形判定方法(SAS)的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．第2课时　正弦和余弦
1．理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算；(重点、难点)
2．在直角三角形中求正弦值、余弦值．(重点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A)与水面(BC)的高度(AB)．斜坡与水面所成的角(∠C)可以用量角器测出来，水管的长度(AC)也能直接量得．
你能求出它的高度(AB)吗？
二、合作探究
探究点一：正弦的定义
【类型一】
求正弦值
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝5，求sinA和tanA的值．
解析：先根据勾股定理求出b的长，再根据锐角三角函数的定义求解．
解：在Rt△ABC中，c＝5，a＝3，
∴b＝＝＝4，
∴sinA＝＝，tanA＝＝.
方法总结：解决这类问题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的其他边的长，再利用锐角三角函数的定义求三角函数的值．
【类型二】
已知锐角三角形的一个三角函数值，求其他三角函数的值
已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinA＝，tanB＝，a2＋b2＝c2；由sinA＝知，若设a＝3x，则c＝5x.结合a2＋b2＝c2，得b＝4x.所以tanB＝＝＝.故选A.
方法总结：解决此类问题的关键是要正确地画出草图，根据条件将已知角的三角函数值转化为直角三角形中两边的关系，利用勾股定理求出第三边，然后计算出待求角的三角函数值．
探究点二：余弦的定义
【类型一】
求余弦值
如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB＝________.
解析：如图所示，连接AB，设每个小正方形网格边长为1，则OA＝＝2，OB＝AB＝＝，所以AB2＋OB2＝20，OA2＝20，AB2＋OB2＝OA2，故∠ABO＝90°，cos∠AOB＝＝＝.
方法总结：在不知道角度的情况下，求锐角的三角函数值，应先将其放置在直角三角形中，求出各边的长，再根据概念解题．
【类型二】
构造直角三角形求余弦值
如图，已知点P在第一象限，其坐标是(a，b)，则cosα等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：图中无直角三角形，需构造直角三角形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解．过点P作PH⊥x轴，垂足为点H，如图．在Rt△OPH中，∵PH＝b，OH＝a，∴OP＝＝，∴cosα＝＝.故选C.
方法总结：也可以过点P作PM⊥y轴于点M，注意点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|，若点P不在第一象限，则要注意字母的符号．
三、板书设计
正弦和余弦
注重学生对锐角正弦、余弦概念的理解．加强学生对数学思想方法的理解和应用，注意数形结合思想的应用．培养学生熟练运用方程思想求直角三角形中的某些未知元素的能力．通过数学建模把一些实际问题抽象为数学模型，从而提高分析问题、解决问题的能力．21.5
反比例函数
第1课时
反比例函数
教学思路（纠错栏）教学思路（纠错栏）
教学目标：1．知道反比例函数的意义，掌握反比例函数的一般形式．2．学会建立反比例函数关系式解决问题的方法．3．通过探索反比例函数的过程，提高分析问题、解决问题的能力．教学重点：理解和领会反比例函数的概念。预设难点：领悟反比例函数的概念。☆
预习导航
☆一、链接：1、什么叫正比例函数？写出它们的一般式.2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U＝220V时，电流I和电阻R成
比例关系；3、当一个矩形的面积一定时，长和宽成
比例关系.（填“正”“反”）二、导读1、某村有耕地200hm2，人口数量x逐年发生变化。干村人均占有的耕地面积yhm2与人口数量之间有怎样的关系？2、某市距省城248km，汽车有该市驶往省城，汽车行驶全程所需时间th，与形式的平均速度vkm/h之间有怎样的关系？3、当电压一定时，通过电阻的电流I与电阻R有怎样的关系？上述函数关系式都具有的形式，两个变量之间的关系就是小学学过的反比例关系。由此给出反比例函数的概念：一般地，函数（k为常数，且k≠0）叫做反比例函数。反比例函数的自变量x不能为零.☆
合作探究
☆1、当n取何值时，y=(n2+2n)是反比例函数？2、已知y+3与x成反比例,且当x=1时,y=4,求出函数表达式,并判断是哪类函数 3、一定质量的氧气放在容器中，体积V与它的密度ρ成反比例函数，当它的体积V是10m3时，它的密度ρ=1.43kg/m3。（1）写出ρ与V的函数关系；（2）当氧气密度是7.15
kg/m3时，容器的容积是多少m3．☆
归纳反思
☆我们教学了反比例函数的定义,并归纳总结出反比例函数的表达式为
(k为常数,k≠0),自变量x
.☆
达标检测
☆1．下列函数中，哪些y是x的反比例函数？，，，，
xy
=
5，2．若函数y=(m+1)是反比例函数，求m的值．3．已知参加施工的人数y与完成某项工程的时间x天成反比例关系。当施工人数为4时，10天能完成这项工程。现要求8天完成这项工程，应选派多少人去施工？21.5
反比例函数
第3课时
反比例函数的应用
一、教学目标
1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力
二、重点、难点
1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式
3．难点的突破方法：
用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。
三、教学过程：
寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗？
四、例习题分析
例1．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）
（1）写出这个函数的解析式；
（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
分析：题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可以求出P与V的解析式，得，（3）问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即当P不超过144千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P随V的增大而减小，可先求出气压P＝144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于立方米
五、随堂练习
1．京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为
2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式
3．一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10时，＝1.43，（1）求与V的函数关系式；（2）求当V＝2时氧气的密度
答案：＝，当V＝2时，＝7.15
六、课后练习
1．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）
（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？
（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？
答案：，v＝240，t＝12
2．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天
（1）则y与x之间有怎样的函数关系？
（2）画函数图象
（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？
七、教学反思
：22.4
图形的位似变换
第2课时
图形在平面直角坐标系中的位似变换
教学目标
1．巩固位似图形及其有关概念．
2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
重点、难点
1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．
2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
一.创设情境
活动1
教师活动：提出问题：
（1）如图27.3-4(1)，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
图27.3-4
(2)如图27.3-4(2)，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
学生活动:
学生小组讨论，共同交流,回答结果．
教师活动：分析：略
解：略
【归纳】
位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
二、在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．
活动2
1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标；
（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标；
（3）将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，写出A3、B3、C3三点的坐标．
27.3-6
2．图27.3-6所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？
分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．
小结
1、谈谈你这节课学习的收获.
2、课后作业2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
教学目标：
1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
重点难点：
重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－、(－，)是教学的难点。
教学过程：
一、提出问题
1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系
(函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)
3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质
(当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1)
4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗
5．你能画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗
二、解决问题
由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－x2＋x－的图象，进而观察得到这个函数的性质。　　
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－6
－4
－2
－2
－2
－4
－6
…
(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝－x2＋x－的图象。
说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。
(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。
让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质；
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2
三、做一做
1．请你按照上面的方法，画出函数y＝x2－4x＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗
教学要点
(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；
(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。
2．通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值 这个值是多少
教学要点
(1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系 这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系
以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 你能把结果写出来吗
教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；
y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c
＝a[x2＋x＋()2－()2]＋c
＝a[x2＋x＋()2]＋c－
＝a(x＋)2＋
当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。
对称轴是x＝－b/2a，顶点坐标是(－，)
四、课堂练习：　　
练习第1、2、3题。
五、小结：　通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？
六、作业：　
1．填空：
(1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是_______；
(2)抛物线y＝2x2－2x－的开口_______，对称轴是_______；
(3)抛物线y＝－2x2－4x＋8的开口_______，顶点坐标是_______；
(4)抛物线y＝－x2＋2x＋4的对称轴是_______；
(5)二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______．
2．画出函数y＝2x2－3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。
3.
通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y＝3x2＋2x；
(2)y＝－x2－2x
(3)y＝－2x2＋8x－8
(4)y＝x2－4x＋3
4．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质
教后反思：21.4
二次函数的应用
第1课时
二次函数在面积最值问题中的应用
教学思路（纠错栏）教学思路（纠错栏）
教学目标：1、会利用二次函数的知识解决面积、利润等最值问题．2、经过面积、利润等最值问题的教学，学会分析问题，解决问题的方法，并总结和积累解题经验．教学重点：利用二次函数求实际问题的最值．预设难点：对实际问题中数量关系的分析．☆
预习导航
☆一、链接：（1）在二次函数（）中，当>0时，有最
值，最值为
；当<0时，有最
值，最值为
.（2）二次函数y=－(x-12)2+8中，当x=
时，函数有最
值为
．二、导读在21.1问题1(P2)中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？分析：这是一个求最值的问题。要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。在前面的教学中我们已经知道，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式S=-x2+20x。通过配方，得到S=-(x-10)2+100。由此可以看出，这个函数的图象是一条开口向下的抛物线，其顶点坐标是(10，100)。所以，当x=10m时，函数取得最大值，为S最大值=100（m2）。所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100
m2。☆
合作探究
☆问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60
元，每星期可买出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为40元，如何定价才能使利润最大？①问题中定价有几种可能？涨价与降价的结果一样吗？②设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价
元
，每件利润为
元
，每星期少卖
件，实际卖出
件。所以Y=
。（0元
，每件利润为
元
，每星期多卖
件，实际卖出
件。所以Y=
。（0归纳反思
☆总结得出求最值问题的一般步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方法求出二次函数的最值。☆
达标检测
☆
1、用长为6m的铁丝做成一个边长为xm的矩形，设矩形面积是ym2,，则y与x之间函数关系式为
，当边长为
时矩形面积最大.2、蓝天汽车出租公司有200辆出租车，市场调查表明：当每辆车的日租金为300元时可全部租出；当每辆车的日租金提高10元时，每天租出的汽车会相应地减少4辆．问每辆出租车的日租金提高多少元，才会使公司一天有最多的收入？22.1
比例线段
第4课时
平行线分线段成比例及其推论
教学目标
【知识与技能】
1.使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论,并会灵活应用.
2.使学生掌握三角形一边的平行线的判定定理.
【过程与方法】
通过学习定理再次锻炼类比的数学思想,能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形,通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.
【情感、态度与价值观】
通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般,并能欣赏数学表达式的对称美,提高学习数学的兴趣.
重点难点
【重点】
平行线分线段成比例定理和推论及其应用.
【难点】
平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.
教学过程
一、复习引入
教师多媒体课件出示:
1.求下列各式中x∶y的值.
(1)3x=7y;　(2)y=x;(3)y∶x=4∶7.
2.已知x∶2=y∶3=z∶6,求(x+y-z)∶(4x+6y+z).
教师找两位学生分别板演1、2题,其余同学在下面做,教师巡视,然后集体订正.
二、共同探究,获取新知
师:平行于三角形一边的直线,在另外两边上截得的线段是怎样的呢
生:……
教师多媒体课件出示:
已知:如图,过△ABC的AB边上任意一点D作直线DE平行于BC,交AC于点E,求证:=.
