甘肃省张掖市临泽县九年级数学下册1.5《三角函数的应用》教案（新版）北师大版

《三角函数的应用》
教学目标
（一）教学知识点
1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．
2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．
（二）能力训练要求
发展学生的数学应用意识和解决问题的能力．
（三）情感与价值观要求
1．在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气．
2．选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望．
教学重点
1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用．
2．发展学生数学应用意识和解决问题的能力．
教学难点
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图．
教学过程
（一）复习旧知，引入新课
1．一物体沿坡度为1∶8的山坡向上移动，则物体升高了
m．
答案：1
2．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，再向塔底前进am，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔的高为
m．
答案：a
3．如图所示，在高2m，坡角为30°的楼梯
表面铺地毯，地毯的长度至少需要_______m．
答案：
4．创设问题，引入新课
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．
（二）讲授新课
1．思路点拔
（1）我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的？
应该是“上北下南，左西右东”．
（2）请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的．
首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处．示意图如下．
（3）货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？
根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险．A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度．我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较．
（4）下面我们就来看AD如何求．根据题意，有哪些已知条件呢？
已知BC=20海里，∠BAD=55°，∠CAD=25°．
（5）在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD．你能在哪一个三角形中求出AD呢？
在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD．
在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC=20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD．
（6）那该如何是好？是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑？
这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边．而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC=BD-CD．BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系．
（7）有何联系呢？
在Rt△ABD中，，；在Rt△ACD中，，．
利用BC=BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°=20．
总结：其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一．
解：过A作BC的垂线，交BC于点D得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而
BD=ADtan55°，CD=ADtan25°，由BD-CD=BC，又BC=20海里．得
　　
ADtan55°-ADtan25°=20．
　　AD（tan55°-tan25°）=20，
　　
（海里）．
这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险．
2．小组合作，探索问题
（1）想一想你会更聪明：
接下来，我们再来研究一个问题．还记得本章开头小明要测塔的高度吗？现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度．
如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处．测得仰角为60°．那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1
m）
（2）思路点拔：
①我想请一位同学告诉我什么是仰角？在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角？
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．30°的仰角指
∠DAC，60°的仰角指∠DBC．
②很好！请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答．
首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在
Rt△ADC中，，
即，在Rt△BDC中，，
即，又∵AB=AC-BC=50
m，得
．
解得CD≈43（m），
即塔CD的高度约为43
m．
③提出质疑，再探新知：
小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD的高度时是否应考虑小明的身高？
在实际测量时，的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离．
④如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6
m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？
示意图如图所示，由前面的
解答过程可知CC′≈43
m，则CD=43+1.6=44.6
m．即考虑小明的高度，塔的高度为44.6
m．
3．巩固新知、解决问题：
现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下．
　　
某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4
m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.0l
m）
请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，（先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法）
（1）思路点拔
要注意调整前后梯楼的高度是一个不变量．根据题意可画㈩示意图（如右图）．其中AB表示楼梯的高度．AC是原楼梯的长，BC是原楼梯的占地长度；AD是调整后的楼梯的长度，DB是调整后的楼梯的占地长度．∠ACB是原楼梯的倾角，∠ADB是调整后的楼梯的倾角．转化为数学问题即为：
如图，AB⊥DB，∠ACB=40°，∠ADB=35°，AC=4m．求AD-AC及DC的长度．
（2）解决问题
解：由条件可知，在Rt△ABC中，，即AB=4sin40°m，原楼梯占地
长BC=4cos40°m．
调整后，在Rt△ADB中，，则m．楼梯占地长m．
∴调整后楼梯加长（m），
楼梯比原来多占（m）．
（三）随堂练习
1．如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=5m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？
解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°，DB=5
m，，BC=DBsin40°=5sin40°（m）．
在Rt△EDB中，DB=5
m，
BE=BC+EC=2+5sin40°（m）．
根据勾股定理，得（m）．
所以钢缆ED的长度为7.96
m．
2．如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD=6
m，坡长CD=8
m．坡底BC=30
m，∠ADC=135°．
（1）求∠ABC的大小；
（2）如果坝长100
m．那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到0.01
m3）
解：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F为垂足．
（1）在梯形ABCD中．∠ADC=135°，
∴∠FDC=45°，EF=AD=6
m．在Rt△FDC中，DC=8m．DF=FC=CD．
（m）．
∴（m）．
在Rt△AEB中，（m）．
．
∴∠ABC≈17°8′21″．
（2）梯形ABCD的面积：
（m2）．
坝长为100
m，那么建筑这个大坝共需土石料（m3）．
综上所述，∠ABC=17°8′21″，建筑大坝共需10182.34
m3土石料．
（四）活动与探究，拓展知识
例题：如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均受到影响．
（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由．
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？
[过程]这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征．在转化、抽象成数学问题上下功夫．
[结果]（1）过点B作BD⊥AC．垂足为D．
依题意，得∠BAC=30°，在Rt△ABD中，，
∴B处会受到台风影响．
（2）以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得
DE=120，．
．
∴（小时）．
因此，该船应在3.8小时内卸完货物．
（五）课时小结
本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力．
其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴．请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣．
习题1.6第1、2、3题．