(共17张PPT)
八年级
上册
13.3
等腰三角形
（第2课时）
学习目标：
1．探索等腰三角形判定定理．
2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简
单的证明．
3．了解等腰三角形的尺规作图.
学习重点：
理解和运用等腰三角形的判定定理.
课件说明
问题 等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命
题的题设和结论分别是什么？
性质定理的题设是：一个三角形中有两条边相等．
结论：这两条边所对的角相等．
那么反过来，题设和结论互换一下还会成立吗？
题设：一个三角形有两个角相等．
结论：这两个角所对的边相等．
问题 类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能
选择一种来证明这个命题吗？
证明：过A
点作AE⊥BC，垂足为E.
在△ABE
和△ACE
中，
A
B
C
E
∠B
=∠C，
∠AEB
=
∠AEC
=
90°，
AE
=
AE，
∴
△ABE
≌△ACE
．
∴
AB
=
AC
．
追问 你还有其他证明方法吗？
已知：如图，在△ABC
中，∠B
=∠C.
求证：AB
=AC．
不能．
思考 能作底边BC
上的中线吗？
思考 与等腰三角形性质1进
行比较看有什么区别？
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对
的边也相等（简写成“等角对等边”）．
A
B
C
符号语言：
∵ 在△ABC
中，∠B
=∠C，
∴ AB
=AC．
巩固等腰三角形的判定定理
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于
三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
巩固等腰三角形的判定定理
已知：∠CAE
是△ABC
的外角，∠1
=∠2，AD∥
BC．
求证：AB
=AC.
A
B
C
D
E
1
2
证明：∵ AD∥BC
，
∴ ∠1
=∠B
（
），
∠2
=∠C
（
）．
巩固等腰三角形的判定定理
已知：∠CAE
是△ABC
的外角，∠1
=∠2，AD∥
BC．
求证：AB
=AC.
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
A
B
C
D
E
1
2
等边对等角
巩固等腰三角形的判定定理
已知：∠CAE
是△ABC
的外角，∠1
=∠2，AD∥
BC．
求证：AB
=AC.
证明：∵ ∠1
=∠2，
∴ ∠B
=∠C．
∴ AB
=AC
（
）．
A
B
C
D
E
1
2
D
C
巩固等腰三角形的判定定理
例2 已知等腰三角形底边长为a
，底边上的高的
长为h
，求作这个等腰三角形.
作法：
（1）作线段AB
=a；
（2）作线段AB
的垂直平分线MN，与
AB
相交于点D；
（3）在MN上取一点C，使DC
=h；
（4）连接AC，BC，则△ABC
就是所
求作的等腰三角形.
A
B
M
N
本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？
课堂小结
再
见
A
B
C
D
共有3个等腰三角形．
课堂练习
练习1 如图，∠A
=36°，∠DBC
=36°，∠C
=
72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个
等腰三角形给予证明．
课堂练习
练习2 如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，
重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
课堂练习
练习3 如图，AC
和BD
相交于点O，且AB∥DC，
OA
=OB．求证：OC
=OD．
A
B
C
D
O课题:
13.3等腰三角形
学习目标：
1．探索等腰三角形判定定理．
2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简
单的证明．
3．了解等腰三角形的尺规作图.
学习重点：
理解和运用等腰三角形的判定定理.
预习案
问题：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？
性质定理的题设是：
结论：
那么反过来，题设和结论互换一下还会成立吗？
题设：
结论：
类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能选择一种来证明这个命题吗？
思考 能作底边BC上的中线吗？
等腰三角形的判定方法：
思考 与等腰三角形性质1进行比较看有什么区别？
探究案
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
例2 已知等腰三角形底边长为a
，底边上的高的长为h
，求作这个等腰三角形.