师:你能证明这个问题吗
学生思考、讨论.
教师边操作边讲解:我们可以作辅助线,连接BE、CD,再过点E作AB上的垂线段h.
师:现在你能猜出可以转化为哪两个三角形的面积之比吗
学生思考后回答:能,可以转化为△ADE和△BDE的面积之比.
师:你是怎样得到的呢
生:△ADE的面积等于AD与h乘积的一半,△BDE的面积等于BD与h乘积一半,所以==.
师:你回答得太好了!我们要证的是=,我们把AD与DB的比转化为了两个三角形的面积之比.再证出什么就能得到结论了
学生思考后回答:再证出=.
师:对,你们太聪明了!你怎么证明这个相等关系呢
生:过点D向AC边作垂线,与前面同理可证出这个相等关系.
师:很好!这样我们就证出=.
由这个比例式,你能推出哪些线段也是成比例的 还有哪些比例式也是成立的呢
学生思考,教师提示.
生甲:=.
生乙:=.
师:对!上面的图形,也可看作是直线BC平行于△ADE的一边与另外两边的延长线相交而得到的.于是我们能得到一个定理.
教师提示大家读出书上的推论,并板书:
定理　平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.
师:这个定理可推广成一般的形式.
教师多媒体课件出示:
已知:如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC、DF被这三条直线分别截于点A、B、C和D、E、F,求证:=.
师:直线AC、DF被这三条直线所截,不止一种结果.因为不同情况下的证明方法不同,所以我们要对截得的结果分类,被截的情形有哪几种呢
学生思考、讨论.
生甲:AC与DF平行.
生乙:AC与DF不平行,但它们在l1与l2间不相交.
生丙:AC与DF相交在l1或l3上.
生丁:AC与DF相交在两条平行线间.
师:下面我们分别就这几种情况进行讨论.先看平行时,怎么证明这个结论呢
生:根据夹在两条平行线间的平行线段相等得到AB=DE,BC=EF,所以AB∶BC=DE∶EF.
师:很好!如果AC与DF不平行且在l1与l2间不相交时,又该如何证明呢
学生思考,讨论后教师找一生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
证明:过点A作DF的平行线,分别交l2、l3于点E'、F'.
这时有=,而四边形AE'ED和四边形E'F'FE都是平行四边形,所以AE'=DE,E'F'=EF,因而可得=.
其余两种情况类似可证.
师:于是我们得到如下定理:
(教师板书)
平行线分线段成比例定理　两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
三、继续探究,层层推进
师:在这个定理中,当=1时,有=1,即当AB=BC时,有DE=EF,由此你能得到什么结论
学生口述,教师板书:
平行线等分线段定理　两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等.
四、例题讲解
【例】　如图,在△ABC中,E、F分别是AB和AC上的点,且EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少
(2)如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少
解:(1)∵EF∥BC,
∴=,
∵AE=7,EB=5,FC=4,
∴AF===.
(2)∵EF∥BC,
∴=.
∵AB=10,AE=6,AF=5,
∴AC===,
∴FC=AC-AF=-5=.
五、巩固练习
师:同学们,我们今天学习了不少知识,你们都掌握了吗 现在我来出几道题目帮助大家消化一下.
1.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是(　　)
A.=
B.=
C.=
D.=
【答案】A
2.如图,DE∥BC,AB∶DB=3∶1,则AE∶AC=　　　　.
【答案】2∶3
第2题图
第3题图
3.如图,DE∥BC,若AB=8,AE∶EC=2∶3,则AD=　　　　.
【答案】
4.如图,DE是△ABC的中位线,F是DE的中点,BF的延长线交AC于点H,则AH∶HE=　　　.
【答案】2∶1
第4题图
第5题图
5.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=4,DB=8,AE=3.
(1)求的值;
(2)求AC的长.
【答案】(1)===;
(2)∵DE∥BC,∴==.
又∵AE=3,∴AC=9.
六、课堂小结
师:今天你学习了哪些定理
学生口述定理.3.二次函数表达式的确定
1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法；(重点)
2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？
二、合作探究
探究点：用待定系数法求二次函数解析式
【类型一】
用一般式确定二次函数解析式
已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的关系式．
解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
解：设这个二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
依题意得解得
∴这个二次函数的关系式为y＝2x2＋3x－4.
方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式y＝ax2＋bx＋c，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值．
【类型二】
用顶点式确定二次函数解析式
已知二次函数的图象顶点坐标是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的关系式．
解：设二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，
∵图象顶点是(－2，3)，
∴h＝2，k＝3.
依题意得5＝a(－1＋2)2＋3，解得a＝2.
∴二次函数的关系式为y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11.
方法总结：若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设y＝a(x＋h)2＋k.顶点坐标为(－h，k)，对称轴为x＝－h，极值为当x＝－h时，y极值＝k.
【类型三】
用交点式确定二次函数解析式
已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的解析式．
解析：由于已知图象与x轴的两个交点，所以可设y＝a(x－x1)(x－x2)求解．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.
方法总结：此题也可设y＝a(x＋h)2＋k，因为与x轴交于(－1，0)，(1，0)，故对称轴为y轴．
三、板书设计
二次函数表达式的确定
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣．第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象；
2．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴，并掌握二次函数的性质；(重点)
3．二次函数性质的综合应用．(难点)
一、情境导入
火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示．经过多长时间火箭达到它的最高点？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
【类型一】
二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值
已知0≤x≤，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最大值是(　　)
A．－10.5
B．2
C．－2.5
D．－6
解析：y＝－2x2＋8x－6＝－2(x－2)2＋2，∵自变量取值范围为0≤x≤，∴图象都在对称轴的左侧，且y随x的增大而增大．∴当x＝时，y有最大值，最大值为y＝－2x2＋8x－6＝－2×()2＋8×－6＝－2.5.故选C.
方法总结：二次函数求最值最常用的方法是配方法和公式法，需要注意的是，当自变量限制范围时，如果对称轴取值不在范围内，则可以根据二次函数图象的增减性在取值范围内求最值．
【类型二】
二次函数y＝ax2＋bx＋c的增减性
如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是(　　)
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C．a＞0
D．－1＜a＜2
解析：抛物线的对称轴为x＝－＝1，∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1方法总结：抛物线的增减性：当a＞0时，开口向上，对称轴左降右升；当a＜0时，开口向下，对称轴左升右降．
【类型三】
在同一坐标系中确定二次函数与一次函数的图象
在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是(　　)
解析：当二次函数图象开口向上时，－m>0，即m<0，对称轴x＝＝<0，这时抛物线的对称轴在y轴左侧．当m<0时，一次函数y＝mx＋m的图象经过第二、三、四象限．故选D.
方法总结：多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．
探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的平移
在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是(　　)
A．(－3，－6)
B．(1，－4)
C．(1，－6)
D．(－3，4)
解析：二次函数y＝2x2＋4x－3配方得y＝2(x＋1)2－5，将y＝2(x＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，此时二次函数图象的顶点为(1，－6)．故选C.
方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y＝ax2(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2＋k，向下平移k(k>0)个单位所得函数关系式为y＝ax2－k；向左平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x＋h)2；向右平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x－h)2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”．
探究点三：二次函数y＝ax2＋bx＋c的位置与系数a、b、c的关系
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是(　　)
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．②③④
解析：∵－＝－1，∴b＝2a，即b－2a＝0，∴①正确；∵当x＝－2时点在x轴的上方，即4a－2b＋c>0，∴②不正确；∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，∵b＝2a，∴a－b＋c＝a－b－4a－2b＝－3a－3b＝－9a，∴③正确；∵(，y2)关于对称轴x＝－1的对称点为(－，y2)，x<－1时，y随x的增大而增大，∵－3>－，∴y1>y2，∴④正确．综上所述，选B.
方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线的对称轴是x＝－；当x＝2时，二次函数的函数值为y＝4a＋2b＋c；函数的图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方时，y<0.
探究点四：二次函数图象与几何图形的综合应用
如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．
解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－x2＋bx＋c得解得
∴这个二次函数的解析式为y＝－x2＋4x－6；
(2)∵该抛物线对称轴为直线x＝－＝4，
∴点C的坐标为(4，0)，
∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，
∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6.
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．第3课时　方向角问题
1．正确理解方向角的概念；(重点)
2．灵活运用解直角三角形的知识构建直角三角形模型，会利用所学的知识解决现实生活中的问题．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
如图，一艘轮船从A点出发，航行路线为AC、CB，你知道如何准确描述此过程轮船航行的方向吗？
二、合作探究
探究点：与方向角有关的实际问题
一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30km，B，C间的距离是60km，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离(结果保留根号)．
解析：此题针对点P的位置分两种情况讨论，即点P可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上．
解：分两种情况：
(1)如图①，在Rt△BDC中，CD＝30km，BC＝60km，∴∠B＝30°.
∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°.
∴在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°，
∴DP＝＝＝10(km)．
在Rt△ADC中，∵∠A＝45°，∴AD＝DC＝30km.
∴AP＝AD＋DP＝(30＋10)km；
(2)如图②，同理可求得DP＝10km，AD＝30km.
∴AP＝AD－DP＝(30－10)km.
答：交叉口P到加油站A的距离为(30±10)km.
方法总结：求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？
(参考数据：≈1.73，≈1.41，要求在结果化简后再代入参考数据运算，结果保留整数)
解：过点C作CD⊥AB于点D，
则AD＝，BD＝，
∵AD＋BD＝AB，∴(＋1)CD＝600，∴CD＝300(－1)(km)．
∴在Rt△BCD中，BC＝300(－1)(km)，
在Rt△ACD中，AC＝600(－1)(km)，
∴AC＋BC＝600(－1)＋300(－1)≈747(km)，747－600＝147(km)．
答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了147km.
方法总结：构造直角三角形，分别解两个直角三角形．
三、板书设计
方向角问题
指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．
通过学习本课时内容，让学生认识到日常生活中许多问题可以转化为直角三角形的问题，并从中体会直角三角形的边角关系在解决实际问题中的作用．21.2
二次函数的图象和性质
二次函数y=ax2的图象和性质
教学目标
【知识与技能】
使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.
【过程与方法】
使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.
重点难点
【重点】
使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.
【难点】
用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.
教学过程
一、问题引入
1.一次函数的图象是什么 反比例函数的图象是什么
(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)
2.画函数图象的一般步骤是什么
一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).
3.二次函数的图象是什么形状 二次函数有哪些性质
(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)
二、新课教授
【例1】　画出二次函数y=x2的图象.
解:(1)列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
　　(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).
(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.
思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:
(1)二次函数y=x2的图象是什么形状
(2)图象是轴对称图形吗 如果是,它的对称轴是什么
(3)图象有最低点吗 如果有,最低点的坐标是什么
师生活动:
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.
