2017-2018学年高二数学人教A版选修2-2学业分层测评：第1章 1.2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）

学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　)A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
【答案】　A
2．若f(x)＝，则f(x)的导数是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　f′(x)＝＝.
【答案】　A
3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)
A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5) D.
【解析】　y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋
x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··
(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.
【答案】　B
4．函数f(x)＝x＋xln x在(1,1)处的切线方程为(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．2x－y＋1＝0
【解析】　∵f′(x)＝(x＋xln x)′
＝1＋x′ln x＋x(lnx)′
＝1＋ln x＋1＝2＋ln x，
∴f′(1)＝2＋ln 1＝2，
∴函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
【答案】　B
5．函数y＝cos 2x＋sin的导数为(　　)
A．－2sin 2x＋ B．2 sin 2x＋
C．－2sin 2x＋ D．2sin 2x－
【解析】　y′＝－sin 2x·(2x)′＋cos ·()′
＝－2sin 2x＋·cos
＝－2sin 2x＋.
【答案】　A二、填空题
6．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.
【解析】　设P(x0，y0)．∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x.
∴k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln e＝e.∴点P的坐标是(e，e)．
【答案】　(e，e)
7．已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝________.
【解析】　∵f′(x)＝f′cos x－sin x，
∴f′＝f′cos －sin ＝－1，
∴f′(x)＝－cos x－sin x，
∴f′＝－cos －sin ＝－.
【答案】　－
8．若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________.
【解析】　∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos 2x，
∴y′＝(－cos 2x)′＝－(－sin 2x)·(2x)′
＝2 sin 2x.
【答案】　2sin 2x
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝esin x；
(3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)．
【解】　(1)设y＝u，u＝1－2x2，
则y′＝(u)′(1－2x2)′＝·(－4x)
＝(1－2x2)(－4x)＝.
(2)设y＝eu，u＝sin x，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·cos x＝cos x·esin x.
(3)设y＝sin u，u＝2x＋，
则yx′＝yu′·ux′＝cos u·2＝2cos.
(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，
则y′＝yu′·ux′＝＝.
10．求曲线y＝2sin2x在点P处的切线方程．
【解】　因为y′＝(2sin2x)′＝2×2sin x×(sin x)′
＝2×2sin x×cos x＝2sin 2x，
所以y′|＝2sin＝.
所以过点P的切线方程为y－＝，
即x－y＋－＝0.
[能力提升]
1．函数y＝sin 2x－cos 2x的导数是(　　)
A．2cos
B．cos 2x－sin 2x
C．sin 2x＋cos 2x
D．2cos
【解析】　∵y′＝(sin 2x－cos 2x)′
＝(sin 2x)′－(cos 2x)′
＝cos 2x·(2x)′＋sin 2x·(2x)′＝2cos 2x＋2sin 2x
＝2＝2cos，
故选A.
【答案】　A
2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex>0，所以ex＋≥2，所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，所以α∈.
【答案】　D
3．若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.
【解析】　由题意知该函数的定义域为x>0，f′(x)＝2ax＋.
∵存在垂直于y轴的切线，∴此时斜率为0.
问题转化为(0，＋∞)范围内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点．上述也可等价于方程2ax＋＝0在(0，＋∞)内有解，显然可得a＝－∈(－∞，0)．
【答案】　(－∞，0)
4．已知函数f(x)＝x3＋1(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
【解】　f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，
∴a≠－.
∴a的取值范围为∪.