2017-2018学年高二数学人教A版选修2-2学业分层测评：第1章 1.2.1　几个常用函数的导数 1.2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）

学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列结论正确的是(　　)
A．若y＝cos
x，则y′＝sin
x
B．若y＝sin
x，则y′＝－cos
x
C．若y＝，则y′＝－
D．若y＝，则y′＝
【解析】　∵(cos
x)′＝－sin
x，∴A不正确；
∵(sin
x)′＝cos
x，∴B不正确；∵()′＝，∴D不正确．
【答案】　C
2．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为(　　)
A．(1,1)
B．(－1，－1)
C．(－1,1)
D．(1,1)或(－1，－1)
【解析】　切线的斜率k＝tan
π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.
【答案】　D
3．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为(　　)
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x3＋1
D．f(x)＝x4－1
【解析】　由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得，选B.
【答案】　B
4．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝(　　)
A．4
B．－4
C．28
D．－28
【解析】　∵y′＝3x2，∴点(2,8)处的切线斜率
k＝f′(2)＝12.
∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，
∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.
【答案】　C
5．若f(x)＝sin
x，f′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是(　　)
A.
B.
C.π
D.π
【解析】　∵f(x)＝sin
x，∴f′(x)＝cos
x.
又∵f′(α)＝cos
α＝，
∴α＝2kπ±(k∈Z)．
当k＝0时，α＝.
【答案】　A
二、填空题
6．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
【解析】　因为f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.
【答案】　1
7．直线y＝x＋b是曲线y＝ln
x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
【解析】　设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln
x0.
∵y′＝(ln
x)′＝，∴y′|＝，由题意知＝，
∴x0＝2，y0＝ln
2.
由ln
2＝×2＋b，得b＝ln
2－1.
【答案】　ln
2－1
8．质点的运动方程是s＝(其中s的单位是m，t的单位是s)．则质点在t＝3
s时的瞬时速度是________．
【解析】　∵s＝t－4，∴s′＝－4t－5，
∴质点在t＝3
s时的瞬时速度是(－4)×＝－(m/s.)
【答案】　－
m/s
三、解答题
9．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8
s时的瞬时速度.
【解】　∵s′＝()′＝(t)′＝t，
∴s′|t＝8＝×8＝×2－1＝，
∴质点P在t＝8
s时的瞬时速度为
m/s.
10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
【解】　因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
[能力提升]
1．设f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2
017(x)＝(　　)
A．sin
x
　
B．－sin
x
C．cos
x
D．－cos
x【解析】　f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin
x)′＝cos
x，
f2(x)＝f1′(x)＝(cos
x)′＝－sin
x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin
x)′＝－cos
x，f4(x)＝f3′(x)
＝(－cos
x)′＝sin
x，所以4为最小正周期，
故f2
017(x)＝f1(x)＝cos
x.
【答案】　C
2．若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝(　　)
A．64
B．32　　　C．16　　　D．8
【解析】　因为y′＝－x，所以曲线y＝x在点(a，a)处的切线方程为：
y－a＝－a(x－a)，由x＝0得y＝a，由y＝0得x＝3a，所以·a·3a＝18，解得a＝64.
【答案】　A
3．点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________.
【解析】　与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．∴d＝＝.
【答案】　
4．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
【解】　(1)因为y′＝2x.
P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即
2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝y′|＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.