学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.
函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.
由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.
【例2】　在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.
解:分别填表,再画出它们的图象.
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=2x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点
师生活动:
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.
学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.
抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.
探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
师生活动:
学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师巡视学生的探究情况,若发现问题,及时点拨.
学生汇报探究的思路和结果,教师评价,给出图形.
抛物线y=-x2、y=-x2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x2的图象开口最窄,y=-x2的图象开口最大.
探究2:对比抛物线y=x2和y=-x2,它们关于x轴对称吗 抛物线y=ax2和y=-ax2呢
师生活动:
学生在平面直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨.
学生汇报探究思路和结果,教师评价,给出图形.
抛物线y=x2、y=-x2的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax2和y=-ax2的图象也关于x轴对称.
教师引导学生小结(知识点、规律和方法).
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.
从二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大;如果a<0,当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.
三、巩固练习
1.抛物线y=-4x2-4的开口向　　　　,顶点坐标是　　　　,对称轴是　　　　,当x=　　　　时,y有最　　　　值,是　　　　.
【答案】下　(0,-4)　x=0　0　大　-4
2.当m≠　　　　时,y=(m-1)x2-3m是关于x的二次函数.
【答案】1
3.已知抛物线y=-3x2上两点A(x,-27),B(2,y),则x=　　　　,y=　　　　.
【答案】-3或3　-12
4.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点坐标为(2,b),则k=　　　　,b=　　　　.
【答案】　12
5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式为　　　　.
【答案】y=-2x2
6.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是(　　)
A.y=x2　　　　B.y=x2
C.y=-2x2
D.y=-x2
【答案】C
7.抛物线y=4x2、y=-2x2、y=x2的图象,开口最大的是(　　)
A.y=x2
B.y=4x2
C.y=-2x2
D.无法确定
【答案】A
8.对于抛物线y=x2和y=-x2在同一坐标系中的位置,下列说法错误的是(　　)
A.两条抛物线关于x轴对称
B.两条抛物线关于原点对称
C.两条抛物线关于y轴对称
D.两条抛物线的交点为原点
【答案】C
四、课堂小结
1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称,自变量x的取值范围是一切实数.
2.二次函数y=ax2的性质:抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=x2开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线y=ax2开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.
3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来.
教学反思
本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成:(1)例1是基础;(2)在例1的基础之上引入例2,让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度的影响;(3)例2及后面的练习探究让学生领会a的正负对抛物线开口方向的影响;(4)最后让学生比较例1和例2,练习归纳总结.21．1　二次函数
1．掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二次函数；(重点)
2．能根据实际情况建立二次函数模型．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(平方米)，窗户宽为x(米)，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数的概念
【类型一】
二次函数的识别
下列函数哪些是二次函数？
(1)y＝2－x2;
(2)y＝；
(3)y＝2x(1＋4x);
(4)y＝x2－(1＋x)2.
解析：(1)是二次函数；(2)是分式而不是整式不符合二次函数的定义，故y＝不是二次函数；(3)把y＝2x(1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－(1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数．
解：二次函数有(1)和(3)．
方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.
【类型二】
根据二次函数的定义求待定字母的值
如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？
解析：紧扣二次函数定义求解．注意易错点为忽视k＋2≠0.
解：根据题意知?∴k＝2.
方法总结：紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax2＋bx＋c.
【类型三】
与二次函数系数有关的计算
已知一个二次函数，当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝；当x＝－1时，y＝.求这个二次函数中各项系数的和．
解析：
解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．把x＝0，y＝0；x＝2，y＝；x＝－1，y＝分别代入函数表达式，得解得所以这个二次函数的表达式为y＝x2.所以a＋b＋c＝＋0＋0＝，即这个二次函数中各项系数的和为.
方法总结：涉及有关二次函数表达式的问题，所设的表达式一般是二次函数表达式的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．解决这类问题要根据x，y的对应值，列出关于字母a，b，c的方程(组)，然后解方程(组)，即可求得a，b，c的值．
探究点二：建立二次函数模型
某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元．
(1)请写出y与x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当每件商品降价15元时，每星期售出商品的利润为多少元？
解析：根据题意可以知道：实际每件商品的利润为(60－x－40)，每星期售出商品的数量为(300＋20x)，则每星期售出商品的利润为y＝(60－x－40)(300＋20x)元，化简，注意要求出自变量x的取值范围．
解：(1)由题意，得：
y＝(60－x－40)(300＋20x)
＝(20－x)(300＋20x)
＝－20x2＋100x＋6000，
自变量x的取值范围为0≤x≤20；
(2)把x＝15代入y＝－20x2＋100x＋6000得y＝3000(元)，即当每件商品降价15元时，每星期售出商品的利润为3000元．
方法总结：销售利润＝单件商品利润×销售数量；单件商品利润＝售价－进价．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法．21.5
反比例函数
第2课时
反比例函数的图象和性质
教学思路（纠错栏）教学思路（纠错栏）
教学目标：1.能描点画出反比例函数的图象．2.通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数图象的性质．教学重点：反比例函数的图象及性质预设难点：当x>0或<0时反比例函数的性质☆
预习导航
☆一、链接：什么是反比例函数？写出它的一般形式．
二、导读画出函数的图象.问题：画函数图象的步骤是什么？如何取值呢？取值时需要注意哪些问题？☆
合作探究
☆1.列表x…-6-5-4-3-2-1123456………2.描点、连线观察图象，说说反比例函数的图象有哪些特征？在上面的平面直角坐标系中画出的图象，观察它有哪些特征？并与的图象作比较。归纳：反比例函数y=(k≠0)的图象和性质（1）当k>0时，图象的两个分支分别在第_______象限，在每个象限内，图象自左向右下降，
函数y随着
x的增大而
；（2）当k<0
时，图象的两个分支分别在第
象限，在每个象限内，图象自左向右上升，函数y
随着
x的增大而
.4.
