23.2
解直角三角形及其应用
第3课时
方向角问题
【学习目标】
⑴
使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
⑵
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
⑶
巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
【学习重点】
用三角函数有关知识解决方位角问题
【学习难点】
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
【导学过程】
例
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
例
气象局发出预报:如图,
沙尘暴在A市的正东方向400km的B处以40km/h的速度向北偏西600的方向转移,距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响,A市是否受到这次沙尘暴的影响 如果受到影响,将持续多长时间
补充练习
如图,
海上有一灯塔P,
在它周围3海里处有暗礁.
一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,
行至A点处测得P在它的北偏东60度的方向,
继续行驶20分钟后,
到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45度方向.
问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险
课堂小结：
作业设置：
自我反思：
本节课我的收获:2.30°，45°，60°角的三角函数值
第2课时
互余两角的三角函数值
教学思路（纠错栏）
教学思路（纠错栏）
学习目标：1.能利用特殊角的三角函数值发现互余两角的三角函数值的关
系.
2.在探索互余两角的三角函数值的过程中体会数形结合思想.学习重点：互余两角的三角函数值.学习难点：灵活应用特殊角的三角函数值进行计算.☆
预习导航
☆一、链接：1.如图，用小写字母表示下列三角函数：sinA
=
sinB
=cosA
=
cosB
=tanA
=
tanB
=2.
中，如果∠A=30°,那么三边长有什么特殊的数量关系？如果∠A=45°,那么三边长有什么特殊的数量关系？二、导读：仔细阅读课本内容后完成下面填空：
角度a
三角函数值三角函数
30°
45°
60°sin
a
cos
a
tan
a你发现了什么？sin
30°=
cos
60°，cos
30°=
sin60°,sin
45°=
cos45°由此你有什么猜想？对任意角都适用吗 请证明？☆
合作探究
☆1.
求下列各式的值（1）2sin300－cos450
（2）sin600cos600
（3）sin2300+cos2300求满足下列条件的锐角：(1)tan(a+10°)=1，
(2)sin(a-20°)=.已知：如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AC=2,AD=.分别求出△ABC、△ACD、△BCD中各锐角的度数.☆
归纳反思
☆☆
达标检测
☆1．若sinα=,则锐角α=________.若2cosα=1,则锐角α=_________.2．若∠A是锐角，且tanA=,则cosA=_________3．若∠A=41°，则cosA的大致范围是（
）A．0＜cosA＜1
B.＜cosA＜C.
＜cosA＜D.
＜cosA＜14.计算：（1）tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°（2）
（说明：）第23章
解直角三角形
23.1
锐角的三角函数
1.锐角的三角函数
第1课时
正切
教学思路（纠错栏）
教学思路（纠错栏）
学习目标:1.理解正切的概念，并能正确应用tanA表示两直角边的比.2.知道什么叫坡度（坡比）、坡角，以及它们与正切的关系.学习重点：理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。学习难点：正确运用正切及坡比的概念解题.☆
预习导航
☆一、链接：1．在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边分别是______和_______,斜边是____，三条边可用小写字母表示为_____、_______、_______.2．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′，∠A=∠A′，则吗？为什么？二、导读：请同学们仔细阅读课本第112—113页内容后，再思考下列问题：1、思考与探索：（1）如图，一般地，如果锐角A的大小已确定，我们可以作出无数个相似的RtAB1C1，RtAB2C2，RtAB3C3……，那么有：Rt△AB1C1∽_____∽____……根据相似三角形的性质，得：＝_________＝_________＝……
由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_________。
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的
叫做角A的正切，记作
.2、如图，坡面的______h和______l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i
,即i
=（坡度通常写成的形式）.☆
合作探究
☆1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，①tanA=
=
；②tanB=
=
；③tan∠ACD=
；④tan∠BCD=
；2．在Rt△ABC中，∠C
=
90°，tanA
=
（1）AC
=
20，求BC和AB的长；
（2）AB
=
25，，求AC和BC的长。3．如图，在坡度为1：2
的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是
米.☆
归纳反思
☆
☆
达标检测
☆1．在中，∠C=90°，AB=2BC,则=
.2．在中，∠C=90°
，
=3，AC=10，则S△ABC
等于（
）A、
3
B、300
C、
D、150
3．在Rt△ABC中，∠C
=
90°，AC
=
5，AB
=
13。求tanA和tanB.
A
C1
C2A
C3
B1
B2
B3一般锐角的三角函数值
学习目标
学会计算器求任意角的三角函数值。
学习重难点
重点：用计算器求任意角的三角函数值。
难点：实际运用。
学习过程
拿出计算器，熟悉计算器的用法。
下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角.
求已知锐角的三角函数值.
求sin63゜52′41″的值.（精确到0.0001）
解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
显示
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.897
859
012.
所以 sin63゜52′41″≈0.8979
例3 求cot70゜45′的值.（精确到0.0001）
解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：
显示结果为0.349
215
633.
所以 cot70゜45′≈0.3492.