课堂小结：
本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？
姓名_________
分数_________
检测案
1 如图，∠A
=36°，∠DBC
=36°，∠C
=72°，
图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．
2 如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等
腰三角形吗？为什么？
3 如图，AC和BD
相交于点O，且AB∥DC，OA
=OB．
求证：OC
=OD．
A
B
C
D
A
B
C
D
O(共19张PPT)
八年级
上册
13.3
等腰三角形
（第4课时）
学习目标：
1．探索含30°角的直角三角形的性质．
2．理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它
进行有关的证明和计算．
课件说明
问题 已知△ABC
中，∠A
=60°,（
）.
请你在括号内补充一个条件，使△ABC
能成为等边三角
形.
∠B
=60°（或∠C
=60°）
AB
=BC、AC
=BC、AB
=BC
=AC
A
B
C
思考2 这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？
思考1 等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一
条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？
活动 用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能
拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的
理由．
A
B
D
C
A
B
C
D
BC
=
AB．
问题 你能借助这个图形，找到含30°角的直角
△ABC
的直角边BC
与斜边AB
之间有什么数量关系吗？
A
B
D
C
思考 这个命题是真命题吗？请进行证明．
问题 请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来.
猜想 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
证明：在△ABC
中，
∵ ∠C
=90°，∠A
=30°,
∴ ∠B
=60°．
延长BC
到D，使BD
=AB，
连接AD，
则△ABD
是等边三角形．
已知：如图，在Rt△ABC
中，∠C
=90°，∠A
=
30°.
求证：BC
=
AB．
活动操作，探索性质
A
B
C
D
∴ BC
=
BD
=
AB
．
已知：如图，在Rt△ABC
中，∠C
=90°，∠A
=
30°.
求证：BC
=
AB．
追问：你还能用其他方
法证明吗？
活动操作，探索性质
证明：由等边三角形的性质可知，
AC
也是BD
边上的中线，
A
B
C
D
动手操作，探索性质
另证：作∠BCE
=60°，交AB于E，连接CE，
则∠ACE
=90°-60°=30°．
在△ABC
中，
∵ ∠ACB=90°，∠A
=30°，
∴ ∠B
=60°．
在△BCE
中，
∵ ∠BCE=60°，∠B
=60°，
∴ △BCE
是等边三角形．
∴ BC
=BE
=CE．
E
A
B
C
动手操作，探索性质
∴ BC
=BE
=AE
=
AB．
另证：
在△ACE
中，
∵ ∠A=30°，∠ACE
=30°，
∴ △AEC是等腰三角形．
∴ CE
=AE．
∴ BC
=BE
=CE
=AE．
E
A
B
C
符号语言：
∵ 在Rt△ABC
中，
∠C
=90°，∠A
=30°，
动手操作，探索性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么
它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
∴ BC
=
AB．
5
课堂练习
如图，在△ABC
中，∠C
=90°，∠A
=
30°，AB
=10，则BC
的长为
．
A
B
C
思考 图中BC、DE
分
别是哪个直角三角形的直角
边？它们所对的锐角分别是
多少度？
性质运用
例 如图是屋架设计图的一部分，点D
是斜梁AB
的中点，立柱BC、DE
垂直于横梁AC，AB
=7.4
cm，
∠A
=30°，立柱BC、DE
要多长？
A
B
C
D
E
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A
=30°，
∴ BC
=
AB，DE
=
AD．
又 AD
=
AB，
∴ DE
=
AD
=1.85（m）
．
∴ BC
=3.7（m）．
答：立柱BC
的长是3.7
m，DE
的长是1.85
m．
性质运用
例 如图是屋架设计图的一部分，点D
是斜梁AB
的中点，立柱BC、DE
垂直于横梁AC，AB
=7.4
cm，
∠A
=30°，立柱BC、DE
要多长？
A
B
C
D
E
课堂小结
本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？
再
见
1
课堂练习
练习1 如图，在△ABC
中，∠ACB
=90°，CD
是
高，∠A
=30°，AB
=4．则BD
=
.