反比例函数的图象在二、四象限，求m的取值范围。☆
归纳反思
☆1.反比例函数的图象和性质。2.比较反比例函数与正比例函数的性质有何异同？☆
达标检测
☆
1.对于函数，当x<0时，y随x的
而增大，这部分图象在第
象限。2.函数y=－kx+k与y=－（k≠0）在同一坐标系中的图象可能是：（
）3.已知函数（＞0）的图象上有点A（）、B（）、C（），
且<<0<，试比较、、的大小.二次函数的综合应用
教学目标
【知识与技能】
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(或小)值,培养学生解决问题的能力.
【过程与方法】
应用已有的知识,经过自主探索和合作交流尝试解决问题.
【情感、态度与价值观】
在经历和体验数学知识发现的过程中,提高思维品质,在勇于创新的过程中树立学好数学的自信心.
重点难点
【重点】
二次函数在最优化问题中的应用.
【难点】
从现实问题中建立二次函数模型,学生较难理解和掌握.
教学过程
一、问题引入
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求什么条件下可使面积最大、利润最大、材料最省、时间最少、效率最高等问题,这类问题称为最优化问题.其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值.如何利用二次函数分析解决这样的问题呢
本节课我们来研究二次函数在实际问题中的应用.
做一做:从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是:h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高 小球运动中的最大高度是多少
我们可以借助函数图象解决这个问题,画出函数h=30t-5t2(0≤t≤6)的图象,如图所示,可以看出这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数图象的最高点,也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.
因此,当t=-=-=3时,h有最大值=45,也就是说,小球运动的时间是3s时,小球最高,小球运动中的最大高度是45
m.
一般地,当a>0(或a<0)时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(或高)点,也就是说,当x=-时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(或大)值.
二、新课教授
问题1.用总长为60
m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地面积S最大
师生活动:
学生积极思考,找到等量关系式,并尝试解答.
教师巡视、指导,最后给出解答过程.
解:矩形场地的周长是60
m,一边长l,则另一边长为(-l),场地的面积S=l(30-l),即S=-l2+30l(0因此,当l=-=-=15(m)时,S有最大值==225(m2).
即当l是15
m时,场地面积S最大,最大值是225
m2.
问题2.某商品现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映,如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大
师生活动:
教师分析存在的问题,书写解答过程.
分析:调整价格包括涨价和降价两种情况.我们先来看涨价的情况.
设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随之改变.我们先来确定y随x变化的函数关系式,涨价x元时,每星期少卖10x件,实际卖出(300-10x)元.销售额为(60+x)(300-10x)元,买进商品需付40(300-10x)元.因此,所得利润为
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),(0≤x≤30)
即y=-10x2+100x+600
=-10(x2-10x)+600
=-10(x2-10x+25)+850
=-10(x-5)2+850(0≤x≤30)
所在,在涨价的情况下,涨价5元,即定价65元时,利润最大,最大为850元.
思考:在降价的情况下,最大利润是多少
(降价2.5元,即定价57.5元时,利润最大,最大为6
125元.)
思考:由上面的讨论及现在的销售情况,你知道如何定价才能使利润最大了吗
(在涨价的情况下,定价65元;在降价的情况下,定价57.5元.)
问题3:图中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2
m,水面宽4
m.若水面下降1
m,水面宽度增加多少
师生活动:
学生完成解答.
教师分析存在的问题,书写解答过程.
分析:我们知道二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.
由抛物线经过点(2,-2),可得
-2=a×22,解得a=-,
这条抛物线表示的二次函数为y=-x2.
水面下降1
m,水面所在位置的纵坐标为y=-3,代入上述表达式得x=±.
故水面下降1
m,水面宽度增加(2-4)m.
让学生回顾解题过程,讨论、交流、归纳解题步骤:
(1)先分析问题中的数量关系,列出函数关系式;
(2)研究自变量的取值范围;
(3)研究所得的函数;
(4)检验x的取值是否是自变量的取值范围内,并求相关的值;
(5)解决提出的实际问题.
学生尝试从前面四道题中找到解题规律.
教师补充学生回答中的不足,及时纠正.
三、巩固练习
1.已知二次函数y=(3+x)(1-2x),当x=　　　　时,函数有最　　　　值,为　　　　.
【答案】-　大　
2.二次函数y=x2-8x+c的最小值为0,那么c的值等于(　　)
A.4　　　B.8　　　C.-4　　　D.16
【答案】D
3.沿墙用长32
m的竹篱笆围成一个矩形的护栏(三面),怎样围才能使矩形护栏面积最大 最大面积为多少 试画出所得函数的图象.
【答案】围成的矩形一边长为8
m、另一边长为16
m可使矩形护栏的面积最大,最大面积为128
m2.图象略.(注意自变量的取值范围)
4.某旅社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查,如果一间客房的日租金增加5元,则客房每天出租会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高 比装修前的日租金总收入增加多少元
【答案】将每间客房的日租金提高到75元时,总收入最高,比装修前的日租金总收入增加750元.
