(共37张PPT)
第
章
数学广角——
数与形
教学目标
知识与技能：
【1】重视“数”“形”之间的联系，找到解题规律。
【2】引导学生探究算式左边的加数与大正方形左下角的小正方形和其他“┐”形图形所包含的小正方形个数的关系，发现“数”“形”之间的联系，找到其中的规律，使学生在体验用形表示数的直观性的同时，学会应用规律解决问题.
过程与方法：
【1】借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题。
【2】使学生在初步了解、运用“数形结合”思想方法的同时，体验到数学的极限思想。
.
情感态度与价值观：
巩固练习时，充分利用教材习题，引导学生在解决问题时能举一反三地运用所学，使学生的解题能力得到培养。培养学生通过数与形结合在来分析思考问题，从而感悟数形结合的思想，提高解决问题的能力
10 ＝
8 ＝
7 ＝
3 ＝
（
） ＝81
（
） ＝25
（
） ＝16
（
） ＝1
64
100
9
9
5
4
49
1
2、说一说：在0除外的自然数中，奇数有哪些？偶数有哪些？
奇数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19......
偶数有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20......
一、引入新课
看谁算得又对又快
1.口算：
复习旧知
一、引入新课
算一算,说说算理
1＋3＋5
＝（
）
9
1＋3＋5＋7＋9＝（
）
25
1＋3＋5＋7＋9＋11
＝（
）
36
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝（
）
100
一、引入新课
1.先观察图形，然后说一说图形中包含了什么数学问题？怎样解答？
5－2＝3（个）
复习旧知
形图包含的数学问题——
加减法
一、引入新课
形图包含的数学问题——
利用线段图理解分数应用题
2.张东看一本200页的故事书，第一天看了这本书的1/4，第二天看了余下的1/3，第二天看了多少页？
200页
？页
第一天1/4
第二天余下1/3
复习旧知
一、引入新课
形图包含的数学问题——
利用面积模型解释乘法分配律
(a+b)
c=ac+bc
a
b
c
复习旧知
一、引入新课
二、探究新知
我们一起来看看这些图中图2和图3各有多少个像图1这样的小正方形
分析理解
二、探究新知
同学们动动脑尝试用算式表示出每个图中小正方形的个数？
图一：1×1=1
图二：2×2=4
图三：3×3=9。
从图一开始小正方形的个数是在前一图基础上分别加3，加5.
分析理解
二、探究新知
把图中小正方形涂上不同的颜色进行演示。
分析理解
二、探究新知
如果我们把刚才同学们表示图中小正方形个数而列出的不同算式综合起来，会是什么样的呢？
分析理解
1=1×1
1+3=2×2=4
1+3+5=3×3=9
（
）
1
1＝
1
＋3＝
（
）
2
1
＋3
＋5
＝
（
）
2
2
3
观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。
其生1：我发现，算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形和他“L”形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。
2
二、探究新知
例1
观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。
生2：我发现，从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。
1
＋3
＋5
＝
（
）
2
3
1
＋3＝
（
）
2
2
（
）
1
1＝
2
二、探究新知
从1开始，连续奇数相加的和就等于加数个数的平方
。
9
52
11
62
13
72
1
3
5
7
42
32
二、探究新知
观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。
生3：大正方形左下角的小正方形和其他正方形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。
1
＋3
＋5
＝
（
）
2
3
1
＋3＝
（
）
2
2
（
）
1
1＝
2
二、探究新知
观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。
生4：左边加法算式里的加数都是奇数。
1
＋3
＋5
＝
（
）
2
3
1
＋3＝
（
）
2
2
（
）
1
1＝
2
二、探究新知
观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。
生5：有几个数相加，和就是几的平方。
1
＋3
＋5
＝
（
）
2
3
1
＋3＝
（
）
2
2
（
）
1
1＝
2
二、探究新知
观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。
生6：第几个图形就有几个数相加，和就是几的平方。
1
＋3
＋5
＝
（
）
2
3
1
＋3＝
（
）
2
2
（
）
1
1＝
2
二、探究新知
1＋3＋5＋7＝（
）
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13
＝（
）
1.
你能利用规律直接写一写吗？
4
7
如果遇到困难,可以画图来帮助。
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17
＝9
2
2
2
二、探究新知
做一做
1＋3＋5＋7＋5＋3＋1
＝（
）
2.
请根据例1的结论算一算。
25
可以看成两部分：1＋3＋5＋7＝42
5＋3＋1＝
32
42＋
32
＝25
二、探究新知
做一做
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（
）
85
2
2
原式＝7
＋6
＝85
3.
