课题：1.5.2平方差公式(第2课时)
课型：新授课
年级：七年级
教学目标：
1．经历探索平方差公式的过程，会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式
的几何背景.
2．通过创设问题情境，让学生通过探索规律，归纳出利用平方差公式，并会运用所学
的知识，进行简单的混合运算.
3．在探究学习中培养学生的观察、归纳、应用能力和数形结合意识，体会数学的现
实意义和价值.
教学重点与难点
重点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式和运用平方差公式进行简单运算．
难点：掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题．
教学过程：
一、复习回顾，引入新课
活动内容：
1.大家回顾一下上节课学方差公式？
（1）符号表达式：．
（2）文字表达：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．
处理方式：指明口答，教师板书：平方差公式：
2.
判断下列算式能否运用平方差公式计算：
（1）（a+2）(a–3)；（2）（-m-n）（m-n）；（3）（2x+3y）(3x-2y)；（4）（4x-3）(-4x-3)
.
处理方式：先组内交流，然后由小组代表在班内汇报展示【答案：（1）不能；（2）不能；（3）不能；（4）能】．
强调：在运用平方差公式时要注意什么？
1.公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，并且有一项完全相同，另一项互为相反数.
2.公式中的字母a、b可以是数，也可以是单项式、多项式等．
3.平方差公式是十分重要的数学知识，它的应用非常广泛，这节课我们继续进行探究．
板书课题：1.5平方差公式（2）．
设计意图：上节课直接利用多项式乘以多项式法则，推导得到平方差公式，设计这一环节的目的，是在复习上节课知识的基础上，为本节课的平方差公式的几何解释和进一步应用平方差公式简化较复杂的化简、计算做好知识准备.
二、创设情境，探究新知
活动内容：
问题1：上节课利用多项式乘以多项式法则，推导得到平方差公式．其实我们还有其他方法来验证、解释公式的正确性.请看下面问题：
如图1-5边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
（1）请用式子表示图1-5中阴影部分的面积．
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图1-6），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？
处理方式：分组研讨，教师巡视同学们研讨的情况，随机指导，然后汇报．
教师重点讲解：把剩下的图形（即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，左边的大长方形宽是(a－b)，长是a；下面的小长方形长是(a－b)，宽是b．由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b)，我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如右图所示的图形（阴影部分），它的长和宽分别为(a+b)、(a－b)，面积为(a+b)(a－b)
．这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2．这恰好是我们上节课学过的平方差公式．
问题2：过去有一个地主，把一块边长为a米的正方形的土地租给李老汉，有一天，地主对李老汉说：“我把这块地的一边增加4米，另一边减少4米，继续按原价租给你种，你愿意吗？”李老汉觉得好像并没吃亏，就答应了．聪明的同学们，你觉得李老汉吃没吃亏？
处理方式：独立研讨，教师巡视同学们研讨的情况，随机指导，然后汇报．
原有面积=
a2
(米2
)
,现有面积=（a+4）(a-4)=a2-16(米2)，所以李老汉吃亏了．
设计意图：本环节通过几何拼图，给平方差公式一个几何背景，使学生在拼图和计算过程中发现规律，验证自己的猜想，使学生对平方差公式，有一个直观感受和认识，避免在公式的学习过程中单纯依赖背诵的弊病.
三、观察思考，巧用公式
活动内容：1.想一想
(1)迅速计算下列各组算式，并观察它们的特点．
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
处理方式：学生独立计算后，进行交流展示：
(1)中算式算出来的结果如下：
（2）从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1．
（3）设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有(a+1)(a－1)=a2－1．
设计意图：通过特例进行归纳，让学生经历由特殊到一般的探究过程，最后利用符号表示出一般规律.然后利用平方差公式计算得到（a-1）（a+1）=a2-1，从而验证猜想的正确性.这一过程的经历，让学生体会到符号运算，在验证猜想时的重要作用，也为例3数的简便运算做好知识的铺垫.
活动内容：下面运用你得到的结论来计算．
2.例3
用平方差公式进行计算：
（1）103×97；
（2）118×122．
处理方式：第（1）题教师讲解指导：因为103=100+3，97=100－3，
所以103×97=（100+3）（100-3）
=1002-32
=9991．
第(2)题学生独立完成．
118×122
=(120－2)(120+2)
=1202－4
=14400－4
=14396．
3.练一练1：计算：
（1）704×696
；
（2）9.9
×10.1．
设计意图：运用平方差公式，把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，体现了转化的思想和数式通性，让学生体会到，利用公式可以进行一些有关于数的简便运算．
4.例4
计算（看谁做的又对又快）：
（1）a2(a+b)(a-b)+a2b2；
（2）(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)．
处理方式：在学生独立完成第（1）题的基础上，师生共同分析：这道题要想做的又对又快，就要认真观察它的特点，即运用平方差公式，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简．
第（2）题让生板演，做后评价指导，展示解答过程．
解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2
=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4．
(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)
=(2x)2－52－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x-25．
注意：2x(2x-3)的结果要用括号括起来.