由锐角三角函数值求锐角
例4 已知tan
x=0.7410,求锐角x.（精确到1′）
解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：
显示结果为36.538
445
77.
再按键：
显示结果为36゜32′18.4.
所以，x≈36゜32′.
已知cot
x=0.1950,求锐角x.（精确到1′）
分析 根据tan
x＝，可以求出tan
x的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x的值.
四、课堂练习
使用计算器求下列三角函数值.（精确到0.0001）
sin24゜,cos51゜42′20″,tan70゜21′,cot70゜.
已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a.（精确到1′）
（1）sin
a=0.2476;
（2）cos
a=0.4174;
（3）tan
a=0.1890;
（4）cot
a=1.3773.
五、学习小结
内容总结
不同计算器操作不同，按键定义也不一样。
同一锐角的正切值与余切值互为倒数。
在生活中运用计算器一定要注意计算器说明书的保管与使用。
方法归纳
在解决直角三角形的相关问题时，常常使用计算器帮助我们处理比较复杂的计算。
六、布置作业23.2
解直角三角形及其应用
第1课时
解直角三角形
教学思路（纠错栏）
教学思路（纠错栏）
学习目标：能利用直角三角形中的边、角关系解直角三角形.学习重点：了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。学习难点：灵活选择适当的边角关系式.☆
预习导航
☆一、链接：如图，Rt△ABC中共有六个元素（三个角、三条边），其中∠C=90°，那么其余五个元素（三边a、b、c
，两个锐角A、B）之间有怎样的关系呢？填一填：（1）三边之间的关系：
；（2）两锐角之间的关系：∠A
+
∠B
=
_____；（3）边角之间的关系：
sinA
=
,
cosA
=
,
tanA
=
.二、导读：阅读课本124到125
页，并思考以下问题：1．解直角三角形的定义。任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程（已知的两个元素中，至少有一个是边），叫做解直角三角形。2．解直角三角形的所需的工具。如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，其余5个元素之间有以下关系：(1)两锐角互余∠A＋∠B＝
(2)三边满足勾股定理a2＋b2＝
(3)边与角关系sinA＝
＝，cosA＝sinB＝，tanA＝
，tanB＝
。2．在解决第125页例2时如何添加辅助线构造出直角三角形？
☆
合作探究
☆1.在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a=，b=，解这个三角形．2.
如图，在△ABC中，∠A
=
60°，AB
=
6
，AC
=
5
，求
S△ABC
34.在△ABC中，若∠A
=
55°，b
=
20㎝
,c
=
30㎝
，求三角形的面积S△ABC
（sin55°0.8192）.☆
归纳反思
☆填写下表：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a
,b
,
c.已知条件已知条件解
法一边一角一条直角边和一个锐角（a,
∠A）斜边和一个锐角（c,
∠A）两
边两条直角边（a,b）斜边和一条直角边（a
,c）提醒：在解直角三角形时，结合已知条件，选择合适的解法（尽量不使用除法计算），可使运算简便。☆
达标检测
☆1.在中，，，，则（
）A．
B．
C．
D．2.
△ABC中，∠C＝90°已知：c＝
4，∠A＝30°，求∠B、a、b．3.在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=．求线段AD的长．2.30°，45°，60°角的三角函数值
第1课时
30°，45°，60°角的三角函数值
学习思路（纠错栏）
学习思路（纠错栏）
学习目标：1.能利用三角函数概念推导出特殊角的三角函数值.2.在探索特殊角的三角函数值的过程中体会数形结合思想.学习重点：特殊角30°、60°、45°的三角函数值.学习难点：灵活应用特殊角的三角函数值进行计算.☆
预习导航
☆一、链接：1.如图，用小写字母表示下列三角函数：sinA
=
sinB
=cosA
=
cosB
=tanA
=
tanB
=2.
中，如果∠A=30°,那么三边长有什么特殊的数量关系？如果∠A=45°,那么三边长有什么特殊的数量关系？二、导读：仔细阅读课本内容后完成下面填空：
角度a
三角函数值三角函数
30°
45°
60°sin
a
cos
a
tan
a☆
合作探究
☆1.
求下列各式的值（1）2sin300－cos450
（2）sin600cos600
（3）sin2300+cos2300求满足下列条件的锐角：(1)tan(a+10°)=1，
(2)sin(a-20°)=.已知：如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AC=2,AD=.分别求出△ABC、△ACD、△BCD中各锐角的度数.☆
归纳反思
☆☆
达标检测
☆1．若sinα=,则锐角α=_____.若2cosα=1,则锐角α=_________.2．若∠A是锐角，且tanA=,则cosA=_________3．若∠A=41°，则cosA的大致范围是（
）A．0＜cosA＜1
B.＜cosA＜C.
＜cosA＜D.