请根据例1的结论算一算。
二、探究新知
做一做
二、探究新知
例2
计算
这个算式你能发现什么规律？
观察与思考
二、探究新知
观察与发现
1.从左往右看这些分数越来越小。
2.这些分数的分子都是1，分母都是偶数。
3.从第2个数开始，每个数是前一个数的1/2。
二、探究新知
观察与发现
1
2
＋
1
4
＝
3
4
3
4
＋
1
8
＝
7
8
＋
1
16
7
8
＝
15
16
1
32
＋
＝
31
32
15
16
…
我一个一个加下去看看，答案好像有点规律。
加下去，等号右边的分数越来越接近于1。
可以画一个圆来帮助思考。用一个圆或一条线段表示“1”。
二、探究新知
二、探究新知
观察与发现
1
1
2
1
1
4
1
8
1
32
＋
64
＋
＋
16
＋
＋
＋
……。
＝1
1
2
＋
1
4
＝
3
4
3
4
＋
1
8
＝
7
8
＋
1
16
7
8
＝
15
16
1
32
＋
＝
15
16
…
31
32
2
1
4
1
16
1
8
1
…
32
1
8
7
4
3
16
15
32
31
64
63
128
127
计算。
二、探究新知
1
2
＋
＝
1
4
3
4
1
2
1
4
3
4
3
4
＋
＝
1
8
7
8
7
8
1
8
7
8
＋
＝
16
1
16
15
16
1
32
1
16
15
32
1
16
15
＋
＝
32
31
32
31
64
63
128
127
1
2
＋
1
4
＋
1
8
＋
16
1
＋
32
1
＋
64
1
＋
……。
=1
…
…
计算。
二、探究新知
三、知识运用
1.
下面每个图中最外圈有多少个小正方形？
2.下面每个图形中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？
蓝色：
红色：
1
8
2
10
3
12
4
14
照这样下去，第6个图形有（
）个红色小正方形
，（
）个蓝色小正方形。第10个图形有（
）个红色小正方形
，（
）个蓝色小正方形。
6
18
10
26
三、知识运用
三、知识运用
3.看谁算得又对又快
三、知识运用
4.运行图：
小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800
m远的公园健身中心，用时20分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟。然后，小兰跑步回到家中，用了5分钟，而爸爸是走回家中，用了15分钟。
下面几个图哪个是妈妈离家的时间和离家距离的关系？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？
看懂了吗？题目主要讲了一个什么事情？
三、知识运用
（1）你觉得这幅图表示的是谁走的？
（妈妈）
为什么？
三、知识运用
（2）在下图中，你觉得哪个是小兰，哪个是爸爸？
5.
如下图，正方形的边长是a，如果边长增加b，使它变成一个更大的正方形，现在面积是多少？
三、知识运用
四、课堂总结
这节课的收获有哪些，知道了哪些数学问题？
通过本课学习，在我们解决数学问题时，常用的数学方法中数形结合思想是最直观也是最美妙的，数和形有着十分密切的联系，在一定条件下可以互相转化、互相渗透。
我们知道数形结合的奇妙，在网上我们可以了解更多的趣味数字，像花朵数、巧数、金蝉脱壳数，它们神秘有趣，这正如我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，树形结合百般好，隔离分家万事休。数与形
教材分析：
1．教材重视“数”“形”之间的联系，重视找到解题规律。
教学伊始，从观察、分析例1中图与算式的关
( http: / / www.21cnjy.com )系入手，引导学生探究算式左边的加数与大正方形右上角的小正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数的关系，发现“数”“形”之间的联系，找到其中的规律，使学生在体验用形表示数的直观性的同时，学会应用规律解决问题。
2．教材借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题。
教学例2时，从观察抽象的算式特点开始，先通
( http: / / www.21cnjy.com )过简单的计算找到得数规律，再借助多种几何图形直观验证计算过程及结果，使学生在初步了解、运用“数形结合”思想方法的同时，体验到数学的极限思想。
3．教材通过举一反三，培养数学能力。
在巩固练习时，充分利用教材习题，引导学生在解决问题时能举一反三地运用所学，使学生的解题能力得到培养。
数形结合是一种非常重要的数学思想，把数与行结合起来解决问题可使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。
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学情分析：
小学生死记硬背
的较多、能触类旁通举一反三
( http: / / www.21cnjy.com )的较少，比葫芦画瓢的有百分之五十。原因是小学生思维的抽象程度还不够高.他们的抽象思维能力还不够强经常需要借助直观模型来帮助理解。那么用“形”来解决“数”的问题更显得重要。
教学目标：
1．使学生通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律。
2．使学生会利用图形来解决一些有关数的问题。
3．使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。
重难点：找规律、用规律、灵活解决问题
课时：2课时
第一课时
等差数列之和与正方形的关系
教学内容：课本107页例1及108做一做1、等
学习目标：
1.