A
B
C
D
课堂练习
练习2 Rt△ABC
中，∠C
=90°，∠B
=2∠A，
∠B
和∠A
各是多少度？边AB
与BC
之间有什么关系？
A
B
C
D(共20张PPT)
八年级
上册
13.3
等腰三角形
（第1课时）
课件说明
学习目标：
1．探索并证明等腰三角形的两个性质．
2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等．
3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴
对称在研究几何问题中的作用．
学习重点：
探索并证明等腰三角形性质．
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并
剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC
有什么特点？
A
B
C
D
同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各
异，是否都具有上述所概括的特征？
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找到其中重合的线段和角.
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说说你的猜想并证明
已知：如图，△ABC
中，AB
=AC．求证：∠B
=
∠C．
A
Ｂ
C
D
证明：作底边的中线AD．
∵ AB
=AC，
BD
=CD，
AD
=AD，
∴ △ABD
≌△ACD（SSS）．
∴ ∠B
=∠C．
你还有其他方法证明吗？
可以作底边的高线或顶角的角平分线.
A
Ｂ
C
D
等腰三角形的性质:
性质1：等腰三角形的两个底角相等；
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．可以分解为三个命题，例如“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．
你能说出其它两个命题吗？
选择其中的一个证明.
已知：如图，△ABC
中，AB
=AC，AD
是底边BC
的中线．求证：∠BAD
=∠CAD，AD⊥BC．
A
Ｂ
C
D
证明：∵ AD
是底边BC
的中线，
∴ BD
=CD．
∵ AB
=AC，
BD
=CD，
AD
=AD，
∴ △ABD
≌△ACD（SSS）．
已知：如图，△ABC
中，AB
=AC，AD
是底边BC
的中线．求证：∠BAD
=∠CAD，AD⊥BC．
A
Ｂ
C
D
证明：∴ ∠BAD
=∠CAD，
∠ADB
=∠ADC．
∵ ∠ADB
+∠ADC
=180°，
∴ ∠ADB
=90°．
∴ AD⊥BC．
等腰三角形的性质:
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底
边上的高互相重合．
从以上证明可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．
课堂练习
练习1 填空：
如图，△ABC
中,
AB
=AC,
∠A
=36°,
则∠B
=
°；
A
B
C
课堂练习
练习2 如图，△ABC
中，AB
=AC，点D
在AC
上，
且BD
=BC
=AD．求△ABC
各角的度数．
A
B
C
D
本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？
课堂小结
再
见
课堂练习
练习1 填空：
已知等腰三角形的一个内角为70°,则它的另外两个内角的度数分别是
.
课堂练习
练习2 填空：
如图，△ABC
中,
AB
=AC,
∠B
=36°,
则∠A=______°
A
B
C
课堂练习
练习3 如图，△ABC
是等腰直角三角形（AB
=
AC，∠BAC
=90°），AD
是底边BC
上的高，标出∠B，
∠C，∠BAD，∠DAC
的度数，并写出图中所有相等的
线段.
A
B
C
D(共25张PPT)
八年级
上册
13.3
等腰三角形
（第3课时）
学习目标：
1．探索并证明等腰三角形的两个性质．
2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等．
3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用．
下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此
图形的名称吗？
三条边都相等的三角形是等边三角形．
问题 满足什么条件的三角形是等边三角形？
等边三角形
A
B
C
联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；
区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形
只有两条.
