(共19张PPT)
八年级
上册
13.4
课题学习
将军饮马问题
学习目标：
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形
的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
学习重点：
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线
段最短”问题．
课件说明
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访
海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A
地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然
后到B
地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程
最短？
探索新知
B
A
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的
知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马
问题”．
探索新知
B
A
l
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B
两地抽象为两个点，将河l
抽象为一条直
线．
探索新知
B
·
·
A
l
（1）从A
地出发，到河边l
饮马，然后到B
地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B
连接起来的两条线段的长度之和，就是从A
地
到饮马地点，再回到B
地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C
为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C
在l
的什么位置时，
AC
与CB
的和最小（如图）．
B
A
l
C
追问1 对于问题2，如何
将点B“移”到l
的另一侧B′
处，满足直线l
上的任意一点
C，都保持CB
与CB′的长度
相等？
探索新知
问题2
如图，点A，B
在直线l
的同侧，点C
是直
线上的一个动点，当点C
在l
的什么位置时，AC
与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
追问2 你能利用轴对称的
有关知识，找到上问中符合条
件的点B′吗？
探索新知
问题2
如图，点A，B
在直线l
的同侧，点C
是直
线上的一个动点，当点C
在l
的什么位置时，AC
与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
作法：
（1）作点B
关于直线l
的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l
相交
于点C．
则点C
即为所求．
探索新知
问题2
如图，点A，B
在直线l
的同侧，点C
是直
线上的一个动点，当点C
在l
的什么位置时，AC
与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
B′
C
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
B
·
l
A
·
B′
C
证明：如图，在直线l
上任取一点C′（与点C
不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC
=B′C，BC′=B′C′．
∴ AC
+BC
=
AC
+B′C
=
AB′，
AC′+BC′
=
AC′+B′C′．
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
B
·
l
A
·
B′
C
C′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
B
·
l
A
·
B′
C
C′
证明：在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC
+BC＜AC′+BC′．
即 AC
+BC
最短．
若直线l
上任意一点（与点
C
不重合）与A，B
两点的距离
和都大于AC
+BC，就说明AC
+
BC
最小．
探索新知
B
·
l
A
·
B′
C
C′
追问1 证明AC
+BC
最短时，为什么要在直线l
上
任取一点C′（与点C
不重合），证明AC
+BC
＜AC′
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
将军饮马问题你学会了吗？
基本过程是什么？
B
·
l
A
·
B′
C
C′
运用新知
练习 如图，一个旅游船从大桥AB
的P
处前往山
脚下的Q
处接游客，然后将游客送往河岸BC
上，再返
回P
处，请画出旅游船的最短路径．
A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥
运用新知
基本思路：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
段PQ
为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q
在直线BC
的同侧，如何在BC上找到
一点R，使PR与QR
的和最
小”．
A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥
归纳小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
你还有哪些疑问？
再
见课题:课题学习
将军饮马问题
学习目标:能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问
题中的作用，感悟转化思想．
学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
预习案
回忆：以前学过的最短路径问题的根据有哪些？
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A
地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然后到B
地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
追问2 请你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗，然后证明
探究案
点B′是点B关于直线l的对称点，你能用所学的知识证明从A到l
再到B的路程中AC
+BC最短吗？
追问
证明AC
+BC
最短时，为什么要在直线l
上任取一点C′（与点C
不重合），证明AC
+BC
＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
将军饮马问题你学会了吗？基本过程是什么？
练习 如图，一个旅游船从大桥AB
的P
处前往山脚下的Q
处接游客，然后将游客送往河岸BC
上，再返回P
处，请画出旅游船的最短路径．
课堂小结：
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
你还有哪些疑问？
姓名_________
分数_________
检测案
如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC=BD，若A到河岸CD的中点的距离为500m,若牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？
B
A
l
B
·
l
A
·
B
C
C
A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥
