一元二次方程
一、学习目标
1、正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；
2、知道一元二次方程的一般形式是是常数，） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；21cnjy.com
3、理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件；
4、通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。21·cn·jy·com
重难点关键
1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．2·1·c·n·j·y
二、知识准备
1、只含有_____个未知数，且未知数的最高次数是_______的整式方程叫一元一次方程
2、方程2（x+1）=3的解是____________
3、方程3x+2x=0.44含有____个未知数，含有未知数项的最高次数是_____，它____ （填“是”或“不是”）一元一次方程。www.21-cn-jy.com
三、学习过程
1、 根据题意列方程：
⑴正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。
设正方形桌面的边长是m，根据题意,得方程_______________，这个方程含有_____个未知
数，未知数的最高次数是_____。
⑵如图4-1，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，如果花园的面积是24㎡，
求花园的长和宽。
设花园的宽是m,则花园的长是（19－2）m,根据题意，得： (19－2)=24，去括号，
得:______________这个方程含有____________个未知数，含有未知数项的最高次数是
________。
⑶如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m。若梯子底端向右滑动的距离与
梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。
设梯子滑动的距离是m，根据勾股定理，滑动之前梯子的顶端离地面4m，则滑动后梯子的
顶端离地面（4－x）m，梯子的底端与墙的距离是（3＋x）m。
根据题意，得：，去括号，得：____________________移项，合并同类项，得：_________________，此方程含有______个未知数，含有未知数项的最高次数是______。
2、概括归纳与知识提升：
⑴像，，这样的方程，只含有一个未知数，且未知数的最
高次数是2的方程叫一元二次方程。
〖思考感悟〗判断下列方程是否是一元二次方程？并说明理由。
①，②， ③， ④.
(2)任何一个关于x的一元二次方程都可以化成下面的形式：
是常数，）这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中分别叫做________、________和_______，、b分别叫做_________和一次项系数。
练习：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）x（11－x）=30 （2）（20＋2x）（40－x）=1200
（3） （4）
四、 知识梳理
含有______个未知数，并且含有未知数的最高次数是_______的整式方程叫一元二次方程，它的一般形式是_______________________，二次项是_________，一次项是_________，常数项是_________。21教育网
五 、达标检测
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）．
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
一元二次方程的一般形式是__________．
方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为
_________．
5．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．
6.方程x（4x+3）=3x+1化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______________，
一次项系数是_______________，常数项是____________________.
7、(1)方程中，有一个根为2，则n的值.
(2)一元二次方程有一个解为0，试求方程的解。
8、根据题意列方程
（1）一个矩形纸盒的一个面中长比宽多2㎝，这个面的面积是15㎝2，求这个矩形的长与宽；
(2)两个连续正整数的平方和是313，求这两个正整数；
(3)两个数的和为6，积为7，求这两个数；
(4)一个长方形的周长是30㎝，面积是54㎝2，求这个长方形的长与宽。
9.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 21世纪教育网版权所有
六、写出你对这节内容的收获。
21.1 一元二次方程
学习目标：
1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
导学流程：
自学课本导图，走进一元二次方程
分析：现设雕像下部高x米，则度可列方程
去括号得 ①
你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？
探究新知
自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：
问题1可列方程 整理得 ②
问题2可列方程 整理得 ③
1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？
?
2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm 长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？
观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。21教育网
展示反馈
【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
其中为一元二次方程的是：
【我学会了】
1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。21·cn·jy·com
2、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。
自主探究：
自主学习P26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。 www.21-cn-jy.com
（1） （2）
【巩固练习】教材第27页练习
2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2； （2）7x－3=2x2;
（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.
3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；
（1）±1 ±2；（2）±2， ±4
（2）把方程 2（x-1）2+2x=16 ( 化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。21cnjy.com
2、要使 是一元二次方程，则k=_______.
3、已知关于x的一元二次方程 有一个解是0，求m的值。
21.1 一元二次方程（2）
学习内容
1．一元二次方程根的概念；
2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．
学习目标
了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．2·1·c·n·j·y
重难点关键
1．重点：判定一个数是否是方程的根；
2．难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
学习过程
一、自学教材
针对目标自学教材27页—28页内容，会规范解答28页练习题1、2.
二、合作交流，解读探究
先独立思考，有困难时请求他人帮助，10分钟后检查你是否能正确、规范解答下列题目：
1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
?
?
2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0
?
?
应用迁移，巩固提高
3、 若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2009(a+b+c)的值21世纪教育网版权所有
?
