课题:11.2.1三角形的内角
学习目标：1.了解三角形的内角和的验证及证明过程；
2.熟练利用三角形的内角和及直角三角形两锐角的关系解决问题；
3.知道添加辅助线是帮助解决数学问题的方法.
知识回顾：三角形的内角和等于
。
一、自主学习
1在三角形硬纸片上标出三个内角的编码
2
让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出的度数，可得到
3
剪下，按图（2）拼在一起，从而还可得到
图2
4
把和剪下按图（3）拼在一起，用量角器量一量的度数，会得到什么结果。
可见：三角形的内角和为
。
二、合作探究
1、如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢？
已知，说明，你有几种方法？结合图（1）（2）（3）
归纳：在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做
.在平面几何里，辅助线通常画成
为了证明三个角的和为180°,转化为一个
或
互补,这种转化思想是数学中的常用方法.
例题：如图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，从C岛看A、B两岛的视角是多少度？
2、如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，由三角形内角和定理，得
∠A+∠B+∠C=
°，
A
即
∠A+∠B+90°=
°，
所以
∠A+∠B=
°.
C
B
由此得到：直角三角形的两个锐角
。
(直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.)
3、如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，由三角形内角和定理，
得∠A+∠B+∠C=
°，
A
即
∠C
+90°=
°，
所以
∠C
=
°，
所以△ABC是______三角形.
C
B
由此可得：有两个角互余的三角形是
。
检测
1、在△ABC中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B=____,若∠A=80°,∠B=∠C,则∠C=____。
2、已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，则∠B=____，∠C=____。
3、如图，在△ABC中∠C=60°，∠B=50°，AD是∠BAC的平分线，则
∠BAD=
∠DAC=____,∠ADB=_____。
4、在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，若∠BOC=132°，则∠A=______.
5、如图，已知∠ABD=20°,
∠DBC=25°,
∠A=35°,则∠BDC的度数为______.
6、如图，在△ABC中，∠B=∠C，
FD⊥AB，DE⊥AC，∠AED=158°，则∠EDF=______
7判断
（1）
三角形中最大的角是，那么这个三角形是锐角三角形（
）（4题）
（6题）
（2）
一个三角形中最多只有一个钝角或直角（
）
（3）
一个等腰三角形一定是锐角三角形（
）
（4）
一个三角形最少有一个角不大于（
）(共11张PPT)
§11.2.1
三角形的内角和
我们已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°.怎么证明这个结论呢
方法一:通过具体的度量,验证三角形的内角和
为180°.
问题
方法二:剪拼法.
A
B
C
A
为什么要证明
按照上面的方法,已经可以验证三角形的内角和是180°,但是由于形状不同的三角形有无数多个,我们不可能通过上面的办法一一验证.再加上其验证过程中可能存在误差,不能保证其有效性.所以我们需要一种能证明任意一个三角形的内角和等于180°的方法.这个方法就是—证明.
一个命题是否正确,需要经过使人信服的推理论证才能得出结论.而证明是由命题的题设(已知)出发,经过严密的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.
三角形内角和定理:
三角形内角和等于180°.
已知:⊿ABC(如图所示)
求证:∠A+∠B+∠C=180°
证明:过点C作AB的平行线l.
∵AB∥l
∴∠A=∠1
(两直线平行,内错角相等)
同理,∠B=∠2.
∵∠1+
∠2+∠3=180°
(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠C=180°
(等量代换)
证明
A
B
C
l
1
2
3
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
方法一
三角形内角和定理:
三角形内角和等于180°.
证明:沿长BC到D点,过点C作AB的平行线CE.
方法二
A
B
C
D
E
证明:过A作AE∥BC，
∴∠C=∠CAE
(两直线平行,内错角相等)
∠EAC+∠BAC+∠B=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
(等量代换)
方法三
三角形内角和定理:
三角形内角和等于180°.
A
B
C
E
三角形内角和定理:
三角形内角和等于180°.
证明:过⊿ABC的两个锐角作BC的垂线BD和CE,过点A作BD的平行线AF.由图可知BD∥AF∥CE.
∴∠BAF=∠ABD
∠ECA=∠FAC
(两条直线平行,内错角相等.)
∴
⊿ABC的三个内角
∠A+∠B+∠C=∠ABC+∠ACB+
∠BAF+
∠FAC=
=∠DBA+∠ABC+∠ACB+∠ACE=90°+90°=180°
A
B
C
E
F
D
方法四
考考自己
1:在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C
,
求∠C的度数。
解：在△ABC中,
∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°
∴∠B+∠C=100°
∵∠B=∠C
∴∠B=∠C=50°
A
B
C
考考自己
2:已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x.
列出方程
x+3x+5x=180°
x=20°
答：三个内角度数分别为20°,60°,100°。
这节课你学到了什么
为什么要证明
你掌握了几种内角和的证明方法
你会应用内角和定理去解决一些问题吗
思路总结
为了证明三个角的和为180°,利用逆向思考的方法,把问题转化为一个平角,同旁内角互补,或者两个直角之和,或者其它方法.这种转化思想是数学中的常用方法.