5.练一练2：
计算：（1）；
（2）．
处理方式：可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，同桌互查互纠．
设计意图：例4运用平方差公式，进行较复杂的多项式化简，既巩固平方差公式，又体会平方差公式在解决复杂问题的简便作用．
四、课堂小结，反思提高
活动内容：同学们，这节课你有哪些体会和收获，说一说与大家分享？
处理方式：学生汇报交流后，引导回顾：
1.平方差公式：
（1）公示的符号表示：（a+b）（a-b）=a2-b2；
（2）公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.
（3）公式的几何意义：
验证：（a+b）（a-b）=a2-b2（平方差公式）
2.应用平方差公式的注意事项：
（1）平方差公式的适用范围：字母a、b可以是数，也可以是整式；
（2）平方差公式可以逆运用：
a2-b2=（a+b）（a-b）。
设计意图：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程中遇到的挫折以及积累的经验，构建自己的知识体系，同时提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识的目的.
五、达标检测，自我评价
活动内容：
1.
填空：=
；
2.
（2011山东枣庄）若，且，则 ；
3.计算
（1）
59.8×60.2；
（2）(3mn+1)(3mn－1)－9m2n2．
处理方式：让学生10分钟完成，教师公布答案：【1.x4-y42.3,3.(1)3599.96,(2)-1】统计检测情况．教师特别强调在解题过程中容易出现的错误，既易漏小括号的问题.
设计意图：通过检测及时获知学生对所学知识掌握情况，及时反馈，查漏补缺．
六、布置作业，落实目标
必做题：课本第22页
习题1.10
第1，2题．
选做题：（1）(a+b-3)(a+b+3)；（2）3（22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
板书设计：
1.5平方差公式（2）
平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2
例3
用平方差公式进行计算：（1）103×97
；（2）118×122
例4
计算：（1）a2（a+b）（a-b）+a2b2
；
（2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）
图1-4
a
b
a
b
图1-5
图1-6
4
4
a
a
图1-4
a
b
a
b
学生板演区(共15张PPT)
北师大版七年级数学下册
1.5
平方差公式(2)
1、平方差公式：
复习回顾，引入新课
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．
2.
判断下列算式能否运用平方差公式计算：
（1）（a+2）(a–3)；
（2）（-m-n）（m-n）；
（3）（2x+3y）(3x-2y)；
（4）（4x-3）(-4x-3)
.
不能
不能
不能
能
2.注意平方差公式的适用范围：
公式中字母a、b可以是数，也可以是单项
式、多项式等。
1.注意公式的结构特点：
左边是两个二项式的乘积，并且有一项完全相同，另一项互为相反数.
在运用平方差公式时要注意什么？
创设情境，探究结论
问题1：如图1-5，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
（1）请用式子表示图1-3中阴影部分的面积。
图1-5
a
b
面积：a -b
（2）小颖将图1-5的阴影部分拼成了一个长方形，如图1-6，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
图1-6
a
b
a
b
图1-5
长：a+b
宽：
a-b
面积：
(a+b)(a-b)
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？
a
b
图1-5
图1-6
a
b
面积：
(a+b)(a-b)
面积：a -b
(a+b)(a-b)=a2-b2
（平方差公式）
因为，左图与右图的面积相等，所以
问题2：过去有一个地主，把一块边长为a米的正方形的土地租给李老汉，有一天，地主对李老汉说：“我把这块地的一边增加4米，另一边减少4米，继续按原价租给你种，你愿意吗？”李老汉觉得好像并没吃亏，就答应了．聪明的同学们，你觉得李老汉吃没吃亏？
a
a
4
4
面积：a
面积：a -16
李老汉亏了16平方米。
1、计算下列各组算式，并观察它们的共同特点：
7×9=
11×13=
79×81=
8×8=
12×12=
80×80=
观察思考，巧用公式
63
2、从以上过程中，你发现了什么规律？
3、请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
64
143
144
6399
6400
一个自然数的平方比它相邻两数的积大1．
设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，
a
+1，则有(a
+1)(a
－1)=
a
2－1．
例3
用平方差公式进行计算：
（1）103
×
97
；
（2）118
×
122
（100+3）
（100-3）
（120-2）
（120+2）
范例导航
练一练1：
计算：
（1）704×696
；
（2）9.9
×10.1
例4
计算（看谁做的又对又快）：
（1）a2(a+b)(a－b)+a2b2
（2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
范例导航
练一练2：
2.计算：
（1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
（2）x(x-1)-
同学们，这节课你有哪些体会和收获？
课堂小结，反思提高
1.平方差公式：
（1）表达式：
（2）结构特点：
（3）几何意义：
a
b
a
b
验证：(a
+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)
(a-b)
=
a2-b2；
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.
（1）注意平方差公式的适用范围：
公式中字母a、b可以是数，也可以是单项
式、多项式等。
（2）平方差公式可以逆运用：
a2-b2=(a+b)(a-b)。
2.在运用平方差公式时要注意事项：
课堂小结，反思提高
达标检测，自我评价
2.（2011山东枣庄）若
，且
，则
；
1.
计算：
=
；
3.计算：
(1)59.8×60.2
(2)(3mn+1)(3mn-1)-9m2n2
【答案：1.x4-y4
2.
3,
3.(1)3599.96,
(2)
-1．】
必做题：课本第22页习题1.10
第1，2题．
选做题：（1）(a+b-3)(a+b+3)；
（2）3（22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
布置作业，落实目标
