课题：5.3.3简单的轴对称图形
课型：新授课
年级：七年级
教学目标
1.经历探索角的轴对称性质的过程，探索并理解角平分线的有关性质．
2.通过观察、折叠等活动，发展空间观念，培养有条理的思考和规范的数学语言．
3.会构造所需的图形解决问题，提高分析问题、解决问题的能力.
教学重点与难点：
重点：理解角的轴对称性，灵活应用角的平分线的性质.
难点：利用尺规作出角的平分线
教具：较大的纸（制作角），圆规、三角板．
学生准备：导学案，较大的纸（制作角），圆规、三角板．
教学过程：
一、情景导入
明确目标
探究活动一
：角的对称性
欣赏：多媒体展示三个不同角度的角
问题1：不利用工具你能否把这些角，分成相等的两个角？
问题2：通过活动你有什么结论？
问题3：角的平分线是它的对称轴吗？
处理方式：图片欣赏之后，发给学生图中的角的纸片，让学生动手折叠，把角对折。在学生完成折叠后老师预留一分钟让学生讨论问题2，然后提出问题：“角”是否是轴对称图形，如果是，对称轴是什么 问题3帮助学生回忆对称轴的定义，重点指出对称轴是一条直线，而角平分线是一条射线.
结论：
角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线
跟踪练习：
下列语句正确的是
A，三角形的中线是一条直线
B，角的对称轴是角的平分线
C，角的对称轴是角的平分线所在的直线
D，角有两条对称轴
设计意图：通过不同角的对比展示，有利于引起学生的学习兴趣，完成折叠和总结后，理解结论的一般性为后面的新知内容作好铺垫．
二、自主学习
合作探究
探究活动二：尺规作图----角的平分线
导语：这种可以折叠的角可以用折叠方法得到的角平分线，不能折叠的角怎样得到其角平分线？
课件展示：有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线.
问题1：你能说出角平分仪的工作要原理吗？
问题2：根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角:）
处理方式：问题1是一道处理过的题目，找学生口答两个三角形对应相等的条件然后课件展示用符号语言表示的三角形全等的推理过程.
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴
△ACD≌
△ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
问题2给学生预留三分钟讨论，老师利用多媒体采用一问一答，边演示的方式完成
师示范尺规作角的平分线：
（1）在∠AOB的两边OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
（2）分别以D,E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
(3)
作射线OC.
OC是∠AOB的平分线
分析理由：由作图过程可以知道，图形满足
OD=OE,CD=CE,OC=OC,所以△OCD≌△OCE（SSS）
可得，∠DOC=∠EOC，所以OC是∠AOB的平分线
质疑
问题3：步骤2中，以大于的长为半径作弧的原因是什么？
处理方式：学生以小于的长为半径作弧，容易发现两弧没有交点，不能完成作图。
设计意图：通过角平分仪器的原理分析，引起学生的好奇，通过对比找到平分已知角的方法，再一问一答中不光要知道怎样做，还要知道为什么这样做，有助于学生理解尺规作角平分线的作法，而不是让学生简单机械式地模仿.
跟踪练习：分组画出下列角的对称轴
探究活动三：角平分线的性质
活动内容：在∠AOB平分线上任找一点P，作PD⊥OA,
PE⊥OB,探究CD和CE的关系.
问题1：
PD和PE有什么数量关系？你能解释其中的道理吗？
问题2：点P在射线OC上移动，PD和PE还相等吗
问题3：垂线段PD与PE，在这个图形中还表示什么意义？你能得到什么结论？
处理方式：先让学生完成图形，第一步先引导学生猜想PD=PE，通过测量或尝试折叠能否重合来验证自己的猜想。老师重点引导学生分析其中的道理：
动画演示无论P如何移动始终满足全等的条件，因此结论具有一般性.
垂线段PD与PE的长，表示点P到角两边的距离.
结论：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
跟踪练习：判断对错
1.如图，OC平分∠AOB，PD=PE
2.
∵
如图，AD平分∠BAC（已知
∴BD=CD
3.∵
如图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴BD=CD
设计意图：注重符号语言转化性质的条件和结论，是为了让学生更好地理解和应用解答问题，尤其是对图形的分析，是学生学习的弱项，加强对图形的标注和构造，为今后图形性质的学习打下坚实的基础．
三、例题精讲，拓展提高
如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,
CD=5cm.求：点D到AB的距离.
分析：本题需要作出表示点D到AB的距离线段，然后，利用角平分线的性质解答.
解：过点D作DE⊥AB,垂足为E
∵AD平分∠BAC
∠C=90°,DE⊥AB,
∴
DE=DC=5cm
即：点D到AB的距离是5cm.
四、归纳总结，拓展提高
师：通过本节课的学习，有什么收获和感受
1：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
2：学会了尺规作角的平分线，还知道，在解答问题时，注意添加辅助线构造需要的图形．
3:
……..
五、达标检测：
1.