请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合
你画的图形说出它们有什么区别和联系？
A
B
C
A
B
C
思考 将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能
得到什么结论？
从边的角度：两腰相等；
从角的角度：等边对等角；
从对称性的角度：轴对称图形、三线合一．
问题 等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
图形
边
角
轴对称图形
等腰
三角形
两边相等
（定义）
两底角相等
（等边对等角）
是（三线合一）
一条对称轴
等边
三角形
三边相等
（定义）
？
？
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应
的结论吗？
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应
的结论吗？
图形
边
角
轴对称图形
等腰
三角形
两边相等
（定义）
两底角相等
（等边对等角）
是（三线合一）
一条对称轴
等边
三角形
三边相等
（定义）
？
相等
每个角都等于60°
相等
每个角都等于60°
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应
的结论吗？
图形
边
角
轴对称图形
等腰
三角形
两边相等
（定义）
两底角相等
（等边对等角）
是（三线合一）
一条对称轴
等边
三角形
三边相等
（定义）
是（三线合一）
三条对称轴
对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角
都等于60°”这一结论进行证明.
证明：∵ △ABC
是等边三角形，
∴ BC
=AC，BC
=AB．
∴ ∠A
=∠B，∠A
=∠C
．
∴ ∠A
=∠B
=∠C
．
∵ ∠A
+∠B
+∠C
=180°，
∴ ∠A
=60°．
∴ ∠A
=∠B
=∠C
=60°．
已知：△ABC
是等边三角形
求证：∠A
=∠B
=∠C
=60°．
A
B
C
符号语言：
∵ △ABC
是等边三角形，
∴ ∠A
=∠B
=∠C
=60°．
等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等
于60°.
A
B
C
思考 利用所学知识判断，等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴.
A
B
C
思考1 一个三角形的三个内角满足什么条件是等
边三角形？
三个角都相等的三角形或者一个角为60°的等腰三
角形．
思考2 一个等腰三角形满足什么条件是等边三角
形？
问题 等边三角形除了用定义（即用边）来判定以
外，能否利用角来判定呢？
请你将得到的这两个命题进行证明.
等边三角形
等腰三角形
一般三角形
证明：∵ ∠A
=∠B，∠B
=∠C
，
∴ BC
=AC，
AC
=AB．
∴ AB
=BC
=AC．
∴ △ABC
是等边三角形．
已知：在△ABC
中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC
是等边三角形．
C
A
B
已知：在△ABC
中，AC
=BC且∠A
=60°．求证：
△ABC是等边三角形．
证明：略．
C
A
B
符号语言：
在△ABC
中，
∵ ∠A=∠B
=∠C
，
∴ △ABC
是等边三角形．
等边三角形的判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
C
A
B
等边三角形的判定定理2：
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
C
A
B
符号语言：
在△ABC
中，
∵ BC
=AC，∠A
=60°，
∴ △ABC
是等边三角形．
等边三角形的判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的判定定理2：
有一个角为60°的等腰三角形．
判定等边三角形的方法：
从边的角度：等边三角形的定义；
从角的角度：等边三角形的两条判定定理．
证明：
∵ △ABC
是等边三角形，
∴ ∠A
=∠B
=∠C
=60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠B
=∠ADE，∠C
=∠AED．
∴ ∠A=∠ADE
=∠AED．
∴ △ADE
是等边三角形．
动脑思考，例题解析
例1 如图，△ABC
是等边三角形，DE∥BC,
分
别交AB，AC
于点D，E．求证：△ADE
是等边三角形.
追问 本题还有其他证法吗？
A
B
C
D
E
证明：∵ △ABC
是等边三角形，
∴ ∠A
=∠ABC
=∠ACB
=60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC
=∠ADE，
∠ACB
=∠AED.
∴ ∠A
=∠ADE
=∠AED.
∴ △ADE
是等边三角形.
动脑思考，变式训练
变式1 若点D、E
在边AB、AC
的延长线上，且
DE∥BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
动脑思考，变式训练
变式2 若点D、E
在边AB、AC
的反向延长线上，
且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明：
∵ △ABC
是等边三角形，
∴ ∠BAC
=∠B
=∠C
=60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠B
=∠D，∠C
=∠E．
∴ ∠EAD
=∠D
=∠E．
∴ △ADE
是等边三角形．
A
D
E
B
C
本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？
课堂小结
再
见等腰三角形4
学习目标：
1．探索含30°角的直角三角形的性质．
2．理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它
进行有关的证明和计算．
预习案
问题1 已知△ABC
中，∠A
=60°,（
）.请你在括号内补充一个条件，使
△ABC
能成为等边三角形.