使学生通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律。
2．使学生会利用图形来解决一些有关数的问题。
3．使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等的数学思想。
重难点：发现图形中隐藏着的数的规律，会利用图形来解决一些有关数的问题。
评价任务：
能画出指定的图形（如画出例1中第10个图形）
会求连续奇数的和（如求：17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+…99）
记住理解从1开始的连续奇数的和是这些奇数个数的平方
教学过程：
学习例1
师（出示下图）：我们一起来看看这些图中图2和图3各有多少个像图1这样的小正方形？
( http: / / www.21cnjy.com )
生：图二中有4个图一这样的小正方形，图三中有9个这样的小正方形。
师：同学们动动脑，尝试用算式表示出每个图中小正方形的个数。
生：图一：1×1=1；图二：2×2=4；图三：3×3=90
师：观察这几个图形与计算出的得数(1、4、9)。你还有什么发现？
生：从图一开始小正方形个数是在前一图基础上分别加3、加5。
根据学生的回答，把图中小正方形涂上不同的颜色进行演示。
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师：如果我们把刚才同学们表示图中小正方形个数而列出的不同算式综合起来，会是什么样的呢？
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师：在这里“形”能直观解释
( http: / / www.21cnjy.com )“数”的计算。同学们想一想，按照这样的规律“图四”会是什么样子？有几个这样的小正方形？同桌两人合作，仿照黑板上算式，一人说等号左边部分怎么写，一人说等号右边部分怎么写，有困难可以在草稿上画一画图。
学生合作交流，并利用规律完成例1下面题目。
师：观察例1中的这些题目，你有什么发现？
生1：大正方形左下角的小正方形和其他“
”形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。
生2：左边加法算式里的加数都是奇数。
生3：有几个数相加，和就是几的平方。
生4：第几个图形就有几个数相加，和就是几的平方。
师：根据这个同学的发现，想一想，第10个图中有多少个小正方形？第100个图中呢？
学生汇报。
师：同学们非常善于观察和思考，学习中我们利用计算求出了图形中小正方形的个数，反过来直观的图形也更好地帮助我们理解了计算中各数的含义。
小结：你学到了那些新知识？会计算连续奇数的和吗？
做一做第1题
课后小记：
第二课时
求等比数列的和
教学内容：课本107页例2
学习目标：
1．经历观察、操作、归纳等活动，帮助学
( http: / / www.21cnjy.com )生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系，体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题。
2．通过数与形结合来分析思考问题，从而感悟数形结合、极限的思想，提高解决问题的能力。
教学重难点：
借助“形”（面积模型、线段图、直角
( http: / / www.21cnjy.com )坐标系等）感受与“数”之间的关系，培养学生用“数形结合”的思想解决问题是重点。教学难点是：从图形中总结规律及让学生体会极限思想。
评价任务：
教学过程：
学习例2
师（出示例2）：观察这个算式你能发现什么规律？
生1：从左往右看这些分数越来越小。
生2：这些分数的分子都是1，分母都是偶数。
生3：从第二个数开始，每个数是前一个数的
。
师：算式右边省略号表示什么意思？你准备怎样计算这道题？
生：意思是按照这样的规律写下去，加数有无数个。我准备先求出前两个加数的和，再用和去加第三个加数，得数再去与第四个加数相加，依此类推。
学生尝试进行计算。
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师：谁再来说说你加到了第几个加数，得数是多少？
学生汇报，板书：
师：观察这些算式的得数，你有什么发现？
生1：得数的分子与分母相差1。
生2：得数的分子与分母都越来越大，说明等分的份数越来越多，取的份数也越来越多，分子比分母只少一份。
生3：如果一直加下去，等号右边的分数会越来越接近1。
师：有同学提出这些分数不断加下去，
( http: / / www.21cnjy.com )总和会越来越接近1，有没有道理呢？除了依靠计算来理解，我们还可以画图来帮助思考，现在就请同学们在草稿上通过画图来说明。
学生活动，汇报。
生1：我画的是用一个圆形表示“1”，先取它的一半就是圆的
，再取剩下部分的一半就是这个圆的，接着又取剩下部分的一半就是这个圆的
，往后又再取剩下部分的一半，这样每次都取走剩下部分的一半，没有取的空白部分就越来越小，几乎看不到了，而取走部分几乎占满了一个整圆。
生2：我画的是用一条线段表示“1”，先把它平均分成两份，在左边表示出线段的
，剩下的部分我又平均分成两份，在靠左的部分表示出线段的，后面的线段都照这样的方法分别表示出线段的
……越往后剩下的线段越短，最后就接近是整条线段了。
师：听了同学们的汇报，从同学们画的这些图中我
( http: / / www.21cnjy.com )们可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1。对于这种借助画图来帮助我们理解问题的方法，你有什么感受？
生：有些问题通过画图，解决起来更直观。
师：在我们解决数学问题时，
( http: / / www.21cnjy.com )常用的数学方法中数形结合思想是最直观也是最美妙的。数和形有着十分密切的联系，在一定条件下可以互相转化，互相渗透。正如我国著名数学家华罗庚所说，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。
课后小记：