5.某产品每件的成本价是120元,试销阶段,每件产品的销售价x
(元)与产品的日销售量y(台)之间的函数关系如下表所示:
x(元)
130
150
165
y(台)
70
50
35
　　并且日销售量y是每件售价x的一次函数.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)为获得最大利润,每件产品的销售价应定为多少元 此时每日销售的利润是多少
【答案】(1)y=-x+200
(2)销售利润S=(-x+200)(x-120),当售价定为每件160元时,每日销售利润最大为1
600元.
四、课堂小结
1.得出用二次函数知识解决实际生活中的最值问题的一般步骤:
(1)列出二次函数的表达式,并根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围;
(2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
2.解题循环图:
教学反思
本节课充分运用导学提纲,教师提前通过一系列问题的设置引导学生课前预习.在课堂上通过对一系列问题的解决与交流,让学生通过二次函数掌握解决面积最大、利润最大等这一类题的方法,学会用建模的思想去解决和函数有关的应用问题.
所以在例题的处理中适当地降低了难度,让学生的思维有一个拓展的空间.在训练的过程中,通过学生的独立思考与小组合作探究相结合,使学生的分析能力、表达能力及思维能力都得到训练和提高.同时也注重对解题方法与解题模式的归纳与总结,并适当地渗透转化、化归、数形结合等数学思想方法.
就整节课看,学生的积极性得以充分调动,特别是学困生,在独立思考和小组合作中改变以往的配角地位,也能积极参与到课堂学习活动中.今后继续发扬从学生出发,从学生的需要出发,把问题的难度降低,让学生在能力范围内掌握新知识,等有了足够的热身运动之后再去拓展延伸.22.2
相似三角形的判定
第2课时
相似三角形的判定定理1
一、教学目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
二、重点、难点
1．重点：三角形相似的判定方法1
2．难点：三角形相似的判定方法1的运用．
三、课堂引入
1．复习提问：
（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
（2）△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD AB，
那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．
（3）△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，
那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题．
（4）教材P48的探究3
．
四、例题讲解
例1（教材P48例2）．
分析：要证PA PB=PC PD，需要证
，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．
证明：略（见教材）．
例2
（补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．
五、课堂练习
下列说法是否正确，并说明理由．
（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；
（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．
六、作业
1．
已知：如图，△ABC
的高AD、BE交于点F．
求证：
．
2．已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．
（1）求证：AC BC=BE CD；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．21．2　二次函数的图象和性质
1．二次函数y＝ax2的图象和性质
1．正确理解抛物线的有关概念；(重点)
2．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，概括出图象的特点；(重点)
3．掌握形如y＝ax2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点)
4．通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
我们都见过篮球运动员投篮，你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗？它是如何画出来的？
我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线，你还能举出一些抛物线的例子吗？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝ax2的图象
【类型一】
画二次函数y＝ax2的图象
在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y＝x2；②y＝2x2；③y＝－x2；④y＝－2x2.根据图象回答下列问题：
(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？
解析：要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表．
解：列表：
x
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y＝x2
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
y＝－x2
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－0.5
－2
－4.5
－8
x
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
y＝2x2
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
y＝－2x2
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－0.5
－2
－4.5
－8
　　描点、连线，函数图象如图所示．
(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y轴；
(2)函数y＝2x2和y＝x2的图象有最低点，函数y＝－x2和y＝－2x2的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是(0，0)．
方法总结：(1)画形如y＝ax2(a≠0)的图象时，x的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取．
(2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折线．
(3)抛物线的概念：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y＝ax2.
(4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点．抛物线的顶点也是它的最低点或最高点．
【类型二】
同一坐标系中两种不同图象的判断
当ab>0时，抛物线y＝ax2与直线y＝ax＋b在同一直角坐标系中的图象大致是(　　)
解析：根据a、b的符号来确定．当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上．∵ab>0，∴b>0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限．当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下．∵ab>0，∴b<0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限．故选D.
方法总结：本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析．
探究点二：抛物线y＝ax2的开口方向、大小与系数a的关系
如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a、b、c、d的大小关系为(　　)
A．a>b>c>d
B．a>b>d>c
C．b>a>c>d
D．b>a>d>c
答案：A
方法总结：抛物线y＝ax2的开口大小由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
探究点三：二次函数的图象与几何图形的综合应用
已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求：
(1)a，b的值；
(2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标；
(3)△AMB的面积．
解析：直线与二次函数y＝ax2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB的面积，一般应画出草图进行解答．
解：(1)∵点A(1，b)是直线y＝2x－3与二次函数y＝ax2的图象的交点，∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式，
∴∴
(2)由(1)知二次函数为y＝－x2，顶点M(即坐标原点)的坐标为(0，0)．由－x2＝2x－3，解得x1＝1，x2＝－3，∴y1＝－1，y2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B的坐标为(－3，－9)；
(3)如图所示，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，根据点的坐标的意义，可知MD＝3，MC＝1，CD＝1＋3＝4，BD＝9，AC＝1，∴S△AMB＝S梯形ABDC－S△ACM－S△BDM＝×(1＋9)×4－×1×1－×3×9＝6.