如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,
DE⊥AB,
DE⊥AC,
说明：DE=DF吗？
考查知识点：等腰三角形的“三线合一”与角的平分线性质的应用
解答：DE=DF
理由：∵AB=AC,BD=CD
∴
AD平分∠BAC,
又∵DE⊥AB,
DF⊥AC
∴
DE=DF
2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是
射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为
考查知识点：直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短与角的平分线性质的应用
解答:当PQ⊥OM时，PQ最小，此时，PQ=PA=2.
3.
如图，AD平分∠BAC，
DE⊥AC,
DE⊥AB
说明：△DEC≌△DFB
考察知识点：利用角的平分线性质得到DE=DF,
满足“ASA”条件，可说明三角形全等.
4.利用尺规作一个三角形的三条角平分线，观察图形，探索图形中的结论并说明你的理由.
考察知识点：拓展学生的思维，鼓励他们大胆猜想，相互交流.
解答:
三角形的三条角平分线交于一点，这个点到三边的距离相等.
设计意图：通过学生对角的平分线的知识进行独立练习，自我评价学习效果，及时发现问题、解决知识盲点，培养学生的创新精神和实践能力.
六、.作业布置：
必做题：P127,2题、3题
选做题：助学习题
板书设计：
5.3.3简单的轴对称图形—角
一、角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线
二、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
三、尺规作角的平分线
通过ON=OM猜想,如何截取OD=OE
动画演示
通过NC=MC猜想,如何截取DC=EC
？
动画演示
C
_
O
_
E
_
D
_
P
_
B
_
A
△OPD与△OPE中，∠DOC=∠EOC,
∠ODC=∠OEC=90°,OP=OCP
因此，△OPD≌△OPE（AAS）,所以，PD=PE
定理作用：
证明线段相等
应用条件
1，角的平分线
2，点在平分线上
3，垂直距离
符号语言：∵OP平分∠AOB
PD⊥OA,
PE⊥OB,
∴
PD=PE
C
A
P
E
D
O
B
C
第1题图
第2题图
第3题图(共29张PPT)
3
简单的轴对称图形（第3课时）
A
D
B
C
E
A
D
C
B
图形欣赏
A
O
B
C
再打开纸片
，看看折痕与这个角有何关系？
（对折）
角是轴对称图形吗？
角的对称轴是什么？
C
结论：
角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线.
A
B
O
跟踪练习
下列语句正确的是（
）
A.三角形的中线是一条直线
B.角的对称轴是角的平分线
C.角的对称轴是角的平分线所在的直线
D.角有两条对称轴
B
有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？
对这种可以折叠的角可以用折叠方法得到角的平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴
△ACD≌
△ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的
对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
D
B
C
E
根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
O
A
B
C
E
N
O
M
C
E
N
M
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于
ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
用尺规作角的平分线的方法
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于
ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
用尺规作角的平分线的方法
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
小于
ＭＮ的长为半径作弧,
试一试你能做出交点来么？
跟踪练习
画出下列角的对称轴
D
P
E
A
O
B
在∠
AOB的平分线上任找一点P，作PD⊥OA
,PE⊥OB
猜想：PD和PE有什么关系？
PD=PE
1.猜想
3.折叠
2.测量
分别测量PD和PE长度
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。
求证：PD=PE
证明：∵
PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴
PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠
PDO=
∠
PEO
∠
AOC=
∠
BOC
OP=OP
∴
△
PDO≌
△
PEO（AAS）
D
P
E
A
O
B
C
4.证明猜想
垂线段的长度表示点到直线的距离
点P在OC上移动，结论还成立吗？
你能用自己的语言说说结论的特点吗？
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
O
B
P
E
D
1
2
∵
∠1=
∠2
PD
⊥OA
，PE
⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
定理的作用：
证明线段相等。
O
A
B
C
E
D
P
辨一辨
如图，OC平分∠AOB，PD与PE相等吗？
（1）∵
如图，AD平分∠BAC（已知）
∴
=
，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD
CD
（×）
（2）∵
如图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
=
，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD
CD
（×）
（3）∵
AD平分∠BAC,
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
=
，（
）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
例题
如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,
CD=5cm.求：点D到AB的距离.
解：过点D作DE⊥AB,垂足为E
E
∵AD平分∠BAC
∠C=90°,DE⊥AB,
∴
DE=DC=5cm
即：点D到AB的距离是5cm
◆这节课我们学习了哪些知识？
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；
2、角的平分线的性质：
111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵
OC是∠AOB的平分线,
又
PD⊥OA,PE⊥OB
∴
PD=PE
(角的平分线上的点
到角的两边距离相等).
E
D
O
A
B
P
C
几何语言:
小结
拓展
1.
如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,
DE⊥AB,
DE⊥AC,
说明：DE=DF吗？
练一练
第1题图
2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为
第2题图
练一练
3.
如图，AD平分∠BAC，
DE⊥AC,
DE⊥AB
说明：△DEC≌△DFB？
你会吗？
第3题图
练一练
4.利用尺规作一个三角形的三条角平分线，观察图形，探索图形中的结论并说明你的理由
练一练