4、关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值
?
三、总结反思，自查自省
选择题
1．方程x（x-1）=2的两根为（ ）．
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2
2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）．
A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2= C．x1=a，x2= D．x1=a2，x2=b2
3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则 =（ ）．
A．1 B．-1 C．0 D．2
填空题
1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
3．方程（x+1）2+ x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．
21．1 一元二次方程
1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式．
2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．
3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．
一、情境导入
参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？21教育网
二、合作探究
探究点一：一元二次方程的概念
【类型一】一元二次方程的识别
下列选项中，是关于x的一元二次方程的是( )
A．x2＋＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0
C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0
解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选C.21cnjy.com
方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．21·cn·jy·com
【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数
关于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0是一元二次方程，则k的值为________．
解析：由题意得∴
∴k＝3.
方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．
探究点二：一元二次方程的一般形式
将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)3x2－2＝5x；
(2)9x2＝16；
(3)2x(3x＋1)＝17；
(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.
解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．
解：(1)方程化为一般形式为3x2－5x－2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.
(2)方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.
(3)方程化为一般形式为6x2＋2x－17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.
(4)方程化为一般形式为3x2－9x－3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.
方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．www.21-cn-jy.com
探究点三：列一元二次方程
(2015·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2.已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．请根据题意列出方程．
解析：设花边的宽度为xm，则由图可知剩下部分的长为(2－2x)m，剩下部分的宽为(1.4－2x)m.∵剩下部分面积为1.6m2，∴可列方程(2－2x)(1.4－2x)＝1.6.
方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．2·1·c·n·j·y
探究点四：一元二次方程的解
【类型一】判断一元二次方程的解
方程x2－2x＝0的解为( )
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝，x2＝2
解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C中的x1＝0，x2＝2都能使方程x2－2x＝0的左右两边相等，所以选C.21世纪教育网版权所有
方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．
【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值
已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是( )
A．1 B．－1
C．0 D．无法确定
解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.【来源：21·世纪·教育·网】
方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.
21.1 一元二次方程
教学时间
课题
21.1 一元二次方程
课型
新授
教学媒体
多媒体
教
学
目
标
知识
技能
1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.
2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式
3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根
过程
方法
1..通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式.
3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念，
情感
态度
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
教学重点
一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念
教学难点
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入
导语：小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.
二、探究新知
探究课本问题2
分析：
1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？
2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x个队参赛，如何用含x的代数式表示全部比赛场数？
整理所列方程后观察：
1.方程中未知数的个数和次数各是多少？
2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？
4x+3=0； ；；；
概念归纳：
1.一元二次方程定义：
分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2.
2.一元二次方程的一般形式：
分析：
.为什么规定≠0？
.方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x的一元二次方程的各项分别是什么？各项系数是什么？
3.特殊形式：；；
课本例题
分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号.
一元二次方程的根的概念
1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念
2.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0（2）x2+1=0 （3）x2-3x=0 （4）
4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？
5.排球邀请赛问题中，所列方程的根是8和-7，但是答案只能有一个，应该是哪个？
归纳：
一元二次方程的根的情况
一元二次方程的解要满足实际问题
三、课堂训练
1.课本练习
2补充：
1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2）.关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a范围________．
3).已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________
4).关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？
四、小结归纳
1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数.
2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根.
五、作业设计
必做：P4：1.2.4.6.7
选做：.P29：3.5.7
点题，板书课题.
学生读题找等量关系列方程.
学生观察所列方程整理后的特点，把握方程结构，初步感知一元二次方程概念.
学生尝试叙述，然后师生归纳
师生分析概念和一般形式.
学生根据相关概念作答，复习巩固.
学生类比一元一次方程的解尝试叙述
学生思考，讨论完成，
学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正
师生归纳总结，学生作笔记.
联系曾经学习过的方程知识衔接本章，明确本节课内容
淡化列方程难度，重点突出方程特点
通过比较，对一元二次方程的概念达到共识，从而为掌握概念作准备.