思考 等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？
思考 这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？
活动 用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由．
探究案
问题2 你能借助这个图形，找到含30°角的直角△ABC的较短直角边与斜边之间有什么数量关系吗？
猜想：
问题3 请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来.
思考 这个命题是真命题吗？请进行证明．
含30°角的直角三角形的性质：
符号语言：
练习 如图，在△ABC
中，∠C
=90°，∠A
=
30°，AB
=10，则BC
的长为______
例 如图是屋架设计图的一部分，点D
是斜梁AB的中点，立柱BC、DE
垂直于横梁AC，AB
=7.4
cm,∠A
=30°，立柱BC、DE
要多长？
课堂小结：
本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？
姓名_________
分数_________
检测案
1 如图，在△ABC
中，∠ACB
=90°，CD
是高，∠A
=30°，AB
=4．则BD
=
______.
2 Rt△ABC
中，∠C
=90°，∠B
=2∠A,∠B
和∠A
各是多少度？边AB
与BC
之间有什么关系？
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
A
B
C
D
C
D
B
A课题:
13.3等腰三角形
学习目标：
1．探索并证明等腰三角形的两个性质．
2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等．
3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴
对称在研究几何问题中的作用．
学习重点：
探索并证明等腰三角形性质．
预习案
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，
再把它展开，得到的△ABC
有什么特点？
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找到其中重合的线段和角.
探究案
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说说你的
猜想并证明.可以用多种方法证明
等腰三角形的性质1：
等腰三角形的性质2：
课堂练习
练习1 填空：
如图，△ABC
中,
AB
=AC,
∠A
=36°,
则∠B
=
_____°；
1题
2题
练习2 如图，△ABC中，AB
=AC，点D
在AC
上，
且BD
=BC
=AD．求△ABC
各角的度数．
课堂小结：
本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？
姓名_________
分数_________
检测案
1 填空：
已知等腰三角形的一个内角为70°,则它的另外两个内角的度数分别是
2 填空：
如图，△ABC
中,
AB
=AC,
∠B
=36°,
则∠A=______°
3 如图，△ABC
是等腰直角三角形（AB
=AC，∠BAC
=90°），AD
是底
边BC
上的高，标出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC
的度数，并写出图中所有
相等的线段.
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D课题:
13.3等腰三角形3
学习目标：
1．探索并证明等腰三角形的两个性质．
2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等．
3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴
对称在研究几何问题中的作用．
预习案
问题 满足什么条件的三角形是等边三角形？
请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区别和联系？
问题 等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
探究案
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？
对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”
这一结论进行证明.
已知：△ABC
是等边三角形
求证：∠A
=∠B
=∠C
=60°．
等边三角形的性质：
符号语言：
思考 利用所学知识判断，等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴.
问题 等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，能否利用角来判定呢？
思考1 一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？
思考2 一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？
请你将得到的命题进行证明.
等边三角形的判定定理1：
符号语言：
等边三角形的判定定理2：
符号语言：
例1 如图，△ABC
是等边三角形，DE∥BC,
分别交AB，AC
于
点D，E．求证：△ADE
是等边三角形.
变式1
若点D、E
在边AB、AC
的延长线上，且
DE∥BC，结论
还成立吗？
变式2 若点D、E
在边AB、AC
的反向延长线上，且DE∥BC，结论
依然成立吗？
课堂小结：
本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？
姓名_________
分数_________
检测案
1、等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么？
2、如图(4)，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？
3、已知：如图（5），△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．
求证：DB=DE．
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
A
D
E
B
C
A
D
E
B
C
图（4）
图（5）