方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．探究点四：二次函数y＝ax2的性质
【类型一】
二次函数y＝ax2的增减性
作出函数y＝－x2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：
(1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2(2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3＞x4＞0，试比较y3与y4的大小．
解析：根据画出的函数图象来确定有关数值大小比较，是一种比较常用的方法．
解：(1)图象如图所示，由图象可知y1＞y2；
(2)由图象可知y3方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图，进行观察和分析以免解题时产生错误．
【类型二】
二次函数y＝ax2的最值
已知函数y＝(1－n)xn2＋n－4是关于x的二次函数，当n为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点的坐标．这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
解：∵函数y＝(1－n)xn2＋n－4是关于x的二次函数，∴解得n＝2或n＝－3.∵抛物线有最低点，∴1－n>0，即n<1.∴n＝－3.∴当x>0时，y随x的增大而增大．
方法总结：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y＝ax2(a≠0)的二次项系数a的符号决定的；当a>0时，抛物线有最低点；当a<0时，抛物线有最高点．而此题常错误地认为n>0时，抛物线有最低点．正确的答案应为1－n>0，即n<1时，抛物线有最低点，因为二次项系数是(1－n)．
探究点五：利用二次函数y＝ax2的图象和性质解题
【类型一】
利用二次函数y＝ax2的性质解题
当m为何值时，函数y＝mxm2－m的图象是开口向下的抛物线？当x为何值时，y随x的增大而增大？这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
解：由题意，得m应满足解得m＝－1.当x<0时，y随x的增大而增大．这个函数有最大值，最大值是0.
方法总结：本题主要考查函数y＝ax2(a≠0)的有关性质．当a>0时，图象开口向上，函数有最小值0；当a<0时，图象开口向下，函数有最大值0.当a<0且x<0时，y随x的增大而增大．
【类型二】
二次函数y＝ax2的图象和性质的实际应用
如图，是一座抛物线形拱桥的示意图，在正常水位时，水面AB的宽为20m，如果水位上升3m，水面CD的宽为10m.
(1)建立如图所示的坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶了1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时，水位在CD处，当水位涨到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？
解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝ax2(a≠0)，拱桥最高点O到水面CD的距离为hm，则D(5，－h)，B(10，－h－3)．
∴解得∴抛物线的函数表达式为y＝－x2；
(2)水位由CD处涨到最高点O的时间为h÷0.25＝1÷0.25＝4(h)，货车按原来速度行驶的路程为40×1＋40×4＝200<280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到xkm/h，即当4x＋40×1＝280时，x＝60.∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60km/h.
方法总结：一般地，求二次函数y＝ax2的表达式时，只需一个已知点(坐标原点除外)的坐标即可．而此题由于点B，D的纵坐标未知，故需设出CD到桥顶的距离h作为辅助未知数．
三、板书设计
教学过程中，强调学生的自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象和性质，体会数学建模的数形结合的思想方法．22．4　图形的位似变换
第1课时　位似图形
1．了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别；(重点)
2．掌握位似图形的性质，会画位似图形；(重点)
3．会利用位似将一个图形放大或缩小．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的．观察图中有相似的多边形吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？
二、合作探究
探究点一：位似图形的识别
如图所示，指出下列图中两个图形是否是位似图形？
解：(1)(2)(4)三图中的两个图形都是位似图形．
方法总结：解决此类题的关键是首先要判断两个图形是不是相似图形，然后再找出对应点，作出几对对应点所在的直线，观察是否经过同一个点，若两个图形是相似图形，且所作的直线经过同一个点，则这两个图形是位似图形，据此可判断(1)(2)(4)是位似图形，(3)不是位似图形．
探究点二：位似图形的性质
如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O位似，BO＝3，B′O＝6.
(1)若AC＝5，求A′C′的长；
(2)若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积．
解：(1)∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为OB∶OB′＝3∶6＝1∶2，
∴＝，得A′C′＝10；
(2)根据题意，得＝()2＝，
即＝，所以S△A′B′C′＝7×4＝28.
方法总结：位似图形是一种特殊的相似图形，图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比，可利用相似三角形的性质解决有关问题．
探究点三：位似图形的画法
(1)如图甲，在位似中心O的异侧，作出已知四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为2∶3；
(2)如图乙，已知五边形ABCDE，在位似中心O的同侧作五边形ABCDE的位似图形A′B′C′D′E′，使五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比为1∶3.
解：(1)画法如下：
①分别连接OA，OB，OC，OD并反向延长；
②分别在AO，BO，CO，DO的延长线上截取OA′，OB′，OC′，OD′，使＝＝＝＝；
③顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.
四边形A′B′C′D′就是所求作的四边形；
(2)画法如下：
①分别连接OA，OB，OC，OD，OE；
②分别在AO，BO，CO，DO，EO上截取OA′，OB′，OC′，OD′，OE′使＝＝＝＝＝；
③顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′.
五边形A′B′C′D′E′就是所求作的五边形．
方法总结：(1)画位似图形时，要注意相似比，即分清楚是已知原图与新图的相似比，还是新图与原图的相似比；(2)画位似图形的关键是画出图形中顶点的对应点，画图的方法大致有两种：一是每对对应点都在位似中心的同侧；二是每对对应点都在位似中心的两侧；(3)若没有指定位似中心，则画图时位似中心的取法有多种，对画图而言，以多边形的一个顶点为位似中心时，画图最简便．
三、板书设计
位似是相似图形的延伸和深化．经历位似图形的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，培养学生动手操作的能力，体验学习的乐趣．位似图形在实际生产和生活中有着广泛的应用，通过现实情境，进一步发展学生从数学角度提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的联系．