＜cosA＜14.计算：（1）tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°（2）
（说明：）23.2
解直角三角形及其应用
第4课时
坡度问题
教学思路（纠错栏）
教学思路（纠错栏）
学习目标：1.能用解直角三角形的有关知识解决实际问题；
2.经历探索与梯形、坡比等有关的问题的解法`，培养学以致用的意识。学习重点：利用解直角三角形解决实际问题。学习难点：把实际问题转化为数学问题，再转化为解直角三角形问题。☆
预习导航
☆一、链接
如图是一段斜坡的横断面，建筑学中通常把斜坡起止点A、B的高度差h与它们的水平距离l的比叫做坡度（或坡比），通常用字母i表示，即：，表示坡度时，一般把比的前项取作1，如，
如果把图中斜坡AB与水平线AC的夹角记作α，那么
，这就是说坡度等于锐角α的正切。二、导读阅读课本
128
页—129
页，并思考：如果一段斜坡坡度i
=
1:1.5
,其水平宽度为12米，则它的高度是多少米？☆
合作探究
☆1.某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝，大坝的横断面ABCD是梯形，坝顶宽BC=6米，坝高25米，迎水坡AB的坡度i=1：3，背水坡CD的坡度i=1：2.5。（1）求斜坡AB和CD的长（精确到0.01米）；（2）求拦水大坝的底面AD的宽。2.
如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡角∠BAD=,坡长AB
=,为加强水坝强度将坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡的坡角∠F=,求AF的长度(结果保留根号).☆
归纳反思
☆☆
达标检测
☆一名滑雪运动员从坡度为1：5的山坡上滑下，如果这名运动员滑行的距离是150米，那么他下降的高度是多少？（精确到0.1米）。2.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，根据图中数据，求：（1）角α和β的大小（精确到1'）（2）坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1米）。23.2
解直角三角形及其应用
第2课时
仰角与俯角问题
教学思路（纠错栏）
教学思路（纠错栏）
学习目标：1.知道仰角、俯角等有关概念；2.能把实际问题转化为数学问题来解决.学习重点：利用三角函数解决实际问题；学习难点：把实际问题转化为数学问题.☆
预习导航
☆一、链接：什么叫解直角三角形？在解直角三角形时用到的边、角数量关系有哪些？二、导读：1.阅读课本126页，重点思考如何把实际问题转化为数学问题来解答，边角之间的关系有：sinA
=
______
,
cosA
=
________
,
tanA
=
_______
.2.仰角、俯角的定义：
从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角；
从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．
☆
合作探究
☆1.
上海东方明珠塔于1994
年10
月1
日建成，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．运用本章所学过的知识，能测出东方明珠塔的高度来吗？
为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔200
米处的地面上，用高1.20
米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为60°48
′．
根据测量的结果，小亮画了一张示意图，其中AB表示东方明珠塔，DC为测角仪的支架，DC=1.20米，CB=200米，∠ADE=60°48
′
根据在前一学段学过的长方形对边相等的有关知识，你能求出AB
的长吗？2.
如图，厂房屋顶人字架的跨度为10
米，上弦AB＝BD，∠A
=
260
．求中柱BC
和上弦AB
的长（精确到0
.
01
米）.☆
归纳反思
☆☆
达标检测
☆1
．如图，在电线杆上离地面6
米处用拉线固定电线杆，拉线和地面之间的夹角为60°
,
求拉线AC
的长和拉线下端点A
与线杆底部D
的距离（精确到0
.
1
米）.
2．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的距离BC
=
3.2
米，底端到墙根的距离AC
=
2.4
米．
(1)求梯子的长度和梯子与地面所成角的大小(精确到1
'
)
;
(2)
如果把梯子的底端到墙角的距离减少0
.
4
米，那么梯子与地面所成的角是多少？
A
B
E
C
D
6米
A
B
C
D
A
C
B1.锐角的三角函数
第2课时
正弦和余弦
［学习目标］
理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
［学习重点与难点］
在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
［学习过程］
一、情景创设
1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a
m呢？
2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？
二、探索活动
1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值________；它的邻边与斜边的比值________。（根据是__________________。）
2、正弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作________，
即：sinA＝________=________.
3、余弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,
我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，
即：cosA=______=_____。（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.___________.
4、牛刀小试
根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
5、思考与探索
怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？
如图，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度时，他的位置升高了约
0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。
根据正弦、余弦的定义，可以知道：
sin15°＝0.26，cos15°＝0.97
（2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？
sin75°、cos75°呢？
sin30°＝_____，cos30°＝_____.
sin75°＝_____，cos75°＝_____.
（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。
（4）观察与思考：
从sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？
____________________________________________________________。
从cos15°，cos30°，cos75°的值，你们得到什么结论？
_________________________________________________________。
当锐角α越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？
____________________________________________________。
6、锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________。
三、随堂练习
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AC＝12，BC＝5，则sinA＝_____，
cosA＝_____，sinB＝_____，cosB＝_____。
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，tanB=________,
cosB=______,sinB=_______
四、请你谈谈本节课有哪些收获？
五、拓宽和提高
已知在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c＝5：12：13，
试求最小角的三角函数值。
20m
13m