全面理解和掌握
识记、理解相关概念
通过类比，迁移提高
加深对概念理解和运用，同时对一元二次方程的根的情况初步感知
使学生巩固提高，
了解学生掌握情况
纳入知识系统
教学反 思
21．1 一元二次方程
教学目标
1.理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式。
2.会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题。
3.在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次的感性认识。。
重难点关键
1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．21世纪教育网版权所有
教学过程
一、复习引入
学生活动：列方程．
问题（1）如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？21cnjy.com
设梯子底端距墙为xm，那么，
根据题意，可得方程为___________．
问题（2）如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．
如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．
整理得：_________．
问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？21·cn·jy·com
如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．【来源：21·世纪·教育·网】
整理，得：________．
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．
二、探索新知
学生活动1：请口答下面问题．
（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．21·世纪*教育网
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2-1-c-n-j-y
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．21*cnjy*com
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．【来源：21cnj*y.co*m】
学生活动2 提问：
（1）问题1中一元二次方程的解是多少？
（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？
老师点评：（1）问题1中x=6是x2-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解．
（3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解
为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．2·1·c·n·j·y
回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是－6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．【版权所有：21教育】
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．21教育名师原创作品
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．【出处：21教育名师】
解：去括号，得：
40-16x-10x+4x2=18
移项，得：4x2-26x+22=0
其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
例2已知1是关于x的一元二次方程（m－1）x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．1 B．―1
C．0 D．无法确定
分析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到时一元二次方程，所以还要其二次项系数要不能等于0．由此得，(m-1)+1+1=0，解得m=-1，此时m-1=-2≠0，∴m=-1．故选B．www-2-1-cnjy-com
方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目的时候，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题。
例3 如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）21教育网
A．32 B．126
C．135 D．144
分析：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为x，则最大数为x+16，根据题意，得x（x+16）=192，解得x1=8，x2=﹣24（不合题意舍去），故最小的三个数为8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为22，23，24，这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．故选D．21*cnjy*com
方法总结：在日历表中，在同一列上相邻的两个数，下一列比上一列的一个数大7；在同一行上相邻的两个数，右边的比左边的一个数大1，是解决此类问题的依据．
三、巩固练习
教材习题22.1练习1、2
四、应用拓展
例4．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．www.21-cn-jy.com
分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
证明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
五、归纳小结（学生总结，老师点评）
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
六、布置作业
1．教材习题22．1 1、2．
2．选用作业设计．
作业设计
一、选择题
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）．
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）．
A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数
4．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则=（ ）．
A．1 B．-1 C．0 D．2
二、填空题
5．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为____，一次项系数为____，常数项为____．
6．一元二次方程的一般形式是__________．
7．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是_____．
8．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
三、综合提高题
9．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？
关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
11．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
12．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等
于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．
13．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是
这样做的：
设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想
知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：
第一步：
x
1
2
3
4
x2-3x-1
-3
-3
所以，________第二步：
x
3.1
3.2
3.3
3.4
x2-3x-1
-0.96
-0.36
所以，________ （1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；
（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．
课件21张PPT。21.1 一元二次方程第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.理解一元二次方程的概念.（难点）
2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）导入新课复习引入没有未知数代数式一元一次方程二元一次方程不等式分式方程2.什么叫方程？我们学过哪些方程？含有未知数的等式叫做方程.我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.3.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.问题1 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？请根据题意列出方程.100cm50cmx3600cm2解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得整理，得化简，得该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？讲授新课问题2 要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
解析：设应邀请x个队参赛，每个队都要与其他(x-1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 场.解：根据题意，列方程：整理得：化简，得：该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？观察与思考 方程①、 ②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:①都是整式方程;②只含一个未知数;③未知数的最高次数是2.知识要点一元二次方程的概念
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是
ax2+bx+c=0 (a≠0)二次项系数一次项系数常数项ax2 + bx +c = 0强调：“ = ”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现，但二次项必须有;
“ = ”左边按未知数 x 的降幂排列;
“ = ”右边必须整理为0.想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？当 a = 0 时bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.典例精析C不是整式方程含两个未知数化简整理成
x2-3x+2=0少了限制条件
a≠0例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2-x=2x2(2)(a-1)x ∣ a ∣ +1 -2x-7=0.解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解?
-4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4解：3和-2.你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 例4. ：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+
2017的值. 解：由题意得方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．当堂练习 1. 下列哪些是一元二次方程？√×√××√3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-12.填空：-21313-540-53-23.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.解：由题意得
把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=09+4a=04a=-94.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0，求m的值.解：将x=0代入方程m2-4=0，解得m= ±2.∵ m+2 ≠0，∴ m ≠-2，综上所述：m =2.拓广探索
已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? 解：由题意得∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? x=2课堂小结一元二次方程概念是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是2.一般形式ax2+bx+c=0 (a ≠0)
其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；
确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项要先化为一般式.根使方程左右两边相等的未知数的值.
